Brain-wiki - Ostatnie zmiany [pl]

WnioskowanieStatystyczne/Test serii

Durka — Tue, 08 Sep 2026 16:11:52 GMT

Wyprowadzenie analityczne

WnioskowanieStatystyczne/ROC

Durka — Tue, 08 Sep 2026 16:09:49 GMT

WnioskowanieStatystyczne/Test serii

Durka — Tue, 08 Sep 2026 15:55:53 GMT

WnioskowanieStatystyczne/Test t

Durka — Tue, 08 Sep 2026 15:54:59 GMT

WnioskowanieStatystyczne/ROC

Durka — Tue, 08 Sep 2026 15:53:32 GMT

WnioskowanieStatystyczne/Weryfikacja hipotez

Durka — Tue, 08 Sep 2026 15:52:10 GMT

Poziom istotności i moc testu

WnioskowanieStatystyczne/Rozklady-przyklady

Durka — Tue, 08 Sep 2026 15:46:25 GMT

Dowód

WnioskowanieStatystyczne/ROC

Durka — Tue, 08 Sep 2026 15:35:11 GMT

Podgląd zmian

WnioskowanieStatystyczne/Momenty

Durka — Tue, 08 Sep 2026 13:58:05 GMT

Kowariancja i współczynnik korelacji

WnioskowanieStatystyczne/Rozklady-przyklady

Durka — Tue, 08 Sep 2026 13:54:27 GMT

Dowód

WnioskowanieStatystyczne/Bootstrap

Durka — Tue, 08 Sep 2026 10:31:58 GMT

Bootstrap

Sztuczne sieci neuronowe (ANN )

Durka — Tue, 08 Sep 2026 10:30:44 GMT

Regresja Logistyczna (Logistic regression, LR)

WnioskowanieStatystyczne/Weryfikacja hipotez

Durka — Tue, 08 Sep 2026 10:29:23 GMT

WnioskowanieStatystyczne/Twierdzenie Bayesa

Durka — Tue, 08 Sep 2026 10:27:00 GMT

Prawdopodobieństwo zarażenia w świetle wyników testu na HIV

WnioskowanieStatystyczne/Bonferroni

Durka — Tue, 08 Sep 2026 10:24:49 GMT

Przykład

WnioskowanieStatystyczne/Test chi2

Durka — Tue, 08 Sep 2026 10:22:47 GMT

Za dokładnie?

WnioskowanieStatystyczne/Test serii

Durka — Tue, 08 Sep 2026 10:18:38 GMT

Test serii Walda-Wolfowitza

WnioskowanieStatystyczne/Test Wilcoxona

Durka — Tue, 08 Sep 2026 10:15:28 GMT

Równoważność statystyk W_{m,n} i M_{m,n}

Sztuczne sieci neuronowe (ANN )

Durka — Tue, 08 Sep 2026 09:03:18 GMT

Liniowa Analiza dyskryminacyjna (Linear Discriminant Analysis, LDA)

WnioskowanieStatystyczne/Analiza wariancji

Durka — Tue, 08 Sep 2026 09:01:51 GMT

Rozkład F

WnioskowanieStatystyczne/wstep

Durka — Tue, 08 Sep 2026 09:01:09 GMT

WnioskowanieStatystyczne/Statystyki i estymatory

Durka — Tue, 08 Sep 2026 09:00:17 GMT

WnioskowanieStatystyczne/Rozklady

Durka — Tue, 08 Sep 2026 08:58:38 GMT

WnioskowanieStatystyczne/Momenty

Durka — Tue, 08 Sep 2026 08:55:05 GMT

Wariancja sumy i wariancja przeskalowanej zmiennej

WnioskowanieStatystyczne/Statystyki i estymatory

Durka — Tue, 08 Sep 2026 07:53:55 GMT

ciągły / dyskretny :-D

Wnioskowanie Statystyczne - wykład

Durka — Wed, 02 Sep 2026 13:21:58 GMT

Egzamin poprawkowy (pisemny)

@@ Linia 142: / Linia 142: @@
 </math></center>
-Pozostaje policzyć, ile z tych możliwości (przy ustalonych liczbach
+Pozostaje policzyć, ile z tych możliwości wygeneruje ciąg wyników, w którym będzie dokładnie <math>k</math> serii. W tym wyprowadzeniu odwracamy na chwilę role: <math>n_1</math> oznacza tu liczbę '''jedynek''', a <math>n_2</math> liczbę '''zer'''. Wynik jest od tej umowy niezależny, bo wszystkie wzory poniżej są symetryczne względem zamiany <math>n_1 \leftrightarrow n_2</math>; na końcu wracamy do oznaczeń z definicji.
-<math>n_1</math> jedynek i <math>n_2</math> zer) wygeneruje ciąg
-wyników, w którym będzie dokładnie <math>k</math> serii?

@@ Linia 43: / Linia 43: @@
 [[Plik:wh_moc-beta.png|thumb|center|600px|<figure id="fig:101"></figure>Linią przerywaną jest oznaczony rozkład jednej z możliwych hipotez
 alternatywnych.
-Na górnym wykresie zacieniowany obszar (o polu <math>\beta</math>) odpowiada prawdopodobieństwu błędnej akceptacji hipotezy alternatywnej (błąd II rodzaju, false negative). Na dolnym zacieniowany obszar odpowiada prawdopodobieństwu odrzucenia hipotezy alternatywnej, czyli '''mocy testu''' (<math>1-\beta</math>) względem tej konkretnej hipotezy alternatywnej.]]
+Na górnym wykresie zacieniowany obszar (o polu <math>\beta</math>) odpowiada prawdopodobieństwu przyjęcia hipotezy zerowej, gdy prawdziwa jest ta hipoteza alternatywna (błąd II rodzaju, false negative). Na dolnym zacieniowany obszar odpowiada prawdopodobieństwu odrzucenia hipotezy zerowej, gdy prawdziwa jest ta hipoteza alternatywna, czyli '''mocy testu''' (<math>1-\beta</math>) względem tej konkretnej hipotezy alternatywnej.]]
 ==Krzywa ROC (receiver operating characteristic)==

@@ Linia 260: / Linia 260: @@
 przedstawia poniższy rysunek.
-[[Plik:serie.png|center|thumb|600px|<figure id="fig:132"></figure>Rozkład prawdopodobieństw <math>P(k)</math> liczby serii <math>k</math> w niezależnym losowaniu 30 zer i 25 jedynek.]]
+[[Plik:serie.png|center|thumb|600px|<figure id="fig:132"></figure>Rozkład prawdopodobieństw <math>P(k)</math> liczby serii <math>k</math> w niezależnym losowaniu 25 zer i 30 jedynek.]]
 Zastosowania testów opartych na tej statystyce nie ograniczają się do

@@ Linia 114: / Linia 114: @@
 Przy założeniu losowania obu grup z tej samej populacji, wariancje średnich będą
-wynosić <math>s_{\overline{x}_{i}}^{2}=\frac{s^{2}}{N_{i}}</math> (według wzoru [[WnioskowanieStatystyczne/Statystyki_i_estymatory#label-eq:94|na estymator wariancji wartości średniej]]), więc estymatą wariancji różnicy wartości średnich będzie suma tych wariancji:
+wynosić <math>s_{\overline{x}_{i}}^{2}=\frac{s^{2}}{N_{i}}</math> (według wzoru [[WnioskowanieStatystyczne/Statystyki_i_estymatory#label-eq:94|na estymator wariancji wartości średniej]]), a ponieważ wariancje zmiennych niezależnych dodają się także dla różnicy ([[WnioskowanieStatystyczne/Momenty#label-eq:62|wariancja sumy i różnicy]]), estymatą wariancji różnicy wartości średnich będzie suma tych wariancji:
 <math>

@@ Linia 187: / Linia 187: @@
 [[Plik:wh_moc-beta.png|thumb|center|600px|<figure id="fig:101"></figure>Linią przerywaną jest oznaczony rozkład jednej z możliwych hipotez
 alternatywnych.
-Na górnym wykresie zacieniowany obszar (o polu <math>\beta</math>) odpowiada prawdopodobieństwu błędnej akceptacji hipotezy alternatywnej (błąd II rodzaju, false negative). Na dolnym zacieniowany obszar odpowiada prawdopodobieństwu odrzucenia hipotezy alternatywnej, czyli '''mocy testu''' (<math>1-\beta</math>) względem tej konkretnej hipotezy alternatywnej.]]
+Na górnym wykresie zacieniowany obszar (o polu <math>\beta</math>) odpowiada prawdopodobieństwu przyjęcia hipotezy zerowej, gdy prawdziwa jest ta hipoteza alternatywna (błąd II rodzaju, false negative). Na dolnym zacieniowany obszar odpowiada prawdopodobieństwu odrzucenia hipotezy zerowej, gdy prawdziwa jest ta hipoteza alternatywna, czyli '''mocy testu''' (<math>1-\beta</math>) względem tej konkretnej hipotezy alternatywnej.]]
 ==Krzywa ROC (receiver operating characteristic)==

@@ Linia 197: / Linia 197: @@
 fałszywej.<ref>Czyli hipotezy zerowej, w przypadku, gdy jest ona
 fałszywa, a prawdziwa jest któraś z hipotez alternatywnych.</ref>
 Na górnym wykresie rysunku <xr id="fig:101">rys. %i</xr> zacieniowano pole odpowiadające
-prawdopodobieństwu przyjęcia którejś z możliwych hipotez alternatywnych (np. mówiącej o &frac14; numeru buta). '''Moc testu''' to
+prawdopodobieństwu przyjęcia hipotezy zerowej w sytuacji, gdy prawdziwa jest któraś z możliwych hipotez alternatywnych (np. mówiąca o &frac14; numeru buta) &mdash; czyli prawdopodobieństwu błędu II rodzaju. '''Moc testu''' to
-prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy alternatywnej, zaznaczone na dolnym wykresie rysunku <xr id="fig:101"> %i</xr>.
+prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy zerowej, gdy prawdziwa jest hipoteza alternatywna, zaznaczone na dolnym wykresie rysunku <xr id="fig:101"> %i</xr>.
 [[Plik:wh_moc.png|thumb|center|600px|<figure id="fig:101"></figure>Linią przerywaną jest oznaczony rozkład jednej z możliwych hipotez
 alternatywnych dla testu według rys. <xr id="fig:100"> %i</xr>(b).
-Na górnym wykresie zacieniowany obszar odpowiada prawdopodobieństwu błędnej akceptacji hipotezy alternatywnej. Na dolnym zacieniowany obszar odpowiada prawdopodobieństwu odrzucenia hipotezy alternatywnej, czyli '''mocy testu''' względem tej hipotezy alternatywnej. Linia ciągła &mdash; statystyka testowa z rysunku <xr id="fig:100"> %i</xr> (obszary krytyczne dla testu dwustronnego).]]
+Na górnym wykresie zacieniowany obszar odpowiada prawdopodobieństwu przyjęcia hipotezy zerowej, gdy prawdziwa jest ta hipoteza alternatywna (błąd II rodzaju). Na dolnym zacieniowany obszar odpowiada prawdopodobieństwu odrzucenia hipotezy zerowej, gdy prawdziwa jest ta hipoteza alternatywna, czyli '''mocy testu''' względem tej hipotezy alternatywnej. Linia ciągła &mdash; statystyka testowa z rysunku <xr id="fig:100"> %i</xr> (obszary krytyczne dla testu dwustronnego).]]
 Jak widać, moc testu (dla danej hipotezy zerowej i poziomu istotności) zależy od
@@ Linia 212: / Linia 212: @@
 *im większy poziom istotności, tym mniejszy obszar akceptacji (czyli przedział wartości statystyki, dla których akceptujemy hipotezę zerową),
-*im mniejszy obszar akceptacji (na rysunku <xr id="fig:101"> %i</xr> między &mdash; 1,96 a 1,96), tym mniejsze prawdopodobieństwo akceptacji dla każdej hipotezy alternatywnej<ref>Niestety, również dla hipotezy zerowej...</ref> i tym większa moc testu.
+*im mniejszy obszar akceptacji (na rysunku <xr id="fig:101"> %i</xr> między &mdash; 1,96 a 1,96), tym mniejsze prawdopodobieństwo przyjęcia hipotezy zerowej przy każdej hipotezie alternatywnej<ref>Niestety, również wtedy, gdy hipoteza zerowa jest prawdziwa...</ref> i tym większa moc testu.
 *'''Ergo''': im większy poziom istotności, tym większa moc testu.

@@ Linia 120: / Linia 120: @@
 </math>
-<!--Wariancja rozkładu dwumianowego będzie równa wariancji sumy <math>n</math> zmiennych <math>x_i</math>. Ponieważ zmienne te są niezależne,-->
+Wariancja rozkładu dwumianowego będzie równa wariancji sumy <math>n</math> zmiennych <math>x_i</math>. Ponieważ zmienne te są niezależne, ich wariancje się dodają ([[WnioskowanieStatystyczne/Momenty#label-eq:62|wariancja sumy zmiennych niezależnych]]):
 <math>
 \sigma^2\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right) = n\sigma^2(x_i) = npq.
 </math>

@@ Linia 71: / Linia 71: @@
 ===Kowariancja i współczynnik korelacji===
+[[Plik:Korelacja.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:rozw2"></figure>Przykładowe wartości współczynnika korelacji dla 300 par <math>(x, y)</math> o
 różnych stopniach współzależności.
 ]]
 Miarą związku między zmiennymi <math>x</math> i <math>y</math> jest kowariancja
@@ Linia 101: / Linia 99: @@
 Por. także [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Correlation_examples2.svg ilustracje z Wikipedii].
 ===Wariancja sumy i wariancja przeskalowanej zmiennej===

@@ Linia 62: / Linia 62: @@
 Co można w tej sytuacji powiedzieć o szansach? Cóż, możemy ocenić
-prawdopodobieństwo wygranej na około 18.
+prawdopodobieństwo wygranej na około 0,18.
 "'''około'''"?

@@ Linia 18: / Linia 18: @@
 Regresję logistyczną stosujemy w przypadku, gdy zmienna zależna jest jakościowa (wyliczeniowa / czynnikowa / kategoryczna = ''categorical variable''). Nie szacujemy wtedy wartości <math>y</math> na podstawie <math>x</math>, tylko prawdopodobieństwo przynależności <math>x</math> do jednej z klas (kategorii) <math>K_i</math>.
-:<math>P(K_i | x) = \frac{1}{1 - e^ {-(a x + b)}}</math>
+:<math>P(K_i | x) = \frac{1}{1 + e^ {-(a x + b)}}</math>
 [[Plik:Lin_log_reg.png|center|frameless|600px]]
 Podobnie jak w przypadku regresji liniowej, parametry <math>a</math> i <math>b</math> możemy estymować [[WnioskowanieStatystyczne/MLF | metodą największej wiarygodności]]. Niestety w przypadku LR nie daje się znaleźć rozwiązania analitycznego, do maksymalizacji prawdopodobieństwa a posteriori stosowane są zwykle metody gradientowe.
 ==Liniowa Analiza dyskryminacyjna (''Linear Discriminant Analysis, LDA'')==

@@ Linia 172: / Linia 172: @@
 Na <xr id="fig:100">rysunku %i</xr> będzie to odpowiadać polu
-pod wykresem gęstości prawdopodobieństwa na prawo od <math>Z_\textrm{graniczne}=0,1645</math>.
+pod wykresem gęstości prawdopodobieństwa na prawo od <math>Z_\textrm{graniczne}=1,645</math>.
 Zaraz, ale dlaczego tylko na prawo? Przecież równie nieprawdopodobne

@@ Linia 196: / Linia 196: @@
 Na pierwszy rzut oka wydaje się, że skoro test wykrywa wirusa fałszywie tylko w dwu
-przypadkach na tysiąc, to szukane prawdopodobieństwo wynosi 1-0,2%<math>\approx</math> 99.8%. Jednakże, jeśli wziąć pod uwagę prawdopodobieństwo ''a priori'' (zaczątek) wynoszące 100 000/60 000 000 <math>\approx</math> 2% otrzymamy wartość bliską 50%!
+przypadkach na tysiąc, to szukane prawdopodobieństwo wynosi 1-0,2%<math>\approx</math> 99.8%. Jednakże, jeśli wziąć pod uwagę prawdopodobieństwo ''a priori'' (zaczątek) wynoszące 100 000/60 000 000 <math>\approx</math> 0,17% otrzymamy wartość bliską 50%!
 Na początek wyobraźmy sobie wynik tego testu na całej populacji: będzie on
@@ Linia 232: / Linia 232: @@
 Ponieważ <math>P(HIV|+) + P(\overline{HIV}|+) = 1</math>, dostajemy <math>P(HIV|+)
 \approx 0.455</math>, czyli ok. 45%
 ===Uaktualnianie prawdopodobnieńswa zaczątkowego czyli Bayes w barze===

@@ Linia 58: / Linia 58: @@
 ====Przykład====
-Sprawdźmy, jak poprawka Bonferroniego zadziała w opisanym powyżej przykładzie 7 grup: mamy 21 porównań, jeśli chcemy utrzymać prawdopodobieństwo co najmniej jednego błędu I rodzaju na poziomie 5%, każdy test musimy wykonać na poziomie <math>\frac{0.05}{21} \approx 0.002381</math> czyli mniej niż 0,0024%! Wtedy prawdopodobieństwo popełnienia jednego błędu I rodzaju wyniesie
+Sprawdźmy, jak poprawka Bonferroniego zadziała w opisanym powyżej przykładzie 7 grup: mamy 21 porównań, jeśli chcemy utrzymać prawdopodobieństwo co najmniej jednego błędu I rodzaju na poziomie 5%, każdy test musimy wykonać na poziomie <math>\frac{0.05}{21} \approx 0.002381</math> czyli mniej niż 0,24%! Wtedy prawdopodobieństwo popełnienia jednego błędu I rodzaju wyniesie
 <math> 1 - \left( 1 - \frac{0,05}{21} \right)^{21} \approx 0,0488 </math>
@@ Linia 70: / Linia 70: @@
 ale wtedy każdy z testów musielibyśmy wykonywać na poziomie istotności 0,00005.
 <!--Zwróćmy uwagę, że dla tysiąca testów przeprowadzonych na poziomie istotności 5% powinniśmy oczekiwać średnio pięćdziesięciu (!) błędów I rodzaju, czyli fałszywie odrzuconych hipotez zerowych.-->
 ===Poprawka Bonferroniego-Holma===

@@ Linia 104: / Linia 104: @@
 Jednak w przypadku, gdy znamy (lub co najmniej zakładamy)
 postać rozkładu, możemy już te wielkości dokładnie obliczyć.
-[[WnioskowanieStatystyczne/Rozklady-przyklady#label-eq:80|Z zależności podanej w rozdziale o rozkładzie Gaussa]] wynika, że średnio ok. 36% przypadków losowanych z rozkładu Gaussa przyjmuje wartości oddalone o więcej niż jedno odchylenie standardowe od wartości średniej. A tu wszystkie pięć wypada bliżej... Trochę podejrzane, ale to jeszcze nie dowód, gdyż 36% powinniśmy otrzymać jako  średnią wartość dopiero w odpowiednio
+[[WnioskowanieStatystyczne/Rozklady-przyklady#label-eq:80|Z zależności podanej w rozdziale o rozkładzie Gaussa]] wynika, że średnio ok. 32% przypadków losowanych z rozkładu Gaussa przyjmuje wartości oddalone o więcej niż jedno odchylenie standardowe od wartości średniej. A tu wszystkie pięć wypada bliżej... Trochę podejrzane, ale to jeszcze nie dowód, gdyż 32% powinniśmy otrzymać jako  średnią wartość dopiero w odpowiednio
 długiej serii. Spróbujmy więc poszukać innej miary wiarygodności
 dla tego przypadku.

@@ Linia 60: / Linia 60: @@
 | <strong>animacja dla 1000 </strong>
 |-
-|[[Plik:Testserii1000.png|center|thumb|600px|<figure id="fig:132"></figure>Histogram liczby serii <math>k</math> w <math>10^3</math> niezależnych losowaniach 30 zer i 25 jedynek.]]
+|[[Plik:Testserii1000.png|center|thumb|600px|<figure id="fig:132"></figure>Histogram liczby serii <math>k</math> w <math>10^3</math> niezależnych losowaniach 25 zer i 30 jedynek.]]
 |}
-[[Plik:Testserii.png|center|thumb|600px|<figure id="fig:132"></figure>Histogram liczby serii <math>k</math> w <math>10^5</math> niezależnych losowaniach 30 zer i 25 jedynek.]]
+[[Plik:Testserii.png|center|thumb|600px|<figure id="fig:132"></figure>Histogram liczby serii <math>k</math> w <math>10^5</math> niezależnych losowaniach 25 zer i 30 jedynek.]]
-[[Plik:Testserii_10.9.png|center|thumb|600px|<figure id="fig:132"></figure>Histogram liczby serii <math>k</math> w <math>10^9</math> niezależnych losowaniach 30 zer i 25 jedynek.]]
+[[Plik:Testserii_10.9.png|center|thumb|600px|<figure id="fig:132"></figure>Histogram liczby serii <math>k</math> w <math>10^9</math> niezależnych losowaniach 25 zer i 30 jedynek.]]
-[[Plik:Testserii_10.9.log.png|center|thumb|600px|<figure id="fig:132"></figure>Histogram liczby serii <math>k</math> w <math>10^9</math> niezależnych losowaniach 30 zer i 25 jedynek (skala logarytmiczna).]]
+[[Plik:Testserii_10.9.log.png|center|thumb|600px|<figure id="fig:132"></figure>Histogram liczby serii <math>k</math> w <math>10^9</math> niezależnych losowaniach 25 zer i 30 jedynek (skala logarytmiczna).]]
 <!--
-[[Plik:Testserii6.png|center|thumb|600px|<figure id="fig:132"></figure>Histogram liczby serii <math>k</math> w <math>10^6</math> niezależnych losowaniach 30 zer i 25 jedynek.]]
+[[Plik:Testserii6.png|center|thumb|600px|<figure id="fig:132"></figure>Histogram liczby serii <math>k</math> w <math>10^6</math> niezależnych losowaniach 25 zer i 30 jedynek.]]
 -->

@@ Linia 119: / Linia 119: @@
 ==Równoważność statystyk <math>W_{m,n}</math> i <math>M_{m,n}</math>==
-Dla każdego elementu drugiej próby <math>x_i</math> jego ranga jest
+Dla każdego elementu pierwszej próby <math>x_i</math> jego ranga jest
 równa liczbie poprzedzających go elementów (z obu prób) powiększonej o
 jeden.  Z kolei w <math>i</math>-tym składniku sumy <xr id="eq:135">(%i)</xr> zliczamy
@@ Linia 127: / Linia 127: @@
 uzyskać "pełną" rangę, musimy je dodać: dla <math>x_i</math> będzie
 ich <math>i-1</math>.<ref>Przyjmujemy w tym miejscu, że
-<math>x_i</math> są uporządkowane rosnąco.</ref> Ostatecznie w <xr id="eq:135">(%i)</xr> do pełnej sumy rang brakuje <math>\sum\limits_{i=1}^n
+<math>x_i</math> są uporządkowane rosnąco.</ref> Ostatecznie w <xr id="eq:135">(%i)</xr> do pełnej sumy rang brakuje <math>\sum\limits_{i=1}^m
 i</math>. Ponieważ
 <math>

@@ Linia 26: / Linia 26: @@
 ==Liniowa Analiza dyskryminacyjna (''Linear Discriminant Analysis, LDA'')==
-Do każdego punktu danych (potencjalnie wielowymiarowych) mamy przypisaną przynależność do jednej z 2 (w klasycznym podejściu Fischera z 1936r.) lub więcej grup/klas. Założenia o danych wejściowych: rozkład normalny, [https://pl.wikipedia.org/wiki/Homoskedastyczno%C5%9B%C4%87 homoskedastyczność], niezależność.
+Do każdego punktu danych (potencjalnie wielowymiarowych) mamy przypisaną przynależność do jednej z 2 (w klasycznym podejściu Fishera z 1936r.) lub więcej grup/klas. Założenia o danych wejściowych: rozkład normalny, [https://pl.wikipedia.org/wiki/Homoskedastyczno%C5%9B%C4%87 homoskedastyczność], niezależność.
 Wykorzystywana jest do znalezienia liniowej kombinacji cech, które najlepiej rozróżniają klasy.

@@ Linia 22: / Linia 22: @@
 \frac{f_{1}}{f_{2}}F\right) ^{-\frac{f_{1}+f_{2}}{2}}
 </math>
-[[Plik:rozklad_f.png|thumb|center|<figure id="fig:1"></figure>Rozkład <math>F</math> Fischera dla przykładowych liczb stopni swobody <math>f_1</math> i <math>f_2</math>.]]
+[[Plik:rozklad_f.png|thumb|center|<figure id="fig:1"></figure>Rozkład <math>F</math> Fishera dla przykładowych liczb stopni swobody <math>f_1</math> i <math>f_2</math>.]]
 Dla próby z rozkładu normalnego wielkość

@@ Linia 13: / Linia 13: @@
 statystyka ma odpowiedzieć. Ponadto działają często w sytuacjach, w których tradycyjne metody analityczne zawodzą (jak np. bootstrap w szacowaniu błędów złożonych funkcji).
-Ideę testów permutacyjnych po raz pierwszy zaproponował R. A. Fischer w latach 1930-tych jako teoretyczny argument za testem [[WnioskowanieStatystyczne/Test_t|<math>t</math> Studenta]] (student to w tym przypadku pseudonim [https://pl.wikipedia.org/wiki/William_Sealy_Gosset Williama Gosseta]); symulacje [[WnioskowanieStatystyczne/Z_komputerem#.22Prawdziwe.22_Monte_Carlo|Monte Carlo]] ([[wikipedia:Stanisław Ulam|Stanisław Ulam]]) zaczęto stosować po II wojnie światowej, gdy pojawiły się pierwsze komputery. Idee repróbkowania ([[wikipedia:Julian L Simon|Julian L. Simon]]) i bootstrapu ([[wikipedia:Bradley Efron|Bradley Efron]]) w dzisiejszej postaci sformułowano w latach 80. XX wieku, jednak praktyczne możliwości wykorzystania tych metod na szerszą skalę pojawiły się dopiero w latach 90. dzięki rozwojowi technologii komputerowej.
+Ideę testów permutacyjnych po raz pierwszy zaproponował R. A. Fisher w latach 1930-tych jako teoretyczny argument za testem [[WnioskowanieStatystyczne/Test_t|<math>t</math> Studenta]] (student to w tym przypadku pseudonim [https://pl.wikipedia.org/wiki/William_Sealy_Gosset Williama Gosseta]); symulacje [[WnioskowanieStatystyczne/Z_komputerem#.22Prawdziwe.22_Monte_Carlo|Monte Carlo]] ([[wikipedia:Stanisław Ulam|Stanisław Ulam]]) zaczęto stosować po II wojnie światowej, gdy pojawiły się pierwsze komputery. Idee repróbkowania ([[wikipedia:Julian L Simon|Julian L. Simon]]) i bootstrapu ([[wikipedia:Bradley Efron|Bradley Efron]]) w dzisiejszej postaci sformułowano w latach 80. XX wieku, jednak praktyczne możliwości wykorzystania tych metod na szerszą skalę pojawiły się dopiero w latach 90. dzięki rozwojowi technologii komputerowej.
 Nowe metody oparte są na &bdquo;brutalnej mocy&rdquo; obliczeniowej. Kilkadziesiąt lat temu fakt ten uniemożliwiał ich praktyczne zastosowanie (pewnie dlatego nie zawracano sobie podówczas głowy ich wymyślaniem). Kilkanaście lat temu stanowiło to poważną przeszkodę w ich rozpowszechnieniu. Dzisiaj stosowanie tych metod może Tobie co najwyżej uświadomić, że komputer na Twoim biurku ma w sobie więcej mocy obliczeniowej niż maszyna do pisania, którą na co dzień zastępuje.

@@ Linia 101: / Linia 101: @@
 <math>\sigma ^{2}(x_{i})=\sigma^{2}(x)</math>, czyli
-<equation id="eq:91">
+<equation id="eq:91a">
 <math>\displaystyle
 { \sigma ^{2}(\overline{x})=\frac{1}{n^{2}}\underset{i=1}{\overset{n}{

@@ Linia 113: / Linia 113: @@
 pochodną dystrybuanty
-<equation id="eq:59">
+<equation id="eq:59a">
 <math>
 p(x)=\frac{d F(x)}{dx}=\frac{P[x\leq X\leq x+dx]}{dx}.

@@ Linia 36: / Linia 36: @@
 ==Estymator wartości oczekiwanej==
-Dla rozkładów ciągłych wartość oczekiwana <math>\displaystyle
+Dla rozkładów dyskretnych wartość oczekiwana <math>\displaystyle
 \mu=E(x)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}x_{i}P(X=x_{i})
 </math>
-Dla rozkładów dyskretnych wartość oczekiwana <math>\displaystyle
+Dla rozkładów ciągłych wartość oczekiwana <math>\displaystyle
 \mu=E(x)=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}x p(x)dx
 </math>

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
 [[Category:Przedmioty specjalizacyjne]]
 <!-- program ćwiczeń:
 https://docs.google.com/document/d/1PHoVNlKhBkOVmkJzgvm7Tu7nF-aXlhWAEXTJbv5qqQY/edit -->
 =Wnioskowanie statystyczne (wykład)=
 '''UWAGA: wymagane zaliczenie Technologii Informacyjnych i Komunikacyjnych z ćwiczeniami z programowania w Pythonie w wymiarze 45 godzin ćwiczeń'''
@@ Linia 73: / Linia 84: @@
 Ocena końcowa z przedmiotu = średnia ocen z ćwiczeń i z wykładu, pod warunkiem zaliczenia ćwiczeń '''i''' wykładu (koniunkcja warunków).
 ==Organizacja egzaminu==
 * nie wychodzimy z sali w trakcie egzaminu — bardzo proszę o przygotowanie się pod tym kątem :)