Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Pojęcia fizyczne wprowadzone na wykładzie== *wielkości charakteryzujące ruch harmoniczny prosty i ich zależność od czasu ==Pokazy== #Wahadło matem..."

2015-05-22T21:19:21Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Pojęcia fizyczne wprowadzone na wykładzie== *wielkości charakteryzujące ruch harmoniczny prosty i ich zależność od czasu ==Pokazy== #Wahadło matem..."

Nowa strona

__NOTOC__

==Pojęcia fizyczne wprowadzone na wykładzie==
*wielkości charakteryzujące ruch harmoniczny prosty i ich zależność od czasu
==Pokazy==
#Wahadło matematyczne, ciężarek na sprężynce obserwacja i analiza ruchu drgających ciał
#Zależność <math>x(t)=A\sin\alpha t</math> — rysunek rozsypanej kaszy na kartonie ciągniętym pod wahadłem matematycznym
#Animacja komputerowa ruchu drgającego, stałość energii.
==Ruch drgający harmoniczny==
jest to ruch wywołany niezrównoważoną siłą, której wartość nie jest stała, ale zależy od wychylenia z położenia równowagi. Wahadło matematyczne, czyli kulka o niewielkich rozmiarach zawieszona na długiej nieważkiej i nierozciągliwej nitce porusza się takim ruchem. Aby rozpoczął się ruch należy, co oczywiste, wychylić kulkę z położenia, w którym równoważyła się siła ciężkości i siła naprężenia nitki, czyli z położenia równowagi. Niezrównoważoną siłą, która powoduje ruch wahadła matematycznego jest wypadkowa siły ciężkości i siły naprężenia nitki. Wartość tej siły wynosi <math>F=mg\sin\alpha</math> i zmienia się w czasie ruchu, bo zmienia się kąt wychylenia nici. Dla małych kątów wartość sinusa można przybliżyć wartością kąta, więc siłę zapisujemy jako:

<math>\vec{F} = -mg \frac{\vec{x}}{l}</math>

Znak "–" oznacza, że zwrot siły jest przeciwny do zwrotu wychylenia. Wartość tej siły jest wprost proporcjonalna do wychylenia ''x''.
===Drugi przykład ===
ruch ciężarka na sprężynce. W tym przypadku niezrównoważona siła jest siłą sprężystości odkształconej sprężyny. Jej wartość jest również proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi

<math> F = -\kappa x</math>

<math>\kappa</math> — współczynnik sprężystości sprężyny.

Oba ruchu charakteryzuje periodyczność. Wszystkie fazy ruchu okresowo powtarzają się. Czas jednego cyklu nazywa się okresem — ''T''. Częstotliwość ''f'' — to liczba cykli w jednostce czasu:

<math> T=\frac{1}{f}</math>

===Definicja===
Ogólnie mówimy, że
<center>
'''jeśli działa na ciało niezrównoważona siła proporcjonalna do wychylenia i jej zwrot jest przeciwny do zwrotu wektora przemieszczenia, to porusza się ono ruchem drgającym harmonicznym.'''

<math>F = -m\omega^2 x</math>
</center>
''m'' — masa ciała, <math>\omega</math> — częstość kołowa — wielkość stała, która zależy od układu drgającego. Związana jest z częstotliwością ''f'' zależnością :

<math> \omega = 2\pi f</math>

Zgodnie z II zasadą dynamiki <math> F=am</math>, gdzie ''m'' — masa ciała, ''a'' — przyspieszenie:
<math> a = \frac{d^2 x}{dt^2}</math> — jest drugą pochodną wychylenia ''x'' względem czasu, zatem równanie ma ogólną postać następującą:

<math>m\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 mx </math>

Jest to równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest funkcja <math>x=A \cos \omega t </math>. Pochodna tej funkcji jest równa <math> - \omega \sin \omega t</math>, zatem prędkość, która jest pochodną wychylenia względem czasu wynosi:

<math> \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin\omega t</math>

Iloczyn <math> A\omega</math> jest stałą, którą oznaczamy jako <math>v_0</math>. Ma ona wartość maksymalnej prędkości. Znak „minus” oznacza, że zwrot prędkości jest przeciwny do wychylenia.
Przyspieszenie jest pochodną prędkości względem czasu i jednocześnie drugą pochodną, (czyli pochodną pochodnej) wychylenia względem czasu.

Pochodna funkcji <math>\sin \omega t</math> jest równa:

<math>\frac{d(\sin\omega t)}{dt} = \omega \cos\omega t </math>

Przyspieszenie

<math> s = \frac{dv}{dt} = -\omega v_0 \cos\omega t = -A\omega^2 \cos\omega t </math>

Widać, że

<math> a = -\omega^2 x</math>

a jeśli obie strony pomnoży się przez masę m, to uzyskamy:

<math> ma = -\omega^2 x</math>,

Powyższe równanie jest równaniem, które usiłowaliśmy rozwiązać, a uzyskany rezultat pozwala stwierdzić, że rozwiązanie <math>x= A\cos\omega t</math> jest prawidłowe.

Podsumowując, zapiszmy trzy podstawowe zależności dla ruchu drgającego:

<math> x = A \cos\omega t</math>

<math> v = -v_0 \sin \omega t</math>

<math> a = -a_0 \cos\omega t</math>

Energia kinetyczna w ruchu drgającym wyraża się wzorem:

<math> E_p = \frac{kA^2 \cos^2 \omega t}{2}</math>

i zmienia się z czasem jak funkcja cosinus kwadrat. W czasie ruchu zamienia się ona na energię potencjalną. W omawianych przykładach jest to energia potencjalna grawitacji lub sprężystości. Gdy nie ma tarcia, suma energii potencjalnej i kinetycznej jest stała.

Fizyka I OO/Wykład VI - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Pojęcia fizyczne wprowadzone na wykładzie== *wielkości charakteryzujące ruch harmoniczny prosty i ich zależność od czasu ==Pokazy== #Wahadło matem..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Pojęcia fizyczne wprowadzone na wykładzie== *wielkości charakteryzujące ruch harmoniczny prosty i ich zależność od czasu ==Pokazy== #Wahadło matem..."