Tekst źródłowy strony FizykaI FMiN/Zderzenia relatywistyczneZderzenia relatywistyczne

__NOTOC__
<span style="font-size:40px">Zderzenia relatywistyczna</span><br><br>

==Dynamika relatywistyczna==

===<u>'''Zasady zachowania'''</u>===


<span style="color:fuchsia">Relatywistyczne</span> wyrażenie 
na <span style="color:red">pęd cząstki</span>: 
: <math> \vec{p} \; = \; m \;c \;\gamma \; \vec{\beta} 
            \;  = \; m \; \gamma \; \vec{V}</math>   
gdzie <math>\vec{\beta} = \frac{\vec{V}}{c}</math>

Relatywistyczne wyrażenia na <span style="color:red">energię cząstki</span>:
* energia kinetyczna: <math>  E_{k} = m\; c^2 \; \left( \gamma - 1 \right) </math>
* energia spoczynkowa: <math> E_{0} = m\; c^2  </math>
* energia całkowita: <math> E = m\; c^2 \;  \gamma </math>


Dla dowolnego izolowanego układu obowiązują zawsze:
* zasada zachowania energii 
: <math> \sum_{i } E_i \; = \; 
       \sum_{i } \gamma_i \; m_i\; c^2 \; = \; const  </math>

* zasada zachowania pędu 
: <math> \sum_{i}  \vec{p}_i \; = \;
 \sum_{i } \gamma_i \cdot m_i\; \vec{V_i} \; = \; const </math>


===<u>'''Transformacja'''</u>===

Zamiast rozważać niezależnie energię i pęd układu, wygodnie jest wprowadzić 
czterowektor energii-pędu:
: <math>{\cal E} \;=\; (E, c\vec{p}) \; = \;(E,cp_x,cp_y, cp_z) </math>

Przy zmianie układu odniesienia, czterowektor energii-pędu 
podlega transformacji Lorentza identycznej z transformacją 
dla współrzędnych czasoprzestrzennych zdarzeń.
: <math>
 \left(\begin{array}{c}  E  \\ c\;p_x \\ c\;p_y \\ c\;p_z  \end{array}\right) 
\; = \;
 \left(\begin{array}{c}  \gamma \; E_\circ \; 
+ \; \gamma \; \beta \; c \; p_{\circ,x} \\ 
\gamma \; \beta \;  E_\circ  \; + \; \gamma \; c \; p_{\circ,x} \\ 
c \; p_{\circ,y}\\ c \; p_{\circ,z}  \end{array}\right) 
\;  = \; 
\left(\begin{array}{cccc}
\gamma & \gamma \; \beta &  0 & 0 \\
\gamma \; \beta & \gamma &  0 & 0 \\
 0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
 \cdot
 \left(\begin{array}{c} E_\circ \\
c \; p_{\circ,x}\\ c \; p_{\circ,y}\\ c \; p_{\circ,z}
\end{array}\right) 
</math>

Widzimy, że energia całkowita odpowiada współrzędnej czasowej, zaś
wektor pędu współrzędnym przestrzennym.

<u>'''Przykład I'''</u>

Rakieta lecąca w kierunku Ziemi z prędkoscią <math>v=0.6 c</math>
wystrzeliwuje w jej kierunku wiązkę protonów o energii 
<span style="color:blue"><math>E = 100</math> GeV</span>.
Masa protonu <span style="color:blue"><math>m = 1GeV/c^2</math></span>.
Jaką energię protonów zmierzy obserwator na Ziemi? 


Pęd protonu w układzie rakiety (z definicji masy niezmienniczej):
: <math> pc \; = \; \sqrt{E^2 - m^2c^4} = 99.9950 GeV</math> 
: <math> pc \approx E = 100 GeV</math>

Współczynniki transformacji Lorentza z układu rakiety do układu Ziemi:
: <math> \beta = 0.6 \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = 1.25 
         \qquad \beta\gamma = 0.75</math>

Energia w układzie Ziemi:
: <math> E' = \gamma E + \beta \gamma pc \; \approx \;
  (\gamma + \beta \gamma ) E  = 2  E = 200 GeV
</math>  


===<u>'''Masa niezmiennicza'''</u>===

Jest to niezmiennik transformacji Lorenza, czyli wielkość, która
nie zależy od wyboru układu odniesienia
: <math> M^2c^4 \; = \; s \; = \; E^2 \; - \;  p^2 c^2</math>

Dla dowolnego izolowanego układu fizycznego
<span style="color:blue">masa niezmiennicza jest zachowana</span>   
(nie zmienia się w czasie).
<span style="color:green">Wynika to z zasady zachowania energii i pędu.</span>

Masa niezmiennicza jest podstawowym pojęciem w analizie zderzeń 
relatywistycznych,  zwłaszcza w procesach nieelastycznych 
(produkcja nowych cząstek).

<span style="color:blue">Masa niezmiennicza</span> jest tożsama z 
<span style="color:blue">energią</span> układu w 
<span style="color:blue">układzie środka masy</span>
(<math>P^\star = 0</math>). Dla zderzających się cząstek mówimy
o <span style="color:red">energii dostępnej</span> w układzie środka masy.

Dla pojedynczej cząstki masa niezmiennicza jest tożsama z masą cząstki 
<span style="color:green">(energią spoczynkową)</span>.


<u>'''Przykład'''</u>

Jaka jest masa cząstki, która poruszając się z energią kinetyczną
<math>E_k = 1.6</math> GeV ma pęd <math>p = 2.4</math> GeV/c ?

Z definicji masy niezmienniczej dla pojedynczej cząstki:
: <math> m^2c^4 \; = \; E^2 \; - \;  p^2 c^2</math>

Energię całkowitą wyrażamy przez energię kinetyczną:
: <math> m^2c^4 \; = \; (m c^2 + E_k)^2 \; - \;  p^2 c^2 </math>
: <math> m^2c^4  \; = \;  m^2c^4 + 2 E_k m c^2 + E_k^2 \; - \;  p^2 c^2</math>

Otrzymujemy:
: <math> m c^2  \; = \; \frac{p^2 c^2 - E_k^2}{2 E_k}
       \; = \;  \frac{(pc + E_k)(pc - E_k)}{2 E_k}</math>

: <math> m c^2  \; = \;  \frac{4GeV \cdot 0.8 GeV}{2 \cdot 1.6 GeV} 
                \; = \; 1 GeV </math>



===<u>'''Układ środka masy'''</u>===


Niech dane będą
* Energia układu cząstek: <math>E = \sum_i E_i</math>
* Pęd układu cząstek: <math>\vec{P} = \sum_i \vec{p}_i</math>
* Masa niezmiennicza tego układu:  <math>M</math>

Jak znaleźć układ środka masy (CMS), czyli  układ w którym
<span style="color:red"><math>\vec{P}^\star = 0</math></span> ?


Wiemy, że w CMS energia i pęd dane są przez
:<math>E^\star = M, \;\;\; P^\star \equiv 0</math>

Energia i pęd wiążą się z <span style="color:red"><math>E^\star</math></span> 
i <span style="color:red"><math>P^\star</math></span> 
przez transformacje Lorentza:
: <math> E \; = \; \gamma \; M </math>
: <math> c\;P \; = \; \beta \; \gamma \; M </math>

Otrzymujemy z przekształcenia tych zależności związki na 
<span style="color:red">wspólczynniki  transformacji 
do układu środka masy:</span> 
: <math>\displaystyle \beta  =  \frac{c\; P}{E} </math>   
: <math>\displaystyle \gamma =  \frac{E}{M\; c^2} </math>
: <math>\displaystyle \beta \; \gamma =  \frac{P}{M\; c} </math>

Związki te obowiązują zarówno dla pojedyńczej cząstki jak i
dowolnego układu cząstek!


<u>'''Przykład'''</u>

Z jaką prędkością porusza się elektron o energii 
<span style="color:blue"><math>E=1GeV</math></span>
<span style="color:green">(<math>m_e\approx 0.5MeV</math>)</span>?

Współczynnik Lorentza dla elektronu (<math>c\equiv 1 </math>):
: <math> \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \; = \; \frac{E}{m} = 2000 </math>

Widzimy więc, że
: <math>1-\beta^2  = \frac{1}{\gamma^2} \; = \; \frac{m^2}{E^2} \qquad  \ll 1 </math>

Wnioskujemy, że prędkość elektronu jest bardzo bliska prędkości światła,
<math>\beta \approx 1</math>, policzmy więc różnicę:
: <math> 1-\beta = \frac{1-\beta^2}{1+\beta}  
      \; \approx \;  \frac{1}{2\;\gamma^2} \; = \;  
           \frac{m^2}{2\;E^2} = 1.25 \cdot 10^{-7} </math>


Pęd elektronu:
: <math> p \; = \; \beta \gamma m \; = \; \beta E \; \approx\;  E </math>

Różnica między energią i pędem też dąży do zera:
: <math>   E - p = (1-\beta) E \; \approx \; 10^{-7} E </math>


Energia kinetyczna:
: <math> E_k \; = \; (\gamma -1 ) m \; = \; E - m  \; \approx\;  E </math>

Różnica między energią całkowitą i kinetyczną:
: <math> E - E_k \; = \; m  \; = \; \frac{1}{\gamma} E
           \; = \; 5 \cdot 10^{-4} E</math>

Widzimy, że dla cząstki o energii <math>E \gg m c^2</math>
(<math> \gamma \gg 1</math>) można przyjąć
(przybliżenie ultrarelatywistyczne):
: <math>E \approx p c \approx E_k</math>



==Zderzenia elastyczne==

===<u>'''Klasyfikacja zderzeń'''</u>===

W przypadku <span style="color:fuchsia">nierelatywistycznym</span> 
zderzenia dzieliliśmy na:
; <span style="color:blue">zderzenia elastyczne</span>  
:  Zachowany jest <span style="color:red">pęd</span> i <span style="color:red">energia kinetyczna</span>.

; <span style="color:blue">zderzenia nieelastyczne</span>  
: Zachowany jest <span style="color:red">pęd</span>, natomiast energia kinetyczna zamieniana zostaje (częściowo) na inne formy energii (zazwyczaj ciepło). 
 

W przypadku <span style="color:fuchsia">relatywistycznym</span> 
<span style="color:red">energia całkowita</span> i 
<span style="color:red">pęd</span>
są <span style="color:blue">zawsze zachowane</span>.
Musimy zmodyfikować klasyfikację zderzeń. 

Dzielimy je na:
; <span style="color:blue">Zderzenia elastyczne</span>  
: Zderzenia typu <math>2 \rightarrow 2</math> (dwie cząstki w stanie począstkowym i dwie w końcowym), przy czym cząstki po zderzeniu są takie same jak cząstki zderzające się (w szczególności nie zmieniają się ich masy: <span style="color:red"><math>m'_1 = m_1</math></span> i <span style="color:red"><math>m'_2 = m_2</math></span>)
:: przykład: <math>e^+ e^- \rightarrow e^+ e^- </math>

; <span style="color:blue">Zderzenia nieelastyczne</span>  
: Gdy cząstki w stanie końcowym są inne niż przed zderzeniem. 
:: przykład: <math>e^+ e^- \rightarrow \mu^+ \mu^- </math>

 
===<u>'''Rozpraszanie elastyczne'''</u>===


[[image:zderzenie_rel.png|frame]]

Rozważmy zderzenie "pocisku" o masie <math>m_1</math>
i energii <math>E_1</math>
z "tarczą" o masie <math>m_2</math>. 
Dla układu dwóch ciał mamy (<math>c \equiv 1 </math>):
: <math> E \;=\; E_1 + E_2 \; = \; E_1 + m_2  </math>
: <math> P \; = \; P_1 \; = \; \sqrt{E_1^2 - m_1^2 } </math>
: <math> M^2 \; = \; E^2 - P^2 \; = \; (E_1 + m_2)^2 - P_1^2 </math>
:: <math>     \; = \; m_1^2 + m_2^2 + 2 \; E_1 \; m_2</math>

Możemy policzyć współczynniki transformacji do układu środka masy:
: <math> \beta \; = \; \frac{P}{E} 
       \; = \; \frac{\sqrt{E_1^2 - m_1^2 }}{E_1 + m_2}</math>

: <math> \gamma \; = \; \frac{E}{M} \; = \; 
        \frac{E_1 + m_2}{\sqrt{2 \; E_1 \; m_2 + m_1^2 + m_2^2 }} </math>

:<math> \beta \gamma \; = \; \frac{P}{M} \; = \; 
\sqrt{\frac{E_1^2 - m_1^2 }{2 \; E_1 \; m_2 + m_1^2 + m_2^2 }}  </math>

Pęd obu ciał w układzie środka masy można zapisać jako:
: <math> p_1^\star \; = \; p_2^\star  \; = \;
         \beta \gamma \; m_2 \; = \; \frac{P}{M} \; m_2 </math>

: <math> (p^\star)^2 \; = \; \frac{(E_1^2 - m_1^2)\;m_2^2}
             {m_1^2 + m_2^2 + 2 \; E_1 \; m_2} </math>

Energie obu ciał w układzie środka masy:
: <math> E_2^\star \; = \; \gamma \; m_2 \; = \; \frac{E}{M} \; m_2 </math>
:: <math> \;  = \; \frac{(E_1 + m_2) m_2}{\sqrt{2 \; E_1 \; m_2 + m_1^2 + m_2^2 }} </math>

: <math>E_1^\star \; = \; M - E_2^\star  </math>
:: <math> \;  = \; \frac{E_1 m_2 + m_1^2}{\sqrt{2 \; E_1 \; m_2 + m_1^2 + m_2^2 }} </math>


[[image:zderzenie_rel_1.png|frame]]

Jeśli spełniona ma być zasada zachowania pędu i zasada zachowania
energii to, tak jak w przypadku klasycznym
: <math> p_1^\star  \; = \; p_2^\star \; = \; {p'}^\star_1  \; = \; {p'}^\star_2 </math>

W układzie środka masy wartości pędów nie ulegają zmianie!

Zakładamy tutaj, że masy cząstek nie zmieniają siem, 
<math>m'_1 = m_1</math> i <math>m'_2 = m_2</math>
(rozpraszanie elastyczne).



===<u>'''Przypadek <math>m_1 = m_2</math>'''</u>===


Uzyskane wyrażenia bardzo się upraszczają dla zderzeń cząstek o równej masie.
Energia, pęd i masa niezmiennicza układu dwóch cząstek:
: <math> E \; = \; E_1 + m </math>
: <math> P \; = \; P_1 \; = \; \sqrt{E_1^2 - m^2 } </math>
: <math> M^2 \; = \; E^2  -  P^2 \; = \; 2  \; E_1 \; m \; + \; 2 \; m^2 </math>

Współczynniki transformacji do CMS:
: <math>\gamma \; = \; \sqrt{\frac{E_1+m}{2m}} </math>
: <math>\beta \; = \; \sqrt{\frac{E_1-m}{E_1+m}} </math>
: <math>\beta \;\gamma \; = \; \sqrt{\frac{E_1-m}{2m}}</math>


Energia i pęd obu ciał w układzie środka masy
(z transformacji Lorenza dla spoczywającego ciała):
: <math> p^\star \; = \; \gamma \; \beta \; m </math>
: <math> E^\star \; = \; \gamma  \; m </math>
: <math> (p^\star)^2 \; = \; \frac{1}{2}\; m \; (E_1 - m) </math>
: <math> (E^\star)^2 \; = \; \frac{1}{2}\; m \; (E_1 + m)  </math>


[[image:zderzenie_rel_3.png|frame]]

Wprowadźmy w <span style="color:green">układzie środka masy</span> 
kąt <math>\theta^\star</math> opisujący kierunek rozproszenia 
pierwszej cząstki.

Możemy teraz wypisać składowe czterowektora energii-pędu dla
pierwszej cząstki w CMS:
: <math> E_1^\star  \; = \; \gamma \; m </math>
: <math> p_{1,x}^\star \; = \; \gamma \; \beta \; m \; \cos \theta^\star </math>
: <math> p_{1,y}^\star \; = \; \gamma \; \beta \; m \; \sin \theta^\star  </math>
: <math> p_{1,z}^\star \; = \; 0 </math>

Transformacja Lorentza do <span style="color:red">układu laboratoryjnego</span>
daje nam:
: <math> p_{1,x} \; = \; \gamma \; p_{1,x}^\star  + \gamma \; \beta \; E_1^\star </math>
:: <math>    \; = \; \gamma^2 \; \beta \; m \; ( 1 + \cos \theta^\star ) </math>
: <math> p_{1,y} \; = \; \gamma \; \beta \; m \; \sin \theta^\star  </math>


Zauważmy też, że 
: <math>  \gamma^2 \; \beta \; m  = \frac{1}{2} P </math>

Możliwe wartości <span style="color:red"><math>p_{1,x}</math></span> i 
<span style="color:red"><math>p_{1,y}</math></span> spełniają warunek:
<math>\gamma^2 \; p_{1,y}^2 + \left(p_{1,x} - \frac{P}{2}\right)^2 
            \; = \;  \left(\frac{P}{2}\right)^2</math>

Warunek ten odpowiada równaniu elipsy w przestrzeni pędów.
Transformacja Lorenza <span style="color:red">"spłaszcza"</span> rozkład pędów
wzdłuż kierunku ruchu pocisku (w przypadku klasycznym mieliśmy okrąg).

Kąty rozproszenia mierzone w LAB (liczone ze stosunku poprzecznej 
i podłużnej składowej):
: <math> \tan \theta_1 \; = \; \frac{\sin \theta^\star}
{\gamma ( 1 + \cos \theta^\star)}  </math>
: <math>\tan \theta_2 \; = \; \frac{\sin \theta^\star}
{\gamma ( 1 - \cos \theta^\star)}  </math>

Możemy wyznaczyć kąt pomiędzy cząstkami po zderzeniu:
: <math> \tan ( \theta_1 +  \theta_2 ) \;  = \; \frac{ 2 \gamma }
        { \sin \theta^\star \; ( \gamma^2 - 1) } </math>


[[image:zderzenie_rel_2.png|frame]]

W przypadku rozproszenia pod kątem prostym w CMS
(<math>\theta^\star = \frac{\pi}{2}</math>)
: <math> \tan \theta \; = \;  \frac{1}{\gamma} \; < \; 1 </math>
: <math> \theta_1 \; + \;  \theta_2 \; < \; \frac{\pi}{2} </math>

W przypadku klasycznym kąt między rozproszonym pociskiem i tarczą,
dla równych mas, zawsze był równy <math>\frac{\pi}{2}</math>.
W przypadku relatywistycznym kąty rozproszenia są mniejsze.

Dla dużych energii pocisku, <math>\gamma \rightarrow \infty</math>,
kąt między cząstkami
: <math> \tan ( \theta_1 +  \theta_2 ) \; \rightarrow \;  
 \frac{ 2  }{ \gamma \; \sin \theta^\star} \rightarrow 0 </math>

W granicy ultrarelatywistycznej rozproszenie zachodzi pod 
bardzo małymi kątami!


<u>'''Przykład'''</u>

Elektron o energii <span style="color:blue"><math>E=10</math> GeV</span> 
rozprasza się elastycznie na spoczywającym 
elektronie (<span style="color:blue"><math>m_e = 0.5</math> MeV</span>). 
Jaki <span style="color:red">kąt rozproszenia</span> zostanie 
zmierzony w układzie laboratoryjnym jeśli w CMS rozproszenie nastapiło 
pod kątem prostym?

Masa niezmiennicza układu: 
: <math>M \; = \;  \sqrt{2  \; E \; m \; + \; 2 \; m^2} 
          \approx \sqrt{2  \; E \; m } \; = \; 100 MeV </math>

Współczynnik transformacji:
: <math> \gamma = \frac{E + m}{M} \; \approx \;  \frac{E}{M} = 100</math>
co odpowiada
: <math> 1-\beta \approx 5\cdot 10^{-5}</math>

Energia i pęd w CMS:
: <math> E^\star \; = \; \gamma m \; = \; 50 MeV  \;  \; p^\star \approx E^\star
</math>

Transformacja do układu laboratoryjnego dla cząstki rozproszonej pod
kątem orisrtn w CMS
(kładąc <math>p^\star_x = 0</math>, <math>p^\star_y = p^\star</math>):
: <math> p_x = \beta \gamma E^\star + \gamma p^\star_x \approx \gamma E^\star</math> 
: <math> p_y = p^\star_y \approx E^\star </math></math>

Kąt rozproszenia wynosi więc:
: <math> \tan \theta \; = \; \frac{p_y}{p_x} \; = \; \frac{1}{\gamma} 
        \; = \; 0.01 </math>

: <math>  \theta \approx 0.6^\circ</math>




===<u>'''Przypadek <math>m_1 \ll E_1 \sim m_2</math>'''</u>===

 
Rozważmy zderzenie elastyczne z ciężką 
<span style="color:green">"tarczą"</span> 
lekkiego <span style="color:blue">"pocisku"</span> 
<span style="color:red">(<math>m_1 \ll m_2</math>)</span>   
o wysokiej energii <span style="color:red">(<math>E_1 \sim m_2</math>)</span>

[[image:zderzenie_rel_4.png|frame]]

Jest to sytuacja z jaką często mamy do czynienia w zderzeniach
fizyki cząstek 
<span style="color:green">(rozpraszanie elektonów, mionów lub neutrin
na tarczach jądrowych)</span>.

Pomijając wyrazy z <math>m_1</math> mamy:
: <math> E \; = \; E_1 + m_2  </math>
: <math> P \; = \; \sqrt{E_1^2 - m_1^2 }  \approx E_1 </math>
: <math> M^2 \; = \; m_1^2 + m_2^2 + 2 \; E_1 \; m_2 </math>
:: <math> \; \approx \; 2 \; E_1 \; m_2 + m_2^2 </math>


Współczynniki transformacji do układu środka masy
<span style="color:green">(dla <math>m_1 \rightarrow 0 </math>)</span>:
: <math> \gamma \; = \; \frac{E_1+m_2}{\sqrt{2E_1 m_2 + m_2^2}} </math>
: <math> \beta \; = \; \frac{E_1}{E_1+m_2} </math>
: <math> \beta \;\gamma \; = \; \frac{E_1}{\sqrt{2E_1 m_2 + m_2^2}} </math>

Pęd pocisku i tarczy w układzie środka masy:
: <math> p^\star \; = \; \beta \;\gamma \; m_2 
                 \; = \; \frac{E_1 m_2}{\sqrt{2E_1 m_2 + m_2^2}} </math>

Transformacja rozproszonego pocisku do układu laboratoryjnego daje nam:
: <math> p_{1,x} \; = \; \gamma \; p_{1,x}^\star  + \gamma \; \beta \; E_1^\star      \; = \; \gamma  \; p^\star  ( \beta + \cos \theta^\star ) </math>
: <math> p_{1,y} \; = \; p^\star \; \sin \theta^\star  </math>

Możliwe wartości <span style="color:red"><math>p_{1,x}</math></span> i <span style="color:red"><math>p_{1,y}</math></span> spełniają więc warunek:
: <math>\left(\gamma \; p_{1,y} \right)^2 + 
     \left(p_{1,x} - \gamma \; \beta \; p^\star \right)^2 
            \; = \;  \left( \gamma p^\star \right)^2</math>

Odpowiada to ponownie równaniu elipsy. 
  
W granicy  <span style="color:red"><math>\beta \rightarrow 1</math></span> 
<span style="color:green">(<math>E_1 \gg m_2</math>)</span> pocisk rozprasza 
się  zawsze `<span style="color:blue">`do przodu"</span>
<span style="color:green">(<math>p_{1,x} \ge 0</math>)</span>!



[[image:zderzenie_rel_5.png|frame]]

Nawet dla <span style="color:red"><math>m_1 \ll m_2</math></span>, 
jeśli <span style="color:blue"><math>E_1 \sim m_2</math></span> pocisk
może przekazać tarczy znaczną część swojej energii.
Rysunek obok pokazuje możliwe wartości pędu dla przypadku 
<math>E_1 = 3 \; m_2</math>,  <math>m_1 = 0</math>.
Dla <math>E_1 \gg m_2</math> nawet bardzo lekka sonda może 
"wybić" cząstkę tarczy...

Masa cząstki pocisku, dla dużych energii, przestaje być istotna.


<u>'''Rozpraszanie nierelatywistyczne'''</u>

Przypomnijmy, że w podejściu klasycznym, 
w granicy <span style="color:red"><math>m_1 \ll m_2</math></span> 
tarcza przejmuje bardzo niewielką część energii pocisku.
Rozproszony <span style="color:red">pocisk</span> ma praktycznie 
<span style="color:blue">niezmienioną energię</span> 
i <span style="color:fuchsia">wartość pędu</span>.



<u>'''Przykład'''</u>

Elektron o energii <math>E_e = 50</math> GeV rozprasza się na spoczywającym 
protonie  (<math>m_p = 1</math> GeV). 

Jaka jest maksymalna energia jaką może uzyskać proton?

Masa niezmiennicza układu 
: <math>M \; = \;  \sqrt{2  \; E_e \; m_p \; + \; m_p^2} 
        \; \approx \; \sqrt{2  \; E_e \; m_p }
\; = \; 10 GeV </math>

Współczynnik transformacji:
: <math>\gamma = \frac{E_e + m_p}{M} \; = \; 5.1 </math>
: <math> \beta \gamma = \frac{p_e}{M} = 5 </math>

Energia i pęd protonu w CMS:
: <math> E_p^\star \; = \; \gamma m_p \; = \; 5.1\; GeV  </math>\;  \; 
: <math> p^\star  = \beta \gamma m  = \; 5\; GeV  </math>

Transformacja do LAB (maksymalna energia gdy 
<math>p^\star_x =  p^\star</math>):
: <math> E' \; = \; \gamma E^\star + \beta \gamma p^\star_x  
  \; =  \;  \gamma^2 m_p + \beta^2 \gamma^2 m_p \approx 51 \; GeV </math>

Proton może przejąć praktycznie całą energię elektronu!

Nie pomijając członu <math>m_p^2</math> w wyrażeniu na masę niezmienniczą
otrzymujemy dokładniejszy wynik
: <math> E' \approx 50.50 \; GeV </math>
rozproszony elektron zachowa 1% swojej energii całkowitej...




==Zderzenia nieelastyczne==


===<u>'''Klasyfikacja zderzeń'''</u>===  

Zderzenia elastyczne to reakcje typu <math>2 \rightarrow 2</math>,
w których cząstki rozproszone są takie same jak cząstki zderzające się.  
W szczególności: <span style="color:red"><math>m'_1 = m_1</math></span> 
i <span style="color:red"><math>m'_2 = m_2</math></span> 

W zderzeniach cząstek jest to jednak wyjątek (!)

W oddziaływaniach cząstek elementarnych, 
zwłaszcza przy wysokiej energii,  
obserwujemy bardzo wiele reakcji, w których powstają
nowe cząstki:
* Rozpady cząstek: <span style="color:red"> <math>a \rightarrow b + c</math></span>
* Produkcja pojedyńczej cząstki (tzw. "rezonansu"): <span style="color:red"> <math>a + b \rightarrow c</math></span>
* Rozproszenie nieelastyczne dwóch cząstek: <span style="color:red"><math>a + b \rightarrow c + d </math></span> <span style="color:green">(przy czym jedna z cząstek na końcu może być cząstką stanu początkowego)</span>
* Produkcja wielu cząstek:  <span style="color:red"><math>a + b \rightarrow X </math></span>   <span style="color:green">(gdzie <math>X</math> oznacza dowolny stan wielocząstkowy)</span>
 


===<u>'''Świat cząstek elementarnych'''</u>===

Zanim zajmiemy się szerzej zderzeniami nieelastycznymi cząstek poznajmy obiekty,
które w takich zderzeniach mogą uczestniczyć.

<u>'''Fermiony'''</u>

Fermiony są podstawowymi składnikami otaczającej nas materii.
Świat "codzienny" zbudowany jest z 3 fundamentalnych "cegiełek": 
elektron oraz kwarków <math>u</math> i <math>d</math>.

Elektron występuje jako cząstka swobodna, natomiast kwarki są "uwięzione"
w nukleonach. Każdy nukleony składa się z 3 kwarków: proton to (uud), 
neutron - (udd).

Fizyka cząstek znalazła łącznie
12 fundamentalnych "cegiełek" materii, cząstek zwanych
<span style="color:fuchsia"> fermionami</span>  (cząstek o spinie 1/2).
Znamy 6 leptonów i 6 kwarków, które można podzielić na 3 tzw. pokolenia:

<center>
{|border=1 cellpadding=3 cellspacing=3 style="text-align:center"
!   !! colspan="2" | leptony  !! colspan="2" | kwarki
|-
| rowspan="2" | pokolenie 1 ||  <math>e</math> || <math>\nu_{e}</math> ||  d   ||    u 
|-
| elektron ||  neutrino el. || down  || up 
|-
| rowspan="2" | pokolenie 2 || <math>\mu</math> || <math>\nu_{\mu}</math> ||  s   ||    c 
|-
| mion || neutrino mionowe ||  strange ||   charm
|-
| rowspan="2" | pokolenie 3 || <math>\tau</math> || <math>\nu_{\tau}</math> ||     b   ||    t 
|-
|  taon ||  neutrino taonowe ||  beauty || top 
|-
| ładunek [e] || <math>-1</math>   ||  0  || <math>-1/3</math> ||  <math>+2/3</math> 
|}
</center>

Każda z wymienionych cząstek ma też swoją antycząstkę (kolejne 12).

Wszystkie <span style="color:blue">leptony</span> obserwujemy jako cząstki swobodne. Natomiast <span style="color:red">kwarki</span> są zawsze "uwięzione" 
w <span style="color:fuchsia">hadronach</span> 
<span style="color:green">(cząstkach oddziałujących silnie)</span>


<u>'''Bozony'''</u>


"Cegiełki" materii oddziałują ze sobą 
poprzez wymianę <span style="color:blue"> nośników oddziaływań</span>.
Nośnik przekazuje część energii i/lub pędu jednej cząstki 
drugiej cząstce.

<center>
{|border=1 cellpadding=3 cellspacing=3 
! oddziaływanie  !!  źródło  !! colspan="2" |  nośnik  !!  moc
|-
| grawitacyjne || masa || grawiton || G || <math>10^{-39}</math> 
|-
| elektromagnetyczne || ładunek el. || foton || <math>\gamma</math> || <math>10^{-2}</math> 
|-
| silne || "kolor" || gluony || <math>g</math> || 1 
|-
| słabe || "ładunek słaby"  || "bozony pośredniczące" || <math>W^{\pm}</math>, <math>Z^{\circ}</math> || <math>10^{-7}</math>
|}
</center>

gdzie jako "moc" pokazano przykładowe porównanie wielkości oddziaływań dla
dwóch sąsiadujących protonów


===<u>'''Rozpady cząstek'''</u>===

Rozawżmy rozpad cząstki o masie <span style="color:red"><math>M</math> </span>
na <math>n</math> cząstek o masach 
<span style="color:red"><math>m_i</math></span> {(<math>i = 1 \ldots n</math>)}.

 
Masa niezmiennicza przed rozpadem: 
: <span style="color:blue"><math>{\cal M}_i =M</math></span>

Masa niezmiennicza po rozpadzie:
: <math> {\cal M}_f^2 \; = \; \left(\sum_i E_i \right)^2 \; - \; 
        \left(\sum_i \vec{p}_i \right)^2 </math>

:: <math>  \; = \; \sum_i E_i^2 \; + \; 2 \;\sum_i \sum_{j>i} E_i \;E_j  \; - \;
 \sum_i p_i^2 \; - \;  2 \;\sum_i \sum_{j>i} \vec{p}_i \; \vec{p}_j  </math>

Dla dowolnej pary cząstek <span style="color:red"><math>i</math></span>, 
<span style="color:red"><math>j</math></span> mamy 
<span style="color:green">(<math>E_i^2 = p_i^2 + m_i^2</math>)</span>:
: <math>  E_i \; E_j  =  \sqrt{(p_i^2 +m_i^2)(p_j^2 +m_j^2)}  </math>
:: <math>   \; = \; \sqrt{(p_i p_j +m_i m_j)^2  + (p_i m_j - p_j m_i)^2 } </math>
:: <math>  \;\;  \ge \;  p_i\; p_j\;  +\; m_i \;m_j </math>

Czyli
: <math> E_i \; E_j \;-\; \vec{p}_i \vec{p}_j \; \ge \; 
 E_i \; E_j \;-\; p_i p_j \; \ge \; m_i \;m_j </math>

Ostatecznie otrzymujemy więc warunek: 
: <math> \displaystyle 
{\cal M}_f^2 \ge \sum_i m_i^2  + 2 \;\sum_i \sum_{j>i} m_i \;m_j 
  = \left( \sum_i m_i \right)^2   = s_{min} </math>
   

Warunek konieczny, aby mógł mieć miejsce rozpad do określonego stanu cząstkowego
można więc zapisać w postaci:
:<math> M \; \ge \; \sum_i m_i \qquad = \sqrt{s_{min}}</math>
gdzie <math>s_{min}</math> jest minimalną wartością kwadratu masy niezmienniczej
stanu końcowego.

Rozważmy najprostszy przypadek 
<span style="color:fuchsia">rozpadu dwuciałowego</span>. 
W układzie rozpadającej się cząstki produkty rozpadu mają równe co do
wartości lecz przeciwnie skierowane pędy:
: <math>\vec{p}_1 = -\vec{p}_2</math>

Jaka będzie wartość pędu produktów rozpadu
<span style="color:red"><math>p = |\vec{p}_1| = |\vec{p}_2|</math></span> ?

Wyraźmy masę niezmienniczą przez pęd produktów:
: <math>M^2 \; = \; (E_1 + E_2)^2 - (p_1 - p_2)^2
\; = \;   m_1^2 + m_2^2  + 2\sqrt{(p^2 +m_1^2)(p^2 +m_2^2)} + 2 p^2  </math>

Wydzielając pierwiastek i podnosząc do kwadratu
: <math> (M^2 -m_1^2 - m_2^2  -2p^2 )^2 \; = \; 4(p^2 +m_1^2)(p^2 +m_2^2) </math>

Większość wyrazów z pędem skróci się. Zostaje
: <math>4 M^2 p^2 \; = \; (M^2 -m_1^2 - m_2^2)^2 - 4 m_1^2 m_2^2 </math>

Ostatecznie otrzymujemy:
: <math> p \; = \; \frac{\sqrt{(M^2 - (m_1+m_2)^2)(M^2 - (m_1 - m_2)^2)}}{2\;M} </math> 


Wyrażenie to bardzo się upraszcza w przypadku rozpadu na dwie cząstki
o równych masach, <span style="color:red"><math>m_1 = m_2 = m</math></span>:
: <math> p \; = \; \frac{\sqrt{(M^2 - 4m^2)M^2}}{2\;M} 
\; = \;\sqrt{ \left(\frac{M}{2}\right)^2 - m^2}</math>
Energia produktów rozpadu wyniesie wtedy 
: <math>  E = \frac{M}{2} </math> 


Z kolei w granicy, gdy jeden z produktów rozpadu jest bardzo lekki,
<span style="color:red"><math>m_1 \ll m_2 \sim M</math></span>,
otrzymujemy:
: <math> p \; \approx \; 
\frac{\sqrt{(M^2 - m_2^2)^2}}{2\;M} \; = \; 
\frac{M}{2} \; - \; \frac{m_2^2}{2M} \qquad\qquad  \approx E_1  </math> 


Energie cząstek po rozpadzie <b> nie są równe</b> !
  
Mierząc pęd (lub energię) jednego z produktów rozpadu,  
możemy wnioskować o <span style="color:blue">masach</span> pozostałych cząstek.

<u>'''Przykład'''</u>

Pion <math>\pi^+</math> o masie <math>m_\pi = 140</math> MeV 
rozpada się na mion <math>\mu^+</math>  
(o macie <math>m_\mu = 106</math> MeV) i bezmasowe neutrino:
: <math> \pi^+ \; \rightarrow \mu^+ \; + \; \nu_\mu </math>
 
Pędy produktów rozpadu:
: <math> p \; = \; \frac{m_\pi^2 - m_\mu^2}{2\;m_\pi} \; \approx \; 30 \; MeV</math> 

Energie liczymy z definicji masy niezmienniczej
(<math> m^2 \; = \; E^2 - p^2 </math>):
: <math> E_\mu \; = \; \sqrt{p^2 + m_\mu^2}\; \approx\; 110 \;  MeV </math>
:: <math>   E^k_\mu   \;=  \;4 \; MeV </math>
:<math> E_\nu \; = \; E^k_\nu \; = \; \sqrt{p^2 + m_\nu^2}\; = \;p\; = \;30 \;  MeV </math>

Neutrino wynosi większość energii kinetycznej!


===<u>'''Prawo rozpadu'''</u>===

Wszystkie cząstki danego rodzaju <span style="color:green">
(np. elektrony lub neutrony)</span>
są <span style="color:red">identyczne</span>.
Nie mają też <span style="color:fuchsia">"pamięci"</span> - 
ich własności <span style="color:blue">nie zależą od czasu.</span>
Dla cząstek nietrwałych oznacza to, że 
<span style="color:blue">prawdopodobieństwo</span> ich 
<span style="color:blue">rozpadu</span> w zadanym przedziale czasu jest 
zawsze takie samo.

  
Rozważmy bardzo mały przedział czasu <math>dt</math>
<span style="color:green">(znacznie mniejszy niż typowy czas rozpadu)</span>.
Jeśli próbka zawiera <span style="color:red"><math>N</math></span> cząstek to 
liczba oczekiwanych rozpadów musi być proporcjonalna do 
<span style="color:red"><math>N</math></span> i do 
<span style="color:fuchsia"><math>dt</math></span>:
: <math> dN \; = \; N(t+dt) - N(t) \; = \; - \alpha \; N \; dt </math>

Całkując to równanie otrzymujemy:
: <math> \frac{dN}{N}  \; = \; - \alpha  \; dt </math>
: <math> \ln N \; = \; - \alpha  \; t \; + \; C </math>

Ostatecznie otrzymujemy <b>prawo rozpadu promieniotwórczego</b> 
: <math>  N(t) \; = \; N(0) \cdot e^{-\alpha t}  </math>


Pozostaje nam jednak nieznany parametr <math>\alpha</math>, który musimy
powiązać z własnościami cząstki. Prawdopodobieństwo rozpadu na jednostkę czasu 
<span style="color:green">(dla pojedynczej cząstki)</span> dane jest przez:
: <math> p(t) \; = \;  \alpha \; e^{-\alpha t} </math>

Parametr <span style="color:blue"><math>\alpha</math></span> 
możemy więc powiązać ze średnim czasem życia cząstki cząstki:
: <math> \tau \; = \; \langle t \rangle \; = \; 
          \int_0^{\infty} t \cdot p(t)dt = \frac{1}{\alpha} </math>

Ptrzymujemy więc wzory na prawdopodobieństwo rozpadu
: <math> p(t)  =   \frac{1}{\tau} \; e^{-t/\tau} </math>
oraz
: <math> N(t)  =  N_0 \cdot e^{- t/\tau} </math>

Jeśli cząstka o masie <span style="color:red"><math>m</math></span> i 
średnim czasie życia <span style="color:blue"><math>\tau</math></span> 
<span style="color:green">(zawsze defniowanym w układzie cząstki)</span>
ma w układzie obserwatora O' energię <span style="color:red"><math>E</math></span> 
i pęd <span style="color:red"><math>p</math></span>, to obserwator zmierzy:
: <math> N(t') \; = \;  N_0 \cdot e^{- \frac{t'}{\gamma \tau}} 
            \;= \; N_0 \cdot e^{- \frac{m t'}{E \tau}}</math>
: <math> \langle t' \rangle \; = \; \gamma \; \tau \; = \; \frac{E}{m} \; \tau  </math>
zgodnie z formułą na dylatację czasu. Możemy też zdefiniować
średnią drogę swobodną: 
<math>\lambda \; = \; \langle v t'\rangle \; = \;  \beta \; \gamma \; c \tau 
                    \; = \; \frac{p}{m} \; c\tau </math>

<u>'''Przykład'''</u>

Jaki powinien być pęd mionu produkowanego w górnych warstwach atmosfery  
<span style="color:red">(<math>h=20</math> km)</span>, żeby mógł dolecieć 
do powierzchni Ziemi zanim się rozpadnie?


  
Prawdopodobieństwo rozpadu w funkcji odległości:
: <math> p(x) \; = \;   \frac{1}{\lambda} \; e^{-x/\lambda} </math>

Prawdopodobieństwo, że mion doleci do powierzchni Ziemi:
: <math> P(x>h) \; = \;  \int_h^{\infty}  p(x)dx \; = \; e^{-h/\lambda}</math>

Prawdopodobieństwo to jest formalnie niezerowe dla dowolnego pędu. 
Duże szanse dolecieć mają jednak
tylko miony, dla których <span style="color:red"><math>\lambda > h</math></span>:
: <math> \frac{p}{m} \; c\tau > h </math> 
: <math>  \; p >  \frac{h}{c\tau} m </math>

Dla mionu: <span style="color:red"><math>\tau = 2.2 \; \mu s</math></span>  <span style="color:green">(<math>c \tau \approx 660 \; m</math>)</span>,
<span style="color:red"><math>m \approx 100</math> MeV</span>:
: <math>  p \; > \;  \frac{h}{c\tau} m  \;\approx \; 30\cdot m  \;= \; 3  \;GeV</math>



===<u>'''Zderzenia <math>e^+ e^-</math>'''</u>===


Przekrój czynny na produkcję kwarków (rejestrowanych w postaci hadronów) 
w funkcji dostępnej energii w zderzeniu <math>e^+ e^-</math>:


[[image:ee_had_sigma.png]]

W całym zakresie zbadanych energii mamy niezerowy przekrój czynny
na produkcję kwarków. Proces ten opisujemy jako 
<span style="color:blue">anihilację</span> <math>e^+ e^-</math> 
w <span style="color:red">wirtualny foton</span>,
który następnie rozpada sie na parę 
<span style="color:blue"><math>q \bar{q}</math></span>. Schematycznie
przedstawia to poniższy diagram:

[[image:ee_gamma.png|Produkcja kwarków w zderzeniu <math>e^+ e^-</math>]]


===<u>'''Produkcja rezonansów'''</u>===

Przy pewnych wartościach <span style="color:blue"><math>\sqrt{s}</math></span>
obserwujemy wzrost produkcji kwarków o kilka rzędów wielkości.

Jest to efekt <span style="color:red">rezonansowej</span> produkcji cząstek,
którą można przedstawić schematycznie na diagramie:

[[image:ee_jpsi.png|Produkcja cząstki <math>J/\Psi</math> w zderzeniu <math>e^+ e^-</math>]]

Przy czym cząstka <math>J/\Psi</math> jest nietrwała i rozpada się nastepnie
(np. na parę kwarków). Aby w zderzeniu dwóch cząstek powstała jedna cząstka 
(np: <math> e^+ e^-  \rightarrow  J/\Psi</math>)
<span style="color:red">masa niezmiennicza</span> zderzających się cząstek 
musi być równa <span style="color:red">masie cząstki</span> którą produkujemy
: <math> \sqrt{s}   =   m_{J/\Psi} </math>


[[image:l3_z_fit.png|thumb|300px|right|Produkcja <math>Z^\circ</math> w eksperymencie L3 przy akceperatorze LEP]]

Najbardziej masywnym rezonansem produkowanym dotychczas 
w zderzeniach <math>e^+ e^-</math> jest bozon <math>Z^\circ</math>:
: <math> e^+ e^- \; \rightarrow \; Z^\circ  \; \rightarrow q \bar{q} </math>

Maksimum przekroju czynnego obserwujemy dla
: <math> \sqrt{s} \;  =  \; m_Z </math>

ale ma ono  skończoną szerokość, opisaną tzw. rozkładem Breita-Wignera:
: <math> \sigma(s) \; \sim \; \frac{M_Z^2 \Gamma^2}
        {(s - M_Z^2)^2 + M_Z^2 \Gamma^2}</math>

Szerokość rezonansu wiąże się (zasada nieoznaczoności) 
z czasem życia produkowanej cząstki:
<math> \Gamma \cdot \tau = h </math>

===<u>'''Produkcja wielu cząstek'''</u>===

[[image:lep_ww_cros2.png|thumb|300px|right|Produkcja par <math>W^+ W^-</math> w eksperymentach przy akceperatorze LEP]]
  
Aby w zderzeniu dwóch cząstek powstały dwie lub więcej nowych cząstek, np:
: <math> e^+ \; e^- \; \rightarrow \; W^+ \; W^- </math>

<span style="color:red">masa niezmiennicza</span> zderzających się cząstek 
musi być  większa lub równa <span style="color:red">sumie mas</span> 
produkowanych cząstek:
: <math> \sqrt{s} \;  \ge  \; \sum_i m_i </math>


W przypadku produkcji par bozonów
: <math> e^+ e^- \rightarrow W^+  W^-</math>
masa niezmiennicza zderzających się elektronów musi spełniać warunek
: <math>\sqrt{s}  \ge  2 \; m_W \approx</math> 160 GeV

===<u>'''Energia dostępna'''</u>===

Mase niezmienniczą zderzających się cząstek 
<span style="color:red"><math>\sqrt{s}</math></span>
określamy też jako   <span style="color:red">energię dostępną</span> 
w układzie środka masy.
Energia dostępna jest to część energii kinetycznej, 
która może zostać zamieniona na masę (energię spoczynkową) nowych cząstek.
<span style="color:red"><math>\sqrt{s}</math></span> mówi nam ile 
energii możemy zużyć na wyprodukowanie nowych cząstek. 

<u>'''Przykład'''</u>

Aby wyprodukować antyproton w reakcji
: <math> p \; p \; \rightarrow p \; p \; p \;  \bar{p} </math>

musimy mieć
: <math> \sqrt{s} \; \ge \; 4 \; m_p </math>

Należy zwrócić uwagę, że liczymy wszystkie cząstki  w stanie końcowym,
także   cząstki pierwotne.


Określoną wartość energii dostępnej możemy uzyskać na rózne sposoby:


<u>'''Zderzenia z tarczą'''</u>

Cząstka "pocisk" o energii <math>E</math> uderza  
w nieruchomą tarczę. Kwadrat masy niezmienniczej:
: <math> s  \; = \; 2 \; E_1 \; m_2 + m_1^2 + m_2^2 </math>

w granicy <math> E_1 \gg m_1 \sim m_2 </math>
: <math> s  \; \approx \; 2 \; E_1 \; m_2  </math>


<u>'''Wiązki przeciwbieżne'''</u>

Zderzenia wiązek o energiach <math>E_1</math> i <math>E_2</math>:
: <math> s  \; = \; 2 \; E_1 \; E_2 + 2 \; p_1 \; p_2 + m_1^2 + m_2^2 </math>

w granicy <math> E_1 \sim E_2 \gg m_1 \sim m_2 </math>
: <math> s  \; \approx \; 4 \; E_1 \; E_2  </math>

Uzyskujemy dużo wyższe wartości energii dostępnej niż w przypadku 
zderzenia "z tarczą"!!!

<u>'''Przykład'''</u>

Wiązka protonów o energii 50 GeV (<math>\approx 50 \; m_p</math>)
* na <span style="color:red">tarczy</span> wodorowej (protony):
: <math>\sqrt{s} \approx \sqrt{2 E m_p} \approx  10 GeV 
          \approx 10 \; m_p</math>
* dwie <span style="color:red">wiązki przeciwbieżne</span>:
: <math>\sqrt{s} \approx \sqrt{4 E \cdot E} = 2 \; E = 100 GeV 
              \approx 100 \; m_p</math>


===<u>'''Energia progowa'''</u>===

Jest to minimalna energia wiązki <span style="color:red"><math>E_{min}</math></span>
przy której możliwa jest dana reakcja. Sprowadza się to do warunku
przekroczenia przez masę niezmienniczą pocisku i tarczy 
minimalnej masy niezmienniczej danej przez masy produktów reakcji.
Kwadrat minimalnej masy niezmienniczej:
: <math> s_{min} \;  =  \; \left( \sum_i m_i \right)^2 </math>

<u>'''Zderzenia z tarczą'''</u>

W zderzeniach z nieruchomą tarczą:
: <math> s_{min}  \; = \; 2 \; E_{min} \; m_2 + m_1^2 + m_2^2 </math>

Możemy policzyć jaka jest minimalna energia całkowita pocisku:
: <math> E_{min}  \; = \; \frac{s_{min} - ( m_1^2 + m_2^2) }{2 \; m_2  } 
 \; = \;  \frac{ \left( \sum_i m_i \right)^2 - ( m_1^2 + m_2^2) }{2 \; m_2  } </math>


Minimalna energia kinetyczna pocisku:
: <math> E_{k, min}  \; = \; E_{min} - E_\circ \; = \;  
\frac{ \left( \sum_i m_i \right)^2 - ( m_1 + m_2)^2 }{2 \; m_2  } </math>


Minimalna energia kinetyczna pocisku, w zderzeniach z tarczą, więże się 
z przyrostem masy:
: <math> 2 \; m_2  \; E_{k, min}  \; = \; 
 \left( \sum_i m_i \right)^2_{koncowe} - \;\;
 \left( \sum_i m_i \right)^2_{poczatkowe}   </math> 

Energia kinetyczna pocisku jest "zużywana" na zwiększenie   masy układu...


<u>'''Przykład 1'''</u>
  
Produkcja anty-protonów w reakcji
: <math> p \; p \; \rightarrow p \; p \; p \;  \bar{p} </math>

Minimalna masa niezmiennicza:  <math> \sum_i m_i  = 4 \; m_p </math>

Podstawiając otrzymujemy:
: <math> E_{min}  \; = \; 
 \frac{ (4 \; m_p)^2 - ( m_p^2 + m_p^2) }{2 \; m_p  } \; = \; 7 \; m_p </math>
: <math>  E_{k, min}  \; = \; E_{min} - m_p \; = \;  6\; m_p 
 \qquad \approx 5.63\;GeV </math>


<u>'''Wiązki przeciwbieżne'''</u>

Dla wiązek przeciwbieżnych  
(dla uproszczenia przyjmujemy <math>E_1 = E_2</math>, <math>m_1 = m_2</math>)
mamy
: <math> s_{min}  \; \approx \; 4 \; E_1 \; E_2 \; = \; 4 \; E_{min}^2 </math>

Minimalna energia wiązki przy której możliwe jest wyprodukowanie danego stanu
dana jest przez 
: <math>  E_{min}  \; = \; \frac{1}{2}\sqrt{s_{min}} \; = \;
\frac{1}{2}\sqrt{(\sum_i m_i)^2} \; = \; \frac{1}{2} \sum_i m_i </math>

Minimalna energia kinetyczna
: <math>  E_{k,min} \; = \;  \frac{1}{2} \left[ 
 \left( \sum_i m_i \right)_{koncowe} - \;\;
 \left( \sum_i m_i \right)_{poczatkowe}  \right]
</math>

Należy zauważyć, że energia rośnie liniowo z masą produkowanego stanu 
(na tarczy: kwadratowo!). Dużo niższe energie potrzebne są do wytworzenia 
tego samego stanu w zderzeniach wiązek przeciwbieżnych

<u>'''Przykład 1'''</u> (c.d.)

Produkcja anty-protonów w reakcji
: <span style="color:blue"><math> p \; p \; \rightarrow p \; p \; p \;  \bar{p} </math></span>

Minimalna energia kinetyczna protonów w przypadku zderzenia wiązeg przeciwbieżnych
: <math> E_{k, min}  \; = \; \frac{1}{2}  \left[ 4 m_p - 2 m_p  \right] \; =  m_p 
 \qquad \approx 0.94\;GeV </math>
(na tarczy: 5.63 GeV)


<u>'''Przykład 2'''</u>

Produkcja par bozonów <math>W^+ W^-</math> w zderzeniach elektron-pozyton:
: <math> e^+ \; e^-  \rightarrow W^+ \; W^- </math>

Gdybyśmy chcieli użyć pojedyńczej <span style="color:blue">wiązki</span> 
pozytonów i <span style="color:red">tarczy</span>, minimalna energia
wiązki wyniosłaby (<math>m_W = 80.4\; GeV</math>,  
<math>m_e = 0.000511\; GeV </math>)
: <math> E_{min}  \; = \; 
 \frac{ (2 \; m_W)^2 - ( m_e^2 + m_e^2) }{2 \; m_e  } 
\; \approx \;  \frac{ 2 \; m_W^2}{m_e}  \qquad \approx 25\;300\;000\;GeV</math>

Tak ogromnych energii nie jesteśmy w stanie wytworzyć !  
Dotychczas uzyskiwane wiązki pozytonów miały energie 
<math>E \approx 100 \; GeV</math>, projektowane przyszłe akceleratory mogą
dostarczyć energii <math>E \approx 1000 - 5000 \; GeV</math>...

  
Dla <span style="color:fuchsia">przeciwbieżnych wiązek</span> elektron-pozyton: 
: <math> E_{min}  \; = \; \frac{1}{2}\sqrt{s_{min}} \; = \;
\frac{1}{2}\sqrt{\left(\sum_i m_i\right)^2} \; = \; \frac{1}{2}\sum_i m_i
 \; = \; m_W  \qquad \approx 80\;GeV</math> 

Takie energie to już nie problem (uzyskiwane były w akceleratorze LEP)...