Tekst źródłowy strony Matematyka II NI/Liczby zespolone

==Liczby zespolone==



<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Oblicz
<math>
(2+i)(-3i+4)-(i+7)
</math>.


{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Oblicz
<math>
(2+i)(-3i+4)-(i+7)=-6i+8-3i^2+4i-i-7=-6i+8+3+4i-i-7=4-3i
</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =Dodawanie i mnożenie.
}}
----

<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Znajdź
<math>
\operatorname{Re} [(2+i)(-3i+4)-2i-5)]
</math>, 
<math>
\operatorname{Im} [(2+i)(-3i+4)-2i-5)]
</math>, 
<math>|(2+i)(-3i+4)-2i-5)|
</math>.


{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Skorzystaj z poprzedniego zadania.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
\operatorname{Re} [(2+i)(-3i+4)-2i-5)]=\operatorname{Re}(6-4i)=6
</math>

<math>
\operatorname{Im} [(2+i)(-3i+4)-2i-5)]=\operatorname{Im}(6-4i)=-4
</math>

<math>
|(2+i)(-3i+4)-2i-5)|=\sqrt{6^2+(-4)^2}=2\sqrt{13}
</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Część rzeczywista, część urojona, moduł
}}
----

<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Zapisz <math>\frac{1+2i}{1-4i}</math>,  w postaci <math>a + ib</math>, gdzie <math> a,b \in \mathbb{R}</math>

Znajdź
<math>
\operatorname{Re} \left[\frac{1+2i}{1-4i}\right]
</math>, 
<math>
\operatorname{Im} \left[\frac{1+2i}{1-4i}\right]
</math>, 
<math>\left|\frac{1+2i}{1-4i}\right|
</math>.


{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika podanej liczby.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
\frac{1+2i}{1-4i}= \frac{(1+2i)(1+4i)}{(1-4i)(1+4i)}=\frac{(1-8+(2+4)i}{1+4^2}=\frac{-7}{17}+\frac{6}{17}i
</math>


<math>
\operatorname{Re} \left[\frac{1+2i}{1-4i}\right]=\frac{-7}{17}
</math>

<math>
\operatorname{Im} \left[\frac{1+2i}{1-4i}\right]=\frac{6}{17}
</math>

<math>
\left|\frac{1+2i}{1-4i}\right|=\sqrt{\frac{5}{17}}

</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Dzielenie. Liczba sprzężona do danej. Wydrukować na tablicy, <math>z=a+bi</math>,&nbsp;
<math>\bar{z}=a-bi</math>, &nbsp; <math>\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}</math>.
}}
----

<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Znajdź
<math>
\operatorname{Arg} (1-i)
</math>, &nbsp;
<math>
\operatorname{arg} (1-i)
</math>.


{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Oznaczmy 
<math>
\operatorname{Arg} (1-i)
</math> przez <math>\phi</math>.

Mamy
<math>
\cos \phi=\frac{1}{\sqrt{2}}
</math>, &nbsp;
<math>
\sin \phi=\frac{-1}{\sqrt{2}}
</math>,  &nbsp; gdzie <math>\phi \in [0,2\pi[</math>.

Czyli 

<math>
\operatorname{Arg} (1-i)=\frac{7\pi}{4}
</math>, &nbsp;

<math>
\operatorname{arg} (1-i)=\left\{\frac{7\pi}{4}+2k \pi \, :\, k\in \mathbb{Z} \right\}
</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Argument. Umiejętność odczytywania argumentu z rysunku (położenia punktu na płaszczyźnie 
<math>
\mathbb C
</math>).
}}
----

<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Znajdź postać trygonometryczną i wykładniczą następujących liczb zespolonych

<math>
7
</math>, &nbsp;,
<math>
-7
</math>, &nbsp;,
<math>
-2i
</math>, &nbsp;,
<math>
-i-1
</math>, &nbsp;,
<math>
-\sqrt{3}+i
</math>, &nbsp;

<math>
\frac{1+it}{1-it} \,\,\, t\in\mathbb{R}
</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = W ostatnim przykładzie przypomnieć sobie wzory wiążące sinus i cosinus kąta z tangensem połowy kąta.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = 
<math>
7= 7(\cos 0+ i\sin 0)= 7  e^{0i}
</math>, 

<math>
-7= 7(\cos \pi+ i \sin \pi)=7  e^{\pi i}
</math>

<math>
-2i=2(\cos \frac{3\pi}{2}+ i \sin  \frac{3\pi}{2})=2e^{\frac{3\pi}{2}i}
</math>,

<math>
-i-1=\sqrt{2} (\cos \frac{5\pi}{4}+ i \sin  \frac{5\pi}{4})=\sqrt{2}e^{\frac{5\pi}{4}i}
</math>,

<math>
-\sqrt{3}+i=2 (\cos \frac{5\pi}{6}+ i \sin  \frac{5\pi}{6})=2e^{\frac{5\pi}{6}i}
</math>

<math>
\frac{1+it}{1-it} =\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1+t^2}\, i =\cos (2 \arctan t)+\sin (2 \arctan t) \, i=e^{ 2 i \arctan t}
</math>

}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Uwaga! Wzór Eulera pełni w tym momencie jedynie rolę wygodnego oznaczenia 
<math>e^{ix}:=\cos x + i\sin x</math>.
Wygodnego bo <math>e^{ix}e^{iy}=e^{i(x+y)}</math>.
}}
----

<big>'''''Zadanie 6'''''</big>

Wyraź przy pomocy wielomianu od <math>\sin x </math> i <math>\cos x </math> funkcje 
<math>\sin (5x) </math>, <math>\cos (5x) </math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Użyj wzoru Eulera.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Mamy

<math>\cos (5x)+i \sin (5x)  =e^{i5x}=(e^{ix})^5=(\cos x +i \sin x)^5=
</math><math>
={5\choose 0} \cos^5 x+{5\choose 1}\cos^4 x \sin x \,\, i- {5\choose 2}\cos^3 x \sin^2 x-{5\choose 3} \cos^2 x \sin^3 x \,\, i +{5\choose 4} \cos x \sin^4 x+{5\choose 5}  \sin^5 x \,\, i=
</math><math>
 =\cos^5 x -10 \cos^3 x \sin^2 x+5 \cos x \sin^4 x+(5 \cos^4 x \sin x-10 \cos^2 x \sin^3 x+\sin^5 x) i
</math>

Ostatecznie otrzymujemy

<math>\cos (5x)=\cos^5 x -10 \cos^3 x \sin^2 x+5 \cos x \sin^4 x</math>,

<math>\sin (5x)=5 \cos^4 x \sin x-10 \cos^2 x \sin^3 x+\sin^5 x</math>.

}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Wzór de Moivre'a.
}}
----

<big>'''''Zadanie 7'''''</big>

Udowodnij, że

<math>\sum_{k=1}^n \sin (kx) =\frac{\sin\frac{nx}{2} \sin\frac{(n+1)x}{2} }{\sin\frac{x}{2}}</math>

gdzie <math> x\neq 2k\pi </math>, <math> k\in  \mathbb{Z} </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = <math>\sum_{k=1}^n \sin (kx)=\operatorname{Im} \sum_{k=1}^n [\cos(kx)+i\sin (kx)] </math> 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Zgodnie ze wskazówką mamy (używając wzoru Eulera)

<math>
\sum_{k=1}^n \sin (kx)=\operatorname{Im} \sum_{k=1}^n e^{ikx}=\operatorname{Im}\left[e^{ix}\frac{1-e^{inx}}{1-e^{ix}}\right]=
\operatorname{Im} \frac{e^{i\frac{x}{2}}-e^{i(n+\frac{1}{2})x} }{ e^{-i\frac{x}{2}}-e^{i\frac{x}{2}} }=
\operatorname{Im} \frac{e^{i\frac{x}{2}}-e^{i(n+\frac{1}{2})x} }{ -2 i \sin \frac{x}{2}}=\frac{\cos \frac{x}{2}-\cos [(n+\frac{1}{2})x] }{2  \sin \frac{x}{2}}=\frac{\sin\frac{nx}{2} \sin\frac{(n+1)x}{2} }{\sin\frac{x}{2}}.
</math>

Gdzie użyliśmy wzoru na  sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Wzór de Moivre'a. Pokazać, że ciąg <math>S_n=\sum_{k=1}^n \sin (kx) </math>, gdzie <math> x\neq 2k\pi </math>, <math> k\in  \mathbb{Z} </math> jest ograniczony.
}}
----

<big>'''''Zadanie 8'''''</big>

Niech
<math>
f(b)=\left\{\begin{matrix}1 \hbox{ dla }  b \geq 0 \\ -1 \hbox{ dla } b < 0\end{matrix} 
     \right.
</math>.

Pokazać że
<math>
\sqrt{a+bi}=\pm \left(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+f(b)\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}} \,\, i \right)
</math> gdzie pierwiastki po prawej stronie są pierwiastkami arytmetycznymi.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Szukamy liczb <math>c+di</math> takich, że <math>(c+di)(c+di)=a+bi</math> czyli rozwiązać musimy układ równań

<math>
\left\{\begin{matrix} c^2-d^2=a \\ 2cd=b\end{matrix} 
     \right.
</math>.

Załóżmy, że <math>b\neq 0</math> wtedy zachodzi również <math> d\neq 0</math>.

<math>
\left\{\begin{matrix}  d^4+ad^2-\frac{b^2}{4}=0 \\ c=\frac{b}{2d} \end{matrix} 
     \right.
</math>.

Pamiętając o tym, że d jest liczbą rzeczywistą otrzymujemy

<math>
\left\{\begin{matrix} d=\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}} \\ c=\frac{b}{\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-a}} \end{matrix} 
     \right. \vee
\left\{\begin{matrix} d=-\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}} \\ c=-\frac{b}{\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-a}} \end{matrix} 
     \right.
</math>. 

Usuwając niewymierność z mianownika otrzymujemy

<math>
\left\{\begin{matrix} d=\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}} \\ c=\frac{b}{|b|}\sqrt{ \frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}} \end{matrix} 
     \right. \vee
\left\{\begin{matrix} d=-\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}} \\ c=-\frac{b}{|b|}\sqrt{ \frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}} \end{matrix} 
     \right.
</math>. 

Przypadek <math>b = 0</math> zostawiamy jako proste ćwiczenie.

}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Pierwiastek kwadratowy arytmetyczny ( z liczby rzeczywistej dodatniej a): '''dodatnia''' liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje a. W przypadku pierwiastków algebraicznych symbol pierwiastka oznacza zbiór wszystkich pierwiastków algebraicznych.
W szczególnych przypadkach zamieniamy na postać wykładniczą np. obliczyć <math>\sqrt{-1-i}</math>.
}}
----

<big>'''''Zadanie 9'''''</big>

Rozwiąż równania

a) <math>z^2-4z+5=0</math>, 

b) <math>z^2+z+3i-1=0</math>,

c) <math>z^6+64 =0</math>,

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = 

a) <math>z=2 \pm i</math>, 

b) <math>z=\frac{-1+\sqrt{5-12i}}{2}=\frac{-1\pm (3-2i)}{2}</math> tzn. <math>z=1-i \,\vee \, z=-2+i </math>

c) Zapisując nasze równanie w postaci <math>z^6=64e^{i(\pi+2k\pi)}</math>, znajdujemy
<math>z=2 e^{i\frac{\pi+2k\pi}{6}}</math> gdzie <math>k=-3,-2,-1,0,1,2</math>.

Zbiór rozwiązań to <math>\left\{ 2 e^{-\frac{5\pi}{6}i}, 2 e^{-\frac{\pi}{2}i}, 2 e^{-\frac{\pi}{6}i} , 2 e^{\frac{\pi}{6}i} , 2 e^{\frac{\pi}{2}i},  2 e^{\frac{5\pi}{6}i} \right\} </math> czyli
<math>\left\{ -\sqrt{3}-i, -2 i,  \sqrt{3}-i , \sqrt{3}+i, 2 i, -\sqrt{3}+i \right\} </math> 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = 
}}
----

<big>'''''Zadanie 10'''''</big>

Rozłóż wielomian <math>w(z)=z^6+1</math>
na iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej drugiego.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Skorzystaj z wyników poprzedniego zadania.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Zapisujemy dany wielomian w postaci ilorazowej grupując czynniki zawierające pierwiastki wzajemnie sprzężone.

<math>z^6+1=(z+\frac{\sqrt{3}+i}{2})(z+\frac{\sqrt{3}-i}{2})(z+\frac{-\sqrt{3}+i}{2})(z+\frac{-\sqrt{3}-i}{2})(z+i)(z-i)</math>.

Wymnażając czynniki pierwszy z drugim, trzeci z czwartym i piąty z szóstym otrzymujemy ostatecznie

<math>w(z)= (z^2+\sqrt{3}z+1)(z^2-\sqrt{3}z+1)(z^2+1)</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = 
}}
----

<big>'''''Zadanie 11'''''</big>

Czy liczba <math>(1+i)^{2012}</math> jest całkowita.


{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Tak bo <math>(1+i)^{2012}=2^{1006} e^{i 503 \pi}=-2^{1006}</math> 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = 
}}
----

<big>'''''Zadanie 12'''''</big>

Udowodnij, że 

a) <math>\overline{z_1 z_2}= \overline{z_1} \, \, \overline{z_2}</math> ,

b)  <math>|z_1 z_2|= |z_1| \, \, |z_2|</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = 
a) Połóżmy <math> z_1= a_1+b_1 i</math> oraz <math> z_2=  a_2+b_2 i</math> otrzymujemy

<math> \overline{z_1} \, \, \overline{z_2}= (a_1-b_1 i)(a_2-b_2 i)= a_1 a_2-b_1b_2 -(a_1b_2+a_2b_1)i</math>

<math>\overline{z_1 z_2}=\overline{(a_1+b_1 i)(a_2+b_2 i)}= \overline{a_1 a_2-b_1b_2 +(a_1b_2+a_2b_1)i}= a_1 a_2-b_1b_2 -(a_1b_2+a_2b_1)i</math> 

co kończy dowód.

b)

<math>|z_1| \, \, |z_2| = \sqrt{(a_1^2+b_1^2 )(a_2^2+b_2 ^2)}=\sqrt{(a_1 a_2)^2+(b_1b_2)^2+(a_1b_2)^2+(a_2b_1)^2}</math>

<math>|z_1 z_2|= |a_1 a_2-b_1b_2 +(a_1b_2+a_2b_1)i|=\sqrt{(a_1 a_2-b_1b_2)^2+(a_1b_2+a_2b_1)^2}=\sqrt{(a_1 a_2)^2+(b_1b_2)^2+(a_1b_2)^2+(a_2b_1)^2}</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = 
}}
----