Tekst źródłowy strony Matematyka:Matematyka II NI/Wzór Taylora dla funkcji

__NOTOC__

==Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych==
===Wzór Taylora===
Niech <math> {\cal O}\subset  { \mathbb R}^N</math> &mdash; zbiór otwarty. Niech <math>f:  {\cal O}\rightarrow  { \mathbb R}</math> &mdash; funkcja klasy <math>C^r</math>
(tzn. różniczkowalna <math>r</math> razy i <math>r-</math>te pochodne są ciągłe). Niech <math>x, x_0\in  {\cal O}</math>, <math>h=x-x_0</math>,
przy czym niech <math>x,x_0</math> będą takie, aby <math>x_0+\theta h\in  {\cal O}</math> dla <math>0\le \theta \le 1</math>.

Utwórzmy funkcję pomocniczą
<equation id="uid2">
<math>\varphi (t) = f(x_0+th),\;\;\;\;\;t\in [0,1].
</math>
</equation>

Z własności <math>f</math> wynika, że <math>\varphi </math> jest ciągła na <math>[0,1]</math> oraz różniczkowalna <math>r</math> razy
w sposób ciągły na <math>]0,1[</math>. Policzmy kolejne pochodne tej funkcji.
::<math>
\varphi (t)=f(x_0^1+t h^1, x_0^2+t h^2,\dots , x_0^N+t h^N),
</math>
::<math>
\varphi ^{\prime }(t) =\sum _{i=1}^N \frac{\partial f}{\partial x^i}(x_0+t h) h^i,
</math>
::<math>
\varphi ^{\prime \prime }(t) =\sum _{i_1=1}^N \sum _{i_2=1}^N\frac{\partial ^2 f}{\partial x^{i_1} \partial x^{i_2}}(x_0+t h) h^{i_1} h^{i_2},
</math>
::<math>
\vdots </math>
::<math>
\varphi ^{r-1}(t) =\sum _{i_1,i_2,\dots ,i_{r-1}}\frac{\partial ^{r-1} f}{\partial x^{i_1} \partial x^{i_2}\dots \partial x^{i_{r-1}}}
(x_0+t h) h^{i_1} h^{i_2}\dots h^{i_{r-1}},
</math>
::<math>
\varphi ^{r}(t) =\sum _{i_1,i_2,\dots ,i_{r}}\frac{\partial ^{r} f}{\partial x^{i_1} \partial x^{i_2}\dots \partial x^{i_{r}}}
(x_0+t h) h^{i_1} h^{i_2}\dots h^{i_{r}}.
</math>
Napiszmy dla <math>\varphi </math> wzór Taylora dla przyrostu argumentu równego <math>1</math> i z resztą w postaci Lagrange'a:
::<math>
\varphi (1)=\varphi (0) +\frac{1}{1!}\varphi ^{\prime }(0) + \frac{1}{2!}\varphi ^{\prime \prime }(0) + \dots + \frac{1}{(r-1)!}\varphi ^{r-1}(0) + \frac{1}{r!}\varphi ^{r}(\theta )
</math>
(tu <math>\theta \in [0,1]</math>).

Wstawiając otrzymane wyżej wzory na pochodne <math>\varphi </math>, otrzymujemy:
::<math>
f(x)=f(x_0) + \frac{1}{1!}\sum _{i=1}^N \frac{\partial f}{\partial x^i}(x_0) h^i
+
\frac{1}{2!}\sum _{i_1=1}^N \sum _{i_2=1}^N\frac{\partial ^2 f}{\partial x^{i_1} \partial x^{i_2}}(x_0) h^{i_1} h^{i_2}
+\dots </math>
<equation id="uid3">
<math>+ \frac{1}{(r-1)!}\sum _{i_1,i_2,\dots ,i_{r-1}}\frac{\partial ^{r-1} f}{\partial x^{i_1} \partial x^{i_2}\dots \partial x^{i_{r-1}}}
(x_0) h^{i_1} h^{i_2}\dots h^{i_{r-1}} + R_r,</math>
</equation>
gdzie <math>R_r</math> jest <i>resztą <math>r-</math>tego rzędu</i>:
<equation id="uid4">
<math>R_r=
\frac{1}{r!}
\sum _{i_1,i_2,\dots ,i_{r}}\frac{\partial ^{r} f}{\partial x^{i_1} \partial x^{i_2}\dots \partial x^{i_{r}}}
(x_0+\theta h) h^{i_1} h^{i_2}\dots h^{i_{r}}.</math>
</equation>
I to jest już kompletny wzór Taylora.

Czasem może nam przyjść ochota na oszacowanie reszty. Podamy tu takie proste oszacowanie.

===Proste oszacowanie reszty===

====Stwierdzenie====
Weźmy kulę domkniętą <math> {\cal K} = \overline{K(x_0,\rho )}</math>, gdzie <math>\rho </math> jest takie, że <math> {\cal K} \subset  {\cal O}</math>.
Wtedy istnieje taka stała <math>M</math>, że
<equation id="uid6">
<math>|R_r|\le M ||h||^r</math>
</equation>
dla wszystkich <math>x\in  {\cal K} </math>.

=====Dowód=====
Wiemy, że funkcje ciągłe na zbiorze zwartym są ograniczone; tak więc:
::<math>
\sum _{i_1,i_2,\dots ,i_{r}}\frac{\partial ^{r} f}{\partial x^{i_1} \partial x^{i_2}\dots \partial x^{i_{r}}}
(x) \le M^{\prime }
</math>
dla wszystkich <math>x\in  {\cal K} </math> i pewnej dodatniej stałej <math>M^{\prime }</math>. Tak więc resztę <math>R_r</math>
we wzorze (<xr id="uid4"> %i</xr>) szacujemy przez
::<math>
R_r\le \frac{1}{r!}
M^{\prime }
\sum _{i_1,i_2,\dots ,i_{r}}^N
|h^{i_1}|\cdot | h^{i_2}|\cdot \dots \cdot |h^{i_{r}}|
=
\frac{1}{r!}
M^{\prime }
\sum _{i_1}^N |h^{i_1}|\cdot \sum _{i_2}^N |h^{i_2}|\cdot \dots \cdot \sum _{i_r}^N |h^{i_r}|
</math>
::<math>
=\frac{1}{r!}
M^{\prime }
\left(\sum _{i=1}^N |h^{i}|\right)^r
\le N^{\frac{r}{2}} ||h||^r
</math>
Uzasadnienie ostatniej nierówności: Przypomnijmy sobie nierówność Schwarza: Zapodaje ona, że
::<math>
\left|
\sum _{i=1}^N a^i b^i
\right|
\le \sqrt{\sum _{i=1}^N (a^i)^2}\cdot \sqrt{\sum _{i=1}^N (b^i)^2} = ||a||\cdot ||b||;
</math>
więc mamy:
::<math>
\sum _{i=1}^N |h^{i}|
= \sum _{i=1}^N |h^{i}\cdot 1|
\le \sqrt{\sum _{i=1}^N (h^i)^2}\cdot \sqrt{\sum _{i=1}^N (1)^2}
=||h|| \cdot \sqrt{N}
</math>
Mamy więc
::<math>
|R_r|\le \frac{M^{\prime } N^\frac{r}{2}}{r!} ||h||^r,
</math>
i oznaczając: <math>M=\frac{M^{\prime } N^\frac{r}{2}}{r!}</math>, otrzymujemy wzór (<xr id="uid4"> %i</xr>) czyli tezę.

<span style="font-style: smaller"></span><span style="font-style: smaller"><b>CBDO</b></span>
===Morał===
Podsumujmy: Wzór Taylora możemy zapisać w postaci:
::<math>
f(x_0+h) = [\mbox{wielomian stopnia }(r-1)\mbox{ od zmiennych }h^1, h^2,\dots , h^N] + R_r,
</math>
gdzie <math>R_r</math> &mdash; mała stopnia wyższego niż <math>||h||^{r-1}</math>, tzn. spełniająca
::<math>
\frac{R_r}{||h||^{r-1}} \stackrel{h\rightarrow 0}{\longrightarrow } 0.
</math>
Wzór Taylora pozwala na przybliżenie skomplikowanych funkcji przez wielomiany, z którymi
jest mieć do czynienia na ogół o wiele prościej.

W zastosowaniach najczęściej spotyka się zastępowanie funkcji przez wielomian pierwszego lub drugiego stopnia,
choć zdarza się też konieczność uwzględniania wyższych potęg.

===Przykł.===
<span style="font-style: smaller">
Energia drga/n cząsteczki o dwu lub więcej atomach w pobliżu położenia równowagi:
przybliżenie harmoniczne i czasem konieczność wyjścia poza to przybliżenie.
</span>

==Ekstrema i punkty stacjonarne==

Niech <math> {\cal O}\subset  { \mathbb R}^N</math> &mdash; zb. otwarty, niech <math>x_0\in  {\cal O}</math>, niech <math>f:  {\cal O}\rightarrow  { \mathbb R}</math> <b>RYS.</b>
===Maksimum===
Mówimy, że <math>f</math> ma w <math>x_0</math> maksimum, jeżeli
<equation id="uid8">
<math>\displaystyle \mathop {\forall }_{x\in  {\cal O}} f(x)\le f(x_0).</math>
</equation>
===Ścisłe maksimum===
Mówimy, że <math>f</math> ma w <math>x_0</math> ścisłe maksimum, jeżeli
<equation id="uid9">
<math>\displaystyle \mathop {\forall }_{x\in  {\cal O}} f(x)< f(x_0).</math>
</equation>
===Maksimum lokalne===
Mówimy, że <math>f</math> ma w <math>x_0</math> maksimum lokalne, jeżeli
<equation id="uid10">
<math>\displaystyle \mathop {\exists }_{\rho >0} \;\;\mathop {\forall }_{x\in K(x_0,\rho )} f(x)\le f(x_0).</math>
</equation>

===Uwaga===
Analogicznie mówimy o minimum, minimum ścisłym, minimum lokalnym, jeśli zmienimy znaki nierówności
w definicjach powyżej.

===Stwierdzenie===
Niech <math> {\cal O}\subset  { \mathbb R}^N</math> &mdash; zb. otwarty, niech <math>f\in C^1( {\cal O})</math>, niech <math>x_0\in  {\cal O}</math>.
Niech <math>f</math> ma w punkcie <math>x_0</math> minimum lokalne.
Wtedy
<equation id="uid11">
<math>\frac{\partial f}{\partial x^i}(x_0)=0, \;\;\;\;\;i=1,\dots , N</math>
</equation>
(tzn. wszystkie pochodne cząstkowe są równe zeru w <math>x_0</math>).

====Dowód====
Dla większej jasności zapiszmy tu jawnie współrzędne punktu <math>x_0</math>:
::<math>
x_0=(x_0^1, x_0^2, \dots , x_0^N).
</math>
Warunek (<xr id="uid10"> %i</xr>) na maksimum lokalne można przeformułować mówiąc, że <math>f(x_0+h)-f(x_0)\ge 0</math>
dla <i>dowolnego</i> wektora przyrostu <math>h</math>. Skoro tak, to weźmy wektor przyrostu posiadający tylko <i>pierwszą</i>
składową różną od zera, a wszystkie pozostałe równe zeru. W ten sposób, <math>f(x_0+h)-f(x_0)</math> jest funkcją
tylko <i>jednej</i> zmiennej <math>x^1</math>. Przypomnijmy sobie teraz tw. dla funkcji jednej zmiennej <math>F(x)</math> mówiące, że
jeżeli <math>F(x)</math> posiada w <math>x^*</math> maksimum lokalne, to <math>F^{\prime }(x^*)=0</math>. W naszej wersji oznacza to, że
<math> \frac{\partial f}{\partial x^1}(x_0)=0</math>.

Weźmy teraz wektor przyrostu <math>h</math> o niezerowej <i>drugiej</i> składowej, a wszystkich pozostałych
równych zeru. Analogiczne rozumowanie prowadzi do wniosku, że <math> \frac{\partial f}{\partial x^2}(x_0)=0</math>.
Itd. W ten sposób otrzymujemy (<xr id="uid11"> %i</xr>).

<span style="font-style: smaller"></span><span style="font-style: smaller"><b>CBDO</b></span>

Z teorii funkcji jednej zmiennej przypominamy sobie, że warunek <math>F^{\prime }(x^*)</math> był warunkiem <i>koniecznym</i>,
ale <i>nie dostatecznym</i> na to, aby <math>F</math> posiadała w punkcie <math>x^*</math> maksimum. Analogicznie jest w przypadku
funkcji wielu zmiennych: Warunek (<xr id="uid11"> %i</xr>) jest warunkiem koniecznym, aby w <math>x_0</math> istniało maksimum
(mówi o tym powyższe Stwierdzenie), ale implikacja: (<xr id="uid11"> %i</xr>) <math>\Longrightarrow </math> (<math>f</math> posiada maksimum
w <math>x_0</math>) na ogół <i>nie jest</i> prawdziwa.
===Punkt krytyczny===
Niech <math>f\in C^1( {\cal O})</math>, <math> {\cal O}</math> &mdash; zbiór otwarty w <math> { \mathbb R}^N</math>. Mówimy, że <math>f</math> ma w <math>x_0\in  {\cal O}</math> <i>punkt krytyczny</i> (zwany też <i>stacjonarnym</i>), jeśli
<equation id="uid12">
<math>\frac{\partial f}{\partial x^i}(x_0)=0, \;\;\;\;\;i=1,\dots , N</math>
</equation>
W przypadku funkcji jednej zmiennej można było podać kryterium na to, aby punkt krytyczny był maksimum
(minimum); był to warunek, aby <i>druga pochodna</i> funkcji w punkcie krytycznym była mniejsza
(większa) od zera<ref>Nie był to warunek najogólniejszy, ale tego ogólniejszego warunku nie będziemy tu
przypominać, gdyż rozszerzenie go na przypadek funkcji wielu zmiennych wymaga znacznie bardziej
zaawansowanej teorii</ref>.

W przypadku funkcji wielu zmiennych również można podać warunek dostateczny na to,
aby punkt krytyczny był maksimum (minimum). Jest to jednak bardziej skomplikowane niż w przypadku
funkcji jednej zmiennej, i aby ten warunek podać, przypomnimy najsampierw kilka faktów z zakresu
teorii <i>form kwadratowych</i>.
===Forma kwadratowa===
Niech <math>k \in  { \mathbb R}^N</math>. <i>Formą kwadratową</i> na <math> { \mathbb R}^N</math> nazywamy funkcję
<equation id="uid14">
<math>\omega (k)=\sum _{i,j=1}^N \omega _{ij} k^i k^j</math>
</equation>
Współczynniki występujące w powyższym wyrażeniu tworzą <i>macierz</i> formy kwadratowej:
<equation id="uid15">
<math>\left(
\begin{array}{cccc}
\omega _{11} & \omega _{12} & \dots & \omega _{1N}\\
\omega _{21} & \omega _{22} & \dots & \omega _{2N}\\
\vdots & \vdots & \dots & \vdots \\
\omega _{N1} & \omega _{N2} & \dots & \omega _{NN}
\end{array}
\right)\;\;\;\;- \;\;\;\mbox{macierz symetryczna: }\;\;\;\;\omega _{ij}=\omega _{ji}</math>
</equation>
Dla macierzy formy kwadratowej (<xr id="uid15"> %i</xr>) zdefiniujmy następujące liczby <math>D_1, D_2, \dots , D_N</math>.
<equation id="uid16">
<math>D_1=\omega _{11}</math>
</equation>
<equation id="uid17">
<math>D_2 =\det \left(
\begin{array}{cc}
\omega _{11} & \omega _{12} \\
\omega _{21} & \omega _{22}
\end{array}
\right)</math>
</equation>
<equation id="uid18">
<math>D_3=\det \left(
\begin{array}{ccc}
\omega _{11} & \omega _{12} & \omega _{13}\\
\omega _{21} & \omega _{22} &\omega _{23}\\
\omega _{31} & \omega _{32} & \omega _{33}
\end{array}
\right)</math>
</equation>
itd.,
<equation id="uid19">
<math>D_N = \det \left(
\begin{array}{cccc}
\omega _{11} & \omega _{12} & \dots & \omega _{1N}\\
\omega _{21} & \omega _{22} & \dots & \omega _{2N}\\
\vdots & \vdots & \dots & \vdots \\
\omega _{N1} & \omega _{N2} & \dots & \omega _{NN}
\end{array}
\right)</math>
</equation>

====Twierdzenie (Kryterium dodatniej/ujemnej określoności form kwadratowych)====
<ol>
<li>Jeśli wszystkie <math>D_i</math> są większe od zera: <math>D_i>0</math> dla <math> i=1, 2,\dots , N</math>, to dla dowolnego niezerowego
wektora <math>k\in  { \mathbb R}^N</math> zachodzi:

::<math>
\omega (k)>0
</math>

(taką formę nazywamy <i>ściśle dodatnią</i>).
<li>Jeśli zachodzi: <math>(-1)^i D_i>0</math> dla <math> i=1, 2,\dots , N</math>, to dla dowolnego niezerowego
wektora <math>k\in  { \mathbb R}^N</math> zachodzi:

::<math>
\omega (k)<0
</math>

(taką formę nazywamy <i>ściśle ujemną</i>).
</ol>

=====Dowodu=====
nie będzie, bo był on już albo będzie niedługo w części 'algebraicznej' wykładu.

=====Przykł.=====
<span style="font-style: smaller"> Niech <math>N=2</math>.
Forma <math>\omega _+(k)=k_1^2 + k_2^2</math> jest ściśle dodatnia, forma <math>\omega _-(k)=-k_1^2 - k_2^2</math>
jest ściśle ujemna, zaś forma <math>\omega _{+-} = k_1 k_2</math> nie jest ani dodatnia, ani ujemna.
</span>

====Postać kanoniczna formy kwadratowej====
Jest to taka forma, że macierz formy jest macierzą diagonalną
z liczbami: <math>1,0,-1</math> na przekątnej. Innymi słowy,

::<math>
\omega (k) = \sum _{i=1}^n (k^i)^2 - \sum _{i=n+1}^m (k^i)^2\;\;\;\;\;(m\le N).
</math>

====Twierdzenie====
Każdą formę kwadratową można przez liniową zamianę zmiennych doprowadzić do postaci kanonicznej,
która jest jedyna z dokładnością do przenumerowania zmiennych (tzn. ilość plusów i minusów
w postaci kanonicznej formy jest jednoznaczna).

=====Dowód=====
Bez dowodu &mdash; był on / będzie na części algebraicznej wykładu.

===Twierdzenie (warunek dostateczny istnienia ekstremum)===
Niech <math>f\in C^2( {\cal O})</math>, <math> {\cal O}</math> &mdash; otwarty w <math> { \mathbb R}^N</math>.
Niech <math>x_0\in  {\cal O}</math> &mdash; punkt krytyczny funkcji <math>f</math>, tzn. <math>\frac{\partial f}{\partial x^i}(x_0)=0, \;\;\;\;\;i=1,\dots , N</math>.
Niech
::<math>
D_s(x_0) = \det \left(
\frac{\partial ^2 f}{\partial x^i\partial x^j}(x_0)>0 \;\;\;\;\;(1\le i,j\le s)
\right)
</math>
dla <math>s=1,2,\dots ,N</math>. Wtedy <math>f</math> ma w <math>x_0</math> ścisłe minimum lokalne.

====Dowód====
Wypiszmy wzór Taylora dla <math>f</math> do 2. rzędu, uwzględniając, że <math>x_0</math> jest punktem krytycznym:
::<math>
f(x)=f(x_0) + \frac{1}{2} \sum _{i,j=1}^N \frac{\partial ^2 f}{\partial x^i\partial x^j}(x_0 + \theta h)h^i h^j
</math>
Drugie pochodne <math>f</math> z założenia są ciągłe, a co za tym idzie &mdash; funkcje <math>D_s</math> też są ciągłe,
więc istnieje <math>\rho >0</math> takie, że <math>D_s(x)>0</math> dla <math>x=\in K(x_0, \rho )</math>. Dla <i>wszystkich</i> <math>x</math>
&mdash; a więc w szczeg/olności dla <math>x = x_0+\theta h</math>.

<span style="font-style: smaller"></span><span style="font-style: smaller"><b>CBDO</b></span>

==Ekstrema związane (warunkowe)==
===Rozwiązanie przez funkcje uwikłane===
Często w matematyce/fizyce mamy do czynienia z sytuacją, gdy musimy znaleźć ekstrema
jakiejś funkcji przy nałożonym określonym warunku. Na przykład, chcemy znaleźć prostopadłościan
o możliwie największej objętości przy warunku, że pole powierzchni tego prostopadłościanu jest
ustalone.

Niech <math>f: {\cal O}\subset  { \mathbb R}^N\rightarrow  { \mathbb R}</math>, <math> {\cal O}</math> &mdash; otwarty. Niech <math>P\subset  {\cal O}</math>. (dalej zazwyczaj będziemy
rozważać przypadki, gdzie <math>P</math> jest zadany jako poziomica pewnej różniczkowalnej funkcji <math>g</math>).

<b>RYS.</b>

====Minimum lokalne====
Niech <math>p_0\in P</math>. Mówimy, że funkcja <math>f(x)</math> ma w punkcie <math>p_0</math> minimum lokalne przy warunku, że <math>x\in P</math>,
jeśli istnieje otoczenie <math>V</math> punktu <math>p_0</math> w <math> {\cal O}</math> takie, że
::<math>
\displaystyle \mathop {
\forall }_{p\in V\cap P} f(p)\ge f(p_0).
</math>
Rozpatrzmy konkretniej przypadek <math>N=2</math>. Niech <math>g:  {\cal O}\rightarrow  { \mathbb R}</math>, <math>g</math> jest klasy <math>C^1</math>.
Niech <math>P=\lbrace  (x,y)\in  { \mathbb R}^2: g(x,y)=0\rbrace </math> (tzn. <math>P</math> jest zadany jako zerowa poziomica <math>g</math>).
Niech będzie dana funkcja <math>f\in C^1( {\cal O})</math>. Szukamy ekstremów funkcji <math>f(x,y)</math> przy
warunku, że <math>g(x,y)=0</math>.

Sytuacja, gdy szukamy ekstremum funkcji bez żadnych warunków, na ogół różni się zasadniczo
od tej, gdy szukamy ekstremów przy nałożeniu jakiegoś warunku.

=====Przykł.=====
<span style="font-style: smaller">
<math>f(x,y)=2xy, g(x,y)=x^2+y^2-1</math>. Gdy szukamy ekstremów <math>f</math> bez żadnego warunku, to ekstremów nie ma:
jest jeden punkt krytyczny <math>(0,0)</math>, który jest siodłem. Rozważmy teraz sytuację, gdy szukamy ekstremów
<math>f</math> przy warunku <math>g(x,y)=0</math>. Sparametryzujmy okrąg przez kąt <math>\phi </math> we wsp. biegunowych: <math>x=\cos \phi </math>, <math>y=\sin \phi </math>;
wtedy <math>f</math> obcięta do okręgu jest dana równaniem: <math>F(\phi )=f(\cos \phi ,\sin \phi )=2\sin \phi \cos \phi =\sin 2\phi </math>,
i funkcja <math>F</math> ma cztery ekstrema: dwa maksima w <math>\phi \in \lbrace \frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\rbrace </math>, co odpowiada punktom na
płaszczyźnie: <math>(\pm \frac{1}{\sqrt{2}},\pm \frac{1}{\sqrt{2}})</math>; w tych punktach wartość <math>f</math> jest równa 1;
i dwa minima w <math>\phi \in \lbrace \frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4}\rbrace </math> tzn. <math>(\pm \frac{1}{\sqrt{2}},\mp \frac{1}{\sqrt{2}})</math> &mdash;
w tych punktach wartość <math>f</math> jest <math>-1</math>.
</span><span style="font-style: smaller"><b>RYS.</b></span><span style="font-style: smaller">
</span>

Wróćmy do og/olnego przypadku funkcji zależnej od dwóch zmiennych <math>f(x,y)</math> przy warunku <math>g(x,y)=0</math>. Rozwiązanie
problemu znajdowania ekstremum warunkowego możemy znaleźć, posługując się niedawno udowodnionym twierdzeniem
o funkcjach uwikłanych. Będziemy zakładać, że równanie: <math>g(x,y)=0</math> da się (przynajmniej lokalnie) rozwikłać
do postaci <math>y=y(x)</math>; da się tak zrobić, gdy <math>\frac{\partial g}{\partial y}\ne 0</math>. Wstawmy uzyskaną funkcję <math>y(x)</math>
do funkcji <math>f</math>. Zdefiniujmy: <math>F(x)=f(x,y(x))</math>. W ten sposób, badanie ekstremów funkcji <math>f(x,y)</math> przy warunku <math>g(x,y)=0</math>
sprowadza się do badania ekstremów funkcji <math>F(x)</math>.

Funkcja <math>F(x)</math> posiada punkt <math>x_0</math> podejrzany o ekstremum, gdy

::<math>
\frac{{\sf d}F}{{\sf d}x}(x_0)=0,
</math>

Policzmy pochodną funkcji <math>F</math>. Mamy

::<math>
\frac{{\sf d}F}{{\sf d}x} = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y(x))+ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y(x))\cdot \frac{{\sf d}y}{{\sf d}x}
</math>

oraz

::<math>
\frac{{\sf d}y}{{\sf d}x}
=
-\frac{\frac{\partial g}{\partial x}(x,y(x))}{ \frac{\partial g}{\partial y}(x,y(x))}
</math>

Punkt <math>(x_0,y_0)</math> (gdzie <math>y_0=y(x_0)</math>) będzie podejrzany o ekstremum, gdy spełniona będzie równość

<equation id="uid23">
<math>\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)-
\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\cdot \frac{\frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0)}{ \frac{\partial g}{\partial y}(x_0,y_0)}
=
0.

</math>
</equation>

Jest to <i>jedno</i> równanie na <i>dwie</i> liczby <math>x_0</math> oraz <math>y_0</math>. Pamiętajmy jednak, że mamy też drugie
równanie

<equation id="uid24">
<math>g(x_0,y_0)=0.

</math>
</equation>

===Przeformułowanie &mdash; metoda mnożników Lagrange'a===

Wzór (<xr id="uid23"> %i</xr>) nie wygląda miło. Lagrange podał schemat, który w znacznie bardziej przejrzysty sposób
pokazuje sposób liczenia ekstremów warunkowych.

Uzyskuje się to wprowadzając dodatkową zmienną <math>\lambda </math> (<math>\lambda </math> jest nazywane <i>mnożnikiem Lagrange'a</i>),
określoną jako:
<equation id="uid26">
<math>\lambda = \frac{\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)}{ \frac{\partial g}{\partial y}(x_0,y_0)}</math>
</equation>
Równanie (<xr id="uid23"> %i</xr>) można wtedy zapisać jako:
<equation id="uid27">
<math>f_x -\lambda g_x =0,</math>
</equation>
zaś definicję mnożnika Lagrange'a <math>\lambda </math> jako
<equation id="uid28">
<math>f_y-\lambda g_y=0.</math>
</equation>
(pamiętając, że cały czas mamy też trzeci warunek (<xr id="uid24"> %i</xr>)).

Wprowadźmy teraz funkcję:
<equation id="uid29">
<math>\Phi (x,y;\lambda )=f(x,y)-\lambda g(x,y).</math>
</equation>
Warunek konieczny istnienia ekstremum związanego możemy teraz zapisać jako
<equation id="uid30">
<math>\begin{matrix}\Phi _x(x_0,y_0) = f_x(x_0,y_0) - \lambda g_x(x_0,y_0) & = & 0\\
\Phi _y(x_0,y_0) = f_y(x_0,y_0) - \lambda g_y (x_0,y_0)& = & 0\\
g(x_0,y_0) & = & 0.
\end{matrix}</math>
</equation>
Jest to układ 3 równa/n na 3 niewiadome; z tego rzadko potrzebujemy znać <math>\lambda </math>, rozwiązujemy
więc go tak aby wyznaczyć tylko <math>(x_0, y_0)</math>.
====Przykł.====
<span style="font-style: smaller">
<math>f(x,y)=2xy, g(x,y)=x^2+y^2-1</math> raz jeszcze.
Mamy: <math>\Phi (x,y)=xy-\lambda (x^2+y^2-2)</math>. Warunek konieczny istnienia ekstremum jest:</span>
<equation id="uid31">
<math>\begin{matrix}\Phi _x(x_0,y_0) = 0\Longrightarrow y_0 - \lambda x_0 & = & 0,\\
\Phi _y(x_0,y_0) = 0\Longrightarrow x_0 - \lambda y_0& = & 0,\\
g(x_0,y_0) & = & 0.
\end{matrix}</math>
</equation>
<span style="font-style: smaller">Mnożąc pierwsze z powyższych równa/n przez <math>y_0</math>, drugie przez <math>x_0</math> i odejmując stronami,
otrzymamy: <math>x_0^2-y_0^2=0</math>, co daje <math>x_0=\pm y_0</math>. Uwzględniając teraz trzecie równanie
dostajemy: <math>(x_0,y_0)=(\pm 1,\pm 1)</math>
oraz <math>(x_0,y_0)=(\pm 1,\mp 1)</math> &mdash; zgodnie z tym co
dostaliśmy uprzednio.
</span>
===Badanie warunku dostatecznego===

W przypadku znajdowania ekstremów funkcji bez nałożonych żadnych warunków,
po znalezieniu punktów krytycznych, jako podejrzanych o ekstrema, trzeba było
je dodatkowo zbadać, aby zobaczyć, czy są ekstremami, czy nie. Gdy mamy kandydatów
na ekstrema warunkowe, również powinno się przeprowadzić analogiczne badanie. Jest
to zazwyczaj bardziej skomplikowane niż w przypadku kandydatów na ekstrema 'bezwarunkowe'.
Są tu trzy zasadnicze sposoby postępowania.
<ol>
<li>Gdy zbiór, na którym szukamy ekstremów warunkowych, jest <i>zwarty</i> (tzn.
domknięty i ograniczony), to możemy skorzystać z tw. Weierstrassa mówiącego, iż
funkcja na zbiorze zwartym osiąga swoje kresy. W ten sposób, gdy z metody mnożników Lagrange'a
znajdziemy punkty podejrzane o ekstrema warunkowe, to liczymy wartość funkcji w tych punktach;
w ten sposób znajdujemy wartość największa i najmniejszą.

<i>Przykł.</i>
<span style="font-style: smaller">
<math>f(x,y)=xy, g(x,y)=x^2+y^2-2</math> raz jeszcze: Poziomicą zerową funkcji <math>g</math> jest okrąg,
więc zbiór zwarty. W znalezionych już punktach <math>(1,1)</math> i <math>(-1,-1)</math> wartość <math>f</math> wy
nosi <math>+1</math>, a w punktach <math>(-1,1)</math> i <math>(1,-1)</math> wynosi <math>-1</math>. Dwa pierwsze są więc maksimami,
a dwa pozostałe &mdash; minimami.
</span>
<li>
	Badamy kandydatów na ekstrema warunkowe, korzystając z teorii funkcji uwikłanych.
<li>
	Wyznaczamy mnożniki Lagrange'a i liczymy drugą pochodną funkcji <math>\Phi </math> z uzyskanymi
mnożnikami w znalezionych punktach krytycznych, a następnie badamy określoność tej formy
kwadratowej ograniczonej do płaszczyzny stycznej do poziomicy <math>g(x)=0</math>.
</ol>

<span style="None">Dwie ostatnie recepty brzmią być może dość abstrakcyjnie; podam konkretniejsze przykłady w
wolnej chwili.</span>

===Przypadek gdy mamy <math>M</math> warunków===

Może się wreszcie zdarzyć, że musimy znaleźć ekstremum funkcji <math>f</math> przy nałożonym
nie jednym, a <math>M</math> warunkach. Sprecyzujmy to tak:

Niech <math> {\cal O}\subset  { \mathbb R}^{N+M}</math>, niech <math>f\in C^1( {\cal O})</math>. Niech <math>g_1,g_2,\dots , g_M\in C^1( {\cal O})</math> i niech
::<math>
 {\cal P}=\lbrace x\in  { \mathbb R}^{N+M}: g_1(x)=0 \wedge g_2(x)=0 \wedge \dots \wedge g_M(x)=0\rbrace .
</math>

<b>RYS.</b>

Podamy teraz (ale uzasadnienie sobie darujemy<ref>Podobnie jak w filmie 'Toy Story 2'
bohater negatywny Al darował sobie prysznic przed wylotem do Tokio</ref>) sposób, w jaki znajdujemy
kandydatów na ekstrema w tym przypadku. (<span style="None">Tu również uzasadnienie &mdash; jako materiał nadobowiązkowy &mdash;
planuję w wolnej chwili napisać.</span>)

Utwórzmy mianowicie funkcję
<equation id="uid38">
<math>\Phi (x,\lambda )=f(x)+\lambda _1 g_1(x) + \lambda _2 g_2(x)+ \dots + \lambda _M g_M(x);
</math>
</equation>
występujące tu liczby <math>\lambda _1, \dots , \lambda _M</math> są parametrami, zwanymi <i>mnożnikami Lagrange'a</i>.
Przyrównajmy następnie do zera pochodne:
::<math>
\frac{\partial \Phi }{\partial x^1} = \frac{\partial f}{\partial x^1} + \lambda _1\frac{\partial g_1}{\partial x^1} + \dots + \lambda _M\frac{\partial g_M}{\partial x^1}=0,
</math>
::<math>
\frac{\partial \Phi }{\partial x^2} = \frac{\partial f}{\partial x^2} + \lambda _1\frac{\partial g_1}{\partial x^2} + \dots + \lambda _M\frac{\partial g_M}{\partial x^2}=0,
</math>
<math>\dots </math>
::<math>
\frac{\partial \Phi }{\partial x^{N+M}} = \frac{\partial f}{\partial x^{N+M}} + \lambda _1\frac{\partial g_1}{\partial x^{N+M}} + \dots + \lambda _M\frac{\partial g_M}{\partial x^{N+M}}=0
</math>
(razem <math>N+M</math> równa/n) oraz
::<math>
g_1=0,\;\;g_2=0, \dots , g_M=0.
</math>
Razem mamy <math>N+M+M</math> równa/n na <math>N+M+M</math> niewiadomych. Rozwiązując te równania dostaniemy zestaw <math>x^1,\dots , x^{N+M}</math>
oraz <math>\lambda _1, \dots , \lambda _M</math> (tych ostatnich zazwyczaj nie potrzebujemy). W ten sposób mamy kandydatów na ekstrema.

====Przykł.====
<span style="font-style: smaller">
Na elipsie <math>\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}</math> znaleźć punkty najmniej i najbardziej odległe od prostej <math>3x-y+9=0</math>.</span>

<span style="font-style: smaller"><i>Rozw.</i></span><span style="font-style: smaller"> Niech <math>p_1=(x_1,y_1)</math> należy do elipsy, zaś <math>p_2=(x_2,y_2)</math> &mdash; do prostej. Musimy znaleźć najmniejszą
wartość odległości pomiędzy punktami <math>p_1</math> i <math>p_2</math>: <math>d(p_1,p_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}</math> </span><span style="font-style: smaller"><i>przy warunkach</i></span><span style="font-style: smaller">,
że <math>p_1</math> należy do elipsy, zaś <math>p_2</math> do prostej.</span>

<span style="font-style: smaller">łatwiej będzie rozwiązywąc równoważny problem badania </span><span style="font-style: smaller"><i>kwadratu</i></span><span style="font-style: smaller"> odległości. Musimy zatem znaleźć
ekstrema funkcji <math>f(x_1,x_2,y_1,y_2)=(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2</math> przy </span><span style="font-style: smaller"><i>dwóch</i></span><span style="font-style: smaller"> warunkach:
<math>\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{9}-1=0</math>, <math>3x_2-y_2+9=0</math>.</span>

<span style="font-style: smaller">Postępując we wskazany wyżej sposób, tworzymy funkcję:</span>
::<math>
\Phi = (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + \lambda \left( \frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{9}-1 \right) + \mu (3x_2-y_2+9),
</math>
<span style="font-style: smaller">(<math>\lambda , \mu </math> &mdash; mnożniki Lagrange'a), liczymy jej pochodne, przyrównujemy do zera i rozwiązujemy powstały
układ równa/n. </span><span style="font-style: smaller"><i>Odp.</i></span><span style="font-style: smaller">: Punktem na elipsie najmniej odległym od prostej jest
<math>p_{min}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{3}{\sqrt{5}}\right)</math>, zaś punktem najbardziej odległym jest
<math>p_{max}=\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{3}{\sqrt{5}}\right)</math>.
</span>



-------
<references/>