Anula o 10:44, 22 maj 2015

2015-05-22T10:44:24Z

Anula: Utworzono nową stronę "==Funkcja== '''Funkcją''' (stosuje się też nazwę ''odwzorowanie'') określoną na zbiorze $X\;$ o wartościach w zbiorze $Y\;$ nazywamy przypo..."

2015-05-22T10:43:53Z

Utworzono nową stronę "==Funkcja== '''Funkcją''' (stosuje się też nazwę ''odwzorowanie'') określoną na zbiorze <math>X\;</math> o wartościach w zbiorze <math>Y\;</math> nazywamy przypo..."

Nowa strona

==Funkcja==

'''Funkcją''' (stosuje się też nazwę ''odwzorowanie'') określoną na zbiorze <math>X\;</math> o wartościach w zbiorze <math>Y\;</math> nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi <math>x\in X\;</math> dokładnie jednego elementu <math>y\in Y\;</math>. <math>x\;</math> nazywamy ''argumentem'', zaś <math>y\;</math> — ''wartością'' funkcji. Zbiór <math>X\;</math> nazywamy ''dziedziną'' funkcji.

Zapisujemy: <math>y=f(x)\;</math>. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów <math>X\;</math> i <math>Y\;</math> piszemy: <math>f: X\to Y\;</math>.

===Uwaga===

Do definicji funkcji trzeba podać trzy rzeczy: <math>f\;</math>, <math>X\;</math>, <math>Y\;</math>. Dwie funkcje: <math>f: X_1\to Y_1\;</math> oraz <math>f: X_2 \to Y_2\;</math>, dla których sposób przyporządkowania <math>f\;</math> jest taki sam, ale <math>X_1\ne X_2\;</math> lub <math>Y_1\ne Y_2\;</math>, uważamy za ''różne''! Np. <math>f: \mathbb R \to \mathbb R: f(x) =x+1 \;</math> oraz <math>f: \mathbb N \to \mathbb N: f(x) = x+1\;</math>, uważamy za ''różne'', mimo iż recepta przyporządkowania jest ta sama!

==Injekcja==

'''Injekcją''' nazywamy odwzorowanie o własności:
<center>
<math>\forall x_1,x_2 \in X \,:\,(f(x_1) = f(x_2)) \Longrightarrow (x_1 = x_2)\;.</math>
</center>
(innymi słowy, jest to odwzorowanie ''różnowartościowe'')

==Surjekcja==

'''Surjekcją''' nazywamy takie odwzorowanie, że każdy <math>y\in Y\;</math> jest obrazem pewnego <math>x\in X\;</math>. Zapiszmy to używając kwantyfikatorów: <math> \mathop{\forall}_{y\in Y} \mathop{\exists}_{x\in X}: y=f(x)\;</math>. W tym przypadku mówimy też, że <math>f\;</math> jest odwzorowaniem "na".

==Bijekcja==
'''Bijekcją''' nazywamy odwzorowanie, które jest jednocześnie injekcją i surjekcją.

===Przykład===

Rozważmy trzy funkcje <math>f_1, f_2, f_3\;</math>: <math>f_1: \mathbb R\to\mathbb R, f_1(x):=x^2\;</math>; <math>f_2: \mathbb R\to\mathbb R_+ \cup \{0\}, f_2(x):=x^2\;</math>; <math>f_3: \mathbb R_+ \cup \{0\} \to\mathbb R_+ \cup \{0\} , f_3(x):=x^2\;</math>.

<math>f_1\;</math> nie jest iniekcją ani surjekcją;

<math>f_2\;</math> nie jest injekcją, ale jest surjekcją;

wreszcie <math>f_3\;</math> jest zarówno injekcją jak i surjekcją.

Przykład ten pokazuje, w jak dużym (decydującym!) stopniu własności funkcji (injektywność, surjektywność itp.) zależą od zbioru, na którym są określone.

===Odwzorowanie odwrotne===

Bijekcje są ważną klasą odwzorowań, gdyż można dla nich określić ''odwzorowanie odwrotne'':

Jeśli <math>f: X\to Y\;</math> jest bijekcją, to '''odwzorowaniem odwrotnym''' do <math>f\;</math> (oznaczanym jako <math>f^{-1})\;</math> jest odwzorowanie <math>f^{-1}: Y\to X\;</math>, definiowane tak: Jeśli <math>y=f(x)\;</math>, to <math>f^{-1}(y)=x\;</math>.

====Przykład====

Weźmy <math>f_3\;</math> z powyższego przykładu. Mamy tu <math>y=f(x)=x^2\;</math>, więc <math>x=+\sqrt{y}=f^{-1}(y)\;</math>.

==Obraz==

'''Obrazem''' zbioru <math>A\subset X\;</math> przy odwzorowaniu <math>f\;</math> nazywamy zbiór <math>B\subset Y\;</math> oznaczany jako <math>B=f(A)\;</math> i określony jako
<center><math>
B:= \cup_{x\in A} f(x)\;
</math></center>

==Przeciwobraz==

'''Przeciwobrazem''' zbioru <math>C\subset Y\;</math> przy odwzorowaniu <math>f\;</math> nazywamy zbiór <math>E\subset X\;</math>, oznaczany jako <math>E=f^{-1}(C)\;</math> i określony jako
<center><math>
E= \{x\in X: f(x)\in C\}\;
</math></center>

===Przykład===

Rozważmy funkcję <math>f_1\;</math> z powyższego przykładu: <math>f_1: \mathbb R\to\mathbb R, f_1(x):=x^2\;</math>. Mamy: <math>f_1([1,2])=[1,4]\;</math>, zaś <math>f^{-1}([1,4])=[1,2]\cup [-2,-1]\;</math>.

==Poziomica==
'''Poziomicą''' punktu <math>c\in Y\;</math> nazywamy przeciwobraz punktu <math>c\in Y\;</math>.

===Przykład===

Rozważmy funkcję <math>g: \mathbb R^2 \to \mathbb R\;</math>, określoną jako: <math>g(x,y)=x^2+y^2\;</math>. Wtedy, dla <math>c>0\;</math>, poziomica to zbiór punktów płaszczyzny spełniających równanie: <math>x^2+y^2=c\;</math>, w czym rozpoznajemy równanie ''okręgu'' o promieniu <math>\sqrt{c}\;</math>. Dla <math>c=0\;</math> poziomicą jest punkt <math>(0,0)\;</math>, a dla <math>c<0\;</math> — zbiór pusty.

==Wykres funkcji==

Jako że zmysłem człowieka, odbierającym zdecydowaną większość bodźców jest ''wzrok'', nic dziwnego, że łatwiej dostrzeżemy różne aspekty funkcji patrząc na jej ''wykres''.

''' Def.''' '''Wykresem funkcji''' <math>f:X\to Y\;</math> nazywamy następujący podzbiór <math>G\;</math> iloczynu kartezjańskiego <math> X\times Y \;</math>: <math>G=\{(x,f(x))\in X\times Y\}\;</math>.

W sytuacjach, z którymi teraz będziemy mieć do czynienia (tzn. wykresami funkcji rzeczywistych o argumentach rzeczywistych), wykres jest podzbiorem płaszczyzny, tzn. zbiorem par <math>(x,y)\;</math>. Na osi poziomej zaznaczamy argumenty <math>x\;</math>, a na osi pionowej wartości funkcji <math>y=f(x)\;</math>.

==Miejsce zerowe==
'''Miejscem zerowym''' <math>x_0\;</math> funkcji <math>f\;</math> nazywamy argument taki, że <math>f(x_0)\;</math>=0.

Używając dopiero co wprowadzonej terminologii mówimy, że zbiorem miejsc zerowych funkcji <math>f\;</math> jest '''poziomica''':<math>f^{-1}(0)\;</math>.

==Własności funkcji==

Następujące właściwości funkcji rzeczywistych (tzn. <math>f:X\to Y\;</math>, gdzie <math>X,Y\;</math> są podzbiorami <math>\mathbb R\;</math>) są często ważne w zastosowaniach.

===Monotoniczność funkcji===

*Funkcję <math>f:X\to Y\;</math> nazywamy '' rosnącą'' na zbiorze <math>A\subset X\;</math> <math>\Longleftrightarrow \mathop{\forall}{x_1,x_2\in A}:x_1<x_2 \Longrightarrow f(x_1)<f(x_2)\;</math>
*Funkcję <math>f:X\to Y\;</math> nazywamy '' malejącą'' na zbiorze <math>A\subset X\;</math> <math>\Longleftrightarrow \mathop{\forall}{x_1,x_2\in A}:x_1<x_2 \Longrightarrow f(x_1)>f(x_2)\;</math>
*Funkcję <math>f:X\to Y\;</math> nazywamy '' stałą'' na zbiorze <math>A\subset X\;</math> <math>\Longleftrightarrow \mathop{\forall}{x_1,x_2\in A}: f(x_1)=f(x_2)\;</math>

===Parzystość===
Funkcję <math>f:X\to Y\;</math> nazywamy '''parzystą''' <math>\Longleftrightarrow \mathop{\forall}{x\in D}: f(x)=f(-x)\;</math>.

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi <math>OY\;</math>.

====Przykład====

Funkcja <math>cos(x)\;</math> jest parzysta na <math>\mathbb R.\;</math>
[[Plik:cosinus.jpg|"Funkcja cos(x)"]]

===Nieparzystość===

Funkcję <math>f:X\to Y\;</math> nazywamy '''nieparzystą''' <math>\Longleftrightarrow \mathop{\forall}{x\in D}: f(x)=-f(-x)\;</math>.

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem punktu <math>(0,0)\;</math>.

====Przykład====

Funkcja <math>sin(x)\;</math> jest nie parzysta na <math>\mathbb R.\;</math>
[[Plik:sinus.jpg]]

===Ograniczenie z dołu===

Funkcję <math>f\;</math> nazywamy '''ograniczoną z dołu'''<math>\Longleftrightarrow \exists_{m \in \mathbb R}:\forall_{x\in D}: f(x)\geq m \;</math>

===Ograniczenie z góry===

Funkcję <math>f\;</math> nazywamy '''ograniczoną z góry'''<math>\Longleftrightarrow \exists_{M \in \mathbb R}:\forall_{x\in D}: f(x)\leq M \;</math>

===Ograniczenie===

Funkcję <math>f\;</math> nazywamy '''ograniczoną''' jeśli jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu.

====Przykład====

Funkcja <math>F_1: \mathbb R_+\ni x \to F_1(x):=\frac{1}{x}\in \mathbb R\;</math> jest ograniczona z dołu; <math>F_2: \mathbb R_-\ni x \to F_2(x):=\frac{1}{x}\in \mathbb R\;</math> jest ograniczona z góry; <math>F_3: \mathbb R\setminus \{0\} \ni x \to F_3(x):=\frac{1}{x}\in \mathbb R\;</math> nie jest ograniczona; a funkcja <math>F_4: \mathbb R \ni x \to F_4(x):=sin^2(x)\in \mathbb R\;</math> jest ograniczona.

===Największa wartość===
Funkcja <math>f:X\to Y\;</math> przyjmuje '''największą''' wartość <math>y_{max}\in Y\;</math> dla <math>x_0\in X \Longleftrightarrow f(x_0)=y_{max}\;</math> oraz <math>\forall_{x\in X}: f(x)\leq f(x_0)\;</math>.

===Najmniejsza wartość===

Analogicznie:

''' Def.''' Funkcja <math>f:X\to Y\;</math> przyjmuje '' najmniejszą'' wartość <math>y_{min}\in Y\;</math> dla <math>x_0\in X \Longleftrightarrow f(x_0)=y_{min}\;</math> oraz <math>\forall_{x\in X}: f(x)\geq f(x_0)\;</math>.

==Przekształcenia wykresu funkcji==
*'''Symetria względem osi''' <math>OX\;</math>: Przekształcając wykres funkcji <math>y=f(x)\;</math> przez symetrię względem osi <math>OX\;</math>, otrzymamy wykres funkcji <math>y=-f(x)\;</math>.
*'''Symetria względem osi''' <math>OY\;</math>: Przekształcając wykres funkcji <math>y=f(x)\;</math> przez symetrię względem osi <math>OY\;</math>, otrzymamy wykres funkcji <math>y=f(-x)\;</math>.
*'''Symetria względem punktu''' <math>(0,0)\;</math>: Przekształcając wykres funkcji <math>y=f(x)\;</math> przez symetrię względem punktu <math>(0,0)\;</math>, otrzymamy wykres funkcji <math>y=-f(-x)\;</math>.
{|align=left|
[[File:symetriaOX.jpg|left|thumb|250px|Wykres funkcji <math>y=x^2</math> i <math>y=-x^2</math>]]
|[[File:symetriaOY.jpg|left|thumb|250px|Wykres funkcji <math>y=2x</math> i <math>y=-2x</math>]]
|[[File:symetria00.jpg|left|thumb|250px|Wykres funkcji <math>y=|x-2|</math> i <math>y=-|-x-2|=-|x-2|</math>]]
|}
*'''Przesunięcie równoległe wykresu o wektor <math>[a,b]\;</math>''': W wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji <math>y=f(x)\;</math> o wektor <math>[a,b]\;</math> otrzymujemy wykres funkcji <math>y=f(x-a)+b\;</math>.
*'''Skalowanie''' wykresu funkcji: wykresy <math>y=f(x)\;</math> oraz <math>y=A\;</math>·<math>f(x)\;</math>.
*'''Symetria względem prostej <math>y=x\;</math>''': Przekształcając w ten sposób wykres funkcji <math>y=f(x)\;</math> otrzymamy wykres funkcji ''odwrotnej'' <math>y=f^{-1}(x)\;</math>.
{|align=left|
[[File:Przesuniecie_o_wektor.png|left|thumb|250px|Przesunięcie funkcji<math> y=x^2</math> o wektor <math>[2,1]</math> daje wykres<math> (x-2)^2+1</math>]]
|[[File:skalowanie.jpg|left|thumb|250px|Skalowanie wykresu funkcji <math>y=sin(x)</math> do postaci <math>y=3sin(x)</math>]]
|[[File:Symetria_wzgledem_prostej.jpg|left|thumb|250px|Wykres funkcji <math>y=\sqrt x</math> i funkcji do niej odwrotnej <math>x=y^2\;</math>.]]
|}

==Przykłady funkcji==

===Funkcja liniowa===

'''Funkcją liniową''' nazywamy funkcję <math>f:\mathbb R\to\mathbb R\;</math> określoną wzorem <math>f(x)=ax+b \,\;</math>, gdzie <math>a,b\in \mathbb R\;</math>.

====Wykres====

Wykresem funkcji liniowej <math>f(x)=ax+b \,\;</math> jest prosta o równaniu <math>y=ax+b \,\;</math>, nachylona do osi <math>OX\;</math> pod kątem <math>\alpha\;</math> takim, że <math>a=tg\alpha\;</math>.

[[Plik:prosta nachylona pod katem alfa.png|300px|thumb|none|Prosta o równaniu <math>y=ax+b</math> nachylona do osi OX pod kątem <math>\alpha\;</math> takim, że <math>a=tg\alpha\;</math>.]]

====Monotoniczność====
Funkcja liniowa jest:
*rosnąca <math>\Longleftrightarrow a>0\;</math>,
*malejąca <math>\Longleftrightarrow a<0\;</math>,
*stała <math>\Longleftrightarrow a=0\;</math>.

====Jak uwzględnić proste pionowe====
Jak powiedziano, wykresem funkcji liniowej jest prosta. Patrząc na wszystkie możliwe proste na płaszczyźnie, widzimy, że postać <math>y=ax+b\;</math> obejmuje prawie wszystkie przypadki, z wyjątkiem jednej klasy — '''prostych pionowych'''. Aby uwzględnić także tę sytuację, dogodnie jest przyjąć ogólniejszą postać równań prostej, a mianowicie:
<center><math>
Ax+By+C=0, \;\;\; A\ne 0 \;\; {\rm lub} B\ne 0\;
</math></center>

====Warunki równoległości wykresów funkcji liniowych====

*Proste zadane jako wykresy funkcji: <math>y=a_1 x + b_1 \,\;</math> oraz <math>y=a_2 x + b_2 \,\;</math> są równoległe <math>\Longleftrightarrow a_1=a_2\;</math>.
*Proste zadane w postaci ogólnej <math>A_1 x + B_1 y + C_1=0 \,\;</math> oraz <math>A_2 x + B_2 y + C_2=0 \,\;</math> są równoległe <math>\Longleftrightarrow A_1 B_2 - A_2 B_1=0\;</math>.

====Równanie liniowe z jedną niewiadomą====

''Równaniem liniowym z jedną niewiadomą'' nazywamy równanie postaci <math>ax+b=0\;</math>, gdzie <math>a,b\in\mathbb R\;</math>.

Mogą zachodzić następujące sytuacje dotyczące rozwiązalności takiego równania:
*Jeśli <math>a\ne 0\;</math>, to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie <math>x=-\frac{b}{a}\;</math>.
*Jeśli <math>a=0\;</math> i <math>b=0\;</math>, to rozwiązaniem równania jest dowolna liczba rzeczywista.
*Jeśli <math>a=0\;</math> i <math>b\ne 0\;</math>, to równanie nie posiada rozwiązań

====Układ dwu równań liniowych z dwiema niewiadomymi====

Niech będzie dany układ dwu równań liniowych z dwiema niewiadomymi <math>x,y\;</math>:
<math>
\left\{\begin{array}{ccccc}
a_1 x & + & b_1 y & = & c_1\\
a_2 x & + & b_2 y & = & c_2
\end{array}
\right.\;
</math>

<equation id="eq:1">Zdefiniujmy <math>W,W_x,W_y\;</math> jako:</equation>
::<math>
W=\;\left|\begin{array}{cc}a_1 & b_1\\a_2 & b_2\end{array}\right|=a_1b_2-a_2b_1\;</math>;
::<math>W_x=\left|\begin{array}{cc}c_1 & b_1\\c_2 & b_2\end{array}\right|=c_1b_2-c_2b_1\;</math>;
::<math>W_y=\left|\begin{array}{cc}a_1 & c_1\\a_2 & c_2\end{array}\right|=a_1 c_2 - c_2 b_1\;</math>;

Mogą zachodzić następujące sytuacje dotyczące rozwiązalności układu <xr id="eq:1">(%i)</xr>:
*Jeśli <math>W\ne 0\;</math>, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie: <math>x=-\frac{W_x}{W}\;</math>, <math>y=-\frac{W_y}{W}\;</math>. Układ taki nazywamy '' układem oznaczonym''.
*Jeśli <math>W=0=W_x=W_y\;</math>, to układ <xr id="eq:1">(%i)</xr> posiada nieskończenie wiele rozwiązań; rozwiązaniem jest każda para liczb <math>x,y\;</math> spełniająca dowolne równanie danego układu. Układ taki nazywamy '' układem nieoznaczonym''.
*Jeśli <math>W=0\;</math> i co najmniej jeden z wyznaczników <math>W_x, W_y\;</math> jest różny od zera, to układ nie posiada rozwiązań. Układ taki nazywamy '' układem sprzecznym''.

===Funkcja kwadratowa===

'''Funkcją kwadratową''' (trójmianem kwadratowym) nazywamy funkcję: <math>f(x)=ax^2+bx+c\;</math>, gdzie <math>a,b,c\in \mathbb R\;</math>, <math>a\ne 0\;</math>, <math>x\in \mathbb R\;</math>. Wykresem funkcji kwadratowej <math>f(x) = ax^2+bx+c\;</math> jest '''parabola''' o wierzchołku w punkcie
<math>p=(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})\;</math>, gdzie <math>\Delta:=b^2-4ac\;</math> nazywamy '' wyróżnikiem '' trójmianu kwadratowego.

====Miejsca zerowe funkcji kwadratowej====
Funkcja kwadratowa <math>f(x) = ax^2+bx+c\;</math>:
*ma dwa różne miejsca zerowe (pierwiastki):
<math>x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\;</math>, <math>x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\;</math>, gdy
::<math>\Delta>0\;</math>;
[[Plik:Delta wieksza od zera.png|300px|thumb|none|]]
*ma jedno miejsce zerowe <math>x_0=-\frac{b}{2a}\;</math>, gdy
::<math>\Delta=0\;</math>;
[[Plik:Delta rowna zeru.png|300px|thumb|none|]]
*nie ma miejsc zerowych, gdy
::<math>\Delta<0\;</math>.
[[Plik:Delta mniejsza od zera.jpg ‎|300px|thumb|none|]]

=====Przykład — rzut pionowy=====

Z miejsca znajdującego się 2 m nad podłogą rzucamy w górę piłkę z prędkością początkową 3 m<big>⁄</big>s. Po jakim czasie piłka upadnie na podłogę? Założyć wartość przyspieszenia ziemskiego 10 m<big>⁄</big><math>s^2\;</math>.

======Rozwiązanie======
Droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym określona jest wzorem: s(t)= a<s style="display:none">+</s><math>t^2\;</math><big>⁄</big>2 + <math>v_0 t + s_0\;</math>, gdzie <math>a\;</math> — przyspieszenie, <math>v_0\;</math> — prędkość początkowa, <math>s_0\;</math> — droga w chwili <math>t=0\;</math>. Pytamy zatem, jakiej chwili czasu <math>t_0\;</math> będzie odpowiadała wysokość <math>s(t_0)=0\;</math>.

Mamy więc równanie:
<center><math>
s(t) = -5 t^2 + 3 t + 2 = 0,\;
</math></center>
skąd: <math>\Delta= 49,\;\; \sqrt{\Delta}=7,\;\; t_1= 1 [s],\;\; t_2 = -0.4 [s]\;</math>. Piłka upadnie na podłogę po upływie 1 sekundy. (Czemu odpowiada drugi pierwiastek <math>t_2\;</math>?)

Pożyteczne są:

====Postaci funkcji kwadratowej====

*'' Postać kanoniczna'': <math>y=a(x-p)^2+q\;</math>, gdzie <math>p=-\frac{b}{2a}\;</math>, <math>q=-\frac{\Delta}{4a}\;</math>.
*'' Postać iloczynowa:'' Istnieje <math>\Longleftrightarrow \Delta \geq 0\;</math>. Jeśli tak jest, to:
** <math> y=a(x-x_0)^2\;</math> gdy <math>\Delta=0\;</math>,
** <math> y=a(x-x_1)(x-x_2)\;</math> gdy <math>\Delta>0\;</math>.

====Wzory Viète'a====

Gdy równanie kwadratowe <math>ax^2+bx+c=0\;</math> ma pierwiastki <math>x_1, x_2\;</math>, to zachodzą wzory Viète'a
<center><math>
x_1+x_2=-\frac{b}{2a},\;\;\;\;\; x_1 x_2 = \frac{c}{a}\;
</math></center>

===Funkcje wymierne — homografie===

Funkcję postaci: <math>f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\;</math>, gdzie <math>c\ne 0\;</math> oraz <math>ad-bc\ne 0\;</math>, nazywamy ''homografią''. Dziedziną homografii jest <math>\mathbb R\setminus \left \{ -\frac{d}{c} \right \}.</math>

Wykresem funkcji homograficznej jest '''hiperbola''': wykres funkcji <math>y=\frac{1}{x}\;</math> odpowiednio poprzesuwany: Napiszmy równanie funkcji homograficznej:
<center><math>
f(x)=\frac{a}{c}\frac{x+\frac{b}{a}}{x+\frac{d}{c} } = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2} \frac{1}{x+\frac{d}{c}}\;
</math></center>

Widać, iż ogólną homografię <math>f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\;</math> powstaje ze "standardowej" <math>y=\frac{1}{x}\;</math> przez:
#przesunięcie poziome o <math>x_0=-\frac{d}{c}\;</math>;
#przeskalowanie o czynnik <math>\frac{bc-ad}{c^2}\;</math>;
#przesunięcie pionowe o <math>y_0=\frac{a}{c}\;</math>.

====Asymptoty====

Prostą (poziomą) o równaniu <math>y=\frac{a}{c}\;</math> nazywamy '''asymptotą poziomą'''; prostą (pionową) o równaniu <math>x=-\frac{d}{c}\;</math> nazywamy '''asymptotą pionową'''.

← poprzednia wersja		Wersja z 10:44, 22 maj 2015
Linia 1:		Linia 1:
		+
		+	__NOTOC__
		+
	==Funkcja==		==Funkcja==

Funkcje - Historia wersji

Anula o 10:44, 22 maj 2015

Anula: Utworzono nową stronę "==Funkcja== '''Funkcją''' (stosuje się też nazwę ''odwzorowanie'') określoną na zbiorze X\; o wartościach w zbiorze Y\; nazywamy przypo..."

Anula: Utworzono nową stronę "==Funkcja== '''Funkcją''' (stosuje się też nazwę ''odwzorowanie'') określoną na zbiorze $X\;$ o wartościach w zbiorze $Y\;$ nazywamy przypo..."