Tekst źródłowy strony Matematyka 1 OO/Funkcje elementarne dwóch zmiennych rzeczywistych

__NOTOC__

==Zadanie==

Badamy kształt powierzchni zadanej wzorem <math>z=f(x,y)</math>, gdzie

::<math>
f(x,y)=x^2+2xy-3y^2
</math>

W tym celu znajdziemy miejsca zerowe i inne poziomice funkcji
<math>f(x,y)</math> oraz zbadamy kształt przekrojów badanej powierzchni
dla ustalonych wartości jednego z agumentów.


===Miejsca zerowe===

::<math>
x^2+2xy-3y^2=0
</math>

Rozwiązujemy równanie kwadratowe dla zmiennej <math>y</math> w celu znalezienia
równania krzywych, na których <math>f(x,y)=0</math>

::<math>
\Delta _y = 4x^2 + 12 x^2 = 16 x^2 = (4x)^2
</math>

::<math>
y_{1,2}=\frac{-2x\pm \sqrt{(4x)^2}}{-6}
=
\frac{1}{3}x\mp \frac{2}{3}|x|
</math>

Wyrażenie na każde z rozwiązań, <math>y_1</math> i <math>y_2</math>, zawiera wartość
bezwzględną <math>|x|</math>. Zapisujemy je w formie wyrażeń bez wartości
bezwzględnej, ale z rozbiciem na przedziały

::<math>
y_1(x)
=
\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}|x|
=
\left\lbrace 
\begin{array}{lcl}
\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}x=x & dla & x>0 \\
\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}x & dla & x<0
\end{array}
\right.
</math>

::<math>
y_2(x)
=
\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}|x|
=
\left\lbrace 
\begin{array}{lcl}
\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}x & dla & x>0 \\
\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}x=x & dla & x<0
\end{array}
\right.
</math>

Można obie funkcje <math>y_i(x)</math> narysować w każdym z przedziałów
osobno. Można też zauważyć, że funkcja <math>y_1(x)</math> dla <math>x>0</math>
razem z funkcją <math>y_2(x)</math> dla <math>x<0</math> mają taką samą postać
i uzupełniają się do funkcji liniowej <math>y_a(x)=x</math> na całej
osi rzeczywistej. Analogicznie <math>y_1(x)</math> dla <math>x<0</math>
razem z funkcją <math>y_2(x)</math> dla <math>x>0</math> uzupełniają się do
funkcji liniowej <math>y_a(x)=-x/3</math>.
Zbiór wszystkich miejsc zerowych funkcji <math>f(x,y)</math> jest
sumą obu linii prostych <math>y=x</math> i <math>y=-x/3</math>

[[Plik:f(xy)1.png|350px|]]




===Poziomice===

Znajdujemy poziomice spełniające równanie <math>f(x,y)=c</math>.
Procedura jest analogiczna do tej użytej do wyznaczenia
miejsc zerowych.

::<math>
-3y^2+2xy+x^2-c=0
</math>

::<math>
\Delta _y=(2x)^2-4(-3)(x^2-c)=4x^2+12x^2-12c=16x^2-12c=4(4x^2-3c)
</math>

::<math>
y_{1,2}=\frac{-2x\pm 2\sqrt{4x^2-3c}}{-6}
=
\frac{1}{3}x\mp \frac{1}{3}\sqrt{4x^2-3c}
</math>

Na tych zajęciach nie pojawiają się wszystkie krzywe drugiego stopnia,
a tylko takie, których osie symetrii są równoległe do osi układu
współrzędnych. Studenci nie muszę więc rozpoznawać krzywych opisujących
poziomice w naszym zadaniu. Dlatego ograniczymy się do wyznaczenia kilku
cech charakterystycznych tych poziomic, żebyśmy mogli je naszkicować.
Zaczynamy od przypadku <math>c<0</math>:

::<math>
y_{1,2}=\frac{1}{3}x\mp \frac{1}{3}\sqrt{4x^2+3|c|}
</math>

Żadna z tych funkcji nie ma miejsc zerowych.
Można to pokazać metodą <i>ad absurdum</i>:

::<math>
0=\frac{1}{3}x\mp \frac{1}{3}\sqrt{4x^2+3|c|}
</math>

::<math>
0=x\mp \sqrt{4x^2+3|c|}
</math>

::<math>
x=\pm \sqrt{4x^2+3|c|}
</math>

::<math>
x^2=4x^2+3|c|
</math>

::<math>
-3x^2=3|c|
</math>

::<math>
x^2=-|c|
</math>

Oczywiście, nie ma żadnej liczby rzeczywistej spełniającej ten warunek,
więc żaden punkt z <math>y=0</math> nie należy do badanej krzywej.
Sprawdzamy, jaka jest minimalna dopuszczalna wartość <math>|y|</math>.
Nie mamy jeszcze do dyspozycji rachunku różniczkowego, więc musimy
sobie poradzić inną metodą. Rozwiązujemy równanie opisujące poziomicę
(dla <math>c<0</math>)

::<math>
-3y^2+2xy+x^2+|c|=0
</math>

ze względu na zmienną <math>x</math>:

::<math>
\Delta _x=(2y)^2-4(-3y^2+|c|)=4y^2+12y^2-4|c|^2
=4(4y^2-|c|)
</math>

Rozwiązania istnieją, jeśli <math>\Delta _x\ge 0</math>, co daje następujące
ograniczenie na <math>y</math>:

::<math>
4y^2\ge |c|
\qquad \Rightarrow \qquad |y|\ge \frac{\sqrt{|c|}}{2}
</math>

Dla takich minimalnych <math>|y|</math> odpowiednie wartości <math>x</math> wynoszą

::<math>
x=\frac{-2y\pm \sqrt{\Delta _x}}{2}=-y
</math>

Zauważamy jeszcze, że dla bardzo dużych wartości zmiennej <math>|x|\gg |c|</math>

::<math>
y_1(x)=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{x^2+\frac{3}{4}|c|}\approx \frac{1}{3}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}x
</math>

::<math>
y_2(x)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{x^2+\frac{3}{4}|c|}\approx \frac{1}{3}+\frac{2}{3}x=x
</math>

co oznacza, że dla dużych wartości <math>|x|</math> poziomice dla <math>c<0</math> zbliżają
się (asymptotycznie) do prostych zawierających miejsca zerowe funkcji
<math>f(x,y)</math>.

Analiza dla <math>c>0</math> jest nieco inna. Równania opisujące poziomice
<math>f(x,y)=c</math> mają postać

::<math>
y_{3,4}(x)=\frac{1}{3}x\mp \frac{1}{3}\sqrt{4x^2-3|c|}
</math>

Obie funkcje mają dziedzinę różną od zbioru liczb rzeczywistych.
Wyrażenie pod pierwiastkiem jest nieujemne tylko jeśli <math>4x^2>3|c|</math>,
więc dziedziną dla obu funkcji <math>y_i(x)</math> jest

::<math>
x\in \left(-\infty ,-\frac{\sqrt{3|c|}}{2}\right> \cup \left<\frac{\sqrt{3|c|}}{2},\infty \right)
</math>

Wartości zmiennej <math>y</math> dla minimalnej wartości <math>|x|</math> wynoszą:

::<math>
y_{3,4}=\frac{1}{3}x\mp \frac{1}{3}\sqrt{4x^2-3|c|}
=\frac{1}{3}x=\mp \frac{\sqrt{3|c|}}{6}
</math>

Każda z funkcji <math>y_{3,4}(x)</math> ma jedno miejsce zerowe:

::<math>
\frac{1}{3}x\mp \frac{1}{3}\sqrt{4x^2-3|c|}=0
\qquad \qquad \qquad x=\pm \sqrt{4x^2-3|c|}
</math>

::<math>
x^2=4x^2-3|c|
\qquad \qquad \qquad x^2=|c|
\qquad \qquad \qquad x=\pm \sqrt{|c|}
</math>

Podobnie jak w przypadku <math>c<0</math>, wykresy poziomic dla <math>c>0</math> dążą
asymptotycznie do zbioru miejsc zerowych dla bardzo dużych wartości <math>|x|</math>.

Obliczamy współrzędne charakterystycznych punktów dla kilku
wybranych poziomic. Dla <math>c<0</math> są to przecięcia z osią <math>y</math> i
“wierzchołki” o minimalnej wartości <math>|y|</math> leżące na prostej <math>y=-x</math>.
Dla <math>c>0</math> są to przecięcia z osią <math>x</math> i
“wierzchołki” o minimalnej wartości <math>|x|</math> leżące na prostej <math>y=x/3</math>.
Np. dla <math>c=\pm 2,\pm 4</math>:

::<math>
\begin{array}{|r|c|c|}
\hline c & przecięcia z osiami & wierzchołki \\
\hline -4 &
\left(0,-\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)
i \left(0,\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}\right) &
(-1,1) i (1,-1) \\
\hline -2 &
\left(0,-\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}\right)
i \left(0,\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}\right) &
\left(-\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2},
\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
i
\left(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2},
-\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
\\
\hline 2 &
(-\sqrt{2},0) i (\sqrt{2},0) &
\left(-\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2},
\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}\right)
i
\left(\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2},
-\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}\right)
\\
\hline 4 &
(-2,0) i (2,0) &
\left(-\sqrt{3},\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\right)
i
\left(\sqrt{3},-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\right)
\\
\hline \end{array}
</math>

Zebrane informacje pozwalają naszkicować wykresy
poziomic funkcji <math>f(x,y)</math>.

[[Plik:f(xy)2.png|350px|]]




===Kształt powierzchni===

Nie każdy potrafi wyobrazić sobie kształt powierzchni na podstawie
układu poziomic. Dlatego warto jeszcze wyznaczyć kształt kilku
przekrojów powierzchni <math>z=f(x,y)</math>, najprościej w płaszczyznach
o stałym <math>x</math> lub <math>y</math>.

Zacznijmy od płaszczyzny <math>y=y_0={\rm const}</math>. Wyznaczmy postać funkcji
<math>z=g_{y_0}(x)=f(x,y_0)</math>:

::<math>
g_{y_0}(y)=x^2+2y_0x-3y_0^2
</math>

Jest to parabola z ramionami skierowanymi do góry.
Studenci powinni znać podstawową charakterystykę wykresu
funkcji kwadratowej postaci <math>ax^2+bx+c</math>:

<ul>

	<li>
	położenie miejsc zerowych, <math>x=(-b\pm \sqrt{b^2-4ac})/(2a)</math>;


	<li>
	współrzędne wierzchołka, <math>(-b/(2a),c-b^2/(4a))</math>.

</ul>

To ostatnie można łatwo zaleźć przekształcając odpowiednio
postać zadanej funkcji kwadratowej:

<math>\begin{matrix}
ax^2+bx+c
&&\!\!\!\!\!\!\!\!
=
a(x^2+\frac{b}{a}x)+c
=
a\left(x^2+2\frac{b}{2a}x
+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c
\\
&&\!\!\!\!\!\!\!\!
=
a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}
\end{matrix}</math>

W przypadku rozważanej funkcji <math>g_{y_0}(x)</math>, wierzchołek
(minimum) znajduje się w punkcie <math>x=-y_0</math>, a wartość funkcji
wynosi <math>z=-4y_0^2</math>.

Kształt przekroju w płaszczyźnie <math>x=x_0</math> opisuje funkcja
<math>z=h_{x_0}(y)=f(x_0,y)</math>:

::<math>
h_{x_0}(y)=-3y^3+2x_0y+x_0^2
</math>

Jest to parabola z ramionami skierowanymi do dołu.
Ma ona maksimum równe <math>z=4x_0^2/3</math> w punkcie <math>y=x_0/3</math>.

Połączenie informacji na temat poziomic i kształtu
przekrojów powinno pozwolić na dość dokładne opisanie kształtu
powierzchni zadanej równaniem <math>z=f(x,y)</math>.



===wykres 3D===

Jeśli jest taka możliwość, warto pokazać studentom
wydruk z programu rysującego wykresy funkcji od dwóch
zmiennych (<i>Maple</i> lub <i>Mathematica</i>). Jeszcze
lepsze byłoby zaprezentowanie takiego wykresu w działającym
programie - i skorzystanie np. z możliwości obracania
otrzymanej powierzchni.

[[Plik:f(xy)3Da.png|350px|]]

[[Plik:f(xy)3Db.png|350px|]]




==Krzywe stożkowe==

Przypominamy ogólne wzory na krzywe stożkowe. Ograniczamy się
do prostych przypadków, gdy osie symetrii są równoległe do
osi układu współrzędnych. Takie krzywe są zbiorem miejsc zerowych
następujących wielomianów drugiego stopnia dwóch zmiennych:

<ul>

	<li>
	okrąg: <math>\qquad (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2</math>


	<li>
	parabola: <math>\qquad y=a(x-x_0)^2+y_0\quad </math>
lub <math>\quad x=a(y-y_0)^2+x_0</math>


	<li>
	elipsa: <math>\qquad \displaystyle \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\displaystyle \frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1</math>


	<li>
	hiperbola: <math>\qquad \displaystyle \frac{(x-x_0)^2}{a^2}\displaystyle -\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1 \quad </math> lub <math>\quad \displaystyle \frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\displaystyle \frac{(y-y_0)^2}{b^2}=-1</math>

</ul>

Ilustrujemy to kilkoma przykładami.


===Zadanie===

Na jakiej krzywej leżą miejsca zerowe funkcji <math>f(x,y)=x^2+y^2+4x-2y-4</math>?

::<math>
x^2+y^2+4x-2y-4=0
</math>

::<math>
(x^2+4x+4-4)+(y^2-2y+1-1)=4
</math>

::<math>
(x+2)^2-4+(y-1)^2-1=4
</math>

::<math>
(x+2)^2+(y-1)^2=3^2
</math>

To jest okrąg o środku w punkcie o współrzędnych <math>(-2,1)</math> i
promieniu równym 3.



===Zadanie===

Na jakiej krzywej leżą miejsca zerowe funkcji <math>f(x,y)=4x^2-16x-y^2</math>?

::<math>
4x^2-16x-y^2=0
</math>

::<math>
4(x^2-4x+4-4)-y^2=0
</math>

::<math>
4(x-2)^2-16-y^2=0
</math>

::<math>
\frac{(x-2)^2}{2^2}-\frac{y^2}{4^2}=1
</math>

Jest to hiperbola o “środku” w punkcie <math>(2,0)</math>.
Co oznacza w tym przypadku “środek”? Jest to punkt, w którym
przecinają się proste będące asymptotami tej hiperboli.
Asymptoty znajdujemy rozpatrując granicę bardzo dużych wartości
<math>|x|</math> i <math>|y|</math>. W tej granicy pomijamy 1 po prawej stronie ostatniego
równania oraz 2 w porównaniu z <math>x</math>. Dostajemy równanie

::<math>
\frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{4^2}\approx 0
</math>

::<math>
y^2\approx 4x^2
</math>

::<math>
y\approx \pm 2x
</math>

Asymptoty przechodzą przez punkt <math>(2,0)</math>, więc ich dokładne równanie
ma postać:

::<math>
y=\pm (x-2)
</math>

Badana hiperbola ma miejsca wspólne z osią <math>y</math>:

::<math>
\frac{(x-2)^2}{2^2}=1
</math>

::<math>
x-2=\pm 2
</math>

::<math>
x_1=0
\qquad x_2=4
</math>

Szkicujemy wykres tej hiperboli