Tekst źródłowy strony FizykaII OO/Klasyczna teoria dyspersji

__NOTOC__
==Pokazy==
#Dielektryk w jednorodnym polu elektrycznym: elektroskop, płyta dielektryczna, maszyna elektrostatyczna.
#Rozszczepienie światła białego w pryzmacie.
#Bieg światła monochromatycznego  ( laserowego) w pryzmacie.

==Dielektryk w polu elektrycznym kondensatora płaskiego==

<math>E_0</math> &mdash; pole bez dielektryka

<math>E</math> &mdash; pole z dielektrykiem

<math>\varepsilon</math>  &mdash; stała dielektryczna (względna przenikalość elektryczna)

<math>\varepsilon E= E_0</math>

<math> E_0= \frac{\sigma}{\varepsilon_0}</math>

<math>\sigma</math> &mdash; gęstość powierzchniowa ładunków swobodnych na okładkach kondensatora

<math>\sigma_d</math> &mdash; gęstość powierzchniowa ładunku indukowanego w dielektryku

<math>\sigma_{eff}</math> &mdash;  gęstość powierzchniowa efektywna, która daje pole wypadkowe ''E''

<math> E = \frac{\sigma_{eff}}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma-\sigma_d}{\varepsilon_0} = E_0-\frac{\sigma_d}{\varepsilon_0}</math>

<math>E_0 = E+\frac{\sigma_d}{\varepsilon_0} = E_1+\frac{\sigma_s}{\varepsilon_0E}</math>

Gęstość powierzchniowa ładunku indukowanego jest proporcjonalna do natężenia pola, zatem wielkość w nawiasie jest stała i równa stałej dielektrycznej <math>\varepsilon</math>

<math>\frac{\sigma}{E\varepsilon_0}=\chi</math> &mdash; podatność dielektryczna

<math>\varepsilon = 1+\chi</math> 

''P'' &mdash; wektor polaryzacji związany z ładunkiem indukowanym, równy co do wartości <math>\sigma_d</math>.

<math>E=E_0-\frac{P}{\varepsilon_0}</math>

===Interpretacja drobinowa===

Pole elektryczne powoduje przesunięcie chmury elektronowej i cząsteczka (atom)  staje się dipolem elektrycznym. Elektryczny moment dipolowy

<math> p_e = qx</math>,

''x'' &mdash; odległość rozsunięcia ładunków

<math> N p_e = P</math> &mdash; wartość wektora polaryzacji

''N'' &mdash; liczba atomów w jednostce objętości

==Klasyczna teoria dyspersji==

Współczynnik załamania zgodnie z teoria Maxwella wynosi

<math> n = \sqrt{\mu\varepsilon}</math>,

<math>\varepsilon</math> &mdash; stała dielektryczna substancji

<math>\mu</math>  &mdash; przenikalność magnetyczna substancji

Przyjmijmy <math>\mu = 1</math>

Wyniki doświadczenia pokazują, że współczynnik silnie zależy od częstości. Zależność inny ma charakter dla fal długich i krótkich (krzywa dyspersji).

<math> n = A+\frac{B}{\lambda^2}+\frac{C}{\lambda^4}</math>

<math>\frac{dn}{d\lambda}=-\frac{2b}{\lambda^3}</math>

Dyspersja zmienia się, jak odwrotność trzeciej potęgi długości fali
Mała długość fali <math>\rightarrow</math> duża zmiana dyspersji.

===Dyspersja anomalna===
występuje wtedy, gdy w materiale dla określonej częstości mamy absorpcję

ze podręcznika do Fizyki III prof. J.Gintera:
<blockquote>
Wyniki doświadczalne dla fluorku sodu:
#w częstości <math>\omega_0=2\pi\nu_0=\unit{4,5\cdot 10^{13}}{Hz}</math> ( podczerwień) fluorek sodu silnie pochłania promieniowanie.
#Poniżej tej częstości współczynnik załamania rośnie, osiągając wartość większą od 4.
#W częstości <math>\omega_0</math> następuje skokowy spadek współczynnika załamania. Najmniejsza jego wartość jest równa 0,2. Ze wzrostem   wartość ''n'' rośnie.
#W obszarze widzialnym przebieg prawie płaski. W nadfiolecie zaczyna się znowu wzrost dla częstości <math>\unit{6\cdot 10^{16}}{Hz}</math>, gdzie znów jest absorpcja.

Wyniki doświadczeń dla par sodu.

W zakresie widzialnym linia absorpcyjna dla 589 nm &mdash; żółta linia sodu.
</blockquote>

==W ciele wykazującym dyspersję atomy modelujemy jako oscylatory==
*Drgania jąder w kryształach jonowych lub spolaryzowanych (NaCl)
*Drgania chmur elektronowych  (Na)

===Model===
Chmura elektronowa została wychylona przez pole ''E'' i jądro stara się przywrócić stan równowagi. Działa siła proporcjonalna do wychylenia:
<math>F_1= -kx</math>
<math>F_2= qE</math>

<center><math>F=-kx+qE</math></center>

W stanie równowagi ''F=0''.

<math>kx_0 = qE</math>

<math>x_0=\frac{qE}{k}</math>

<math>x_0 q =\frac{q^2E}{k} = p_e</math>

''N'' &mdash; liczba atomów w jednostce objętości, <math>Np_e= P</math> &mdash; wektor polaryzacji

<math>P=Np_e=\frac{Nq^2}{k}E</math>

<math>P=\varepsilon_0 \chi E = \frac{Nq^2E}{k}</math>

<math> \chi = \frac{Nq^2}{k\varepsilon_0}</math>

<math>\varepsilon = 1+\frac{Nq^2}{k\varepsilon_0}</math>

==Atom w zmiennym polu elektrycznym==
<math> E(t) = E_m\cos\omega t</math>

Równanie ruchu <math>F=am</math> m masa chmury elektronowej

<math> am = -kx+qE_m\cos\omega t</math>

<math>a = -\frac{kx}{m} +\frac{qE_m}{m}\cos\omega t </math> &mdash;  równanie różniczkowe drugiego rzędu

<math>a = -\frac{d^2x}{dt^2} </math>

Podstawiamy <math> \omega_0^2 = \frac{k}{m}</math>

<math>\frac{d^2x}{dt^2}+ \omega_0^2x = \frac{qE_m}{m}\cos\omega t </math>

Podstawiam rozwiązanie równania w postaci <math> x =A\cos \omega t</math>

<math> a\omega^2\cos\omega t +\omega_0^2 A \cos\omega t = \frac{q}{m}\cos\omega t </math>

<math>A= \frac{qE_m}{m\left(\omega^2_0- \omega^2\right)}</math>

===Dyskusja===
*Dla <math> \omega\rightarrow 0 \ A_0=\frac{qE_m}{mw_0^2} = \frac{qE_m}{k}</math> &mdash; nie ma fali, sytuacja statyczna.
*Dla <math> \omega\rightarrow \omega_0\ A\rightarrow \infty</math> &mdash; przez dodanie wartości &mdash; drgania wybuchają
*<math> \omega>\omega_0</math> &mdash; faza wychylenia przeciwna do pola
===Przenikalność dielektryczna===
<math>P(t) = \frac{q^2E_m N \cos\omega t}{m\left(\omega_0^2-\omega^2\right)}</math>

<math>\chi = \frac{q^2E_m }{m\varepsilon_0\left(\omega_0^2-\omega^2\right)}</math>

<math>\varepsilon(\omega)=1+\chi = 1+\frac{q^2E_m }{m\varepsilon_0\left(\omega_0^2-\omega^2\right)}</math>

<math> n(\omega)=\sqrt{\varepsilon(\omega)}</math>
====Dyskusja stałej dielektrycznej====
*<math>\omega\rightarrow 0</math> &mdash; wzór statyczny.
*Dla <math>\omega>\omega_0</math> &mdash; <math>\varepsilon(\omega)</math> mniejsze od  1.
*Dla <math>\omega<\omega_0</math> &mdash; <math>\varepsilon(\omega)</math> osiąga duże wartości.

==Bieg światła monochromatycznego w pryzmacie ==
[[Plik:wyklad z fizyki II dla oo 6 rys 1.png|thumb|Przejście światła monochromatycznego przez pryzmat]]

==Rozszczepienia światła białego w pryzmacie==
Szkło wykazuje dyspersję. Współczynnik załamania zależy od częstości. W efekcie każda barwa załamuje się pod innym kątem. Rozszczepienie na barwną wstęgę ma miejsce tam, gdzie promień światła białego wchodzi do pryzmatu (na pierwszej ścianie).