EEG/Pracownia EEG/SSVEP 2 - Historia wersji

Jarekz: /* Koncepcja drgania uogólnionego. Transformata Hilberta */

2015-09-24T06:54:06Z

Koncepcja drgania uogólnionego. Transformata Hilberta

Jarekz: /* Ćwiczenia symulacyjne */

2015-05-23T19:36:13Z

Ćwiczenia symulacyjne

Jarekz: /* Ćwiczenie 2 */

2015-05-23T19:35:57Z

Ćwiczenie 2

Jarekz o 19:35, 23 maj 2015

2015-05-23T19:35:38Z

Jarekz: Utworzono nową stronę "=Koncepcja drgania uogólnionego. Transformata Hilberta= ==Wstęp== Sygnałem najczęściej występującym w przyrodzie oraz najczęściej stosowanym w technice jest syg..."

2015-05-23T19:34:17Z

Utworzono nową stronę "=Koncepcja drgania uogólnionego. Transformata Hilberta= ==Wstęp== Sygnałem najczęściej występującym w przyrodzie oraz najczęściej stosowanym w technice jest syg..."

Nowa strona

=Koncepcja drgania uogólnionego. Transformata Hilberta=
==Wstęp==
Sygnałem najczęściej występującym w przyrodzie oraz najczęściej stosowanym w technice jest sygnał harmoniczny o postaci:
<equation>
<math>x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)</math>
</equation>
gdzie: 
<math>t</math> — chwila czasu 
<math>A</math> — amplituda sygnału, 
ω — częstość sygnału, 
φ<math>_0</math> — faza początkowa sygnału. 

Okazuje się, że istnieje szeroka klasa sygnałów rzeczywistych, które można przedstawić w postaci tzw. drgania uogólnionego:
<equation>
<math>x(t) = A(t) \sin(\Omega(t)\cdot t)</math>
</equation>

gdzie: 
<math>t</math> — chwila czasu 
<math>A(t)</math> — amplituda chwilowa sygnału ''x''(''t'') (jego obwiednia), 
Ω(t) — częstość chwilowa sygnału ''x''(''t''), 

Do klasy sygnałów, które mogą być reprezentowane w postaci drgania uogólnionego, należą m.in. wszystkie sygnały o ograniczonej energii i ograniczonej mocy średniej przedziałami ciągłe i bez składowej stałej (tzw. sygnały przestrzeni <math>L^2</math>).
W celu przedstawienia sygnału <math>x(t)</math> jako drgania uogólnionego należy wpierw wyznaczyć jego ''sygnał analityczny'' ''z''(''t''), który zdefiniowany jest w następujący sposób:

<equation>
<math>z(t) = x(t) + ix_H(t)\;</math>
</equation>

gdzie: 
<math>i=\sqrt{-1}</math> 
<math>x_H(t)</math> — transformata Hilberta sygnału <math>x(t)</math>. 

Transformatę Hilberta <math>x_H(t)</math> sygnału <math>x(t)</math> i transformatę do niej odwrotną definiujemy jak poniżej:
<equation>
<math>
x_H(t) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(\tau)}{t - \tau}d\tau
</math>
</equation>
 
<equation>
<math>
x(t) = -\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x_H(\tau)}{t - \tau}d\tau
</math>
</equation>

'''Uwaga praktyczna:'''
do wyznaczania sygnału analitycznego korzysta się z jego następującej własności:
Widmo sygnału analitycznego odpowiadającego sygnałowi rzeczywistemu jest zerowe
dla ujemnych częstości, zaś dla dodatnich częstości ma podwojoną amplitudę:
<math>x_a = F^{-1}\left(F(x)\cdot 2U\right)</math>
gdzie ''F'' — transformacja Fouriera, a ''U'' funkcja schodkowa.
Metoda ta zaimplementowana jest w funkcji <tt>scipy.signal.hilbert</tt>

Jak można zauważyć, sygnał analityczny jest funkcją zespoloną, w związku z czym można go przedstawić w postaci:
<equation>
<math>
z(t) = \left|z(t)\right|e^{i\varphi(t)}
</math>
</equation>
gdzie (patrz równanie (3)): 
<math>
\begin{array}{l}
\left|z(t)\right| = \sqrt{x^2(t) + x^2_H(t)} \\
\\
\varphi(t) = \mathrm{arc\,tg}(\frac{x_H(t)}{x(t)})
\end{array}
</math>
 

Wielkości te służą do wyznaczania chwilowej fazy φ (wzór powyżej), chwilowej amplitudy ''A'' (obwiedni) oraz chwilowej częstości Ω sygnału <math>x(t)</math>:

<math>
\begin{array}{l}
A(t)=\left|z(t)\right| \\
\\
\Omega(t) = \frac{d\varphi(t)}{dt}
\end{array}
</math>

co umożliwia przedstawienie sygnału ''x''(''t'') w postaci drgania uogólnionego:
<equation>
<math>x(t) = A(t) \sin(\Omega(t)\cdot t)</math>
</equation>

Porównując powyższy wzór ze wzorem na funkcję harmoniczną:
<equation>
<math>x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)</math>
</equation>

widzimy, że sygnały nieharmoniczne charakteryzują się zmienną w czasie amplitudą i częstością oraz nie mają określonej fazy początkowej. Ten ostatni parametr jednak również może być wyznaczony, pod warunkiem iż określimy go względem pewnej stałej w czasie częstości ω0(''t''):
<equation>
<math>\varphi(t)=\omega_0\cdot t + \varphi_0(t)</math>
</equation>
gdzie: 
<math>\varphi_0(t)</math> — faza chwilowa sygnału <math>x(t)</math>. 

Faza chwilowa jest zatem zdefiniowana jednoznacznie, ale tylko względem określonej częstości <math>\omega_0</math>. W przypadku gdy analizujemy sygnały szerokopasmowe, wyznaczenie fazy chwilowej jest możliwe po przefiltrowaniu sygnału filtrem pasmowo-przepustowym.

==Ćwiczenia symulacyjne==
Proszę zaimplementować funkcje generujące następujące przebiegi czasowe (oznaczenia: ''Fs'' — częstość próbkowania, ''T'' — czas trwania w sekundach, [[STATLAB:%C4%86wiczenia_1#Sygna.C5.82y_testowe|analogicznie do tego]]):
* sinusoida o zadanej częstości ''f'' i fazie <math>\phi</math>: <tt>y = sin(f, phi, Fs, T)</tt>,
* funkcja Gabora o zadanym położeniu szerokości i częstości <tt>y = gabor(t0, sigma, omega, Fs, T)</tt>:
: <math>g_1(t) = \exp\left(-\frac{(t-t_0)^2}{2 \sigma^2}\right)\cdot \cos\left(\omega(t-t_0) \right)</math>.

===Ćwiczenie 1===
* Wygeneruj 2-sekundowy odcinek sygnału Gabora o pozycji w czasie ''t''0 = 1 s, częstości 16 Hz, skali 0,1 s i częstości próbkowania 128 Hz.
* Wyznacz i narysuj amplitudę chwilową sygnału Gabora.

===Ćwiczenie 2===

* Wyznacz i narysuj amplitudę chwilową sygnału sinusoidalnego, o częstości 16 Hz i częstości próbkowania 128 Hz.
* Wyznacz i narysuj fazę chwilową sygnału sinusoidalnego, korzystając ze związku:

<equation>
<math>\varphi(t)=\omega_0\cdot t + \varphi_0(t)</math>
</equation>

===Ćwiczenie 3===
Wygeneruj dwa sygnały sinusoidalne o tej samej częstości 32 Hz i częstości próbkowania 128 Hz, ale różnych fazach początkowych. Pierwszy sygnał powinien mieć fazę początkową równą 0, drugi sygnał sinusoidalny powinien mieć fazę początkową równą π/4. Za pomocą transformaty Hilberta wyznacz różnicę faz symulowanych sygnałów.
===Ćwiczenie 4===
To ćwiczenie jest ku przestrodze.
Wytwórz sygnał będący sumą dwóch sinusoid: jednej o częstości 30 i drugiej o częstości 32 Hz. Wykreśl przebieg sygnału i jego amplitudy chwilowej.

==Ćwiczenia na danych pomiarowych==

===Ćwiczenie 1===
W zebranych sygnałach SSVEP wybierz zapisy dla trzech różnych częstości stymulacji (po jednym dla każdej częstości). Do analizy wybierz trzy kanały EEG, dla których sygnał SSVEP jest a) bardzo wyraźny; b) widoczny, ale słabszy; c) w zasadzie niewidoczny. Do analizy wybierz fragmenty od 2 sekund przed rozpoczęciem stymulacji do 2 sekund po jej zakończeniu.

Dla każdej wybranej częstości stymulacji wybrane kanały EEG przefiltruj filtrem wąskopasmowym przepuszczającym częstości skupione wokół tej częstości stymulacji. Do przefiltrowanych sygnałów zastosuj transformację Hilberta, wyznacz amplitudę i częstość chwilową. Wyznacz fazę chwilową dla ω0 równej częstości stymulacji. Wypróbuj dwa sposoby filtrowania: &bdquo;w jedną stronę” (<tt>filter</tt>) i &bdquo;w obie strony” (<tt>filtfilt</tt>).

Wyrysuj przefiltrowane sygnały wraz z wyliczoną amplitudą chwilową. Do rysunku dodaj wykres sygnału triggera aby widać było początek i koniec stymulacji. Narysuj też wykres zależności częstości chwilowej i fazy chwilowej od czasu.

← poprzednia wersja		Wersja z 06:54, 24 wrz 2015
Linia 1:		Linia 1:
−	~~=Koncepcja drgania uogólnionego. Transformata Hilberta=~~
−	~~==Wstęp==~~
−	~~Sygnałem najczęściej występującym w przyrodzie oraz najczęściej stosowanym w technice jest sygnał harmoniczny o postaci:~~

−	~~<math>x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)</math>~~
−	~~gdzie: <br>~~
−	~~<math>t</math> — chwila czasu <br>~~
−	~~<math>A</math> — amplituda sygnału,<br>~~
−	~~ω — częstość sygnału,<br>~~
−	~~φ<math>_0</math> — faza początkowa sygnału.<br>~~
−
−	~~Okazuje się, że istnieje szeroka klasa sygnałów rzeczywistych, które można przedstawić w postaci tzw. drgania uogólnionego:~~
−	~~<math>x(t) = A(t) \sin(\Omega(t)\cdot t)</math>~~
−
−	~~gdzie: <br>~~
−	~~<math>t</math> — chwila czasu <br>~~
−	~~<math>A(t)</math> — amplituda chwilowa sygnału ''x''(''t'') (jego obwiednia),<br>~~
−	~~Ω(t) — częstość chwilowa sygnału ''x''(''t''),<br>~~
−
−	Do klasy sygnałów, które mogą być reprezentowane w postaci drgania uogólnionego, należą m.in. wszystkie sygnały o ograniczonej energii i ograniczonej mocy średniej przedziałami ciągłe i bez składowej stałej (tzw. sygnały przestrzeni <math>L^2</math>).
−	~~W celu przedstawienia sygnału <math>x(t)</math> jako drgania uogólnionego należy wpierw wyznaczyć jego ''sygnał analityczny'' ''z''(''t''), który zdefiniowany jest w następujący sposób:~~
−
−	~~<math>z(t) = x(t) + ix_H(t)\;</math>~~
−
−	~~gdzie: <br>~~
−	~~<math>i=\sqrt{-1}</math><br>~~
−	~~<math>x_H(t)</math> — transformata Hilberta sygnału <math>x(t)</math>.<br>~~
−
−	~~Transformatę Hilberta <math>x_H(t)</math> sygnału <math>x(t)</math> i transformatę do niej odwrotną definiujemy jak poniżej:~~
−	~~<math>~~
−	~~x_H(t) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(\tau)}{t - \tau}d\tau~~
−	~~</math>~~
−	~~<br>~~
−	~~<math>~~
−	~~x(t) = -\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x_H(\tau)}{t - \tau}d\tau~~
−	~~</math>~~
−
−	~~'''Uwaga praktyczna:'''~~
−	~~do wyznaczania sygnału analitycznego korzysta się z jego następującej własności:~~
−	~~Widmo sygnału analitycznego odpowiadającego sygnałowi rzeczywistemu jest zerowe~~
−	~~dla ujemnych częstości, zaś dla dodatnich częstości ma podwojoną amplitudę:~~
−	~~<math>x_a = F^{-1}\left(F(x)\cdot 2U\right)</math>~~
−	~~gdzie ''F'' — transformacja Fouriera, a ''U'' funkcja schodkowa.~~
−	~~Metoda ta zaimplementowana jest w funkcji <tt>scipy.signal.hilbert</tt>~~
−
−	~~Jak można zauważyć, sygnał analityczny jest funkcją zespoloną, w związku z czym można go przedstawić w postaci:~~
−	~~<math>~~
−	~~z(t) = \left\|z(t)\right\|e^{i\varphi(t)}~~
−	~~</math>~~
−	~~gdzie (patrz równanie (3)):<br>~~
−	~~<math>~~
−	~~\begin{array}{l}~~
−	~~\left\|z(t)\right\| = \sqrt{x^2(t) + x^2_H(t)} \\~~
−	\\
−	~~\varphi(t) = \mathrm{arc\,tg}(\frac{x_H(t)}{x(t)})~~
−	~~\end{array}~~
−	~~</math>~~
−	~~<br>~~
−
−	~~Wielkości te służą do wyznaczania chwilowej fazy φ (wzór powyżej), chwilowej amplitudy ''A'' (obwiedni) oraz chwilowej częstości Ω sygnału <math>x(t)</math>:~~
−
−	~~<math>~~
−	~~\begin{array}{l}~~
−	~~A(t)=\left\|z(t)\right\| \\~~
−	\\
−	~~\Omega(t) = \frac{d\varphi(t)}{dt}~~
−	~~\end{array}~~
−	~~</math>~~
−
−	~~co umożliwia przedstawienie sygnału ''x''(''t'') w postaci drgania uogólnionego:~~
−	~~<math>x(t) = A(t) \sin(\Omega(t)\cdot t)</math>~~
−
−	~~Porównując powyższy wzór ze wzorem na funkcję harmoniczną:~~
−	~~<math>x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)</math>~~
−
−	widzimy, że sygnały nieharmoniczne charakteryzują się zmienną w czasie amplitudą i częstością oraz nie mają określonej fazy początkowej. Ten ostatni parametr jednak również może być wyznaczony, pod warunkiem iż określimy go względem pewnej stałej w czasie częstości ω<sub>0</sub>(''t''):
−	~~<math>\varphi(t)=\omega_0\cdot t + \varphi_0(t)</math>~~
−	~~gdzie: <br>~~
−	~~<math>\varphi_0(t)</math> — faza chwilowa sygnału <math>x(t)</math>.<br>~~
−
−	Faza chwilowa jest zatem zdefiniowana jednoznacznie, ale tylko względem określonej częstości <math>\omega_0</math>. W przypadku gdy analizujemy sygnały szerokopasmowe, wyznaczenie fazy chwilowej jest możliwe po przefiltrowaniu sygnału filtrem pasmowo-przepustowym.
−
−	~~==Ćwiczenia symulacyjne==~~
−	Proszę zaimplementować funkcje generujące następujące przebiegi czasowe (oznaczenia: ''F<sub>s</sub>'' — częstość próbkowania, ''T'' — czas trwania w sekundach, [[%C4%86wiczenia_1#Sygna.C5.82y_testowe\|analogicznie do tego]]):
−	* sinusoida o zadanej częstości ''f'' i fazie <math>\phi</math>: <tt>y = sin(f, phi, Fs, T)</tt>,
−	* funkcja Gabora o zadanym położeniu szerokości i częstości <tt>y = gabor(t0, sigma, omega, Fs, T)</tt>:
−	~~: <math>g_1(t) = \exp\left(-\frac{(t-t_0)^2}{2 \sigma^2}\right)\cdot \cos\left(\omega(t-t_0) \right)</math>.~~
−
−	~~===Ćwiczenie 1===~~
−	* Wygeneruj 2-sekundowy odcinek sygnału Gabora o pozycji w czasie ''t''<sub>0</sub> = 1 s, częstości 16 Hz, skali 0,1 s i częstości próbkowania 128 Hz.
−	* Wyznacz i narysuj amplitudę chwilową sygnału Gabora.
−
−	~~===Ćwiczenie 2===~~
−	~~<!--* Wygeneruj 2-sekundowy odcinek sygnału o pozycji w czasie ''t''<sub>0</sub> = 1 s, częstości 20 Hz, skali 0,1 s.-->~~
−	* Wyznacz i narysuj amplitudę chwilową sygnału sinusoidalnego, o częstości 16 Hz i częstości próbkowania 128 Hz.
−	* Wyznacz i narysuj fazę chwilową sygnału sinusoidalnego, korzystając ze związku:
−
−	~~<math>\varphi(t)=\omega_0\cdot t + \varphi_0(t)</math>~~
−
−	~~===Ćwiczenie 3===~~
−	Wygeneruj dwa sygnały sinusoidalne o tej samej częstości 32 Hz i częstości próbkowania 128 Hz, ale różnych fazach początkowych. Pierwszy sygnał powinien mieć fazę początkową równą 0, drugi sygnał sinusoidalny powinien mieć fazę początkową równą π/4. Za pomocą transformaty Hilberta wyznacz różnicę faz symulowanych sygnałów.
−	~~===Ćwiczenie 4===~~
−	~~To ćwiczenie jest ku przestrodze.~~
−	~~Wytwórz sygnał będący sumą dwóch sinusoid: jednej o częstości 30 i drugiej o częstości 32 Hz. Wykreśl przebieg sygnału i jego amplitudy chwilowej.~~
−
−	~~==Ćwiczenia na danych pomiarowych==~~
−
−	~~===Ćwiczenie 1===~~
−	W zebranych sygnałach SSVEP wybierz zapisy dla trzech różnych częstości stymulacji (po jednym dla każdej częstości). Do analizy wybierz trzy kanały EEG, dla których sygnał SSVEP jest a) bardzo wyraźny; b) widoczny, ale słabszy; c) w zasadzie niewidoczny. Do analizy wybierz fragmenty od 2 sekund przed rozpoczęciem stymulacji do 2 sekund po jej zakończeniu.
−
−	Dla każdej wybranej częstości stymulacji wybrane kanały EEG przefiltruj filtrem wąskopasmowym przepuszczającym częstości skupione wokół tej częstości stymulacji. Do przefiltrowanych sygnałów zastosuj transformację Hilberta, wyznacz amplitudę i częstość chwilową. Wyznacz fazę chwilową dla ω<sub>0</sub> równej częstości stymulacji. Wypróbuj dwa sposoby filtrowania: &bdquo;w jedną stronę” (<tt>filter</tt>) i &bdquo;w obie strony” (<tt>filtfilt</tt>).
−
−	Wyrysuj przefiltrowane sygnały wraz z wyliczoną amplitudą chwilową. Do rysunku dodaj wykres sygnału triggera aby widać było początek i koniec stymulacji. Narysuj też wykres zależności częstości chwilowej i fazy chwilowej od czasu.

@@ Linia 82: / Linia 82: @@
 ==Ćwiczenia symulacyjne==
-Proszę zaimplementować funkcje generujące następujące przebiegi czasowe (oznaczenia: ''F<sub>s</sub>'' &mdash; częstość próbkowania, ''T'' &mdash; czas trwania w sekundach, [[STATLAB:%C4%86wiczenia_1#Sygna.C5.82y_testowe|analogicznie do tego]]):
+Proszę zaimplementować funkcje generujące następujące przebiegi czasowe (oznaczenia: ''F<sub>s</sub>'' &mdash; częstość próbkowania, ''T'' &mdash; czas trwania w sekundach, [[%C4%86wiczenia_1#Sygna.C5.82y_testowe|analogicznie do tego]]):
 * sinusoida o zadanej częstości ''f'' i fazie <math>\phi</math>: <tt>y = sin(f, phi, Fs, T)</tt>,
 * funkcja Gabora o zadanym położeniu szerokości i częstości <tt>y = gabor(t0, sigma, omega, Fs, T)</tt>:
@@ Linia 103: / Linia 103: @@
 To ćwiczenie jest ku przestrodze.
 Wytwórz sygnał będący sumą dwóch sinusoid: jednej o częstości 30 i drugiej o częstości  32 Hz. Wykreśl przebieg sygnału i jego amplitudy chwilowej.
 ==Ćwiczenia na danych pomiarowych==

@@ Linia 96: / Linia 96: @@
 * Wyznacz i narysuj fazę chwilową sygnału sinusoidalnego, korzystając ze związku:
 <math>\varphi(t)=\omega_0\cdot t + \varphi_0(t)</math>
 ===Ćwiczenie 3===

@@ Linia 2: / Linia 2: @@
 ==Wstęp==
 Sygnałem najczęściej występującym w przyrodzie oraz najczęściej stosowanym w technice jest sygnał harmoniczny o postaci:
-<equation>
 <math>x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)</math>
 gdzie: <br>
 <math>t</math> &mdash; chwila czasu <br>
@@ Linia 12: / Linia 11: @@
 Okazuje się, że istnieje szeroka klasa sygnałów rzeczywistych, które można przedstawić w postaci tzw. drgania uogólnionego:
 <math>x(t) = A(t) \sin(\Omega(t)\cdot t)</math>
 gdzie: <br>
@@ Linia 24: / Linia 21: @@
 W celu przedstawienia sygnału <math>x(t)</math> jako drgania uogólnionego należy wpierw wyznaczyć jego ''sygnał analityczny'' ''z''(''t''), który zdefiniowany jest w następujący sposób:
 <math>z(t) = x(t) + ix_H(t)\;</math>
 gdzie: <br>
@@ Linia 33: / Linia 28: @@
 Transformatę Hilberta <math>x_H(t)</math> sygnału <math>x(t)</math> i transformatę do niej odwrotną definiujemy jak poniżej:
 <math>
 x_H(t) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(\tau)}{t - \tau}d\tau
 </math>
 <br>
 <math>
 x(t) = -\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x_H(\tau)}{t - \tau}d\tau
 </math>
   '''Uwaga praktyczna:'''
@@ Linia 54: / Linia 45: @@
 Jak można zauważyć, sygnał analityczny jest funkcją zespoloną, w związku z czym można go przedstawić w postaci:
 <math>
 z(t) = \left|z(t)\right|e^{i\varphi(t)}
 </math>
 gdzie (patrz równanie (3)):<br>
 <math>
@@ Linia 80: / Linia 69: @@
 co umożliwia przedstawienie sygnału ''x''(''t'') w postaci drgania uogólnionego:
 <math>x(t) = A(t) \sin(\Omega(t)\cdot t)</math>
 Porównując powyższy wzór ze wzorem na funkcję harmoniczną:
 <math>x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)</math>
 widzimy, że sygnały nieharmoniczne charakteryzują się zmienną w czasie amplitudą i częstością oraz nie mają określonej fazy początkowej. Ten ostatni parametr jednak również może być wyznaczony, pod warunkiem iż określimy go względem pewnej stałej w czasie częstości &omega;<sub>0</sub>(''t''):
 <math>\varphi(t)=\omega_0\cdot t + \varphi_0(t)</math>
 gdzie: <br>
 <math>\varphi_0(t)</math> &mdash; faza chwilowa sygnału <math>x(t)</math>.<br>