Tekst źródłowy strony STAT:Szereg Fouriera

{{poprzedni|STAT:Systemy_liniowe_niezmiennicze_w_czasie_(LTI)}}
__TOC__
==Szereg Fouriera==
Sygnał ''okresowy'' (o okresie <math>T</math>) można przedstawić w
postaci szeregu Fouriera:
<equation id="eq:15">
<math> 
s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n},
</math>
</equation>
gdzie 
<equation id="eq:16">
<math>
c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^\frac{2\pi i n t}{T} d t 
</math>
</equation> 

'''Dowód''' (wzoru <xr id="eq:16"> %i</xr> na współczynniki rozwinięcia 
Fouriera):

Mnożymy obie strony równania <xr id="eq:15"> %i</xr> przez 
<math>e^\frac{2\pi i k t}{T}</math> i całkujemy po <math>dt</math> od <math>0</math> do <math>T</math>: 

<math> 
\int_0^T s(t) e^{{{2\pi i k t}\over{T}}} dt = 
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_0^T c_n e^{i{{2 \pi (k-n)}\over{T}} t}dt 
</math>
 
Całki po prawej stronie znikają dla <math>k \ne n</math>. Jedyny niezerowy 
wyraz dla <math>k = n</math> wynosi <math>\int_0^T c_n dt</math>, czyli <math>c_n T</math> (bo <math>e^0=1</math>). 
 
Oznacza to, że każdą funkcję okresową możemy przedstawić w postaci sumy sinusów i kosinusów z odpowiednimi wagami. Wagi <math>c_n</math> możemy traktować jako względny "udział" odpowiadających im częstości.


===Tożsamość Parsevala dla szeregów Fouriera===
<math>
\frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| c_n \right|^2
</math>

'''Dowód''':
<math>
\frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t  = \frac{1}{T} \int_0^T s(t) \overline{s(t)} \,d t \; = \frac{1}{T} \int_0^T \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} \right)
\left( \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \overline{c_m} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} \right) d t =</math>

<math>
 \left\| \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m}= \delta_{(m-n)} T \;\right\|\;</math>

<math> = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \overline{c_n} \;\;= \sum_{n = -\infty}^{\infty} |c_n|^2
</math>

===Energia, moc, widmo===
Jeśli sygnałem będzie np. prąd elektryczny, płynący w obwodzie o jednostkowej oporności
w czasie od <math>0</math> do <math>T</math>, to wytracona przez niego energia wyniesie <math>\int_0^T s(t)^2 d t</math>. 
W ogólności, biorąc pod uwagę sygnały o wartościach zespolonych, całkowitą energię sygnału 
definiujemy jako <math>\int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t</math>.
Moc to oczywiście energia wytracana w jednostce czasu, czyli  <math>\frac{1}{T}\int_{0}^{T} | s(t) |^2 d t</math>. Jak widać z powyższego twierdzenia, 
dla sygnałów okresowych możemy ją również obliczać jako
sumę kwadratów współczynników szeregu Fouriera <math>\sum c_n^2</math>. Pozwala to interpretować 
<math>c_n^2</math>  jako moc, niesioną przez odpowiadającą mu częstość.
Wykres tej wielkości w zależności od częstości nazywamy widmem mocy sygnału. 
Dla sygnału okresowego widmo mocy będzie dyskretne (patrz rys.<xr id="fig:20"> %i</xr>).

Wszystko to nie tyczy się li tylko sygnałów czysto okresowych;
z sygnału ''nie-okresowego''  <math>s(t)</math>, określonego na skończonym przedziale <math>[0, T]</math>,  
możemy utworzyć sygnał okresowy <math>s_T(t)</math>: 

[[Plik:klasyczna_rys_1_5.jpg|thumb|center|400px| ]]

<equation id="eq:17">
<math>\begin{matrix} 
s_T(t)=s(t),\;t\in[0,T] \\ 
s_T(t+nT)=s(t),\;n=1,2,\ldots   
\end{matrix}</math>
</equation>
tożsamy z <math>s(t)</math> w przedziale <math>[0, T]</math>, 
który można już przedstawić w postaci sumy <xr id="eq:15"> %i</xr>. 
  
 
''Przykład'':
Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji <math>\Theta(t)</math> (rys. <xr id="fig:20"> %i</xr>), 
określonej na przedziale <math>[0,1]</math> w następujący sposób: 

<equation id="eq:18">
<math> 
\Theta(t) = \left\{ 
\begin{matrix} 
1 &, & t \in [0, \frac{1}{2})\\ 
0 &, & t \in [ \frac{1}{2}, 1] 
\end{matrix}
\right.
</math>
</equation>
Bezpośrednio z wzoru <xr id="eq:16"> %i</xr> dostajemy (dla <math>T = 1</math>)
 
<math>\begin{matrix} 
c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} \Theta(t) e^\frac{i 2\pi n t}{T} d t 
= \int_{0}^\frac{1}{2} e^{{{i 2\pi n t}}} d t = ( \mathrm{dla}\; n \ne 0 ) = 
\left [\frac{1}{i 2\pi n} e^{{i 2\pi n t}} \right ]_{t=0}^{t=\frac{1}{2}} \\
= \frac{1}{i 2\pi n} ( e^{i \pi n} - 1 ) = 
\left\{ 
\begin{matrix} 
0 & \mathrm{dla}\; n = \pm2, \pm4, \ldots\\ 
i/\pi n & \mathrm{dla}\; n = \pm1, \pm3, \ldots 
\end{matrix} 
\right .\\ 
(\mathrm{dla}\; n=0) \;\; c_0 = \int_{0}^\frac{1}{2} 1 d t = \frac{1}{2} 
\end{matrix}</math>
<br/>
<br/>
Tak więc z wzoru <xr id="eq:15"> %i</xr>
<math>\begin{matrix} 
\Theta(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}  c_n e^{-i 2 \pi t n} = 
\frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} e^{-i 2 \pi t n}= \\ 
= \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \left( \cos(2\pi n t) - i \sin( 2\pi n t) \right)=\\
= \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \cos(2\pi n t)\;\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{1}{\pi n} \sin( 2\pi n t) 
\end{matrix}</math>
<br/>
W sumie kosinusów wyrazy dla <math>n>0</math> znoszą odpowiednie wyrazy dla <math>-n</math>, w sumie 
sinusów wyrazy dla <math>\pm n</math> dodają się, dając w efekcie
<equation id="eq:19">
<math>
\Theta(t) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\left(2\pi (2n-1) t\right)}{(2n-1)}
</math>
</equation>
[[Plik:klasyczna_rys_2.jpg|thumb|center|400px|<figure id="fig:20"></figure>Od góry, kolejno:
funkcja <math>\Theta</math> (równanie <xr id="eq:18"> %i</xr>), "uzupełniona" do funkcji okresowej według wzoru 
<xr id="eq:17"> %i</xr>,  pierwszych 30 współczynników szeregu Fouriera, 
kwadraty współczynników szeregu Fouriera &mdash; dyskretne widmo, 
pierwszy wyraz rozwinięcia Fouriera, sumy pierwszych 10, 50, 500 i 5000 wyrazów rozwinięcia <xr id="eq:19">(%i)</xr>. Jak widać, najtrudniejsza do wyrażenia z pomocą funkcji 
trygonometrycznych jest nieciągłość funkcji <math>\theta(t)</math> w punktach <math>\left\{\pm \frac{k}{2}, k \in N \right\}</math>; niejednorodna 
zbieżność szeregów Fouriera w tych rejonach nosi nazwę ''efektu Gibbsa''.]]


<references/>
{{następny|STAT:Przekształcenie_Fouriera}}