Tekst źródłowy strony Matematyka 1NI/Wielomiany i funkcje wymierne część I

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Dane są wielomiany <math> w_1(x)=x+7 </math>, <math> w_2(x)=x^2+7 </math> i <math> w_3(x)=7x^2+7x </math>.
Znajdź wielomian <math> w_4(x) = w_1(x)*w_2(x)-w_3(x)</math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =  To łatwe.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =  
<math> w_4(x)=(x+7)(x^2+7)- 7x^2-7x =x^3+49 </math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem. }}
----

<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Podziel (z resztą) wielomian <math> w(x)=x^4-3 x^3+1 </math> przez wielomian <math> v(x)=x^3+2 </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Przykro nam ale to zadanie również nie wymaga wskazówki.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =  
<math> \frac{x^4-3 x^3+1}{x^3+2}=x-3+\frac{-2x+7}{x^3+2} </math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----

<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Znajdź resztę z dzielenia wielomianu <math> w(x)=x^{1000}+1 </math> przez wielomian <math> v(x)=(x-1)(x-2)</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Jakiego stopnia jest reszta?
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =  Ponieważ dzielimy przez wielomian drugiego stopnia, reszta jest wielomianem stopnia co najwyżej pierwszego 
<math> r(x)=a x+b </math>. Mamy

<math> x^{1000}+1 =p(x) (x-1)(x-2)+ a x+b</math>

gdzie <math>p(x)</math> jest pewnym wielomianem.
Wstawiając do ostatniej równości kolejno <math>x=1</math> i <math>x=2</math> otrzymujemy 
<math>2=a+b</math> i <math>2^{1000}+1=2a+b</math>. Czyli <math>a=2^{1000}-1</math>, <math>b=3-2^{1000}</math>.
Szukaną resztą jest

<math> r(x)=(2^{1000}-1) x+ 3-2^{1000}</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Jak widać przy znajdowaniu reszty nie jest potrzebna znajomość wyniku dzielenia.}}
----

<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Znajdź resztę z dzielenia wielomianu <math> w(x)=x^{1000}+x^6+1 </math> przez wielomian <math> v(x)=x^2+1</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Podstaw <math> t=x^2 </math>. 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =  Zadanie sprowadza się do dzielenia wielomianu <math> w_1(t)=t^{500}+t^3+1 </math>
przez wielomian <math> v_1(t)=t+1</math>. Reszta z takiego dzielenia jest wielomianem stopnia co najwyżej 0 i wynosi ona

<math> r(t)=c=w_1(-1)=(-1)^{500}+(-1)^3+1=1</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----

<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Podziel (z resztą) wielomian <math> w(x)=x^n-a^n </math> przez wielomian <math> v(x)=x-a</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =  
<math> \frac{x^n-a^n}{x-a}=\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k} a^k </math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Przypomnieć definicję podzielności wielomianów i twierdzenie Bezoute'a}}
----

<big>'''''Zadanie 6'''''</big>

Sprowadź trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =  
<math>a x^2+b x+c= a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})= a(x^2+2\frac{b}{2a}x+\frac{c}{a})=a\left[x^2+2\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}\right]=a\left[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Przećwiczyć przesuwanie wykresu funkcji!}}
----

<big>'''''Zadanie 7'''''</big>

Rozwiąż równanie <math> (x+1)^2-9=0</math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Zamiast wskazówki zakaz: nie wolno wykonywać mnożenia. 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =  <math> (x+1)^2=9 \iff ( x+1=3 \or x+1=-3) \iff (x=2 \or x=-4)</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----

<big>'''''Zadanie 8'''''</big>

Znajdź środek symetrii wykresu funkcji  <math> y=ax^3+bx^2+cx+d</math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Sprowadź  wielomian trzeciego stopnia do postaci kanonicznej
<math> y=a\left[(x-A)^3+B(x-A)+C\right]</math>. Środek symetrii znajduje się w punkcie <math>(A,aC)</math> (dlaczego?).
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =  Sprowadzamy wielomian trzeciego stopnia do postaci kanonicznej
<math> y=ax^3+bx^2+cx+d=a\left(x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}\right)=
a\left[ x^3 +3\frac{b}{3a}x^2 +3 \left(\frac{b}{3a}\right)^2 x  +\left(\frac{b}{3a}\right)^3  -3 \left(\frac{b}{3a}\right)^2 x  -\left(\frac{b}{3a}\right)^3 +\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}\right]=
</math>

<math>
=a\left[\left(x +\frac{b}{3a}\right)^3+\left(\frac{c}{a}-3 \left(\frac{b}{3a}\right)^2\right)x+\frac{d}{a}-\left(\frac{b}{3a}\right)^3\right]
=a\left[\left(x +\frac{b}{3a}\right)^3+\left(\frac{c}{a}-3 \left(\frac{b}{3a}\right)^2\right)(x+\frac{b}{3a}-\frac{b}{3a})+\frac{d}{a}-\left(\frac{b}{3a}\right)^3\right]=
</math>

<math>
=a
\left[ \left(
        x +\frac{b}{3a}
       \right)^3+
       \left(
       \frac{c}{a}-3 \left(\frac{b}{3a}\right)^2
       \right)(x+\frac{b}{3a})+\frac{d}{a}-
       \left(\frac{b}{3a}
       \right)^3-\frac{b}{3a} 
       \left(\frac{c}{a}-3 \left(\frac{b}{3a}\right)^2
       \right)
\right]
=a\left[ \left( x +\frac{b}{3a}\right)^3+
          \frac{3ac-b^2}{3a^2}(x+\frac{b}{3a})+\frac{27a^2d+2b^3-9abc}{27a^3}
\right]
</math>

Położenie środka symetrii to <math>\left(-\frac{b}{3a},\frac{27a^2d+2b^3-9abc}{27a^2}\right)</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----

<big>'''''Zadanie 9'''''</big>

Dla jakich wartości parametru <math>a</math> równanie kwadratowe (na <math>x</math>) <math>2x^2+a x+\frac{1}{4} a^2-a=0</math>
ma dwa (różne) pierwiastki ujemne.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Skorzystaj ze wzorów Viete'a.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = 
Aby istniały dwa pierwiastki rzeczywiste trójmianu kwadratowego jego wyróżnik musi być dodatni
<math>-a^2+8a >0 \iff a \in]0,8[</math>, aby pierwiastki te były ujemne potrzeba i wystarcza by po pierwsze suma pierwiastków była ujemna
tzn. <math>-\frac{a}{2}<0 \iff a>0</math> po drugie iloczyn pierwiastków był dodatni
<math>0<\frac{a^2}{8}-\frac{a}{2} \iff a\in ]-\infty,0[\cup ]4,\infty[</math>. Zbierając otrzymane wyniki otrzymujemy odpowiedź <math>a\in ]4,8[</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----

<big>'''''Zadanie 10'''''</big>

Wielomian <math>w(x)=4x^4-4x^3-13x^2 +12 x+3</math> ma cztery pierwiastki rzeczywiste <math> x_1, \,</math> <math>x_2,\,</math> <math> x_3</math> i <math>x_4</math>.
Znajdź wartości następujących wyrażeń:

a) <math>x_1+x_2+x_3+x_4,\, </math>  b) <math>x_1x_2x_3x_4,\, </math>  c) <math>x_1x_2 +x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Wyprowadź wzory Viete'a dla równania czwartego stopnia.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =  Wielomian <math>w(x)</math> można przedstawić w postaci iloczynowej
<math>w(x)=4(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)</math>. Po wymnożeniu otrzymujemy

<math>w(x)=4[x^4 -(x_1+x_2+x_3+x_4)x^3+(x_1x_2 +x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)x^2 -(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4) x+x_1x_2x_3x_4]</math>. 

Porównując współczynniki otrzymujemy

a) <math>x_1+x_2+x_3+x_4=1</math>, b) <math>x_1x_2x_3x_4=\frac{3}{4}</math>, c) <math>x_1x_2 +x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=\frac{-13}{4}</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----

<big>'''''Zadanie 11'''''</big>

Znajdź wszystkie rozwiązania całkowite równania.

<math>\displaystyle x^4+3x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{3}{2} x-2=0</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Rozwiązań szukamy pośród liczb <math>-4,-2,-1,1,2,4</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =  Sprawdzając wszystkie możliwe przypadki  otrzymujemy <math>x=1 \, \vee \, x=-4</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Podkreślić należy, że twierdzenia podane na wykładzie dotyczą wielomianów o współczynnikach całkowitych. Ponadto pomimo, że podstawowe twierdzenie algebry zostanie omówione później można już w tym miejscu korzystać z faktu iż wielomian stopnia <math>n</math> ma co najwyżej <math>n</math> pierwiastków.}}
----


<big>'''''Zadanie 12'''''</big>

Znajdź wszystkie rozwiązania wymierne równania 

<math>\displaystyle x^3+\frac{7}{4}x^2-\frac{5}{8}x-\frac{1}{4} =0</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =  Rozwiązań szukamy pośród liczb <math>-2,-1,1,2,-\frac{1}{2},-\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2},
-\frac{1}{8},\frac{1}{8}
</math>. Poszukiwania przerywamy po znalezieniu trzech pierwiastków.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Sprawdzając wszystkie możliwe przypadki  otrzymujemy <math>x=-2 \, \vee \, x=-\frac{1}{4} \, \vee \, x=\frac{1}{2}</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Patrz uwagi do poprzedniego zadania}}
----


<big>'''''Zadanie 13'''''</big>

Dla funkcji <math>f(x)=x^2+k x+k^2-k</math> znaleźć zbiór wartości <math>k</math>, dla którego <math>\forall x\in\mathbb{R} \, : \,f(x)>0</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =  
Wyróżnik trójmianu kwadratowego musi być ujemny  tzn. <math>-3k^2+4k<0 </math>.

Odpowiedź:
<math>k \in ]-\infty,0[ \, \cup \, ]\frac{4}{3},\infty[ </math>

}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----


<big>'''''Zadanie 14'''''</big>

Rozwiąż nierówność

<math>\displaystyle \frac{(x-1)^5(x^2-x+1)(x^2-2)(x+1)^6}{x^2-2x-1} \geq 0</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Naszkicuj pomocniczy wykresy wielomianu <math>w(x)= (x-1)^5(x^2-x+1)(x^2-2)(x+1)^6(x^2-2x-1) </math>,
z uwzględnieniem miejsc zerowych i ich krotności.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Odpowiedź:

<math>x \in [-\sqrt{2},1-\sqrt{2}[\, \cup \, [1,\sqrt{2}] \,\cup \, ]1+\sqrt{2},\infty[</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Omówić zachowanie asymptotyczne wielomianów.}}
----


<big>'''''Zadanie 15'''''</big>

Rozwiąż nierówność <math>x^6+x^3-2>0</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Podstaw  <math> t=x^3</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =  Podstawienie <math> t=x^3</math> daje nierówność
<math>t^2+t-2>0</math>, która jest spełniona dla <math> t\in ]-\infty,-2[\cup]1,\infty[</math>.
Ponieważ funkcja <math> {\mathbb R} \ni x \mapsto t=x^3</math> jest rosnąca otrzymujemy wynik

<math>x \in [-\infty,-\sqrt[3]{2}[ \,\cup \, ]1,\infty[</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =}}
----