Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Pokazy== #Odbicie impulsu falowego na falownicy ze zmianą fazy. #Pokazy w wanience do fal: fali płaskiej, kolistej, dyfrakcji, interferencji. #Pokaz fali s..."

2015-05-22T21:21:33Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Pokazy== #Odbicie impulsu falowego na falownicy ze zmianą fazy. #Pokazy w wanience do fal: fali płaskiej, kolistej, dyfrakcji, interferencji. #Pokaz fali s..."

Nowa strona

__NOTOC__
==Pokazy==
#Odbicie impulsu falowego na falownicy ze zmianą fazy.
#Pokazy w wanience do fal: fali płaskiej, kolistej, dyfrakcji, interferencji.
#Pokaz fali stojącej wzdłuż gumki modelarskiej.

==Czoło fali==
miejsce geometryczne punktów, w których faza ma taką samą wartość.
==Fala płaska==
fala w której czołem jest płaszczyzna prostopadła do kierunku rozchodzenia się fali. W przypadku omawianym na wykładzie kierunkiem tym jest oś ox.
Linie, które w każdym punkcie są prostopadłe do powierzchni falowej nazywa się promieniami fali.
==Fala kulista==
czoło fali jest kulą.

==Fala stojąca==
powstaje w wyniku nałożenia się ( interferencji) fali padającej i odbitej.
Zaburzenie nie przemieszcza się w ośrodku. Elementy ośrodka drgają wokół położenia równowagi z różną amplitudą zależną od położenia elementu.

<math> y_1= A\cos (kx-\omega t)</math>

<math> y_2= A\cos (kx+\omega t-\phi)</math> — równanie fali odbitej

<math> y_1+y_2= 2A \cos\frac{kx-\omega t+kx+\omega t-\phi}{2}\cos\frac{kx-\omega t-(kx+\omega t-\phi)}{2} = 2A\cos\left(kx+\nicefrac{\phi}{2}\right)\cos\left(\omega t-\nicefrac{\phi}{2}\right)</math>

Zauważmy, że:

<math>2A\cos\left(kx+\nicefrac{\phi}{2}\right)=A'</math> — amplituda fali stojącej zależna od ''x''.

<math>\cos\left(\omega t-\nicefrac{\phi}{2}\right)</math> — czynnik opisujący drgania harmoniczne.

<math> A' = 0</math> — węzły fali stojącej.

<math> A' = 2A</math> — strzałki fali stojącej.

Odległość między najbliższymi węzłami <math> x = x_1-x_2</math>.

<math>\left(kx_1+\nicefrac{\phi}{2}\right)-\left(kx_2-\nicefrac{\phi}{2}\right)=\pi</math>

<math>k(x_1-x_2) = \pi</math>

<math>\frac{2\pi}{\lambda} = \pi</math> stąd <math> x = \frac{\lambda}{2}</math>

W fali stojącej energia nie jest przenoszona, a raczej magazynowana w określonym obszarze.

==Interferencja fal==

przy założeniu, że amplitudy są różne, częstość własna taka sama.

<math> y = A_1\cos (kx-\omega t) +A_2\cos(kx-\omega t+\phi)</math>

<math> = A_1\cos (kx-\omega t) +A_2\cos(kx-\omega t)\cos\phi -A_2\sin(kx-\omega t)\sin\phi</math>

<math> = \cos(kx-\omega t )(A_1+A_2\cos\phi)-A_2\sin(kx-\omega t)\sin\phi</math>

W powyższym wyprowadzeniu korzystamy ze wzoru <math> \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta</math>. Podstawiamy <math> b_1=(A_1+A_2\cos\phi)</math> oraz <math> b_2=A_2\sin\phi</math>. To są stałe niezależne od współrzędnej x ani od czasu. Zatem:

<math> y = b_1\cos(kx-\omega t) -b_2sin(kx-\omega t)</math>

Kolejne podstawienia:
{|class="wikitable"
|<math>b_1=B\cos\chi</math>
|<math>b_2=B\sin\chi</math>
|-
|<math>b_1^2=B^2\cos^2\chi</math>
|<math>b_2^2=B^2\sin^2\chi</math>
|-
|<math> B = \sqrt{b_1^2+b_2^2}</math>
|<math>\tg\chi = \frac{b_2}{b_2}</math>
|}

Zatem wynik dodawania dwóch funkcji falowych można teraz zapisać w postaci:

<math> y = B\left(\cos\chi\cos(kx-\omega t) - \sin\chi\sin(kx-\omega t)\right) = b\cos(kx-\omega t +\chi)</math>

gdzie <math> B = \sqrt{(A_1+A_2\cos\phi)^2+A_2^2\sin^2\phi}</math>

<math>\tg\chi = \frac{A_2\sin\phi}{A_1+A_2\cos\phi}</math>

Fala wypadkowa jest sinusoidalna o takiej samej liczbie falowej i częstości kołowej. Amplituda tej fali i przesuniecie fazowe wyrażają się przez amplitudy i przesuniecie fazowe fal składowych.

==Równanie falowe==
Funkcje y(x,t) dwóch zmiennych, opisujące rozchodzenie się fali, w naszym przypadku była to fala płaska, są rozwiązaniem równań opisujących siły działające na element odkształconego ośrodka. Podobnie było, gdy opisywaliśmy ruch punktu materialnego.

Równanie ruchu typu <math> x(t) = vt +\frac{at^2}{2}</math> jest rozwiązanie równania różniczkowego wyrażającego siły działające na ten punkt <math> m\frac{d^2x}{dt^2} = F_0</math>, gdy siła jest stała. Teraz sytuacja jest bardziej złożona.

Dla ustalenia uwagi załóżmy, że ośrodkiem odkształcanym jest lina. Jeśli nie rozchodzi się zaburzenie, to stan sznura opisuje funkcja stała: ''y(x) ='' const, ''y(t) ='' const.

Natomiast, gdy jest odkształcona równie ma postać:

<math>m\frac{\partial^2y}{\partial t^2} = k \frac{\partial^2y}{\partial x^2}</math>

Lewa strona równania wyraża siłę. Aby zapisać prawą stronę równości, korzystamy z własności wykresów funkcji. Krzywa będąca wykresem funkcji jest wklęsła lub wypukła, jeśli jej druga pochodna jest różna od zera.

Załóżmy, że ''y(x)'' jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale ''(a,b).''

Jeśli dla każdego <math> x\in (a,b)\ \frac{\partial^2y}{\partial x^2}>0</math>, to krzywa ''y(x)'' jest wypukła, jeśli dla każdego <math> x\in (a,b)\ \frac{\partial^2y}{\partial x^2}</math>, to jest wklęsła. Ogólnie druga pochodna musi być różna od zera.

<math> \frac{m}{k} = \frac{2}{v^2}</math>

Wynika to z wymiaru <math>\nicefrac m k </math>.

Sprawdzenie, że rozwiązaniem równania jest funkcja <math> y(x,t) = A\cos(kx-\omega t+\phi)</math>:

<math>\frac{\partial y}{\partial x} = -kA\sin(kx-\omega t+\phi)</math>

<math> \frac{\partial^2y}{\partial x^2} = -k^2 A \cos(kx-\omega t +\phi)</math>

<math>\frac{\partial y}{\partial t} = A\omega \sin(kx-\omega t +\phi)</math>

<math>\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = - A\omega^2 \cos(kx-wt +\phi)</math>

Lewa strona jest równa prawej pod warunkiem prostego związku

<math>\frac{\omega^2}{k^2} = v^2</math>

Fizyka I OO/Wykład IX - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Pokazy== #Odbicie impulsu falowego na falownicy ze zmianą fazy. #Pokazy w wanience do fal: fali płaskiej, kolistej, dyfrakcji, interferencji. #Pokaz fali s..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Pokazy== #Odbicie impulsu falowego na falownicy ze zmianą fazy. #Pokazy w wanience do fal: fali płaskiej, kolistej, dyfrakcji, interferencji. #Pokaz fali s..."