Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Ciągi rozbieżne do ∞== '''Def.''' Mówimy, że ciąg $a_n \;$ jest '''rozbieżny do''' $\infty\;$ , jeśli $\forall..."$

2015-05-22T11:58:40Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Ciągi rozbieżne do ∞== '''Def.''' Mówimy, że ciąg <math> a_n \;</math> jest '''rozbieżny do''' <math>\infty\;</math>, jeśli <center><math> \forall..."

Nowa strona

__NOTOC__

==Ciągi rozbieżne do ∞==

'''Def.''' Mówimy, że ciąg <math> a_n \;</math> jest '''rozbieżny do''' <math>\infty\;</math>, jeśli
<center><math>
\forall_{r>0} \exists_{M\in\mathbb N} \forall_{n>M}: a_n>r.
\;</math></center>

Zapisujemy to symbolicznie jako równość:
<math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n
=\infty\;</math>. Mówimy też, że ciąg <math>a_n\;</math> posiada
'''granicę niewłaściwą''' (równą nieskończoności).

Można obrazowo powiedzieć, że ciąg rozbieżny do <math>\infty\;</math>
to taki, którego dostatecznie dalekie wyrazy są dowolnie duże.

Analogicznie określamy rozbieżność do <math>-\infty\;</math>: Mówimy, że ciąg <math>b_n\;</math> jest rozbieżny do <math>-\infty\;</math>, jeśli ciąg <math>-b_n\;</math> jest rozbieżny do <math>\infty\;</math>.

===Przykład===

<math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} n = \infty\;</math>; <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} -n^2 = -\infty\;</math>.

===Twierdzenie===
Ciąg niemalejący <math> a_n \;</math> nieograniczony z góry jest rozbieżny do <math>\infty\;</math>.

====Dowód====
Ponieważ ciąg <math> a_n \;</math> jest nieograniczony z góry, więc <math>\forall_{r\in \mathbb R}\; \exists M: \;a_M>r\;</math>. Ponieważ ciąg <math> a_n \;</math> jest niemalejący, to dla <math>n>M\;</math> mamy <math>a_n\geq a_M\;</math>, zatem <math>a_n>r\;</math>. Tak więc <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n =\infty\;</math>.

'''CBDO'''

==Ciągi zbieżne==

Analogicznie dla ciągów nierosnących: jeśli ciąg <math> b_n \;</math> jest nieograniczony z dołu, to ma granicę niewłaściwą <math>-\infty\;</math>.

Przyjmując powyższą terminologię, możemy przeformułować twierdzenie o tym, że każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny: Rozszerzamy to do postaci:

Każdy ciąg monotoniczny posiada granicę właściwą lub niewłaściwą (w zależności od tego, czy jest ograniczony, czy nieograniczony).

===Twierdzenie X===
Jeśli <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n = \pm \infty\;</math>, to <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \frac{1}{a_n} = 0\;</math>.

====Dowód====
Niech <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n =\infty\;</math> i niech <math>\epsilon > 0\;</math>. Biorąc <math>r=\frac{1}{\epsilon}\;</math>, widzimy, że istnieje takie <math>M\;</math>, że dla <math>n>M\;</math> zachodzi
<math>a_n>r=\frac{1}{\epsilon}\;</math>, tzn. <math>\frac{1}{a_n}<\epsilon\;</math>, a to oznacza, że <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left( \frac{1}{a_n}\right) = 0\;</math>.

====Uwaga====

Twierdzenie odwrotnie ''nie jest'' prawdziwe: Jeśli ciąg <math> a_n \;</math> dąży do 0, to ciąg <math>\left\{\frac{1}{a_n}\right\}</math> nie musi być rozbieżny do <math>+\infty\;</math> lub <math>-\infty\;</math>. Jest tak np. z ciągiem <math>a_n=\frac{(-1)^n}{n}\;</math>, zbieżnym do zera: Ciąg <math>\frac{1}{a_n}=(-1,2,-3,4,\dots)\;</math> nie jest rozbieżny do <math>\infty\;</math> ani do <math>-\infty\;</math>.

==Suma i iloczyn ciągów rozbieżnych==
Naturalne jest oczekiwać, że ''suma i iloczyn ciągów rozbieżnych do <math>\infty\;</math> też są rozbieżne do <math>\infty\;</math>''. Tak też jest w istocie. Pokażemy tu nieco wzmocnione wersje tych stwierdzeń.

===Twierdzenie XX===
Jeśli <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n =\infty\;</math>, a ciąg <math> b_n \;</math> jest ograniczony z dołu, to <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (a_n+b_n) =\infty\;</math>.

====Dowód====
Niech <math>M\;</math> będzie stałą ograniczającą ciąg <math> b_n \;</math> od dołu: <math>\forall_{n\in \mathbb N }M<b_n\;</math>. Ponieważ <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n = \infty\;</math>, to dla danego (dowolnego) <math>r\;</math> istnieje taka liczba <math>k\;</math>, że dla <math>n>k\;</math> zachodzi <math>a_n>r-M\;</math>.

Stąd <math>a_n+b_n>r\;</math>, a to znaczy, że <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (a_n+b_n) =\infty\;</math>.

===Twierdzenie XXX===
Jeśli <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n = \infty\;</math> oraz ciąg <math> b_n \;</math> jest ograniczony z dołu przez '' dodatnią'' stałą <math>c\;</math>: <math>\forall_{n\in \mathbb N } b_n\geq c >0\;</math>, to <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (a_n b_n) = \infty\;</math>.

====Dowód====
Weźmy jakąś (dowolną) liczbę <math>r\;</math>. Z założenia (o rozbieżności <math> a_n \;</math> do <math>\infty\;</math>) istnieje takie <math>k\in\mathbb N\;</math>, że dla <math>n>k\;</math> mamy <math>a_n>r\;</math>. Mnożąc obie strony tej nierówności przez strony nierówności <math>b_n\geq c\;</math>, otrzymujemy <math>a_n b_n > r\;</math>, co znaczy, że <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (a_n+b_n) =\infty\;</math>.

===Twierdzenie XXXX — analogon [[Matematyka:Ciągi#label-eq:11|"stwierdzenia o zachowaniu nierówności w granicy"]]===
Jeśli <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a_n =\infty\;</math> oraz <math>\forall_{n\in\mathbb N}: a_n\leq b_n\;</math>, to <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} b_n =\infty\;</math>.

====Dowód====
Jeśli <math>a_n>r\;</math>, to tym bardziej <math>b_n>r\;</math>.

==Przykłady, w tym granice ważnych ciągów==

===Przykład 1===
Jeśli <math>c>0\;</math>, to <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} c n = \infty\;</math>.

Wynika to natychmiast z [[Matematyka:Ciągi#Twierdzenie XXX|tw. XXX]].

===Przykład 2===
Jeśli <math>a>1\;</math>, to <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a^n = \infty\;</math>.Weźmy <math>c=a-1\;</math>; mamy: <math>c>0\;</math>.
Na mocy nierówności Bernoulliego mamy:

<center><math>

a^n = (1+c)^n \geq 1+cn,

\;</math></center>

i z [[Matematyka:Ciągi#Przykład 1|Przykł. 1]] oraz [[Matematyka:Ciągi#Twierdzenie_XXXX_.E2.80.94_analogon_nier.C3.B3wno.C5.9Bci_.28.5Cref.7Blima.3Elimb.7D.29|tw. XXXX]] mamy <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a^n = \infty\;</math>.

===Przykład 3===
Jeśli <math>|q|<1\;</math>, to <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} q^n=0\;</math>. Rozpatrzmy najsampierw przypadek <math>0<q<1\;</math>. Wówczas <math>\frac{1}{q}<1\;</math>, a więc

<math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left( \frac{1}{q} \right)^n = \infty\;</math>.
Stąd na mocy Tw. X mamy <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} q^n=0\;</math>.

Gdy zaś mamy <math>|q|<1\;</math>, to wtedy <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} |q_n| =0\;</math>,

ale wtedy z Tw. ... wynika, że również <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} q^n=0\;</math>.

===Przykład 4===
Jeśli <math>|q|<1\;</math>, to

<center><math>

\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (1+q+ q^2 +\dots + q^n) = \frac{1}{1-q}

\;</math></center>

Wynika to z równości:

<math> 1+q+ q^2 +\dots + q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}</math> oraz dopiero co pokazanego faktu, że
<math>\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} q^n=0\;</math>.

<math>\left\{xxx\right\}</math>
==Liczba '''e'''==
Wprowadzimy teraz ważną w analizie (i nie tylko) liczbę, zwaną <math>e\;</math>, wykorzystując przy tym poznane uprzednio twierdzenia dotyczące granic ciągów.

Rozważmy ciąg
<equation "id=eq:3">
<math>
\left\{e_n\right\}= \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
</math>
</equation>
===Stwierdzenie===
Ciąg <math>\left\{e_n\right\}</math> jest rosnący.

====Dowód====
Rozwińmy wyrażenie na <math>e_n;</math> korzystając ze wzoru dwumiennego Newtona:
<equation id="eq:4">
<math>\begin{align}e_n= \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = 1+ n\frac{1}{n}+ \frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\frac{1}{n^2}+ \frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2 \cdot 3}\frac{1}{n^3}+\dots\\
+ \frac{n(n-1)\dots(n-k+1}{1\cdot 2 \cdot \dots \cdot k)}\frac{1}{n^k}+\dots + \frac{n(n-1)\dots(n-n+1)}{1\cdot 2 \dots \cdot n}\frac{1}{n^n}\\
= 1+ 1 + \frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right) \left(1-\frac{2}{n}\right)+\dots \\
+\frac{1}{k!}\left( 1- \frac{1}{n}\right)\dots \left(1- \frac{k-1}{n}\right)+\dots+\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right) \dots \left(1-\frac{n-1}{n}\right).
\end{align}
</math>
</equation>

Jeśli teraz przejdziemy od <math>e_n\;</math> do <math>e_{n+1}\;</math>, to w wyrażeniu powyżej przybędzie jeszcze jeden ''dodatni'' wyraz, a każdy z już istniejących się zwiększy, bo dowolny czynnik w nawiasach postaci:

<math>\left(1-\frac{s}{n}\right)\;</math> zmieni się na <math>\left(1-\frac{s}{n+1}\right)\;</math>. Stąd wynika, że

<center><math>
\left\{e_{n+1}\right\}>\left\{e_n\right\},
</math></center>

czyli ciąg <math>\left\{e_n\right\}</math> jest ciągiem ''rosnącym''.

'''CBDO'''

===Stwierdzenie===
Pokażemy dalej, że zachodzi też

'''STW.''' Ciąg <math>\left\{e_n\right\}</math> jest ograniczony z góry.
====Dowód====
Każdy z czynników w nawiasach w <xr id="eq:4">(%i)</xr> jest mniejszy od 1, zatem zamieniając wszystkie czynniki w nawiasach na 1 ''zwiększamy'' to wyrażenie.

Mamy więc:
<equation id="eq:5">
<math>
e_n<2+\frac{1}{2!} +\frac{1}{3!} +\dots + \frac{1}{n!} \equiv E_n
</math>
</equation>
a ciąg <math>\left\{e_n\right\}</math> jest ograniczony z góry, bo jego dowolny wyraz jest mniejszy od 3, jak to wynika z następującego oszacowania:

<center><math>
E_n =1+1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}}

=1+\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}<1+2=3.

</math></center>

Ciąg <math>e_n;</math> jest zatem monotoniczny (rosnący) i ograniczony, a więc ''zbieżny''.

Granicę ciągu <math>e_n;</math> oznaczamy jako <math>e\;</math>:

<equation id="eq:6">
<math>
e=\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left\{e_n\right\} = \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n\approx 2.718281828459045...
</math>
</equation>

===Inna postać liczby '''e'''===

Powróćmy do równości <xr id="eq:4">(%i)</xr>. Weźmy jakąś liczbę naturalną <math>k<n\;</math> i

pomińmy w równości <xr id="eq:4">(%i)</xr> wszystkie wyrazy poza <math>k\;</math> pierwszymi. Pominięte

wyrazy są ''dodatnie'', mamy więc

<center><math>

e_n\geq 2+ \frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right) +

\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right) \left(1-\frac{2}{n}\right)

+\dots

+\frac{1}{k!}\left(

1- \frac{1}{n}\right).
</math></center>

Przejdźmy teraz do granicy <math>n\to\infty\;</math> Pamiętajmy, że <math>k\;</math> jest dowolne, ale ''ustalone'', gdy przechodzimy do granicy <math>n\to\infty\;</math>. Każdy z nawiasów wtedy dąży do 1; mamy więc

<equation id="eq:7">
<math>
e\geq 2+\frac{1}{2!} +\frac{1}{3!} +\dots + \frac{1}{k!} = E_k.
</math></equation>

Nierówność ta jest prawdziwa przy dowolnym <math>k\in\mathbb N\;</math>. W połączeniu z nierównością <xr id="eq:7">(%i)</xr> mamy więc

<center><math>
e_n<E_n\leq e,
</math></center>

skąd wynika — na podstawie twierdzenia o trzech ciągach — że również
<equation id="eq:8">
<math>
e=\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} E_n = 1+ \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}
</math>
</equation>
Jest to inna, równoważna <xr id="eq:6">(%i)</xr> a łatwiejsza do wyliczeń, postać liczby <math>e\;</math>.

Pokażemy jeszcze, że
<equation id="eq:9>
<math>
\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n} \right)^n=\frac{1}{e}.
</math>
</equation>

Mamy bowiem:
<center><math>
1-\frac{1}{n} = \frac{n-1}{n} =\frac{1}{\left( \frac{n}{n-1} \right)} = \frac{1}{1+ \frac{1}{n-1}},
</math></center>

a więc

<center><math>

\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right)^n =

\frac{1}{\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left( 1+ \frac{1}{n-1} \right)^n }=

\frac{1}{\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left( 1+ \frac{1}{n-1} \right)^{n-1} }\cdot

\frac{1}{\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left( 1+ \frac{1}{n-1} \right) }=

\frac{1}{e},

\;</math></center>

bo

<center><math>

\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \left( 1+ \frac{1}{n-1} \right) = 1.

\;</math></center>

<small>To tyle na razie o ciągach i ich granicach. Do tematu będziemy — w miarę potrzeby — powracać; kilka ciekawych granic pojawi się, gdy będzie trochę więcej o funkcjach log i exp
</small>

Ciągi 2 - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Ciągi rozbieżne do ∞== '''Def.''' Mówimy, że ciąg a_n \; jest '''rozbieżny do''' \infty\;, jeśli \forall..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Ciągi rozbieżne do ∞== '''Def.''' Mówimy, że ciąg $a_n \;$ jest '''rozbieżny do''' $\infty\;$ , jeśli $\forall..."$