Tekst źródłowy strony Fizyka III/Współczynnik załamania dielektryka i przewodnika

W obszarze widmowym długich fal współczynnik załamania  silnie zależy od częstości, np. dla wody ''n'' zmienia się od około 1,33 (światło sodowe <math>\lambda=\unit{589}{nm}</math>) aż do około 9 dla <math>\lambda=\unit{3}{m}</math> . Tak dużą zmianę współczynnika załamania z częstością można wyjaśnić następującym bardzo prostym modelem oscylatora. Model ten opiera się na następujących założeniach:
*ośrodek wypełniony jest jednorodnie atomami, ''N'' atomów w jednostce objętości,
*jądra atomowe są nieruchome, 
*chmura elektronowa opisana jest przez ładunek ''q'' i masę ''m'',
*na ładunek działa siła harmoniczna: <math>\vec F_\mathrm h = -m\omega_0^2\vec r</math> oraz bardzo mała siła tłumiąca (powoduje, że rozpatrujemy tylko rozwiązanie  stacjonarne oscylatora tłumionego), na tyle mała, że w rozwiązaniu stacjonarnym  pomijamy tłumienie,
*w ośrodku rozchodzi się fala elektromagnetyczna o długości dużo większej od rozmiarów atomów. Pole elektryczne fali powoduje ruch chmury elektronowej. Falę tę traktujemy jako siłę wymuszającą:  <math>\vec F_\mathrm{wym} = q\vec E_0\cos\omega t</math>.
Chmura elektronowa wykonuje drgania opisane znanym nam równaniem oscylatora wymuszonego:
:<math>\ddot \vec r +\omega_0^2\vec r =\frac{q\vec E_0}m\cos\omega t</math>,
którego rozwiązanie stacjonarne jest postaci:
:<math>\vec r =\frac{q\vec E_0}{m(\omega_0^2-\omega^2)}\cos\omega t</math>.
Stąd otrzymujemy gęstość wyidukowanego prądu:
:<math>\vec j =Nq\vec v =\frac{q^2N}{m(\omega_0^2-\omega^2)}\frac{\partial\vec E}{\partial t}</math>.
Tę gęstość prądu wstawiamy do równań Maxwella:
:<math>\mathrm{rot}\ \mathrm{rot}\vec E = \mathrm{grad}\ \mathrm{div}\vec E-\Delta \vec E = -\varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}-\mu_0 \frac{\partial\vec j}{\partial t}</math>
i otrzymujemy następujące równanie falowe:
:<math>\Delta \vec E = \varepsilon_0\mu_0 \left(1+\frac{q^2N}{m \varepsilon_0(\omega_0^2-\omega^2)} \right)\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}</math>.
Jest to klasyczne równanie falowe z przenikalnością elektryczną (a więc i współczynnikiem załamania) zależną od częstości:
:<math>\varepsilon(\omega)= 1+\frac{q^2N}{m \varepsilon_0(\omega_0^2-\omega^2)}</math>
:<math>n(\omega)=\sqrt{1+\frac{q^2N}{m \varepsilon_0(\omega_0^2-\omega^2)}}</math>.
W tym prostym modelu otrzymaliśmy zależność współczynnika załamania od częstości. Zależność ta jest bardzo silna w pobliżu częstości własnej oscylatora swobodnego (częstości własnej ośrodka). Na rysunku <xr id="fig:rys_1"/> pokazano tę zależność, która mimo prostoty dość dobrze opisuje rzeczywiste zależności.
[[Plik:Przykładowa zależność współczynnika załamania od częstości w pobliżu częstości własnej oscylatora.png|thumb|<figure id="fig:rys_1"/>Przykładowa zależność współczynnika załamania od częstości w pobliżu częstości własnej oscylatora.]]

W prosty sposób rozpatrywany model możemy zastosować do przewodnika. W przewodniku mamy dużą liczbę swobodnych ładunków. Przejście do przewodnika polega na <math>\omega_0\rightarrow 0,\ 1\rightarrow\varepsilon_\infty</math> (uwzględniamy w ten sposób ładunki swobodne oraz ładunki związane w zamkniętych powłokach). Otrzymujemy wówczas wzór na przenikalność elektryczną:
:<math>\varepsilon(\omega)= \varepsilon_\infty-\frac{q^2N}{m \varepsilon_0\omega^2}=\varepsilon_\infty\left(1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}\right)</math>,
gdzie wprowadziliśmy oznaczenie: <math>\omega_p=\sqrt{\frac{q^2N}{m\varepsilon_0\varepsilon_\infty}}</math>. Wielkość tę nazywamy częstością plazmową. Dla częstości mniejszych od częstości plazmowej <math>\varepsilon(\omega)<0</math>, co oznacza, że współczynnik załamania jest urojony, a to z kolei oznacza, że współczynnik odbicia dla tego zakresu wynosi 1, a więc fale elektromagnetyczne o częstościach mniejszych są całkowicie odbijane od przewodnika. Dlatego metale odbijają światło, np. dla srebra odbijane są fale z całego zakresu światła widzialnego, natomiast dla złota częstość plazmowa wypada przy kolorze zielonym, stąd złoto „świeci” się na żółto.

Na rysunku <xr id="fig:rys_2"/>  pokazano współczynnik odbicia dla przewodnika.
[[Plik:Kształt współczynnik odbicia dla przewodnika (według wzorów omawianych w tekście).png|thumb|center|<figure id="fig:rys_2"/>Kształt współczynnik odbicia dla przewodnika (według wzorów omawianych w tekście).]]