Aliasing - Historia wersji

Durka: /* AS/ Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing */

2024-09-03T11:08:24Z

AS/ Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing

Durka: /* AS/ Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing */

2016-11-03T18:13:13Z

AS/ Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing

Durka: /* Splot z grzebieniem Diraca */

2015-10-30T09:19:09Z

Splot z grzebieniem Diraca

Durka o 18:16, 29 paź 2015

2015-10-29T18:16:49Z

Durka: /* Splot z grzebieniem Diraca */

2015-10-29T18:12:13Z

Splot z grzebieniem Diraca

Durka: /* Przykłady i ilustracje */

2015-10-25T12:35:38Z

Przykłady i ilustracje

Durka: /* Splot z grzebieniem Diraca */

2015-10-25T12:34:46Z

Splot z grzebieniem Diraca

Durka o 12:31, 25 paź 2015

2015-10-25T12:31:43Z

Durka: /* AS/ Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing */

2015-10-25T12:15:35Z

AS/ Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing

Durka o 12:14, 25 paź 2015

2015-10-25T12:14:06Z

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
 ==[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]] Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing==
-===[[Media:aliasing.ogv|'''Animacja pokazująca efekt aliasingu''']]===
+<!-- [[Media:aliasing.ogv|'''Kliknij na tym napisie aby obejrzeć animację pokazującą efekt aliasingu na sygnale jednowymiarowym''']]
 [[Plik:aliasingklatka.png]]
 ===Próbkowanie odwrotnej transformaty Fouriera===
@@ Linia 84: / Linia 83: @@
 wzrasta dwukrotnie w stosunku do mniejszego piku częstości 0.6, który "zawija się" z kolei na 0.4
 (w tym przypadku <math>r = 1</math> a "zawija się" dokładnie częstość <math>-0.6</math>)]]
 ==[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]] Twierdzenie o próbkowaniu==

← poprzednia wersja		Wersja z 18:13, 3 lis 2016
Linia 85:		Linia 85:
	(w tym przypadku <math>r = 1</math> a "zawija się" dokładnie częstość <math>-0.6</math>)]]		(w tym przypadku <math>r = 1</math> a "zawija się" dokładnie częstość <math>-0.6</math>)]]

		+
		+
		+	==[[Analiza_sygnałów_-_lecture\|AS/]] Twierdzenie o próbkowaniu==
		+
		+	Twierdzenie o próbkowaniu odpowiada na kluczowe pytanie, które winniśmy
		+	postawić decydując się na pracę z dyskretnymi (próbkowanymi)
		+	wersjami sygnałów ciągłych z natury.
		+
		+	===Twierdzenie o próbkowaniu===
		+	Sygnał ciągły <math>s(t)</math> możemy odtworzyć z wektora jego wartości
		+	w dyskretnych chwilach czasu <math> n \Delta t</math>, jeśli nie było w nim
		+	częstości wyższych niż <math>\frac{1}{2\, \Delta t}</math>.
		+
		+	'''Dowód'''
		+
		+	Dla uproszczenia przyjmijmy <math>\Delta t =
		+	1</math>. Wtedy <math>\hat{s}(f)</math>, czyli transformata Fouriera
		+	sygnału <math>s(t)</math>, będzie niezerowa co najwyżej pomiędzy
		+	<math>-\frac{1}{2}</math> a <math>\frac{1}{2}</math>.
		+
		+	Oznaczmy
		+	<math>u(f)</math> funkcję o okresie <math>1</math>, tożsamą z
		+	<math>\hat{s}(f)</math> na przedziale <math> \left [ -\frac{1}{2},
		+	\frac{1}{2} \right ] </math>.
		+
		+	Przedstawia ją [[Szereg_Fouriera#label-eq:15\|szereg Fouriera]]:
		+
		+	<math>u(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2 \pi i f n}</math>
		+
		+	Współczynniki <math> c_n </math> tego rozwinięcia dane są [[Szereg_Fouriera#label-eq:15\|wzorem]]:
		+
		+	<math> c_{n} =\frac{1}{1} \int_{0}^{1} u(f) e^{{2\pi i n
		+	f}} d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f)e^{{2\pi i n
		+	f}} d f = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{{2\pi i n f}} d f =
		+	s(n) </math>
		+
		+	Współczynniki <math>c_n</math>, dane przez wartości sygnału
		+	<math>s</math> w punktach próbkowania, jednoznacznie określają
		+	funkcję <math>u(f)</math>, ta z kolei zawiera w sobie
		+	<math>\hat{s}(f)</math> — [[Przekształcenie Fouriera\|transformatę Fouriera]] ''ciągłego'' sygnału
		+	<math>s(t)</math>, czyli określa jednoznacznie również sam sygnał.
		+
		+	Znajdźmy ''explicite'' formułę rekonstrukcji:
		+
		+	<math>
		+	s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f
		+	= \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f
		+	= \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}
		+	\left ( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2\pi i f n} \right )e^{-2\pi i f t} df
		+	</math>
		+	<math>
		+	= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} s(n) e^{2 \pi i f n} e^{-2\pi i f t} df
		+	= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(n) \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df
		+	</math>
		+
		+	ponieważ
		+
		+	<math>
		+	\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df
		+	= \left[{\frac{1}{2\pi i (n-t)}} e^{2 \pi i f (n-t)}
		+	\right]_{f=-\frac{1}{2}}^{f=\frac{1}{2}}
		+	=\frac{\sin\left( \pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)}
		+	</math>
		+
		+	dostajemy
		+
		+	<math>
		+	s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} { {s(n)} }
		+	\frac{\sin\left(\pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)}
		+	</math>
		+
		+	Tak więc, jeśli spełnione jest główne założenie o ograniczonym paśmie
		+	sygnału ciągłego i odpowiednio dobranej częstości próbkowania, w
		+	procesie próbkowania nie tracimy informacji ani też nie wprowadzamy
		+	przekłamań, obliczając widmo (rozdział
		+	[[Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)#Przekszta.C5.82cenie_Fouriera_sygna.C5.82.C3.B3w_dyskretnych.2C_aliasing\|o aliasingu]]).
		+
		+	===Twierdzenie o próbkowaniu w praktyce===
		+	W praktyce przed próbkowaniem sygnał jest zwykle filtrowany
		+	dolnoprzepustowym filtrem analogowym o częstości odcięcia poniżej częstości
		+	Nyquista.
		+
		+	<references/>


	<references/>		<references/>

@@ Linia 45: / Linia 45: @@
 <math>
-D(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\delta t)
+D(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t)
 </math>

@@ Linia 66: / Linia 66: @@
 <math>\Delta t</math>.
-===Przykłady i ilustracje===
+Poniższe rysunki z [[http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist–Shannon_sampling_theorem Wikipedii]] ilustrują ten efekt dla przypadku próbkowania z częstością większą i mniejszą od częstości Nyquista:
-Poniższy przykład ilustruje aliasing w dziedzinie czasu:
 [[Plik:klasyczna_rys_5.jpg|thumb|center|400px|<figure id="fig:36"></figure>Próbkowanie (<math>\Delta t = 1</math>) sygnałów o częstościach: (a) 0.27, (b) 1.27 i (c) 0.6.
@@ Linia 80: / Linia 85: @@
 (w tym przypadku <math>r = 1</math> a "zawija się" dokładnie częstość <math>-0.6</math>)]]
 <references/>

@@ Linia 48: / Linia 48: @@
 </math>
-Zgodnie z twierdzeniem o splocie, iloczyn w przestrzeni czasu będzie odpowiadał splotowi w dziedzinie częstości, czyli w dziedzinie częstości otrzymamy splot transformaty Fouriers sygnału <math>\hat{s}(t)</math> z transformatą Fouriera grzebienia Diraca <math>\hat{D}(t)</math>, którą poniżej wyliczymy:
+Policzmy transformatę Fouriera grzebienia Diraca <math>\hat{D}(t)</math>:
 <math>
@@ Linia 60: / Linia 60: @@
 </math>
-Otrzymaliśmy ogólny wynik -- transformata Fouriera grzebienia Diraca to również grzebień Diraca (w przestrzeni częstości).
+Zgodnie z twierdzeniem o splocie, iloczyn sygnału z grzebieniem Diraca w przestrzeni czasu będzie odpowiadał w dziedzinie częstości, splotowi transformaty Fouriers sygnału <math>\hat{s}(t)</math> z wyliczoną powyżej transformatę Fouriera grzebienia Diraca, będącą jak widać grzebieniem Diraca w przestrzeni częstości.
-Przypomnijmy (np. z [[Systemy_liniowe_niezmiennicze_w_czasie_(LTI)|rozważań o systemach liniowych niezmienniczych w czasie]]), że splot z deltą Diraca w zerze jest identycznością, a splot z <math>\delta(t-kT)</math> przesuwa funkcję o <math>kT</math>. Z liniowości splotu dostajemy -- jak pozyżej -- sumę powtórzeń [[Przekształcenie Fouriera|transformaty Fouriera]]
+Przypomnijmy (np. z [[Systemy_liniowe_niezmiennicze_w_czasie_(LTI)|rozważań o systemach liniowych niezmienniczych w czasie]]), że splot z deltą Diraca w zerze jest identycznością, a splot z <math>\delta(t-kT)</math> przesuwa funkcję o <math>kT</math>. Z liniowości splotu dostajemy sumę powtórzeń [[Przekształcenie Fouriera|transformaty Fouriera]]
 sygnału ciągłego, przesuwanej o wielokrotności odwrotności
 <math>\Delta t</math>.
 ===Przykłady i ilustracje===

← poprzednia wersja		Wersja z 12:35, 25 paź 2015
Linia 82:		Linia 82:


−	Kolejne dwa rysunki z Wikipedii ilustrują ten efekt w dziedzinie częstości, dla przypadku próbkowania z częstością większą i mniejszą od częstości Nyquista:	+	Kolejne dwa rysunki z [[http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist–Shannon_sampling_theorem Wikipedii]] ilustrują ten efekt w dziedzinie częstości, dla przypadku próbkowania z częstością większą i mniejszą od częstości Nyquista:

	[[Plik:ReconstructFilter.png\|400px]]		[[Plik:ReconstructFilter.png\|400px]]

@@ Linia 67: / Linia 67: @@
 Poniższy przykład ilustruje aliasing w dziedzinie czasu:
@@ Linia 83: / Linia 84: @@
 Kolejne dwa rysunki z Wikipedii ilustrują ten efekt w dziedzinie częstości, dla przypadku próbkowania z częstością większą i mniejszą od częstości Nyquista:
-[[Plik:ReconstructFilter.png|width=400]]
+[[Plik:ReconstructFilter.png|400px]]
-[[Plik:AliasedSpectrum.png|width=400]]
+[[Plik:AliasedSpectrum.png|400px]]
 <references/>

@@ Linia 51: / Linia 51: @@
 <math>
 \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) e^{i 2\pi f t} dt =
-\sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi f k\Delta t} dt
+\sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi f k\Delta t}
 </math>