Tekst źródłowy strony STAT:Zasada nieoznaczoności

{{poprzedni|STAT:Procesy stochastyczne}}

==Zasada nieoznaczoności==

Zasada nieoznaczoności (Heisenberga) w mechanice kwantowej nie opisuje
granic dokładności pomiarów, lecz fakt, że cząstka "nie może
jednocześnie" mieć dobrze określonych np. pędu i położenia:
<math>\Delta x \Delta p_x \geq h/2\pi</math><ref>stała Plancka
<math>h\approx 10^{-34}</math> J s.</ref>, gdzie <math>\Delta</math>
odpowiada wariancji rozkładu prawdopodobieństwa wokół
średniej. Podobnie w analizie sygnałów.

===Zasada nieoznaczoności czas-częstość===

Iloczyn wariancji w czasie <math>\sigma_t^2</math> i w częstości
kołowej <math>\sigma_\omega^2</math> dla funkcji <math>s\in
L^2(\mathbb{R})</math> jest nie mniejszy niż <math>\frac{1}{4}</math>
<center><math> \sigma^2_t \sigma^2_\omega \ge \frac{1}{4}
</math></center> 
gdzie: 

<center><math> \sigma^2_t = \frac{1}{\|s(t)\|^2} \int_{-\infty}^{\infty}(t-u)^2|s(t)|^2 dt 
</math></center> 
<center><math> 
\sigma^2_\omega = \frac{1}{2\pi \|s(t)\|^2} \int_{-\infty}^{\infty}(\omega-\xi)^2|\hat{s}(\omega)|^2 d\omega 
</math></center> 

gdzie: 

<center><math> u =
\frac{1}{\|s(t)\|^2} \int_{-\infty}^{\infty} t |s(t)|^2 dt
</math></center> <center><math> \xi = \frac{1}{2\pi\|s(t)\|^2}
\int_{-\infty}^{\infty} \omega |\hat{s}(\omega)|^2 d\omega
</math></center>

Dla częstości <math>f=\frac{1}{T}</math> mamy

<center><math>
\sigma^2_t \sigma^2_f \ge \frac{1}{16\pi^2}
</math></center>
[[Plik:timefreq_rys_1.jpg|thumb|center|400px|<figure id="fig:2"></figure>Długi sinus (na górze) ma dobrze określoną częstość, ale nie 
możemy wiele powiedzieć o jego położeniu w czasie (ciągła linia). 
Gdy zawężamy (określamy) przedział czasu, w którym sygnał występuje 
(dolne wykresy), coraz trudniej mówić o częstości]]

{{następny|STAT:Transformata Wignera}}
<references>