Tekst źródłowy strony Matematyka 1NI/Funkcje cyklometryczne

'''Uwaga'''

Zadania poprzedzamy wykresami funkcji cyklometrycznych i funkcji do nich odwrotnych.

==Funkcje cyklometryczne==

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Oblicz <math> \arcsin 1 </math>, <math> \arcsin \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}\right)</math>, <math> \arccos \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}\right)</math>, 
<math> \arctan \sqrt{3} </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Odpowiedzi:
<math> \frac{\pi}{2} </math>, <math> - \frac{\pi}{4} </math>, <math>  \frac{3\pi}{4} </math>, <math> \frac{\pi}{3} </math>.

}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Jeśli zajdzie potrzeba zrobić więcej przykładów.
}}
----

<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Oblicz <math> \arccos \cos 3</math>, <math> \arcsin \sin 3</math>, <math> \arctan \tan 3</math>, <math> \arccos \sin 3</math>.


{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Ponieważ <math>3\in[0,\pi]</math> to <math> \arccos \cos 3=3</math>.

Ponieważ <math>\pi - 3\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math> oraz <math>\sin (\pi - 3)=\sin 3</math> to <math> \arcsin \sin 3=\pi-3</math>.

Ponieważ <math>3 - \pi \in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math> oraz <math>\tan (3 - \pi)=\tan 3</math> to <math> \arctan \tan 3=3-\pi</math>.

Ponieważ <math>3 - \frac{\pi}{2} \in [0,\pi]</math> oraz <math>\sin 3=\cos \left( 3 - \frac{\pi}{2}\right)</math> to <math> \arccos \sin 3=3 - \frac{\pi}{2}</math>.


}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = 
}}
----

<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Udowodnij, że

a) <math>\forall x\in \mathbb{R}: \, \sin \arctan x =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>,

b) <math> \forall x\in ]-1,1[: \, \tan \arcsin x=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math>.


{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = 
a) Ponieważ dla kątów <math> \alpha \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[</math> zachodzi 
<math>\sin \alpha=\frac{\tan \alpha}{\sqrt{1+\tan^2 \alpha}}</math> to wstawiając <math>\alpha= \arctan x</math> otrzymujemy tezę.

b) Ponieważ dla kątów <math> \alpha \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[</math> zachodzi 
<math>\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}}</math> to wstawiając <math>\alpha= \arcsin x</math> otrzymujemy tezę.

}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = 
}}
----

<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Udowodnij, że 

a) <math> \arctan \frac{1}{2} +\arctan \frac{1}{3} =\frac{\pi}{4}</math>, 

b) <math> \arctan (-2) +\arctan (-3) =-\frac{3\pi}{4}</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Oblicz tangens lewej i prawej strony równości.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = 

a) Ponieważ <math> \arctan \frac{1}{2}\in ]0,\frac{\pi}{2}[</math> i <math> \arctan \frac{1}{3}
\in ]0,\frac{\pi}{2}[</math> to suma <math> \arctan \frac{1}{2} +\arctan \frac{1}{3}</math> należy do przedziału
<math>]0, \pi[</math> a w przedziale tym tangens jest różnowartościowy. W rezultacie  ograniczając się do przedziału <math>]0, \pi[</math>
możemy zapisać

<math> \arctan \frac{1}{2} +\arctan \frac{1}{3} =\frac{\pi}{4} \iff \tg(\arctan \frac{1}{2} +\arctan \frac{1}{3}) =\tan\frac{\pi}{4} \iff
\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}=1 \iff 1=1
</math>. 

b) Ponieważ <math>  \arctan (-2)\in ]-\frac{\pi}{2},0[</math> i <math> \arctan (-3) 
\in ]-\frac{\pi}{2},0[</math> to suma <math> \arctan   (-2) +\arctan (-3)</math> należy do przedziału
<math>]- \pi,0[</math> a w przedziale tym tangens jest różnowartościowy. W rezultacie  

<math> \arctan (-2) +\arctan (-3) =-\frac{3\pi}{4} \iff \tg(\arctan (-2)  +\arctan (-3)) =\tg\left( -\frac{3\pi}{4} \right) \iff
\frac{-2 -3}{1-(-2) \cdot (-3)}=1 \iff 1=1
</math>. 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = 
}}
----