Ćwiczenia 4 - Historia wersji

Jarekz: /* Procesy AR */

2016-11-25T11:13:03Z

Procesy AR

Jarekz: /* Funkcja korelacji wzajemnej */

2016-11-25T10:58:05Z

Funkcja korelacji wzajemnej

Jarekz: /* Procesy AR */

2016-11-21T15:52:00Z

Procesy AR

Jarekz: /* Zadanie: Funkcja auokorelacji białego szumuj */

2016-11-21T15:47:38Z

Zadanie: Funkcja auokorelacji białego szumuj

Jarekz: /* Funkcja korelacji wzajemnej */

2016-11-21T15:23:53Z

Funkcja korelacji wzajemnej

Jarekz o 15:21, 21 lis 2016

2016-11-21T15:21:07Z

Jarekz: /* Badanie zależności między sygnałami przy pomocy funkcji korelacji */

2016-11-21T15:12:16Z

Badanie zależności między sygnałami przy pomocy funkcji korelacji

Jarekz: /* Zadanie: Funkcja auokorelacji białego szumuj */

2016-11-21T15:08:45Z

Zadanie: Funkcja auokorelacji białego szumuj

Jarekz: /* Zadanie: Funkcja auokorelacji funkcji okresowej */

2016-11-21T15:05:52Z

Zadanie: Funkcja auokorelacji funkcji okresowej

Jarekz: /* Zadanie: Jak obliczyć funkcję autokorelacji? */

2016-11-21T14:44:31Z

Zadanie: Jak obliczyć funkcję autokorelacji?

@@ Linia 89: / Linia 89: @@
 ===Zadanie: Funkcja auokorelacji białego szumuj===
 Analogicznie do zadania powyżej proszę zapoznać się z funknją autokorelacji dla białego szumu. Dla ustalenia uwagi niech to będą niezależne próbki z rozkładu N(0,1).
 ==Co musimy z tego zapamiętać ==

@@ Linia 18: / Linia 18: @@
 oraz kowariancji:
-::<math>C_{xx}(m) = E\lbrace (x_{n+m}-\bar{x}) (x_n-\bar{y})^*\rbrace  = R_{xx}(m) - \bar{x} \bar{x}^*</math>
+::<math>C_{xx}(m) = E\lbrace (x_{n+m}-\bar{x}) (x_n-\bar{x})^*\rbrace  = R_{xx}(m) - \bar{x} \bar{x}^*</math>
 Funkcję <math>R</math> można estymować z jednej realizacji procesu (zakładamy jego ergodyczność):

@@ Linia 139: / Linia 139: @@
 py.show()
 </source>
 <!--

← poprzednia wersja		Wersja z 15:47, 21 lis 2016
Linia 90:		Linia 90:
	Analogicznie do zadania powyżej proszę zapoznać się z funknją autokorelacji dla białego szumu. Dla ustalenia uwagi niech to będą niezależne próbki z rozkładu N(0,1).		Analogicznie do zadania powyżej proszę zapoznać się z funknją autokorelacji dla białego szumu. Dla ustalenia uwagi niech to będą niezależne próbki z rozkładu N(0,1).

		+	==Procesy AR==
		+	Dla przypomnienia:
		+	proces AR generowany jest tak, że koljna próbka jest ważoną sumą <math>p</math> poprzednich próbek i niezależnej zmiennej losowej o średniej 0 i wariancji <math>\sigma^2</math>:
		+	::<math>x_n = \sum_{k=1}^p a_k * x_{n-k} +\varepsilon_n</math>
		+	::i <math>\varepsilon_n \sim N(0,\sigma^2)</math>


		+	Proces AR można zatem scharakteryzować podając współczynniki <math>a</math> oraz <math>\sigma^2</math>. Dla współczynników <math>a</math>, dla których proces ten jest stacjonarny powinien się także charakteryzować pewną konkretną funkcją autokorelacji.
		+	Poiższe ćwiczenie powinno nam uświadomić:
		+	* jak mogą wyglądać pojedyncze realizacje procesu AR
		+	* jak może wyglądać jego estymowana funkcja autokorelacji
		+	* jek estymata funkcji autokorelacji zależy od długości realizacji (czyli od ilości dostępnych informacji)
		+
		+
		+	<source lang = python>
		+	...# stosowne importy
		+
		+	def realizacjaAR(a,N):
		+	x = np.zeros(N)
		+	for i in range(2,N): #kolejno tworzymy próbki w każdej realizacji
		+	x[i]=a[0]x[i-1]+a[1]x[i-2]+ ...
		+	return x
		+
		+
		+	a = np.array([0.9, -0.7])
		+
		+	N_realizacji = 5 # liczba realizacji
		+	N=500 #liczba punktów w realizacji
		+	#co dzieje się z f_autokorelacji dla poszczególnych realizacji gdy zwiększamy N od 50 do 5000?
		+
		+	realizacja = np.zeros((N_realizacji, N)); # macierz na wszystkie realizacje
		+
		+	for r in range(0,N_realizacji): #generujemy realizacje procesu
		+	realizacja[r,:] = ...
		+
		+	for r in range(0,N_realizacji): #rysujemy realizacje procesu
		+	py.subplot(5,1,r+1)
		+	py.plot( ...)
		+	py.title('realizacja'+str(r))
		+	py.show()
		+
		+	for r in range(0,N_realizacji): #rysujemy funkcję autokorelacji poszczególnych realizacji
		+	f_corr =...
		+	tau = np.arange(-N+1,N,1)
		+	ind = range(...-10,...+10) # tu szykujemy indeksy, dzięki którym będziemy mogli pobrać wycinek +/- 10 próbek wokół przesunięcia 0
		+	py.plot(tau[ind],f_corr[ind])
		+	py.title(fragment funkcji autokorelacji)
		+	py.show()
		+	</source>

	<!--		<!--

@@ Linia 4: / Linia 4: @@
 ==Funkcja autokorelacji==
 === Funkcja korelacji wzajemnej===
--->
 Dla sygnału  <math>x(t)</math>  możemy badać jak jest on do siebie podobny dla przesunięciaczasowego <math>\tau </math>:

← poprzednia wersja		Wersja z 15:12, 21 lis 2016
Linia 125:		Linia 125:
	Analogicznie do zadania powyżej proszę zapoznać się z funknją autokorelacji dla białego szumu. Dla ustalenia uwagi niech to będą niezależne próbki z rozkładu N(0,1).		Analogicznie do zadania powyżej proszę zapoznać się z funknją autokorelacji dla białego szumu. Dla ustalenia uwagi niech to będą niezależne próbki z rozkładu N(0,1).

−	~~===Badanie zależności między sygnałami przy pomocy funkcji korelacji===~~
−	~~<source lang = python>~~
−	~~def gabor(t0=0.5, sigma = 0.1, f = 10, T = 1, Fs = 128, phi =0 ):~~
−	~~dt = 1.0/Fs~~
−	~~t = np.arange(0,T,dt)~~
−	~~s = np.exp( -0.5((t-t0)/sigma)2 )np.cos(2np.pif*t + phi)~~
−	~~return (s,t)~~
−	~~</source>~~
−	# wygeneruj dwa sygnały długości <math>T=2s</math> próbkowane z częstością <math>f_s=128</math> Hz przy uzyciu funkcji <tt>gabor</tt>. Oba gabory mają częstość <math>f=10</math> Hz i <math>\sigma =0.1</math> s. Oba sygnały <tt>s1</tt> i <tt>s2</tt> są centrowane na <math>t_0=0.5</math> s
−	~~# oblicz funkcję korelacji wzajemnej <tt>z = np.correlate(s1,s2,mode='full')</tt>~~
−	~~# Jaka jest długość sygnału <tt>z</tt>?~~
−	~~# Wykreśl w funkcji odpowiednich skal czasu na dwóch subplotach: na górnym sygnały <tt>s1</tt> i <tt>s2</tt> a na dolnym <tt>z</tt>.~~
−	~~# Zaobserwuj położenie maksimum funkcji korelacji wzajemnej. Jaki jest związek oscylacji w funkcji korelacji wzajemnej z oscylacjami funkcji <tt>s1</tt> i <tt>s2</tt>~~

−	~~Wskazówka: Związek między czasem <tt>t</tt> dla sygnałów <tt>s1</tt> i <tt>s2</tt> a skalą czasu dla korelacji <tt> f_corr_t</tt> można zapisać w Pythonie:~~
−	~~<source lang = python>~~
−	~~f_corr_t = np.zeros(2*len(t)-1)~~
−	~~f_corr_t[0:len(t)]= -t[len(t)::-1]~~
−	~~f_corr_t[len(t):]=t[1:]~~
−	~~</source>~~

−
−	*Powtórz punkty 1-5 zmieniając położenie sygnału <tt>s1</tt> od 0.5 do 0.1 z krokiem 0.1, oraz sygnału <tt>s2</tt> od 0.5 do 0.9 z krokiem 0.1. Zaobserwuj związek między położeniem maksimum funkcji korelacji wzajemnej a odległością między centrami gaborów.
−
−
−	* Wykonaj analogiczne iteracje zachowując stałe położenie gaborów (dla obu <tt>t0 = 0.5</tt> zmieniaj natomiast częstość <tt>s2</tt> <math>f</math> od 10 Hz do 16 Hz co 2 Hz. Wymuś stały zakres osi y na -100:100(funkcja <tt>pylab.ylim((-100,100))</tt>)
−	*
−	~~<!--~~
−	~~import numpy as np~~
−	~~import pylab as py~~
−
−	~~def gabor(t0=0.5, sigma = 0.1, f = 10, T = 1, Fs = 128, phi =0 ):~~
−
−	~~dt = 1.0/Fs~~
−	~~t = np.arange(0,T,dt)~~
−	~~s = np.exp( -0.5((t-t0)/sigma)2 )np.cos(2np.pif*t + phi)~~
−	~~return (s,t)~~
−
−	~~(s1,t) = gabor(t0=0.5,f=10,Fs=1000)~~
−	~~f_corr_t = np.zeros(2*len(t)-1)~~
−	~~f_corr_t[0:len(t)]= -t[len(t)::-1]~~
−	~~f_corr_t[len(t):]=t[1:]~~
−	~~py.figure(1)~~
−	~~for i in range(4):~~
−	~~(s1,t) = gabor(t0=0.5-i*0.1,f=10,Fs=1000)~~
−	~~(s2,t) = gabor(t0=0.5+i*0.1,f=10,Fs=1000)~~
−	~~py.subplot(2,4,i+1)~~
−	~~py.plot(t,s1,t,s2)~~
−
−	~~py.subplot(2,4,4+(i+1))~~
−	~~z = np.correlate(s1,s2,mode='full')~~
−	~~py.plot(f_corr_t,z)~~
−	~~py.figure(2)~~
−	~~for i in range(4):~~
−	~~(s1,t) = gabor(t0=0.5,f=10,Fs=1000)~~
−	~~f2 = 10+2*i~~
−	~~(s2,t) = gabor(t0=0.5,f=f2,Fs=1000)~~
−	~~py.subplot(2,4,i+1)~~
−	~~py.plot(t,s1,t,s2)~~
−	~~py.title(f2)~~
−
−	~~py.subplot(2,4,4+(i+1))~~
−	~~z = np.correlate(s1,s2,mode='full')~~
−	~~py.plot(f_corr_t,z)~~
−	~~py.ylim((-100,100))~~
−	~~py.show()~~
−	~~-->~~

	<!--		<!--

@@ Linia 93: / Linia 93: @@
 # porównajmy wynik z wywołaniem funkcji bibliotecznej:
 ...
 </source>