Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Całka Riemanna== Niech $f$ będzie funkcją ograniczoną na $[a,b]$ o wartościach rzeczywistych. Niech $\pi$ będzie (..."

2015-05-22T13:16:59Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Całka Riemanna== Niech <math>f</math> będzie funkcją ograniczoną na <math>[a,b]</math> o wartościach rzeczywistych. Niech <math>\pi </math> będzie (..."

Nowa strona

__NOTOC__

==Całka Riemanna==

Niech <math>f</math> będzie funkcją ograniczoną na <math>[a,b]</math> o wartościach rzeczywistych.

Niech <math>\pi </math> będzie (skończonym, <math>n+1</math>-elementowym) ciągiem:

::<math>
\pi = (x_0, x_1, x_2, \dots , x_n)
</math>

gdzie: <math>x_0=a</math>, <math>x_n=b</math>, <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots <x_{n-1}<x_n=b</math>.

Ciąg <math>\pi </math> nazywamy podziałem odcinka <math>[a,b]</math>.
Niech

::<math>
\bar{S}(f,\pi )= \sum _{i=1}^n \mathop {{\rm sup}\,}_{x\in [x_{i-1}, x_i]} f(x) \cdot (x_i-x_{i-1}).
</math>

===Całka górna===
Całką górną z funkcji <math>f</math> nazywamy infimum z <math>\bar{S}(f,\pi )</math> po wszystkich
możliwych podziałach:

::<math>
\mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f =\mathop {{\rm inf}\,}_\pi \bar{S}(f,\pi )
</math>

i analogicznie
===całką dolną===
z funkcji <math>f</math> nazywamy
::<math>
\mathop {\underline{\int }}_{[a,b]} f=\mathop {{\rm sup}\,}_\pi \underline{S}(f,\pi )
</math>
Mamy
::<math>
\bar{S}(f,\pi ) \ge \mathop {{\rm inf}\,}_{x\in [a, b]} f(x) \sum _{i=1}^n (x_i-x_{i-1}) =
\mathop {{\rm inf}\,}_{x\in [a, b]} f(x) \cdot (b-a)
</math>

===Średnica podziału. Własności sumy górnej i dolnej===
====Średnica podziału====
średnicą podziału <math>\pi </math> odcinka <math>[a,b]</math> nazywamy liczbę <math>\delta _\pi </math>, równą

::<math>
\delta _\pi = \displaystyle \mathop {\rm max}_i (x_i -x_{i-1})
</math>

(tzn. długość najdłuższego odcinka podziału).

===Całka (górna) jako kres (dolny) sumy (górnej) i granica ciągu===
====Twierdzenie====
Niech <math>f</math> — ograniczona na <math>[a,b]</math>, o wartościach rzeczywistych oraz <math>\lbrace \pi _k\rbrace </math> — ciąg podziałów
taki, że <math>{\displaystyle \mathop {\lim }_{{k}\rightarrow {\infty }} } \delta _{\pi _k} =0</math>. Wtedy:

<equation id="uid3">
<math>{\displaystyle \mathop {\lim }_{{k}\rightarrow {\infty }} } \bar{S}(f,\pi _k)
=
\displaystyle \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f
\;\;\;\;\;
{\rm i\;\;analogicznie}
\;\;\;\;\;
{\displaystyle \mathop {\lim }_{{k}\rightarrow {\infty }} } \underline{S}(f,\pi _k)
=
\displaystyle \mathop {\underline{\int }}_{[a,b]} f</math>
</equation>
=====Dowód=====
Dla danego podziału <math>\pi </math>, oznaczmy przez <math>\pi \vee \lbrace y\rbrace </math> podział <math>\pi </math> z dostawionym punktem <math>y\in [a,b]</math>;
zakładamy, że dostawka odbywa się w sposób nietrywialny, tzn. <math>y</math> nie pokrywa się z żadnym z punktów <math>x_i</math>.
Niech <math>y\in ]x_{i-1},x_i[</math>.

Obliczmy teraz
<math> \bar{S}(f,\pi ) - \bar{S}(f,\pi \vee \lbrace y\rbrace ); </math>
do obliczenia różnicy wystarczy rozpatrzyć odcinek <math>[x_{i-1},x_i]</math>, bo wkłady od pozostałych odcinków kasują się.
Mamy:
::<math>
\bar{S}(f,\pi ) - \bar{S}(f,\pi \vee \lbrace y\rbrace )
=
\displaystyle \mathop {\rm sup}_{x\in [x_{i-1},x_i]} f(x)\cdot (x_i-x_{i-1})
-
\left[
\mathop {\rm sup}_{x\in [x_{i-1},y]} f(x)\cdot (y-x_{i-1})
+
\mathop {\rm sup}_{x\in [y,x_i]} f(x)\cdot (x_i-y)
\right]
\ge 0
</math>
(p. RYS. dla ilustracji; powyższa różnica jest równa polu powierzchni zakreskowanego prostokąta).
Podsumowując, mamy więc:
::<math>
\bar{S}(f,\pi ) - \bar{S}(f,\pi \vee \lbrace y\rbrace )\ge 0.
</math>
czyli dostawianie punktów w podziale zmniejsza sumę górną.
====Oczywista nierówność====
Mamy też oczywistą nierówność:
::<math>
0\le \bar{S}(f,\pi ) - \bar{S}(f,\pi \vee \lbrace y\rbrace ) \le \delta _{\pi \vee \lbrace y\rbrace }
\left( \mathop {\rm sup}_{x\in [a,b]} f(x) - \mathop {\rm inf}_{x\in [a,b]} f(x)\right)
</math>
Oznaczmy ten ostatni nawias jako <math>M</math>:
::<math>
\mathop {\rm sup}_{x\in [a,b]} f(x) - \mathop {\rm inf}_{x\in [a,b]} f(x);
</math>
mamy więc:
::<math>
\delta _{\pi \vee \lbrace y\rbrace }\cdot M \ge \bar{S}(f,\pi ) - \bar{S}(f,\pi \vee \lbrace y\rbrace )\ge 0.
</math>
Teraz rozpatrzmy sytuację, gdy do danego podziału <math>\pi </math> dostawiliśmy <math>n</math> punktów <math>\lbrace y_1, y_2, \dots , y_n\rbrace </math>. Mamy:
::<math>
0\le \bar{S}(f,\pi ) - \bar{S}(f,\pi \vee \lbrace y_1, y_2,\dots , y_n\rbrace )
\le M\cdot \delta _{\pi \vee \lbrace y_1, y_2,\dots , y_n\rbrace }
</math>
::<math>
\le M\cdot \left(
\delta _{\pi \vee \lbrace y\rbrace }
+
\delta _{\pi \vee \lbrace y_1, y_2\rbrace }
+\dots +
\delta _{\pi \vee \lbrace y_1, y_2,\dots , y_n\rbrace }
\right)
</math>
::<math>
\le M \cdot \delta _\pi \cdot (n-1)
</math>
Mamy więc:
<equation id="uid4">
<math>M \cdot \delta _\pi \cdot (n-1)
\ge \bar{S}(f,\pi ) - \bar{S}(f,\pi \vee \lbrace y_1, y_2,\dots , y_n\rbrace )
\ge 0.
</math>
</equation>
Oznaczmy kolekcję <math>n</math> dostawionych punktów <math>\lbrace y_1, y_2, \dots , y_n\rbrace </math> jako podział <math>\rho </math>. Ostatnią nierówność
tzn. (<xr id="uid4"> %i</xr>) przepiszmy więc jako
::<math>
M \cdot \delta _\pi \cdot n_\rho \ge \bar{S}(f,\pi ) - \bar{S}(f,\pi \vee \rho )
\ge 0.
</math>
We/xmy teraz dowolne <math>\epsilon >0</math>. Wtedy (z definicji kresu dolnego) istnieje taki podział <math>\rho </math>, że
::<math>
\displaystyle \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f
\le \bar{S}(f,\rho )
\le \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f +\frac{\epsilon }{2}.
</math>

Weźmy teraz <math>\pi </math> — inny podział. Mamy:
::<math>
\displaystyle \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f
\le \bar{S}(f,\pi )
\le \bar{S}(f,\pi \vee \rho )
+
M \cdot \delta _\pi \cdot n_\rho \le \bar{S}(f,\rho ) M \cdot \delta _\pi \cdot n_\rho </math>
::<math>
\le \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f +\frac{\epsilon }{2} + M \cdot \delta _\pi \cdot n_\rho .
</math>
Weźmy teraz dla wybranego powyżej <math>\epsilon </math> następujące <math>\delta </math>:
::<math>
\delta = \frac{\epsilon }{2 M n_\rho };
</math>
jeśli teraz <math>\delta _\pi \equiv \delta _{\pi _k}<\delta </math>, to z faktów powyżej wynika
::<math>
\forall _{\epsilon >0} \exists _{\delta >0} \forall _{\pi _k:\delta _{\pi _k}<\delta }
\displaystyle \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f
\le \bar{S}(f,\pi _k)
\le \displaystyle \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f + \epsilon </math>
tzn. dla każdego <math>\epsilon >0</math> istnieje takie <math>K</math>, że dla <math>k>K</math> mamy:
::<math>
\left|
\bar{S}(f,\pi _k)
- \displaystyle \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f
\right|
\le \epsilon ,
</math>
czyli
::<math>
{\displaystyle \mathop {\lim }_{{k}\rightarrow {\infty }} } \bar{S}(f,\pi _k)
=
\displaystyle \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f.
</math>
tzn. pokazaliśmy pierwszą z równości (<xr id="uid3"> %i</xr>). Dla drugiej równości dowód jest analogiczny.
CBDO

===Nierówność pomiędzy całkami górną i dolną. Funkcje całkowalne w sensie Riemanna.===

Niech <math>f</math> będzie dowolną funkcją ograniczoną na <math>[a,b]</math>. Niech <math>\pi , \rho </math> będą podziałami odcinka <math>[a,b]</math>.
Z pokazanych wyżej własności sum górnych i dolnych od razu widać, że
::<math>
\bar{S}(f,\pi ) \ge \bar{S}(f,\pi \vee \rho ) \ge \underline{S}(f,\pi \vee \rho ) \ge \underline{S}(f, \rho ),
</math>
co można wypowiedzieć jako: każda suma górna jest większa od każdej sumy dolnej. Przechodząc do
granicy z średnicą podziałów dążącą do zera, otrzymujemy następującą
nierówność dla całek: górnej i dolnej:
====Stwierdzenie====
Dla <math>f</math> — dowolnej funkcji ograniczonej na <math>[a,b]</math> zachodzi
<equation id="uid6">
<math>\displaystyle \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f
\ge \displaystyle \mathop {\underline{\int }}_{[a,b]} f
</math>
</equation>

Bardzo ważny przypadek, gdy obie te całki są równe, prowadzi do definicji:
====Funkcja całkowalna w sensie Riemanna====
Niech <math>f</math> będzie dowolną rzeczywistą funkcją ograniczoną na <math>[a,b]</math>. Mówimy, że <math>f</math> jest
całkowalna w sensie Riemanna, jeśli
<equation id="uid7">
<math>\displaystyle \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f
=
\displaystyle \mathop {\underline{\int }}_{[a,b]} f.
</math>
</equation>
W takim przypadku tę wspólną granicę oznaczamy: <math>\displaystyle \mathop {\int }_a^b f(x) {\sf d}x</math>.

===Sumy wypunktowane i ich związek z całką Riemanna===

====Wypunktowanie====
Niech <math>\pi = \lbrace a<x_1, x_2, \dots , x_n=b\rbrace </math>
— podział odcinka <math>[a,b]</math>. Niech <math>\xi =\lbrace \xi _1, \dots , \xi _n\rbrace </math> —
zbiór punktów takich, że <math>\xi _i\in [x_{i-1},x_i]</math>; <math>\xi </math> nazywamy wypunktowaniem.
====Suma wypunktowana====
Niech <math>f</math> — funkcja ograniczona na <math>[a,b]</math>. Sumą wypunktowaną funkcji
<math>f</math> względem podziału <math>\pi </math> i wypunktowania <math>\xi </math> nazywamy sumę

<equation id="uid9">
<math>S(f,\pi , \xi ) = \sum _{i=1}^n f(\xi _i) (x_i-x_{i-1}).
</math>
</equation>
Mamy oczywistą zależność

::<math>
\underline{S}(f,\pi )\le S(f,\pi , \xi )\le \bar{S}(f,\pi )
</math>
co — w połączeniu z definicją funkcji całkowalnej w sensie Riemanna — prowadzi od razu do twierdzenia:
====Twierdzenie====
Niech <math>f</math> — funkcja ograniczona na <math>[a,b]</math>. Jeżeli <math>f</math> jest całkowalna w sensie Riemanna, to dla dowolnego ciągu <math>\lbrace \pi _k\rbrace </math> podziałów odcinka <math>[a,b]</math> takiego, że <math>{\displaystyle \mathop {\lim }_{{k}\rightarrow {\infty }} }\delta _{\pi _k}=0</math>, ciąg wypunktowanych sum Riemanna jest zbieżny do <math>\displaystyle \mathop {\int }_a^b f(x) {\sf d}x</math>.

Jest też w pewnym sensie na odwrót:
====Twierdzenie====
Niech <math>f</math> — funkcja rzeczywista na <math>[a,b]</math> (uwaga: nie musi być ograniczona — to wyjdzie jako element tezy).
Jeżeli dla
dowolnego ciągu <math>\lbrace \pi _k\rbrace </math> podziałów odcinka <math>[a,b]</math> takiego, że <math>{\displaystyle \mathop {\lim }_{{k}\rightarrow {\infty }} }\delta _{\pi _k}=0</math>,
ciąg wypunktowanych sum Riemanna jest zbieżny do granicy niezależnej od sposobu wypunktowania,
to <math>f</math> jest ograniczona i całkowalna w sensie Riemanna.
=====Dowód=====
dowodu nie będzie.
====Twierdzenie====
Niech <math>f,g</math> — funkcje ograniczone na odcinku <math>[a,b]</math>. Jeśli <math>f,g</math> są całkowalne na <math>[a,b]</math>
to <math>f+g</math> też jest całkowalna na <math>[a,b]</math>
oraz
<equation id="uid10">
<math>\int _a^b (f+g)(x) {\sf d}x = \int _a^b f(x) {\sf d}x + \int _a^b g(x) {\sf d}x</math>
</equation>
=====Dowód=====
Mamy:
::<math>
\bar{S}(f+g,\pi ) \le \bar{S}(f,\pi )+ \bar{S}(g,\pi )
</math>
(ponieważ na dowolnym zbiorze <math>X</math> mamy: <math>\displaystyle \mathop {{\rm sup}\,}_{X} (f+g) \le \mathop {{\rm sup}\,}_{X} f + \mathop {{\rm sup}\,}_{X} g</math>)
oraz
::<math>
\underline{S}(f+g,\pi ) \ge \underline{S}(f,\pi )+ \underline{S}(g,\pi )
</math>
(ponieważ znów, na dowolnym zbiorze <math>X</math> mamy:
<math>\displaystyle \mathop {{\rm inf}\,}_{X} (f+g) \ge \mathop {{\rm inf}\,}_{X} f + \mathop {{\rm inf}\,}_{X} g</math>).

Mamy więc
::<math>
\underline{S}(f,\pi )+ \underline{S}(g,\pi )
\le \underline{S}(f+g,\pi )
\le \underline{S}(f+g,\pi )
\le \bar{S}(f+g,\pi ) \le \bar{S}(f,\pi )+ \bar{S}(g,\pi )
</math>
Jeżeli teraz weźmiemy ciąg podziałów <math>(\pi _k)</math> taki, że <math>\lim _{k\rightarrow \infty } \pi _k =0</math>, to skrajne strony nierówności będą równe <math>\int _a^b f(x) {\sf d}x + \int _a^b g(x) {\sf d}x</math>, a to znaczy, że wyrazy w środku są równe i wynoszą: <math>\int _a^b (f+g)(x) {\sf d}x</math> — a to znaczy, że funkcja <math>f+g</math> jest całkowalna i że zachodzi wzór (<xr id="uid10"> %i</xr>).

CBDO

Mamy też proste
====Twierdzenie====
Jeśli <math>f</math> — całkowalna na <math>[a,b]</math>, to <math>\alpha f</math> (gdzie <math>\alpha =</math>const.) też jest całkowalna i zachodzi
<equation id="uid11">
<math>\int _a^b (\alpha f)(x) {\sf d}x = \alpha \int _a^b f(x) {\sf d}x
</math>
</equation>
=====Dowód=====
Wynika to z oczywistego faktu, że na dowolnym zbiorze X mamy, dla <math>\alpha >0</math>, <math>\displaystyle \mathop {{\rm sup}\,}_{X} (\alpha f) =\alpha \mathop {{\rm sup}\,}_{X} f</math> i analogicznie dla infimum, co prowadzi do natychmiastowego wniosku dla całek.

CBDO
====Twierdzenie====
Jeśli <math>f</math> — całkowalna na <math>[a,b]</math> oraz <math>f \ge 0</math> na <math>[a,b]</math>, to
<equation id="uid12">
<math>\int _a^b f(x) {\sf d}x \ge 0.</math>
</equation>
=====Dowód=====
Mamy bowiem, z uwagi na nieujemność <math>f</math>: <math>\bar{S}(f,\pi )\ge 0</math> dla dowolnego podziału <math>\pi </math> i skoro tak, to również <math>\displaystyle \mathop {{\rm inf}\,}_\pi \bar{S}(f,\pi )\ge 0</math>; a że
dla funkcji całkowalnej mamy <math>\int _a^b f(x) {\sf d}x = \displaystyle \mathop {{\rm inf}\,}_\pi \bar{S}(f,\pi )</math>, to otrzymujemy (<xr id="uid12"> %i</xr>).

CBDO
=====Przykł.=====
<ol>

<li>
Funkcja stała <math>f(x)=\lambda </math> jest całkowalna. Mamy bowiem:

::<math>
\bar{S}(f,\pi ) = \sum _i \lambda (x_i-x_{i-1}) = \lambda (b-a);
\;\;\;\;\;
\underline{S}(f,\pi )= \sum _i \lambda (x_i-x_{i-1}) = \lambda (b-a).
</math>

<li>
<math>\int _0^1 x {\sf d}x = \frac{1}{2}</math>. — ćw., rachunek z definicji.

<li>
<math>\int _0^1 e^x {\sf d}x = e-1</math>; znów ćw. — rachunek z definicji.

</ol>

Przykł. Kanoniczne przykłady całek:

<ol>

<li>
Całka jako pole powierzchni pod krzywą <math>f(x)</math>;

<li>
Całka jako droga, gdy dana jest prędkość. Dokładniej: Gdy punkt materialny porusza się
po prostej z prędkością <math>v(t)</math>, to droga przebyta na odcinku czasu między <math>t_1</math> a <math>t_2</math> jest
równa <math>\int _{t_1}^{t_2} v(t) {\sf d}t</math>.

</ol>

===Klasy funkcji całkowalnych===

====Twierdzenie====
Jeśli <math>f</math> — ograniczona i monotoniczna na <math>[a,b]</math>, to jest całkowalna na <math>[a,b]</math>.
=====Uwaga=====
<math>f</math> nie musi być ciągła!
=====Dowód=====
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że <math>f</math> jest rosnąca. Pokażemy, że
<equation id="uid19">
<math>\forall _{\epsilon >0} \exists _{\pi} \;-\;</math> podział <math>\bar{S}(f,\pi ) - \underline{S}(f,\pi )<\epsilon .</math>
</equation>
Bierzemy podział <math>\pi </math> i mamy, ze względu na to, że <math>f</math> jest rosnąca: RYS.:
::<math>
\bar{S}(f,\pi ) = \sum _{i=1}^n f(x_i)(x_i-x_{i-1}),
</math>
::<math>
\underline{S}(f,\pi ) = \sum _{i=1}^n f(x_{i-1})(x_i-x_{i-1})
</math>
skąd
::<math>
\bar{S}(f,\pi ) - \underline{S}(f,\pi ) = \sum _{i=1}^n [f(x_i)-f(x_{i-1})](x_i-x_{i-1})
</math>
Największa różnica wartości funkcji na przedziale <math>[a,b]</math> jest równa <math>f(b)-f(a)</math>. Zakładamy,
że <math>f(b)>f(a)</math>, bo gdyby była równość, to <math>f</math> jest stała, więc jest całkowalna.

Niech teraz będzie dana <math>\epsilon >0</math>. Bierzemy taki podział <math>\pi </math>, aby jego średnica <math>\delta _\pi </math>
była mniejsza niż
::<math>
\delta _\pi <\frac{\epsilon }{f(b)-f(a)}.
</math>
Wtedy mamy:
::<math>
\bar{S}(f,\pi ) - \underline{S}(f,\pi ) = \sum _{i=1}^n [f(x_i)-f(x_{i-1})](x_i-x_{i-1})
\le \frac{\epsilon }{f(b)-f(a)}\sum _{i=1}^n [f(x_i)-f(x_{i-1})]
</math>
::<math>
=\frac{\epsilon }{f(b)-f(a)}\left[
f(x_1)-f(a)+f(x_2)-f(x_1) + f(x_3)-f(x_2)+\dots +f(b)-f(x_{n-1})
\right]
=\epsilon ;
</math>
tak więc dla danego <math>\epsilon </math> znale/xliśmy przedział spełniający warunek (<xr id="uid19"> %i</xr>).

CBDO
====Twierdzenie====
Jeżeli <math>f</math> jest ciągła na <math>[a,b]</math> to jest całkowalna na <math>[a,b]</math>.
=====Dowód=====
Było twierdzenie mówiące, że jeśli <math>f</math> jest ciągła na zbiorze domkniętym (tu: odcinku <math>[a,b]</math>) to jest tam jednostajnie ciągła:
<equation id="uid20">
<math>\forall _{\epsilon >0} \exists _\delta \forall _{x,x^{\prime }\in [a,b],|x-x^{\prime }|<\delta } |f(x)-f(x^{\prime })|<\epsilon .
</math>
</equation>
Szacujemy <math>\bar{S}(f,\pi ) - \underline{S}(f,\pi )</math>:
::<math>
\bar{S}(f,\pi ) - \underline{S}(f,\pi )
=
\sum _{i=1}^n \left( \mathop {\rm sup}_{x_{i-1}\le x \le x_i} f(x) - \mathop {\rm inf}_{x_{i-1}\le x \le x_i} f(x)\right)
(x_i-x_{i-1})
\le ...
</math>
Dla danego <math>\epsilon </math> we/xmy podział o średnicy <math>\delta (\epsilon )</math> takiej,
by był spełniony warunek (<xr id="uid20"> %i</xr>) w wersji: <math>|f(x)-f(x^{\prime })|<\frac{\epsilon }{b-a}</math>.
Wówczas na każdym odcinku <math>[x_{i-1},x_i]</math> mamy:
::<math>
\mathop {\rm sup}_{x_{i-1}\le x \le x_i} f(x) - \mathop {\rm inf}_{x_{i-1}\le x \le x_i} f(x)\le \frac{\epsilon }{b-a},
</math>
i mamy
::<math>
...\le \frac{\epsilon }{b-a}\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1}) = \frac{\epsilon (b-a)}{b-a} = \epsilon .
</math>
Zatem różnicę <math>\bar{S}(f,\pi ) - \underline{S}(f,\pi )</math> możemy uczynić dowolnie małą, czyli <math>f</math> jest całkowalna.

CBDO
====Uwaga====
Nie wszystkie funkcje są całkowalne w sensie Riemanna.

====Przykł.====
Rozważmy funkcję Dirichleta:
<equation id="uid21">
<math>f_D(x) = \left\lbrace
\begin{array}{ccc}
1 & {\rm dla} & x\in { \mathbb Q}\\
0 & {\rm dla} & x\notin { \mathbb Q}\end{array}
\right.</math>
</equation>
Przypomnijmy sobie, że zarówno liczby wymierne, jak i niewymierne są rozłożone gęsto
w <math> { \mathbb R}</math>, tzn. między dowolnymi dwoma liczbami wymiernymi znajduje się liczba niewymierna
i na odwrót — między dowolnymi dwoma liczbami niewymiernymi znajduje się liczba wymierna.
Tak więc kresem górnym funkcji Dirichleta na dowolnym odcinku domkniętym jest 1,
a kresem dolnym 0. Biorąc więc dowolny podział <math>\pi </math>, mamy: <math>\bar{S}(f,\pi )=1</math>,
<math> \underline{S}(f,\pi )=0</math>. Tak więc na dowolnym odcinku <math>[a,b]</math>
::<math>
\displaystyle \mathop {\overline{\int }}_{[a,b]} f_D =1,\;\;\;\;\;\mathop {\underline{\int }}_{[a,b]} f_D =0
</math>
tak więc całka Riemanna z funkcji Dirichleta nie istnieje.

===Związek rachunku różniczkowego i całkowego===
====Twierdzenie (podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego)====
Niech <math>f</math> — funkcja ciągła na <math>[a,b]</math>.
Wtedy funkcja <math>F(x)</math>, zdefiniowana przez:
::<math>
[a,b]\ni x \rightarrow F(x)=\int _a^x f(z){\sf d}z
</math>
jest różniczkowalna oraz zachodzi: <math>F^{\prime }(x)=f(x)</math>, <math>F(a)=0</math>.
=====Dowód=====
Ponieważ <math>f</math> jest ciągła, to jest całkowalna na <math>[a,b]</math>.

Oznaczmy:
::<math>
m=\mathop {\rm inf}_{x\in [a,b]} f(x), \;\;\;M=\mathop {\rm sup}_{x\in [a,b]} f(x)
</math>
Oczywiste jest, że <math>f</math> jest funkcją całkowalną nieujemną na <math>[a,b]</math>. Wobec tego
<math>\int _a^b (f-m)(x) {\sf d}x \ge 0 </math>, z czego mamy: RYS.
::<math>
\int _a^b f(x) {\sf d}x \ge m(b-a).
</math>
Analogicznie otrzymujemy
::<math>
\int _a^b f(x) {\sf d}x \le M(b-a).
</math>
Przypomnijmy sobie definicję ilorazu różnicowego:
::<math>
F^{\prime }(x) = {\displaystyle \mathop {\lim }_{{h}\rightarrow {0}} } \frac{F(x+h)-F(x)}{h}
</math>
Weźmy najsampierw <math>h>0</math>. Mamy: RYS.
::<math>
F(x+h)=\int _a^{x+h} f(z){\sf d}z = \int _a^{x} f(z){\sf d}z + \int _x^{x+h} f(z){\sf d}z
\;\;\;\;\;{\rm oraz}\;\;\;\;\;
F(x)=\int _a^{x} f(z){\sf d}z ,
</math>
co daje
::<math>
F(x+h)-F(x) = \int _x^{x+h} f(z){\sf d}z.
</math>
Oznaczmy tymczasowo:
::<math>
m_{x,h} = \mathop {\rm inf}_{z\in [x,x+h]} f(z),\;\;\;M_{x,h} = \mathop {\rm sup}_{z\in [x,x+h]} f(z)
</math>
Mamy:
::<math>
m_{x,h} \cdot h \le F(x+h)-F(x) \le M_{x,h} \cdot h
</math>
i po podzieleniu przez <math>h</math> dostajemy
::<math>
m_{x,h} \le \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \le M_{x,h}.
</math>
Weźmy teraz przypadek <math>h<0</math>. RYS. Mamy:
::<math>
F(x)=\int _a^{x} f(z){\sf d}z = \int _a^{x+h} f(z){\sf d}z + \int ^x_{x+h} f(z){\sf d}z
\;\;\;\;\;{\rm oraz}\;\;\;\;\;
F(x+h)=\int _a^{x+h} f(z){\sf d}z ,
</math>
skąd
::<math>
F(x+h)-F(x) = -\int ^x_{x+h} f(z){\sf d}z
</math>
oraz (pamiętajmy, że <math>(-h)</math> jest dodatnie!)
::<math>
m_{x, -h}\cdot (-h) \le -\int ^x_{x+h} f(z){\sf d}z \le M_{x,-h} \cdot (-h),
</math>
gdzie
::<math>
m_{x,-h} = \mathop {\rm inf}_{z\in [x+h,x]} f(z),\;\;\;M_{x,-h} = \mathop {\rm sup}_{z\in [x+h,x]} f(z).
</math>
Po podzieleniu przez <math>(-h)</math> otrzymujemy
::<math>
m_{x,-h} \le -\frac{1}{h}\int ^x_{x+h} f(z){\sf d}z =\frac{F(x+h)-F(x)}{h} \le M_{x,-h}.
</math>
Weźmy teraz <math>\epsilon \ge |h|</math> i oznaczmy:
::<math>
m_{x,\epsilon }= \mathop {\rm inf}_{z\in [x-\epsilon ,x+\epsilon ]} f(z), \;\;\;\;\;
M_{x,\epsilon }= \mathop {\rm sup}_{z\in [x-\epsilon ,x+\epsilon ]} f(z).
</math>
Dla <math>h: |h|\le \epsilon </math> (znak <math>h</math> może tu być dowolny) mamy wtedy
::<math>
m_{x,\epsilon }\le \frac{F(x+h)-F(x)}{h}\le M_{x,\epsilon },
</math>
a ponieważ <math>f</math> jest ciągła, to przy <math>\epsilon \rightarrow 0</math> obie strony powyższej nierówności dążą do <math>f(x)</math>,
tak więc
::<math>
{\displaystyle \mathop {\lim }_{{h}\rightarrow {0}} }\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x).
</math>
CBDO
=====Wnioski=====
<ol>

<li>
Jeśli <math>f</math> — ciągła na <math>[a,b]</math>, to mamy:
::<math>
\int _a^b f(x) {\sf d}x = F(b)-F(a)
</math>
dla <math>F</math> — dowolnej funkcji pierwotnej do <math>f</math>.
<li>
(<math>(1-\epsilon )</math>—twierdzenie o wartości średniej w rachunku całkowym).
Jeśli <math>f</math> — ciągła na <math>[a,b]</math>, to istnieje punkt <math>\xi \in [a,b]</math> taki, że
<equation id="uid25">
<math>\int _a^b f(x) {\sf d}x = f(\xi ) (b-a).
</math>
</equation>

Dow. Zastosujmy do funkcji pierwotnej <math>F(x)=\int _a^x f(x) {\sf d}x</math> twierdzenie Lagrange'a
o wartości średniej w rachunku różniczkowym:
::<math>
\exists \; \xi \in [a,b]:\; F^{\prime }(\xi )=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}
</math>
co od razu daje wzór (<xr id="uid25"> %i</xr>).
CBDO Inny dowód, oparty o własność Darboux.
</ol>
====Twierdzenie (O całkowaniu przez części)====
Jeśli <math>f,g\in C^1([a,b])</math> (tzn. <math>f^{\prime }, g^{\prime }</math> są ciągłe na <math>[a,b]</math>) to zachodzi wzór
::<math>
\int _a^b f^{\prime }(x) g(x) {\sf d}x =
\left. f(x) \cdot g(x)\right|^b_a -\int _a^b f(x) g^{\prime }(x) {\sf d}x
</math>
::<math>
\equiv (f\cdot g)(b) - (f\cdot g)(a) - \int _a^b f(x) g^{\prime }(x) {\sf d}x
\equiv f(b)\cdot g(b) - f(a)\cdot g(a) - \int _a^b f(x) g^{\prime }(x) {\sf d}x
</math>
=====Dowód=====
::<math>
\int _a^b(f^{\prime }\cdot g - f\cdot g^{\prime })(x){\sf d}x =\int _a^b(f\cdot g)^{\prime }(x){\sf d}x = (f\cdot g)(b) -(f\cdot g)(a).
</math>
CBDO
====Twierdzenie====
Jeśli <math>f</math> — całkowalna na <math>[a,b]</math> to <math>|f|</math> też jest całkowalna na <math>[a,b]</math>
i zachodzi nierówność
<equation id="uid26">
<math>\left| \int _a^bf(x){\sf d}x\right|\le \int _a^b\left|f(x)\right|{\sf d}x.</math>
</equation>
=====Dowód=====
Dla dowolnego <math>x\in [a,b]</math> mamy: <math>-\left|f(x)\right| \le f(x) \le \left|f(x)\right|</math>, co
— przy założeniu, że <math>|f|</math> jest całkowalna — daje
::<math>
-\int _a^b\left|f(x)\right|{\sf d}x \le \int _a^b f(x){\sf d}x \le \int _a^b \left|f(x)\right|{\sf d}x
</math>
a to znaczy, że zachodzi wzór (<xr id="uid26"> %i</xr>). Do zakończenia dowodu pozostaje więc pokazać,
że <math>|f|</math> jest całkowalna — co teraz uczynimy. Pokażemy mianowicie, że
<equation id="uid27">
<math>\forall _\epsilon \exists _\pi \; \bar{S}(|f|,\pi )- \underline{S}(|f|,\pi )<\epsilon .</math>
</equation>
Pokażemy najsampierw, że na dowolnym odcinku <math>I</math>
mamy:
<equation id="uid28">
<math>\mathop {\rm sup}_{x\in I} |f(x)| - \mathop {\rm inf}_{x\in I} |f(x)|
\le \mathop {\rm sup}_{x\in I} f(x) - \mathop {\rm inf}_{x\in I} f(x)
</math>
</equation>
Pokażemy to, rozważając trzy możliwe przypadki:
<ol>

<li>
Na całym odcinku <math>I</math> funkcja <math>f</math> jest nieujemna: <math>f(x)\ge 0</math>. RYS.
Mamy wtedy:

::<math>
\mathop {\rm sup}_{x\in I} |f(x)| = \mathop {\rm sup}_{x\in I} f(x),\;\;\;
\mathop {\rm inf}_{x\in I} |f(x)| = \mathop {\rm inf}_{x\in I} f(x)
</math>

i nierówność (<xr id="uid28"> %i</xr>) zachodzi (mamy w niej równość).

<li>
Na całym odcinku <math>I</math> funkcja <math>f</math> jest niedodatnia: <math>f(x)\le 0</math>. RYS.
Mamy wtedy:

::<math>
\mathop {\rm sup}_{x\in I} |f(x)| = - \mathop {\rm inf}_{x\in I} f(x),\;\;\;\;\;
\mathop {\rm inf}_{x\in I} |f(x)| =- \mathop {\rm sup}_{x\in I} f(x),
</math>

i znowu nierówność (<xr id="uid28"> %i</xr>) zachodzi (mamy znów w niej równość).

<li>
Trzecia i ostatnia możliwość to ta, że <math>f</math> zmienia znak na <math>I</math>. Wtedy:

::<math>
\mathop {\rm sup}_{x\in I} f(x)>0, \;\;{\rm więc}\;\; \mathop {\rm sup}_{x\in I} f(x) =\mathop {\rm sup}_{x\in I} |f(x)|,
</math>

oraz

::<math>
\mathop {\rm inf}_{x\in I} f(x)<0, \;\;{\rm więc}\;\;-\mathop {\rm inf}_{x\in I} f(x)>0,
</math>

więc tym bardziej

::<math>
-\mathop {\rm inf}_{x\in I} f(x)>-\mathop {\rm inf}_{x\in I} |f(x)|
</math>

i po dodaniu do obu stron tej nierówności wyrazu <math>\mathop {\rm sup}_{x\in I} f(x)</math> otrzymujemy znów nierówność
(<xr id="uid28"> %i</xr>) (tym razem ostrą).

</ol>

CBDO Mamy zatem:

::<math>
\sum _i \left(
\mathop {\rm sup}_{x\in [x_{i-1},x_i]} |f(x)| - \mathop {\rm inf}_{x\in [x_{i-1},x_i]} |f(x)|
\right)(x_i-x_{i-1})
\le \sum _i \left(
\mathop {\rm sup}_{x\in [x_{i-1},x_i]} f(x) - \mathop {\rm inf}_{x\in [x_{i-1},x_i]} f(x)
\right)(x_i-x_{i-1})
</math>
Powyższa nierówność znaczy, że
::<math>
\bar{S}(|f|,\pi )- \underline{S}(|f|,\pi )\le \bar{S}(f,\pi )- \underline{S}(f,\pi );
</math>
a ponieważ <math>f</math> z założenia jest całkowalna, to zachodzi

::<math>
\forall _\epsilon \exists _\pi \; \bar{S}(f,\pi )- \underline{S}(f,\pi )<\epsilon ,
</math>
więc tym bardziej (<xr id="uid27"> %i</xr>) — a to znaczy, że <math>|f|</math> jest całkowalna.

CBDO
====Twierdzenie (pierwsze twierdzenie o wartości średniej)====
Jeśli <math>f,g</math> — ciągłe na <math>[a,b]</math> i
<math>g</math> jest funkcją nieujemną: <math>g(x)\ge 0</math>, wtedy istnieje <math>\xi \in [a,b]</math> taki, że
<equation id="uid32">
<math>\int _a^b f(x) g(x){\sf d}x = f(\xi ) \int ^a_b g(x) {\sf d}x.
</math>
</equation>
=====Dowód=====
Oznaczmy:
::<math>
m=\mathop {\rm inf}_{x\in [a,b]} f(x), \;\;\;\;\; M=\mathop {\rm sup}_{x\in [a,b]} f(x).
</math>
Ponieważ dla dowolnego <math>x\in [a,b]</math> mamy: <math>m\le f(x) \le M</math>, to zachodzą też nierówności:
::<math>
m\cdot g(x)\le f(x) \cdot g(x) \le M\cdot g(x)
</math>
oraz
::<math>
m\int _a^b g(x){\sf d}x \le \int _a^b f(x) g(x){\sf d}x\le M\int _a^b g(x){\sf d}x
</math>
Jeżeli <math>g\ge 0</math> ciągła nie jest tożsamościowo równa zeru, to <math>\int _a^b g(x) {\sf d}x >0</math>. RYS.
Weźmy bowiem <math>x_0</math> takie, że <math>g(x_0)>0</math>. Z ciągłości <math>g</math>, istnieje taka <math>\delta >0</math>, że
<math>g(x)>0</math> dla każdego <math>x\in [\delta -x_0, \delta +x_0]</math>.

Ponieważ <math>f</math> jest ciągła na odcinku domkniętym <math>[a,b]</math>, to osiąga na <math>[a,b]</math> swoje kresy.
Przyjmijmy, że kres dolny osiąga w <math>x_1</math>, a kres górny w <math>x_2</math>, gdzie <math>x_1, x_2\in [a,b]</math>. Mamy więc
::<math>
f(x_1)=m\le \frac{\int _a^b f(x) g(x){\sf d}x}{\int _a^b g(x){\sf d}x}\le M=f(x_2)
</math>
Z [[Matematyka:Funkcje_ciągłe#Twierdzenie_.28w.C5.82asno.C5.9B.C4.87_Darboux.29|własności Darboux]] dla funkcji <math>f</math> mamy, że funkcja <math>f</math> na odcinku <math>[x_1, x_2]</math> osiąga
wszystkie wartości pośrednie pomiędzy <math>m</math> i <math>M</math>, a w szczególności osiąga wartość
<math>\frac{\int _a^b f(x) g(x){\sf d}x}{\int _a^b g(x){\sf d}x}</math> (w jakimś punkcie <math>\xi </math>). Mamy więc
::<math>
f(\xi )=\frac{\int _a^b f(x) g(x){\sf d}x}{\int _a^b g(x){\sf d}x}
</math>
a to jest dokładnie równość (<xr id="uid32"> %i</xr>) czyli teza twierdzenia.

CBDO

====Twierdzenie (drugie twierdzenie o wartości średniej)====
Niech <math>f,g</math> — ciągłe na <math>[a,b]</math> i ponadto
<math>g</math> — rosnąca i różniczkowalna w sposób ciągły. Wtedy istnieje taki <math>\xi \in [a,b]</math>, że
<equation id="uid33">
<math>\int _a^b f(x) g(x){\sf d}x = g(a) \int _a^\xi f(x) {\sf d}x + g(b) \int _\xi ^b f(x) {\sf d}x.
</math>
</equation>
=====Dowód=====
Niech <math>F(x)</math> — funkcja pierwotna do <math>f(x)</math>, np. <math>F(x)=\int _a^x f(z){\sf d}z</math>. Obliczmy lewą stronę
równości (<xr id="uid33"> %i</xr>). Mamy
::<math>
\int _a^b f(x)g(x){\sf d}x = \int _a^b F^{\prime }(x)g(x) {\sf d}x = F\cdot g|^b_a -\int _a^b F(x) g^{\prime }(x) {\sf d}x
</math>
::<math>
=F(b)g(b)-F(a)g(a) -F(\xi ) \int _a^b g^{\prime }(x) {\sf d}x
</math>
::<math>
=F(b)g(b)-F(a)g(a) -F(\xi ) (g(b) - g(a))
</math>
::<math>
=g(b)\int _a^b f(x){\sf d}x - g(b) \int _a^\xi f(x) {\sf d}x + g(a) \int _a^\xi f(x) {\sf d}x
</math>
::<math>
=g(b)\int _a^\xi f(x){\sf d}x + g(b)\int _\xi ^b f(x){\sf d}x- g(b) \int _a^\xi f(x) {\sf d}x + g(a) \int _a^\xi f(x) {\sf d}x
</math>
::<math>
= g(b)\int _\xi ^b f(x){\sf d}x + g(a) \int _a^\xi f(x) {\sf d}x
</math>
czyli dostaliśmy (<xr id="uid33"> %i</xr>).

CBDO

-------
<references/>

Matematyka:Matematyka II NI/Całka Riemanna Całka nieoznaczona - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Całka Riemanna== Niech f będzie funkcją ograniczoną na [a,b] o wartościach rzeczywistych. Niech \pi będzie (..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Całka Riemanna== Niech $f$ będzie funkcją ograniczoną na $[a,b]$ o wartościach rzeczywistych. Niech $\pi$ będzie (..."