Tekst źródłowy strony FizykaI FMiN/Kinematyka

__NOTOC__

<!--
{{#mpdftags: htmlpageheader name="MyHeader1" html="1" | pagefooter name="MyFooter1" content-left="{DATE j-m-Y}" content-center="" content-right="{PAGENO}/{nbpg}" footer-style="font-family: serif; font-size: 8pt; font-weight: bold; font-style: italic; color: #000000;" }}

{{#mpdftags: pageheader name="MyHeader1" content-left="" content-center="h2 ttt h2" content-right="" header-style="font-family: serif; font-size: 10pt; font-weight: bold; color: #000000;" line="on" | pagefooter name="MyFooter1" content-left="{DATE j-m-Y}" content-center="" content-right="{PAGENO}/{nbpg}" footer-style="font-family: serif; font-size: 8pt; font-weight: bold; font-style: italic; color: #000000;" }}

{{#mpdftags: setpageheader name="MyHeader1" value="on" show-this-page="1" | setpagefooter name="MyFooter1" value="on" }}
-->


<span style="font-size:40px">Kinematyka: opis ruchu</span><br><br>

==Pojęcia podstawowe==

===<u>'''Punkt materialny'''</u>===

Ciało, którego rozmiary można w danym zagadnieniu zaniedbać.

Zazwyczaj przyjmujemy, że punkt materialny powinien być dostatecznie mały. 
Nie jest to jednak konieczne! Przykłady: wagon kolejowy na torach albo 
"wózek" na torze powietrznym. Ważne jest, żeby ciało nie miało
dodatkowych "stopni swobody"  (np. obroty, drgania własne, stany
wzbudzone). 

Położenie punktu materialnego całkowicie określa jego 
<span style="color:red">"stan"</span>.

<span style="color:red"><math>\Rightarrow</math></span> pojęcie punktu
materialnego umożliwia prosty opis wielu sytuacji fizycznych.

Naogół przyjmujemy, że punkt materialny obdarzony jest masą.


===<u>'''Ruch'''</u>===

Zmiana <span style="color:red">położenia</span> ciała względem wybranego 
<span style="color:red">układu odniesienia</span>.

Z punktu widzenia fizyki nie możemy nic powiedzieć o ruchu
obserwowanego ciała póki nie odniesiemy go do jakiegoś innego
obiektu. Oczywiście sami możemy uznać się za właściwy układ
odniesienia, ale jest to wybór, który może istotnie wpłynąć na
opisywany ruch&hellip;

===<u>'''Układ odniesienia'''</u>===

Musimy wybrać ciało, które potraktujemy jako "punkt odniesienia".
Najczęściej jest nim Ziemia&hellip;
Układ odniesienia można też zdefiniować określając
jego położenie <span style="color:green">(lub ruch) </span>
względem wybranego ciała lub grupy ciał.

Przykład:
* układ środka masy zderzających się cząstek
* układ związany ze środkiem Galaktyki

===<u>'''Układ współrzędnych'''</u>===

[[image:polozenie.png|frame|Układ współrzędnych]]

Służy do określenia położenia ciała w danym układzie odniesienia.

Położenie możemy zapisać na wiele różnych sposobów:
<ul>
<li> układ współrzędnych kartezjańskich:
<math>\begin{array}{rcl}
\vec{r} & = & x\cdot \vec{i}_x
 + y\cdot \vec{i}_y + z\cdot \vec{i}_z \\
        & \equiv & (x,y,z)
\end{array}</math>
<li> układ współrzędnych biegunowych:
<math>\begin{array}{rcl}
\vec{r} & = & (r,\Theta,\phi)
\end{array}</math>
<li> układ współrzędnych walcowych:
<math>\begin{array}{rcl}
\vec{r} & = & (l,\phi,z)
\end{array}</math>
</ul>

===<u>'''Tor ruchu'''</u>===

[[image:tor.png|frame|Tor ruchu]]

Opisuje zmianę położenia ciała w czasie.
W ogólnym przypadku tor zapisujemy w tzw. postaci parametrycznej:

<math>\begin{array}{rcl}
x \!\! & = & \!\! x(t) \;\;\;\; y  =  y(t)  \;\;\;\;
z  =  z(t) \\[5mm]
\vec{r} & = & \left( x(t),y(t),z(t) \right) \; = \; \vec{r}(t)
\end{array}</math>

Wektor położenia ciała <math>\vec{r}</math> 
<span style="color:green">(wszystkie jego współrzędne)</span>
wyrażamy jako <span style="color:blue">funkcje</span> czasu.

W szczególnych przypadkach możliwe jest odwrócenie jednej z zależności,
na przykład:

<math>\begin{array}{rcl}t &=& F(x)\end{array}</math>  

Gdy czas wyrazimy jako <span style="color:red">funkcję</span> współrzędnej
możemy uzyskać postać uwikłaną toru:

<math>\begin{array}{rcl}
y \!\! & = & \!\!y(F(x)) = y(x) \;\;\;\;
z  =  z(x) \\[5mm]
\vec{r} & = & \left( x,y(x),z(x) \right)
\end{array}</math>

===<u>'''Funkcje'''</u>===

W fizyce bardzo często staramy się opisać <span style="color:blue">zależności</span> 
pomiędzy różnymi <span style="color:blue">wielkościami</span> w postaci <span style="color:red">funkcyjnej</span>.
Na ogół do oznaczania funkcji używamy <span style="color:fuchsia">symbolu</span> 
odpowiadającego danej <span style="color:blue">wielkości</span> fizycznej, np.:
* droga &mdash; <span style="color:red">s</span>,  
* wysokość &mdash; <span style="color:red">h</span>,  
* prędkość &mdash; <span style="color:red">v</span>
  
Postać funkcyjna zależy jednak od wyboru <span style="color:red">argumentu</span> 
funkcji! W przypadku opisu toru należy zauważyć, że 
<math>y(t)</math> i <math>y(x)</math> to dwie różne funkcje(!) 
choć opisują tą samą wielkość fizyczną.

===<u>'''Prędkość średnia'''</u>===

[[image:predkosc1.png|frame|Prędkość średnia]]

W odstępie czasu: 

<math>\begin{array}{rcl}\Delta t_{12} & = &  t_2 - t_1 \end{array}</math>

punkt materialny przemieścił się o:

<math>\begin{array}{rcl}\Delta \vec{r}_{12} & = & 
         \vec{r}_2 - \vec{r}_1 =  \vec{r}(t_2) - \vec{r}(t_1) \end{array}</math>

Prędkość średnią definiujemy jako

<math>\begin{array}{rcl} \vec{V}^{^\textrm{(śr)}}_{12} & = & 
             \frac{\Delta \vec{r}_{12}}{\Delta t_{12}} \end{array}</math>

===<u>'''Prędkość chwilowa'''</u>===

Praktycznie każdy pomiar prędkości musi trwać skończony okres czasu.
Prawie zawsze mierzymy więc prędkość średnią.

[[image:predkosc2.png|frame|Prędkość chwilowa]]

Pojęcie prędkości chwilowej wprowadzamy jako graniczną wartość 
prędkości średniej dla nieskończenie krótkiego czasu pomiaru, 
<math>\Delta t \rightarrow 0</math>: 

<math>\begin{array}{rcl} \vec{v} & = & 
\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\; \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} \end{array}</math>

Matematycznie odpowiada to definicji pochodnej:
<math>\begin{array}{rcl} 
\vec{v} & = & \frac{d \vec{r}}{d t}  \;\; = \;\; \dot{\vec{r}} 
  \;\;   = \;\; \frac{d x}{d t}\cdot \vec{i}_x + 
 \frac{d y}{d t}\cdot \vec{i}_y + 
 \frac{d z}{d t}\cdot \vec{i}_z \;\;
  = \;\; v_x \cdot \vec{i}_x + 
         v_y \cdot \vec{i}_y + 
         v_z \cdot \vec{i}_z  \end{array}</math>
 
Pochodna wektora <math>\equiv</math> wektor pochodnych składowych tego wektora 

Wartość prędkości:
<math>\begin{array}{rcl}  v & = & | \vec{v}  | \;\; = \;\;  
\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 } \end{array}</math>

Wektor prędkości chwilowej jest zawsze <span style="color:red"> styczny do toru</span>!

===<u>'''Przyspieszenie średnie'''</u>===

[[image:przyspieszenie1.png|frame|Przyspieszenie średnie]]

W odstępie czasu <math>\Delta t_{12}  =   t_2 - t_1 </math> prędkość zmienia się o: 

<math>\Delta \vec{V}_{12} =  \vec{V}_2 - \vec{V}_1 =  \vec{V}(t_2) - \vec{V}(t_1)</math>

Przyspieszenie średnie definiujemy (podobnie jak prędkość średnią) jako stosunek
przyrostu prędkości do odstępu czasu:

<math> \vec{a}^{^\textrm{(śr)}}_{12}  = \frac{\Delta \vec{V}_{12}}{\Delta t_{12}}</math>

===<u>'''Przyspieszenie chwilowe'''</u>===
 
[[image:przyspieszenie2a.png|frame|Przyspieszenie chwilowe]]

Podobnie jak w przypadku prędkości, przyspieszenie chwilowe definiujemy jako
graniczną wartość przyspieszenia średniego dla nieskończenie krótkiego przedziału 
czasu: 

<math>\begin{array}{rcl} \vec{a} & = & 
\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\; \frac{\Delta \vec{V}}{\Delta t} 
\;\; = \;\;  \frac{d \vec{V}}{d t} \;\;  = \;\; \dot{\vec{V}}\end{array}</math>

Przyspieszenie chwilowe jest pochodną po czasie prędkości chwilowej:

<math>\begin{array}{rcl} \vec{a} =  \frac{d \vec{V}}{d t} 
\!\! & = & \!\! \frac{d V_x}{d t}\cdot \vec{i}_x + 
 \frac{d V_y}{d t}\cdot \vec{i}_y + 
 \frac{d V_z}{d t}\cdot \vec{i}_z \\
 & = &  
         a_x \cdot \vec{i}_x + 
         a_y \cdot \vec{i}_y + 
         a_z \cdot \vec{i}_z \end{array}</math>


Przyspieszenie opisuje "tempo" zmian prędkości&hellip;

==Klasyfikacja ruchów==

===<u>'''Ze względu na tor'''</u>===

Tor ruchu ciała może zakreślać dowolną krzywą w przestrzeni. 
W wielu zagadnieniach mamy jednak do czynienia z torem, który jest
dodatkowo ograniczony przez symetrię zagadnienia lub warunki początkowe.
Najchętniej zajmujemy się właśnie takimi przypadkami.
<span style="color:green">W szczególności</span> tor może być:
<ul>  
<li> <span style="color:blue">prostoliniowy</span>, odbywający się wzdłuż lini prostej
Zawsze możemy tak wybrać układ współrzędnych aby 
: <math>\begin{array}{rcl}  y(t)  =  z(t)  =  0  &  \Rightarrow & 
                \vec{r}(t)  =  \vec{i}_x \cdot x(t) \end{array}</math>
<li> <span style="color:blue">płaski</span>,  odbywający się w ustalonej płaszczyźnie
Możemy tak wybrać układ współrzędnych aby 
: <math>\begin{array}{rcl}   z(t)  =  0  &  \Rightarrow & 
  \vec{r}(t)  =  \vec{i}_x \cdot x(t) \; + \; \vec{i}_y \cdot y(t)\end{array}</math>
<li> <span style="color:red">po okręgu</span>
</ul>

===<u>'''Ze względu na przyspieszenie'''</u>===

* <span style="color:blue">jednostajny</span> 
: &rArr; wartość prędkości pozostaje stała: <math>| \vec{V} |</math> = const
* <span style="color:blue">jednostajnie przyspieszony</span> 
: &rArr; przyspieszenie jest stałe: <math> \vec{a} </math> = const

==Ruch jednostajny prostoliniowy==

Najprostszy możliwy przypadek ruchu:
{| cellspacing="10"
| * Jednostajny:  <span style="color:red"><math>| \vec{V} |</math> = const</span>
| rowspan=2  valign="center" |  <math>\left. ^{^{^{^{\;}}}} \right\} \;\; \Leftrightarrow \;\;  \vec{a}\; = \;0 </math> 
|-
| * Prostoliniowy: <span style="color:red"><math>\frac{\vec{V}}{V}</math> = const</span>
|} 

[[image:vint0.png|thumb|right|Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym]]

Wektor prędkości jest stały (nie zmienia wartości ani kierunku) czyli
nie ma przyspieszenia.

Przyjmując, że ruch odbywa się wzdłuż osi X:

<math>\begin{array}{rcl} V = \frac{dx}{dt} & = &  const \\
          & \Rightarrow  & x =  x_0 +  V \cdot ( t - t_0 )
        \;\;\;\;\;\;\;\;   x_0 = x(t_0) \end{array}</math>

Położenie (przebyta droga) jest liniową funkcją czasu.

Drogi przebyte w równych odcinkach czasu są sobie równe.

==Ruch prostoliniowy==
===<u>'''Zależność drogi od prędkości'''</u>===
  
[[image:vint1.png|thumb|right|Wyznaczanie drogi z zależności prędkości od czasu]]

Przypadek ogólny ruchu prostoliniowego:  
* znamy prędkość  <span style="color:blue"><math>V(t)</math></span> 
* czy możemy wyznaczyć zależność <span style="color:red">położenia od czasu</span> ?
 
Możemy sumować przesunięcia <span style="color:blue"><math>dx</math></span> 
po krótkich przedziałach czasu <span style="color:blue"><math>dt</math></span>.

Przesunięcie ciała w czasie 
<span style="color:red"><math>\Delta t = t - t_0</math></span>:

<math>\begin{array}{rcl} 
\Delta x & = & \sum_{dt} dx \; = \; \sum_{dt} V dt 
\end{array}</math>

Przechodząc do granicy <span style="color:red"><math>dt \rightarrow 0</math></span>:

<math>\begin{array}{rcl} 
\Delta x &  =  &  \int\limits_{t_0}^{t} V \; dt 
\end{array}</math>

Zależność położenia od czasu wyraża się przez 
<span style="color:red">całkę oznaczoną</span>.
Pojęcie całki oznaczonej ma bardzo prostą interpretację graficzną: jest to <span style="color:blue">pole pod krzywą</span>  zależności prędkości od czasu.

==Ruch jednostajnie przyspieszony==

Jednostajnie przyspieszony zdefiniowany jest poprzez warunek:  
<span style="color:red"><math> \vec{a} </math> = const</span>

Przyspieszenie opisuje zależność prędkości od czasu. 
Jeśli przyspieszenie jest stałe to prędkość musi rosnąć liniowo z czasem:

<math>\begin{array}{rcl} \vec{a} = \frac{d\vec{V}}{dt} & 
        \Rightarrow & d\vec{V} = \vec{a} \; dt \\
     &  \Rightarrow & 
   \vec{V} =  \vec{V}_0 + \int\limits_{t_0}^{t} \vec{a}\; dt  \\[3mm]
      &  & \vec{V} =  \vec{V}_0 +  \vec{a} \cdot ( t - t_0 )
        \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;   \vec{V}_0 = \vec{V}(t_0) \end{array}</math>

===<u>'''Ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy'''</u>===

Jaki warunek musi być spełniony, żeby ruch jednostajnie przyspieszony 
był prostoliniowy?

Ruch jest prostoliniowy wtedy gdy kierunek prędkości jest stały:

{| cellspacing="10"
| <math>\frac{\vec{V}}{V}</math> = const
| <math>\Leftrightarrow</math>
| <math> \vec{V}\; || \;\vec{a}</math> = const  
|}

Aby ruch był prostoliniowy przyspieszenie musi mieć kierunek 
zgodny z kierunkiem prędkości.

Ruch prostoliniowy można opisać jako ruch jednowymiarowy wybierając 
oś układu odniesienia wzdłuż kierunku ruchu

[[image:aint.png|thumb|center|Przyspieszenie w ruchu jednostajnie przyspieszonym]]

Prędkość jest liniową funkcją czasu:

<math>\begin{array}{rcl} V  & = &   V_0 + \int\limits_{t_0}^{t} a\; dt  \;\;
           =   \;\; V_0 +  a \cdot ( t - t_0 ) \end{array}</math>


[[image:vint.png|thumb|center|Prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym]]

Położenie jest kwadratową funkcją czasu:

<math>\begin{array}{rcl}  x  & = & x_0 + \int\limits_{t_0}^{t} V\; dt  \;\;
  = \;\; x_0 + 
 \int\limits_{t_0}^{t} \left[V_0  +  a \cdot ( t - t_0 )\right] \; dt  \\[5mm]
  & = &  x_0 +  V_0 \cdot ( t - t_0 ) 
                 + \frac{1}{2} \; a \cdot ( t - t_0 )^2  \\[3mm]
  & = &  x_0 + \frac{1}{2}(V +  V_0) \cdot ( t - t_0 ) 
\end{array}</math>

Przyjmijmy, że w chwili <span style="color:red"><math>t_0=0</math></span> 
ciało spoczywa: 
: <span style="color:red"><math>V_0 = V(t_0) = 0</math></span>.

Mierzymy drogę jaką ciało przebywa w równych przedziałach czasu:
: <math>\begin{array}{rcl}\Delta t_n & = & t_n - t_{n-1} \;\; = \;\; \Delta t \\[3mm]
      &  \Rightarrow &  t_n \;\; = \;\; n \cdot \Delta t \end{array}</math>

Przebyta droga:
: <math>\begin{array}{rcl} x(t) & = & \frac{1}{2} \; a \cdot t^2 \\[3mm]
 \Delta x_n & = & x(t_n) - x(t_{n-1}) \;\; = \;\; 
         \frac{1}{2} \; a \cdot \left( t_n^2 - t_{n-1}^2 \right) \\[3mm]
  & = & \frac{1}{2} \; a \cdot \Delta t^2 \left( n^2 - (n-1)^2 \right) 
 \;\; = \;\; \frac{1}{2} \; a \cdot \Delta t^2 \cdot (2n -1 )\end{array}</math>

Uzyskujemy uniwersalną relację opisującą ruch jednostajnie przyspieszony
prostoliniowy:
:Drogi w kolejnych odcinkach czasu mają się do siebie jak kolejne liczby nieparzyste: 
::<math>\begin{array}{rcl}x_1 : x_2 : x_3 : \ldots & = & 1 : 3 : 5 : 7 : \ldots \end{array}</math>

===<u>'''Przypadek ogólny'''</u>===

W ogólnym przypadku ruch jednostajnie przyspieszony nie jest prostoliniowy.

<math>\begin{array}{rcl} \vec{V} & = & \vec{V}_0 +  \vec{a} \cdot ( t - t_0 ) \\
      \vec{r}  & = & \vec{r}_0 +  \vec{V}_0 \cdot ( t - t_0 ) 
                 + \frac{1}{2} \; \vec{a} \cdot ( t - t_0 )^2 \end{array}</math>

Ruch będzie się odbywał w <span style="color:red">płaszczyźnie</span> przechodzącej
przez <span style="color:red"><math>\vec{r}_0</math></span> i wyznaczonej 
przez kierunki wektorów
<span style="color:red"><math>\vec{V}_0</math></span> i  
<span style="color:red"><math>\vec{a}</math></span>.

Możemy wybrać układ współrzędnych tak aby:
<math>\begin{array}{rcl} \vec{i}_x \perp \vec{a} & \textrm{ ~~~oraz~~~} & 
\vec{i}_y \; || \; \vec{a}  \end{array}</math>

Ruch w przestrzeni można wtedy opisać jako złożenie:
* ruch jednostajnego <span style="color:green">(w kierunku osi X)</span> 
* ruchu jednostajnie przyspieszonego <span style="color:green">(Y)</span> 
* spoczynku <span style="color:green">(Z)</span>:

Formalnie możemy zapisać zależności współrzędnych przyspieszenia, prędkości
i położenia od czasu jako:

{| cellspacing="10"
| <math>\left\{\begin{array}{rcl} a_x & = & 0 \\  a_y & = & a \\   a_z & = & 0 \end{array}\right.</math>
| valign="center" | <math>\Leftrightarrow</math>
| <math>\left\{\begin{array}{rcl} V_x & = & V_{x,0} =  const \\  
      V_y & = & V_{y,0} + a \; t  \\   V_z & = & 0 \end{array}\right.</math>
| valign="center" | <math>\Leftrightarrow</math>
| <math>\left\{\begin{array}{rcl} x & = & x_0  + V_{x,0} \cdot (t-t_0) \\  
  y & = & y_0  + V_{y,0} \cdot (t-t_0) + \frac{1}{2} \; a\cdot ( t - t_0 )^2 \\
    z & = & 0 \end{array}\right.</math>
|}

===<u>'''Ruch w polu grawitacyjnym'''</u>===

[[image:rzut.png|thumb|right|Rzut w polu grawitacyjnym]]

Ruch ciała poruszającego się swobodnie w jednorodnym polu grawitacyjnym
odbywa się ze stałym przyspieszeniem:

<math>\begin{array}{rcl} \vec{a} & = & \vec{g} \;\; = \;\; (0, -g, 0) \end{array}</math>

gdzie dokonaliśmy wyboru układu współrzędnych jak na rysunku 
(oś X poziomo, oś Y pionowo).

Pole grawitacyjne Ziemi możemy przyjąć za jednorodne, jeśli
badamy ruch na odległościach  <math>|\Delta \vec{r} | \ll R_Z</math>

W zależności od warunków początkowych wyróżniamy następujące 
rodzaje ruchu:
* spadek swobodny: <span style="color:red"><math>V_0 = 0</math></span> <span style="color:green">(ruch prostoliniowy)</span>
* rzut pionowy: <span style="color:red"><math>\theta = \pm \pi/2</math></span> <span style="color:green">(ruch prostoliniowy)</span>
* rzut poziomy: <span style="color:red"><math>\theta = 0</math></span>
* rzut ukośny: <span style="color:red"><math>\theta \ne 0, \pi/2, ...</math></span>

===<u>'''Spadek swobodny'''</u>===

Zdjęcie złożone z kolejnych klatek filmu, pokazujące spadek swobodny małej piłki na
tle miarki:

[[image:spadek2.png|500px]]
<br/>
[[image:spadek.png]]

Wyniki "domowych" pomiarów (odczytane ze zdjęcia):

[[image:spadek_fit.png|350px]]

Położenie zależy <span style="color:red">kwadratowo</span> od czasu:

<math>\begin{array}{rcl}  y & = & h  - \frac{g}{2} \cdot t^2 \end{array}</math>

zakładając: <math>y(0)=h, \; V_{y}(0) = 0</math>

===<u>'''Rzut ukośny'''</u>===

[[image:rzut2.png|thumb|right|350px|Rzut ukośny]]

Zakładamy, ze w chwili <math>t_0 = 0</math> ciało wyrzucono z punktu 
<math>x_0 = 0</math>, <math>y_0 = h</math> z prędkością <math>V_0</math> 
skierowaną pod kątem <math>\Theta</math> do poziomu.

Niezależność ruchów: 
* ruch w poziomie jest ruchem jednostajnym, zależy tylko od <span style="color:red"><math>V_{x,0}</math></span>
: <math>\begin{array}{rcl} x & = & V_{x,0} \cdot t \;\; = \;\; V_0 \cos{\theta} \cdot t \end{array}</math>

* ruch w pionie jest ruchem jednostajnie przyspieszonym, zależy tylko od <span style="color:red"><math>V_{y,0}</math></span>
: <math>\begin{array}{rcl} y & = & h + V_{y,0} \cdot t - \frac{g}{2} \cdot t^2 \\
        & = & h + V_0 \sin{\theta} \cdot t - \frac{g}{2} \cdot t^2\end{array}</math>

Konsekwencje niezależności ruchów w X i Y:
* rzut poziomy <span style="color:blue"><math>\theta = 0</math></span> &rArr; <span style="color:blue"><math>V_{y,0}</math></span> 
: &rArr; czas spadania nie zależy od <math>V_0</math>: <span style="color:red"><math>t=\sqrt{\frac{2h}{g}}</math></span>

*dwa ciała o tym samym <span style="color:blue"><math>V^{(1)}_{x,0}=V^{(2)}_{x,0}</math></span> 
: &rArr; taki sam ruch w poziomie: <span style="color:blue"><math>x^{^{(1)}}(t)=x^{^{(2)}}(t)</math></span> 

[[image:parabola.png|thumb|right|250px|c|Tor ruchu strugi wody]]

Tor w rzucie ukośnym:
: <math>\displaystyle  y = h + x \cdot \tan{\theta} 
       - x^2 \cdot \frac{g}{2 V_0^2 \cos^2 \theta } </math>
: <span style="color:red"><math>\Rightarrow</math></span> torem ruchu jest parabola

Zasięg dla <span style="color:blue">h=0</span>:
: <math> \displaystyle  l = \frac{V_0^2}{g} \sin (2 \theta) </math>
<span style="color:red"><math>\Rightarrow</math></span> największy zasięg dla <math>\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4}</math> <span style="color:green">(czyli <math>45^\circ</math>)</span>

==Ruch harmoniczny==

[[image:harmon.png|frame|Zależność położenia od czasu w ruchu harmonicznym]]

Szczególny przykład ruchu drgającego. W ruchu harmonicznym zależność
położenia od czasu jest postaci:
: <math>\begin{array}{rcl} x & = & A \cdot \sin ( \omega t + \phi ) \end{array}</math>

Parametry
* amplituda <span style="color:red">A</span>
* częstość kołowa <span style="color:red"><math>\omega</math></span> <br>
: <span style="color:green">okres drgań <math>\displaystyle T=\frac{2 \pi}{\omega}</math></span>
* faza początkowa <span style="color:red"><math>\phi</math></span> 

Prędkość: 
: <math>\displaystyle V = \frac{dx}{dt} = \omega \; A \cdot \cos ( \omega t + \phi ) </math>

Przyspieszenie:
: <math>\displaystyle a = \frac{dV}{dt} = -\omega^2 \; A  \cdot \sin ( \omega t + \phi ) = -\omega^2 \cdot x  </math> 

W ruchu harmonicznym spełniona jest zależność, którą nazywamy
<span style="color:blue">równaniem oscylatora harmonicznego</span>
* ruch w jednym wymiarze
: <math> \frac{d^2 x}{dt^2} \; = \;  - \omega^2 \; x </math>
* postać ogólna
: <math> \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} \;  = \; - \omega^2 \; \vec{r} </math>

Równanie oscylatora dobrze opisuje zachowanie bardzo wielu układów fizycznych:
* ciężarek na sprężynie
* wahadło matematyczne <span style="color:green">(dla małych wychyleń)</span>
* kamerton, struna, itp&hellip;

<span style="color:blue">Równanie oscylatora harmonicznego</span> jest przykładem 
<span style="color:red">równania różniczkowego</span>.

Nasza wiedza nt. ruchu ciała przedstawiana jest często 
w postaci równan różniczkowych <span style="color:green">(równań ruchu)</span>.
Aby znaleźć opis ruchu ciała trzeba te równania rozwiązać.

Najczęsciej są to równania typu: <math>\vec{a} = F(\vec{x},\vec{v},t)</math>

==Ruch po okręgu==


[[image:okrag.png|frame]]

Położenie ciała może być opisane jedną zmienną:
* kąt w płaszczyźnie XY &mdash; <span style="color:red"><math>\phi</math></span>
* długość łuku okręgu &mdash; <span style="color:red">s</span> <span style="color:green">= <math>r \cdot \phi</math></span>

Wartość prędkości:
: <math>\begin{array}{rcl} V & = & \frac{ds}{dt} \;\; = \;\; r \; \frac{d\phi}{dt}
      \;\; = \;\; r \; \omega   \end{array}</math>
gdzie prędkość kątowa jest zdefiniowana jako pochodna kąta <math>\phi</math> po czasie:
: <math>\omega = \frac{d\phi}{dt}</math>

Przyspieszenie kątowe definiujemy jako: 
: <math>\displaystyle \alpha  =  
        \frac{d\omega}{dt} \;\; = \;\; \frac{d^2\phi}{dt^2}</math>

<span style="color:blue">Ruch jednostajny po okręgu</span> 
to ruch w którym przyspieszenie kątowe znika: 
{|  cellspacing="10"
| <math>\alpha  = 0</math> 
| <span style="color:red"><math>\Rightarrow</math></span> 
| <math>\omega</math> = const 
| <span style="color:red"><math>\Rightarrow</math></span>
| V = const 
|-
|  ||  ||   ||  ale 
| <math>\vec{V} \ne </math> const 
|-
|  ||  ||   ||  
| <math>\vec{a} \ne</math> 0 <span style="color:red"> (!!!)</span>
|}

[[image:okrag2.png|frame]]

Prędkość w ruchu po okręgu w zapisie wektorowym:
: <math> \vec{V}  =  \vec{\omega} \times \vec{r}</math> 

Przyspieszenie liczymy jako pochodną (iloczynu):
: <math>\begin{array}{rcl} \vec{a} \;\; = \;\; \frac{d\vec{V}}{dt} & = &
        \frac{d\vec{\omega}}{dt}\times \vec{r} \; + 
                    \vec{\omega} \times \frac{d\vec{r}}{dt} \\[5mm]
    & = & \;\; \vec{\alpha}\times \vec{r} \; + 
                    \vec{\omega} \times \vec{V} \\[5mm]
    & = & \;\;\;\;\; \vec{a_t} \;\;\; + \;\;\; \vec{a_n} \end{array}</math>


Oprócz przyspieszenia stycznego
<span style="color:fuchsia"><math>\vec{a_t} \uparrow \!\! \uparrow \vec{V}</math></span>,
opisującego zmianę <span style="color:fuchsia"><math>|\vec{V}|</math></span>, <br>
jest też przyspieszenie normalne <span style="color:red"><math>\vec{a_n}</math></span>, odpowiedzialne za
zmianę kierunku <span style="color:red"><math>\vec{V}</math></span> w czasie.
<ul>
<li> przyspieszenie dośrodkowe
<math>\begin{array}{rcl} \vec{a_n}   \;\;  = \;\; \vec{\omega} \times \vec{V} 
 & = & \vec{\omega} \times ( \vec{\omega}  \times \vec{r} )
 \;\; = \;\;  - \omega^2 \cdot \vec{r}  
\end{array}</math>
gdzie skorzystaliśmy z tożsamości:
:<math> A\times ( B \times C ) = (A\cdot C)\cdot B -  (A\cdot B) \cdot C </math>
</ul>
===<u>'''Ruch jednostajny po okręgu'''</u>===

[[image:okrag.png|frame]]

Ruch jednostajny po okręgu to ruch w którym
przyspieszenie styczne znika:  <span style="color:fuchsia"><math>\vec{a_t} = 0 </math></span>
: <math>\begin{array}{rcl} \Rightarrow \qquad
  \vec{a} \; = \; \vec{a_n} & = &  - \omega^2 \cdot \vec{r}  \end{array}</math>

Ruch <span style="color:red">jednostajny po okręgu</span> jest złożeniem 
dwóch niezależnych ruchów harmionicznych:
: <math>\begin{array}{rcl} x & = &  r \cdot \cos ( \omega \cdot t ) 
       \;\; = \;\;  r \cdot \sin ( \omega \cdot t + \frac{\pi}{2}) \\
      y & = & r \cdot \sin ( \omega \cdot t ) \end{array}</math>

{| cellspacing="10"
| Ruch po okręgu 
| <span style="color:blue"><math>\Longleftrightarrow</math></span> 
| różnica faz <math>\Delta \phi = \pm \frac{\pi}{2}</math>
|}

===<u>Ciekawostka:</u>===

Ruch harmoniczny można przedstawić jako złożenie dwóch ruchów po okręgu&hellip;

==Efekt Dopplera==

W przypadku fal dźwiękowych znamy z codziennego doświadczenia&hellip;

[[image:doppler_at_rest.png|center|400px]]

Jeśli źródło dźwięku jest <span style="color:red">nieruchome</span> względem obserwatora, obserwator słyszy dźwięk o <span style="color:blue">niezmienionej częstości</span>.

[[image:doppler_w_vel.png|center|400px]]

Jeśli <span style="color:blue">źródło</span> dźwięku <span style="color:red">porusza się</span> względem <span style="color:blue">obserwatora</span>, 
obserwator słyszy dźwięk o wyższej lub niższej częstości 

===<u>'''Ruchome źródło'''</u>===

Przyjmijmy, że źródło dżwięku o częstości <span style="color:red"><math>f</math></span>
poruszające się z prędkością <span style="color:red"><math>v</math></span> <br>
względem ośrodka w którym prędkość dźwięku wynosi <span style="color:red"><math>c</math></span>.

Dla uproszczenia: krótkie impulsy wysyłane co <span style="color:red"><math>\Delta t = 1/f</math></span>:

[[image:doppler_1.png]]

: <span style="color:green"><math>t_1</math></span> &mdash; wysłanie pierwszego impulsu
: <span style="color:blue"><math>t_2</math></span> &mdash; wysłanie drugiego impulsu

odległość między impulsami mierzona przez obserwatora jest sumą wkładów wynikających
z propagacji impulsu (z prędkością c) i ruchu źródła (z prędkością v):
: <math>\frac{c}{f'} = \lambda' = \frac{c}{f}  +  \frac{v}{f} </math>

<span style="color:blue">Częstość</span> dźwięku i <span style="color:red">długość fali</span> <br> mierzona przez obserwatora nieruchomego względem ośrodka:

{| cellspacing="20"
| <math> f'  =  \frac{f}{1+\frac{v}{c}}  </math>
|  || || <math> \lambda '  =  \lambda \; \left( 1+ \frac{v}{c}\right)</math>
|}

===<u>'''Ruchomy obserwator'''</u>===

Rozważmy teraz sytuacje, w której obserwator porusza się z prędkością 
<span style="color:red"><math>v</math></span> względem 
ośrodka i źródła dżwięku

[[image:doppler_2.png]]

aby dogonić obserwatora kolejny impuls musi pokonać odległość równą sumie 
początkowej odległości między impulsami i drogi jaką w tym czasie pokona obserwator
: <math>\frac{c}{f'} = \frac{c}{f} + \frac{v}{f'} </math>

Mierzona <span style="color:blue">częstość</span>:
: <math> f'  = f \; \left(1-\frac{v}{c}\right) </math>

W klasycznym efekcie Dopplera zmiana częstości zależy nie tylko
od względnej <br> <span style="color:blue">prędkości</span> <span style="color:red">źródła</span> i <span style="color:red">obserwatora</span>
ale i ruchu względem <span style="color:red">ośrodka</span>.

===<u>'''Ruch ośrodka'''</u>===
Przyjmijmy, że źródło dźwięku i obserwator są względem 
siebie w spoczynku.  Niech ich prędkość względem ośrodka 
wynosi <span style="color:red"><math>v</math></span>

[[image:doppler_3.png]]

<span style="color:blue">Częstość</span> mierzona przez obserwatora jest 
wynikiem złożenia <span style="color:red">dwóch efektów</span> Dopplera:

<math>\begin{array}{rcl} f''  = f' \; \left(1+\frac{v}{c}\right) & = & 
 \frac{f}{1+\frac{v}{c}} \cdot \left(1+\frac{v}{c}\right) = f \end{array}</math>

Częstość się nie zmienia, ale zmienia się czas miedzy wysłaniem a rejestrają impulsu:

<math>\delta t = t''_i - t_i  =  \frac{L}{c+v} = \frac{L}{c} \cdot \frac{c}{c+v} =  \frac{\delta t_0}{1+\frac{v}{c}} </math>

Ruch ośrodka powoduje przesunięcie w fazie rejestrowanego dźwięku.
===<u>'''Przypadek ogólny'''</u>===

Zarówno źródło jak i obserwator poruszają się względem ośrodka.

[[image:doppler_6.png|frame|Przypadek ogólny efektu Dopplera]]

Jeśli znamy ruch źródła i obserwatora w układzie związanym z ośrodkiem:

<math>\begin{array}{rcl} \vec{r}(t) & \;\;\; i \;\;\; &  \vec{r}'(t) \end{array}</math>

To możemy wyznaczyć czas <span style="color:red"><math>t'</math></span> 
w jakim sygnał wyemitowany w chwili <span style="color:blue"><math>t</math></span> 
dotrze do obserwatora. Zadany jest on przez warunek:

<math>\begin{array}{rcl} \vec{r'}(t') - \vec{r}(t) = c \; ( t' - t ) \end{array}</math>

Jeśli równanie to można jednoznacznie rozwiązać to efekt Dopplera
daje się wyrazić bardzo prostą zależnością:

{| cellspacing="20"
| <math>\frac{f'}{f} \; = \; \frac{~~\frac{1}{\Delta t'}~~}{\frac{1}{\Delta t}} 
      \; = \; \frac{\Delta t}{\Delta t'}</math>
| || <math>\Rightarrow</math> || 
| <math>f'  \; = \; f \cdot \left( \frac{dt'}{dt} \right)^{-1}</math>
|}

===<u>Przykład</u>===
<ul>
<li>Głośnik wirujący po okręgu, w płaszczyźnie obserwatora

[[image:doppler_7.png|frame|Wirujący głośnik]]

::<math>\begin{array}{rcl} \vec{x}(t) & =  & r \cos \omega t \\
      \vec{y}(t) & =  & r \sin \omega t \\
       x' &  \equiv &  0 \\
       y' &  \equiv &  -l    \end{array}</math>

Droga sygnału wyemitowanego w czasie <span style="color:fuchsia"><math>t</math></span>:
: <math>\begin{array}{rcl}  d = c \; ( t' - t ) & = & 
\sqrt{(l + r \sin \omega t)^2 \; + \; r^2 \cos^2 \omega t }  \\[5mm]
\Rightarrow \qquad t' & = & t + \frac{l}{c}\; 
\sqrt{1 + \frac{2r}{l} \sin \omega t \; + \; 
             \frac{r^2}{l^2} } \end{array}</math>

Dla <span style="color:red"><math>l \gg r</math></span>:

<math>\begin{array}{rcl}
 t'  \approx  t + \frac{r}{c} \; \sin \omega t & \Rightarrow & 
 f'  \approx  f \; ( 1 - \frac{r\omega}{c} \; \cos \omega t )
\end{array}</math>


Oczekiwana zależność od czasu amplitudy dźwięku rejestrowanego przez
<span style="color:green">źródło</span> i <span style="color:blue">obserwatora</span>

<li> Głośnik nieruchomy

[[image:doppler_a.png|center]]


<li> Głośnik wirujący

[[image:doppler_b.png|center]]

: Choć średnia częstość mierzona przez obserwatora jest równa częstości źródła widoczna jest wyraźna modulacja częstości&hellip;
</ul>