Estymacja widma na podstawie FT - Historia wersji

Durka: /* Praktyczna estymacja widma Fourierowskiego sygnałów */

2024-11-08T10:14:38Z

Praktyczna estymacja widma Fourierowskiego sygnałów

Durka: /* Praktyczna estymacja widma Fourierowskiego sygnałów */

2024-11-08T10:13:02Z

Praktyczna estymacja widma Fourierowskiego sygnałów

Durka: /* Praktyczna estymacja widma Fourierowskiego sygnałów */

2024-11-08T09:16:31Z

Praktyczna estymacja widma Fourierowskiego sygnałów

Durka: /* Praktyczna estymacja widma Fourierowskiego sygnałów */

2024-11-06T12:53:33Z

Praktyczna estymacja widma Fourierowskiego sygnałów

Durka: /* AS/ Estymacja widma na podstawie Transformaty Fouriera */

2024-07-23T07:50:44Z

AS/ Estymacja widma na podstawie Transformaty Fouriera

Durka: /* Praktyczna estymacja widma Fourierowskiego sygnałów */

2023-10-26T18:54:18Z

Praktyczna estymacja widma Fourierowskiego sygnałów

Durka: /* Praktyczna estymacja widma Fourierowskiego sygnałów */

2021-10-29T08:30:08Z

Praktyczna estymacja widma Fourierowskiego sygnałów

Durka: /* Praktyczna estymacja widma Fourierowskiego sygnałów */

2021-10-29T08:24:23Z

Praktyczna estymacja widma Fourierowskiego sygnałów

Durka: /* Dyskretna Transformata Fouriera (DFT) */

2021-10-29T08:21:40Z

Dyskretna Transformata Fouriera (DFT)

Durka: /* Dyskretna Transformata Fouriera (DFT) */

2021-10-29T08:19:00Z

Dyskretna Transformata Fouriera (DFT)

@@ Linia 51: / Linia 51: @@
 W efekcie [[Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)|(patrz twierdzenie o splocie)]] otrzymujemy splot transformaty Fouriera
 sygnału (nieskończonego) z transformatą Fouriera okna
-<math>\hat{w}_p[k]</math>. Na przykład dla okna prostokątnego będzie to funkcja postaci <math>sin(x)/x</math>, która może wprowadzić w widmie sztuczne oscylacje, które mylnie możemy zidentyfikować z pikami widma. Dlatego w praktyce stosujemy okna o
+<math>\hat{w}_p[k]</math>. Na przykład dla okna prostokątnego będzie to funkcja postaci <math>sin(x)/x</math>, która może wprowadzić w widmie sztuczne oscylacje, które mylnie możemy zidentyfikować z pikami widma. Dlatego w praktyce stosujemy okna o łagodniejszym przebiegu transformaty Fouriera. Czyli:
-łagodniejszym przebiegu transformaty Fouriera. Czyli:
+#Obliczamy iloczyn sygnału <math>s[n]</math> z wybranym oknem <math>w[n]</math>
 #Obliczamy periodogram sygnału <math>s[n] w[n]</math>

← poprzednia wersja		Wersja z 10:13, 8 lis 2024
Linia 69:		Linia 69:
	</math>		</math>

−	Przy założeniu stacjonarności ~~i ergodyczności~~ sygnału możemy obliczyć widmo [[Nieparametryczne_widmo_mocy#Metoda_Welcha\|testowaną na ćwiczeniach]] metodą Welcha, według której dzielimy sygnał na zachodzące na siebie odcinki, każdy odcinek mnożymy przez okno <math>w[n]</math> po czy otrzymane widma uśredniamy. W ten sposób dla każdej częstości mamy po kilka estymat mocy widmowej, wyliczonych z kolejnych odcinków, co pozwala na oszacowanie błędu estymaty.	+	Przy założeniu stacjonarności sygnału możemy obliczyć widmo [[Nieparametryczne_widmo_mocy#Metoda_Welcha\|testowaną na ćwiczeniach]] metodą Welcha, według której dzielimy sygnał na zachodzące na siebie odcinki, każdy odcinek mnożymy przez okno <math>w[n]</math> po czy otrzymane widma uśredniamy. W ten sposób dla każdej częstości mamy po kilka estymat mocy widmowej, wyliczonych z kolejnych odcinków, co pozwala na oszacowanie błędu estymaty.

← poprzednia wersja		Wersja z 09:16, 8 lis 2024
Linia 69:		Linia 69:
	</math>		</math>

−	Przy założeniu ~~'''~~stacjonarności i ergodyczności~~'''~~ sygnału możemy obliczyć widmo [[Nieparametryczne_widmo_mocy#Metoda_Welcha\|testowaną na ćwiczeniach]] metodą Welcha, według której dzielimy sygnał na zachodzące na siebie odcinki, każdy odcinek mnożymy przez okno <math>w[n]</math> po czy otrzymane widma uśredniamy. W ten sposób dla każdej częstości mamy po kilka estymat mocy widmowej, wyliczonych z kolejnych odcinków, co pozwala na oszacowanie błędu estymaty.	+	Przy założeniu stacjonarności i ergodyczności sygnału możemy obliczyć widmo [[Nieparametryczne_widmo_mocy#Metoda_Welcha\|testowaną na ćwiczeniach]] metodą Welcha, według której dzielimy sygnał na zachodzące na siebie odcinki, każdy odcinek mnożymy przez okno <math>w[n]</math> po czy otrzymane widma uśredniamy. W ten sposób dla każdej częstości mamy po kilka estymat mocy widmowej, wyliczonych z kolejnych odcinków, co pozwala na oszacowanie błędu estymaty.

@@ Linia 74: / Linia 74: @@
 <div align="right">
-  [[Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)|⬅]] [[Analiza_sygnałów_-_wykład|⬆]] [[Systemy_liniowe_niezmiennicze_w_czasie_(LTI)|⮕]]
+  [[Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)|⬅]] [[Analiza_sygnałów_-_wykład|⬆]] [[Model_autoregresyjny_(AR)|⮕]]
 </div>

← poprzednia wersja		Wersja z 07:50, 23 lip 2024
Linia 70:		Linia 70:

	Przy założeniu '''stacjonarności i ergodyczności''' sygnału możemy obliczyć widmo [[Nieparametryczne_widmo_mocy#Metoda_Welcha\|testowaną na ćwiczeniach]] metodą Welcha, według której dzielimy sygnał na zachodzące na siebie odcinki, każdy odcinek mnożymy przez okno <math>w[n]</math> po czy otrzymane widma uśredniamy. W ten sposób dla każdej częstości mamy po kilka estymat mocy widmowej, wyliczonych z kolejnych odcinków, co pozwala na oszacowanie błędu estymaty.		Przy założeniu '''stacjonarności i ergodyczności''' sygnału możemy obliczyć widmo [[Nieparametryczne_widmo_mocy#Metoda_Welcha\|testowaną na ćwiczeniach]] metodą Welcha, według której dzielimy sygnał na zachodzące na siebie odcinki, każdy odcinek mnożymy przez okno <math>w[n]</math> po czy otrzymane widma uśredniamy. W ten sposób dla każdej częstości mamy po kilka estymat mocy widmowej, wyliczonych z kolejnych odcinków, co pozwala na oszacowanie błędu estymaty.
		+
		+
		+
		+	<div align="right">
		+	[[Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)\|⬅]] [[Analiza_sygnałów_-_wykład\|⬆]] [[Systemy_liniowe_niezmiennicze_w_czasie_(LTI)\|⮕]]
		+	</div>

← poprzednia wersja		Wersja z 18:54, 26 paź 2023
Linia 57:		Linia 57:


−	W ogólnym ~~rzypadku~~, biorąc pod uwagę normalizację okna	+	W ogólnym przypadku, biorąc pod uwagę normalizację okna

	<math>w[n] = \frac{1}{\sqrt{\sum_{n=0}^{N-1} (w[n])^2}}w[n]</math>		<math>w[n] = \frac{1}{\sqrt{\sum_{n=0}^{N-1} (w[n])^2}}w[n]</math>

← poprzednia wersja		Wersja z 08:30, 29 paź 2021
Linia 69:		Linia 69:
	</math>		</math>

−	Przy założeniu stacjonarności sygnału możemy obliczyć widmo [[Nieparametryczne_widmo_mocy#Metoda_Welcha\|testowaną na ćwiczeniach]] metodą Welcha, według której dzielimy sygnał na zachodzące na siebie odcinki, każdy odcinek mnożymy przez okno <math>w[n]</math> po czy otrzymane widma uśredniamy. W ten sposób dla każdej częstości mamy po kilka estymat mocy widmowej, wyliczonych z kolejnych odcinków, co pozwala na oszacowanie błędu estymaty.	+	Przy założeniu '''stacjonarności i ergodyczności''' sygnału możemy obliczyć widmo [[Nieparametryczne_widmo_mocy#Metoda_Welcha\|testowaną na ćwiczeniach]] metodą Welcha, według której dzielimy sygnał na zachodzące na siebie odcinki, każdy odcinek mnożymy przez okno <math>w[n]</math> po czy otrzymane widma uśredniamy. W ten sposób dla każdej częstości mamy po kilka estymat mocy widmowej, wyliczonych z kolejnych odcinków, co pozwala na oszacowanie błędu estymaty.

@@ Linia 28: / Linia 28: @@
   \hat{s}[k] = \frac{1}{NT_s}\sum_{n=0}^{N-1}s(nT_s)e^{2i\pi\frac{knT_s}{NT_s}} \; T_s = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}s[n]e^{2i{\pi}\frac{kn}{N}}
 </math>
 ==Praktyczna estymacja widma Fourierowskiego sygnałów==

← poprzednia wersja		Wersja z 08:21, 29 paź 2021
Linia 14:		Linia 14:
	<math>s[n]=s(n T_s)</math>.		<math>s[n]=s(n T_s)</math>.

−	Przepiszmy wzór na współczynniki szeregu Fouriera	+	Przepiszmy wzór na współczynniki [[Szereg_Fouriera\|szeregu Fouriera]]

@@ Linia 15: / Linia 15: @@
 Przepiszmy wzór na współczynniki szeregu Fouriera
 <math>
 c_{k} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^\frac{2\pi i k t}{T} d t
 </math>
 Ponieważ sygnał jest teraz dyskretny, całka zamieni się na sumę pól prostokątów o bokach równych wartości funkcji podcałkowej w zadanych punktach <math>x(nT_s)e^{(2i{\pi}knT_s/T)}</math> i odległości między punktami <math>T_s</math>:
 <math>