Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Odwzorowania== Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzo..."

2015-05-22T13:39:40Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Odwzorowania== Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzo..."

Nowa strona

__NOTOC__

==Odwzorowania==

Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno,
więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania
(niekoniecznie każdemu) elementowi <math>x\in X</math> elementu <math>y\in Y</math>.
Zapisujemy to:
<math>T:X\rightarrow Y</math>, Dalej <math>X</math> będzie podzbiorem <math> { \mathbb R}^N</math>, zaś <math>Y</math> podzbiorem <math> { \mathbb R}^M</math>.

RYS.

Załóżmy, że mamy jakieś układy współrzędnych w <math> { \mathbb R}^N</math> i <math> { \mathbb R}^M</math>, tak że dowolny punkt <math>x\in X</math>
ma postać:

::<math>
x=(x^j),\;\;\; j=1,2,\dots , N.
</math>

i analogicznie w <math>Y</math>

::<math>
y=(y^k),\;\;\; k=1,2,\dots , M.
</math>

::<math>
(Tx)^k = T^k(x^1,x^2,\dots , x^N) \;\;\;k=1,2,\dots , M
</math>

Na odwzorowanie możemy patrzeć po prostu jak na układ <math>M</math> funkcji <math>N</math> zmiennych.

===Przykł.===
<ol>
<li>
<math>R\rightarrow { \mathbb R}^3</math> — krzywa w <math> { \mathbb R}^3</math>.

<li>
<math> { \mathbb R}^3 \rightarrow { \mathbb R}^3</math>: Zamiana układu współrzędnych; pole wektorowe.

</ol>
==Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady==
===Odwzorowanie ciągłe===
Niech <math>X\subset { \mathbb R}^N</math>, <math>Y\subset { \mathbb R}^M</math>, oraz niech będzie dane odwzorowanie <math>T: X\rightarrow Y</math>.

Mówimy, że odwzorowanie <math>T</math> jest ciągłe, jeśli dla dowolnego ciągu <math>\lbrace {x}_n \rbrace </math> elementów
zbioru <math>X</math> zbieżnego do punktu <math>g\in X</math> mamy

<equation id="uid4">
<math>T(x_n)\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } T(g).
</math>
</equation>

====Uwaga====
Przypominając sobie definicję zbieżności ciągu widzimy, że odwzorowanie <math>T</math> jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie funkcje <math>T^k</math> (<math>k=1,2,\dots , M</math>) są ciągłe.
====Przykłady====
odwzorowań ciągłych. Tu: <math>X\subset { \mathbb R}^N</math>, <math>Y\subset { \mathbb R}^M</math>,<math>T: X\rightarrow Y</math>.
=====Odwzorowanie stałe=====
Dla każdego <math>x\in X</math>: <math>T(x)=y_0={\rm const.}</math>.

RYS.
=====Odwzorowanie identycznościowe=====
Tu niech <math>N=M</math>. Określamy odwzorowanie identycznościowe wzorem: <math>T(x)=x</math>;
<math>T</math> często też oznaczamy symbolem <math>Id_X</math>.
=====Superpozycja odwzorowań=====
Niech Tu: <math>X\subset { \mathbb R}^N</math>, <math>Y\subset { \mathbb R}^M</math>, <math>Z\subset { \mathbb R}^k</math> oraz <math>T: X\rightarrow Y</math>, <math>S: Y\rightarrow Z</math>.
Oznaczamy: <math>(S\circ T) (x) = S(T(x))</math>, czyli <math>S\circ T: X\rightarrow Z</math>.

RYS.

Odwzorowanie <math>S\circ T</math>
nazywamy superpozycją lub złożeniem odwzorowań <math>S</math> oraz <math>T</math>.

======Twierdzenie=======
Jeśli <math>S</math> i <math>T</math> są odwzorowaniami ciągłymi, to <math>S\circ T</math> też jest odwzorowaniem ciągłym.

Dow. (podobny jak w <math> { \mathbb R}^1</math>): Niech <math>\lbrace {x}_n \rbrace </math> będzie ciągiem elementów z <math>X</math>: <math>x_n\in X</math> oraz
<math>x_n\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } g\in X</math>.

Ponieważ <math>T</math> — ciągłe, więc <math>T(x_n)\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } T(g)</math>.

Oraz:

Ponieważ <math>X</math> — ciągłe, więc <math>S(T(x_n))\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } S(T(g))</math>.

Zatem <math>(S\circ T)(x_n))\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } (S\circ T)(g))</math>.

CBDO
=====Dodawanie liczb rzeczywistych=====
<math>+: { \mathbb R}^2\ni (x,y)\rightarrow x+y \in { \mathbb R}</math> (dodawanie liczb rzeczywistych) jest odwzorowaniem ciągłym.

======Dowód======
Jest to po prostu twierdzenie, że granica sumy dwóch ciągów zbieżnych jest sumą granic.

CBDO

=====Mnożenie liczb rzeczywistych=====
<math>\cdot : { \mathbb R}^2\ni (x,y)\rightarrow x\cdot y \in { \mathbb R}</math> (mnożenie liczb rzeczywistych) jest odwzorowaniem ciągłym.

======Dowód======
Granica iloczynu dwóch ciągów zbieżnych jest iloczynem granic.

CBDO

=====Dzielenie liczb rzeczywistych=====
<math>: : ( { \mathbb R}\times { \mathbb R}\setminus \lbrace 0\rbrace )\ni (x,y)\rightarrow x: y \in { \mathbb R}</math> (dzielenie liczb rzeczywistych) jest odwzorowaniem ciągłym.

======Dowód======
Granica ilorazu dwóch ciągów zbieżnych jest ilorazem granic.

CBDO

=====Nieciągła funkcja dwóch zmiennych=====
Funkcja dwóch zmiennych, która nie jest ciągła:
::<math>
f(x,y) =\frac{xy}{x^2+y^2} \mbox{ poza } (0,0) \mbox{ oraz } f(0,0)=0.
</math>

===Przewciwobraz zbioru===
Jeśli <math>A\subset Y</math>, to zbiór:
<equation id="uid12">
<math>T^{-1}(A)=\lbrace x\in X: \;\;T(x)=A \rbrace
</math>
</equation>
nazywamy przeciwobrazem zbioru <math>A</math> przy odwzorowaniu <math>T</math>.

====Przykł.====
<math>T: { \mathbb R}^2\rightarrow { \mathbb R}</math>, <math>T(x,y)=x^2+y^2</math>; <math>T^{-1}(1)= ...</math>, <math>T^{-1}(1)= ...</math>,
<math>T^{-1}(0)= (0,0)</math>, <math>T^{-1}(-1)= \emptyset </math>, <math>T^{-1}([1,2])= ...</math>.

====Uwaga====
Pojawiający się wyżej symbol <math>T^{-1}</math> nie oznacza, że <math>T</math> jest odwracalne! Powyższy zapis należy odczytywać łącznie.
===Zbiór otwarty===
(*) Niech <math>X\subset { \mathbb R}^N</math>, <math> {\cal O}\subset X</math>.

Mówimy, że <math> {\cal O}</math> jest otwarty w <math>X</math>, jeżeli istnieje zbiór otwarty <math> {\cal O}^{\prime }</math>
w <math> { \mathbb R}^N</math> taki, że <math> {\cal O}= X \cap {\cal O}^{\prime }</math>.

RYS.

==Inna charakteryzacja odwzorowań ciągłych==

===Twierdzenie===
Niech <math>X\subset { \mathbb R}^N</math>, <math>Y\subset { \mathbb R}^M</math>, <math>T:\; X\rightarrow Y</math>. Wówczas <math>T</math> jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobrazy wszystkich zbiorów otwartych w <math>Y</math>
są otwarte w <math>X</math>.

====Dowód====
<math>\Longrightarrow </math>
Zakładamy, że <math>T</math> — ciągłe i że <math> {\cal O}\subset Y</math>, <math> {\cal O}</math> — otwarty.

Niech <math>a</math> będzie jakimś punktem z przeciwobrazu <math> {\cal O}</math>: <math>a\in T^{-1}( {\cal O})</math>. Pokażemy, że
<equation id="uid14">
<math>\displaystyle \mathop \exists _{\epsilon >0}: K(a,\epsilon )\cap X\subset T^{-1}( {\cal O})
</math>
</equation>
Gdy już będziemy mieli dowód (<xr id="uid14"> %i</xr>), to wtedy:

Zdefiniujmy <math> {\cal O}^{\prime }</math> jako:
::<math>
{\cal O}^{\prime }=\displaystyle \mathop {\bigcup }_{a\in T^{-1}( {\cal O})} K(a,\epsilon _a).
</math>
<math> {\cal O}^{\prime }</math> jest otwarty, jako suma mnogościowa kul otwartych.

Ponieważ <math>T^{-1}( {\cal O})\subset X</math>, więc też <math>T^{-1}( {\cal O})\subset {\cal O}^{\prime } \cap X</math>.

Z drugiej strony, ponieważ zachodzi (<xr id="uid14"> %i</xr>), to mamy dla każdego <math>a\in T^{-1}( {\cal O})</math>:
<math> K(a,\epsilon _a)\cap X\subset T^{-1}( {\cal O})</math> dla pewnego <math>\epsilon _a</math>, z czego wynika, że
<math> {\cal O}^{\prime }\cap X \subset T^{-1}( {\cal O})</math>.

Ostatecznie: Ponieważ: <math>T^{-1}( {\cal O})\subset {\cal O}^{\prime }\cap X \subset T^{-1}( {\cal O})</math>, to znaczy, że
::<math>
T^{-1}( {\cal O}) = {\cal O}^{\prime }\cap X,
</math>
czyli — w myśl definicji (*) wyżej — <math>T^{-1}( {\cal O})</math> jest otwarty w <math>X</math>.

Teraz dowód (<xr id="uid14"> %i</xr>). Dowód będzie niewprost: Przypuśćmy, że prawdziwe jest zaprzeczenie zdania (<xr id="uid14"> %i</xr>), tzn. że zachodzi
::<math>
\displaystyle \mathop \forall _{\epsilon >0}: K(a,\epsilon )\cap X\lnot \subset T^{-1}( {\cal O}).
</math>
Bierzemy wobec tego <math>\epsilon =\frac{1}{n}</math> i mamy, że dla każdego <math>n</math>
::<math>
K(a,\frac{1}{n})\cap X\lnot \subset T^{-1}( {\cal O}).
</math>
(tzn. przecięcie wystaje poza zbiór <math>T^{-1}( {\cal O})</math>).

Czyli dla każdego <math>n</math> istnieje taki punkt <math>a_n</math>, że
<math> a_n\in K(a,\frac{1}{n})</math>,
<math>a_n\in X</math>,
<math>T(a_n) \notin {\cal O},\;\;\;\mbox{bo }\;\; a_n\notin T^{-1}( {\cal O})</math>,
<math>T(a) \in {\cal O},\;\;\;\mbox{bo }\;\; a \in T^{-1}( {\cal O}).</math>
Ponieważ <math>a_n\in K(a,\frac{1}{n})</math>, to <math>d(a_n, a)<\frac{1}{n}\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } 0</math>,
zatem
::<math>
a_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } a \;\;\;\mbox{ oraz }
\;\;\;
T(a_n) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } T(a)
</math>
ponieważ <math>T</math> z założenia jest ciągłe.
Zbiór <math> {\cal O}</math> jest otwarty w <math>Y</math>, więc
::<math>
{\cal O}= Y\cap {\cal O}^{\prime }, \;\;\;\mbox{ gdzie }
\;\; {\cal O}^{\prime }\;\;\mbox{jest otwarty w }\; { \mathbb R}^N.
</math>
Zachodzi: <math>T(a)\in {\cal O}</math>, czyli <math>T(a)\in {\cal O}^{\prime }</math> i, ponieważ <math> {\cal O}^{\prime }</math> jest otwarty,
to istnieje takie <math>r</math>, że <math>K(T(a),r)\subset {\cal O}^{\prime }</math>.
Ponieważ <math>d(T(a_n),T(a)) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } 0</math>, to prawie wszystkie wyrazy
ciągu <math>T(a_n)</math> są zawarte w kuli <math>K(T(a),r)</math>:
::<math>
T(a_n)\in K(T(a),r)\subset {\cal O}^{\prime }
</math>
zaś <math>K(T(a),r) \subset {\cal O}^{\prime }</math> (co było wyżej), a ponadto <math>T(a_n)\in Y</math> ( bo <math>a_n\in X</math> oraz <math>T:X\rightarrow Y</math>).
Skoro <math>T(a_n)\in Y</math> i <math>T(a_n\in {\cal O}^{\prime }</math> to <math>T(a_n)\in {\cal O}</math> — więc otrzymaliśmy sprzeczność.

<math>\Longleftarrow </math>
Niech <math>x_n\in X</math> i <math>x_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } g\in X</math>. Trzeba
pokazać, że również <math>T(x_n) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } T(g)</math>.

Równoważnie będziemy pokazywać, że dla dowolnego <math>\epsilon >0</math>, prawie wszystkie wyrazy
<math>T(x_n)\in K(T(g),\epsilon )</math>.

Ponieważ <math> K(T(g),\epsilon )</math> jest zbiorem otwartym, to <math> K(T(g),\epsilon )\cap Y</math> jest zbiorem
otwartym w <math>Y</math>. Dalej, ponieważ dla <math>T</math> — ciągłego przeciwobraz zb. otwartego jest
zb. otwartym, to <math>T^{-1}( K(T(g),\epsilon )\cap Y)</math> jest zbiorem otwartym w <math>X</math>. Oraz mamy:
<math>g\in T^{-1}( K(T(g),\epsilon )\cap Y)</math>, czyli razem z <math>g</math> musi należeć do <math>X</math> pewne jego otoczenie.

A to znaczy, że dla każdego ciągu <math>x_n</math> dążący do <math>g\in X</math>, wszystkie wyrazy <math>x_n</math> od pewnego
miejsca <math>n_0</math> muszą należeć do <math>X</math>: Dla <math>n> n_0</math> zachodzi
::<math>
x_n\in T^{-1}( K(T(g),\epsilon )\cap Y),
</math>
tzn.
::<math>
T(x_n) \in K(T(g),\epsilon )
/math>
a to znaczy, że
::<math>
T(x_n) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } T(g).
</math>

CBDO

==Jeszcze inna charakteryzacja odwzorowań ciągłych==
===Twierdzenie===
<equation id="uid16">
<math>(T \mbox{ ciągłe na } X)
\Longleftrightarrow \left(
\displaystyle \mathop \forall _{x\in X}\;
\mathop \forall _{\epsilon >0} \;
\mathop \exists _{\delta >0} \;
\mathop \forall _{y\in X}\;
(d(x,y)<\delta ) \Longrightarrow d(T(x),T(y))<\epsilon \right)
</math>
</equation>

====Dowód====

<math>\Longrightarrow </math>

Załóżmy, że teza tw. powyżej jest nieprawdziwa, tzn.
::<math>
\displaystyle \mathop \exists _{x\in X}\;
\mathop \exists _{\epsilon >0} \;
\mathop \forall _{\delta >0} \;
\mathop \exists _{y\in X}\;
(d(x,y)<\delta )\; \mbox{ i }\; d(T(x),T(y))\ge \epsilon .
</math>
Wybierzmy <math>\delta =\frac{1}{n}</math>. Istnieje więc taki ciąg <math>\lbrace {y}_n \rbrace </math> , że
::<math>\begin{matrix}
d(x,y_n)<\frac{1}{n} \;\;\;\;\; (*)\\
d(T(x),T(y_n))\ge \epsilon \;\;\;\;\; (**)
\end{matrix}</math>

Z (*) wynika, że <math>y_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } x</math>,
natomiast z (**) wynika, że <math>T(y_n)\stackrel{n\rightarrow \infty }{\lnot \longrightarrow } T(x)</math>, co jest sprzeczne z
założeniem, że <math>T</math> jest ciągłe.

<math>\Longrightarrow </math>
Niech <math>x_n, x\in X</math>, oraz <math>x_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }x</math>.
Weźmy <math>\epsilon >0</math>. Z założenia,
::<math>
\mathop \exists _{\delta >0} \;
\mathop \forall _{y\in X}\;
(d(x,y)<\delta ) \Longrightarrow d(T(x),T(y))<\epsilon .
</math>
Ponieważ <math>x_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }x</math>, to dla prawie wszystkich <math>n</math> zachodzi:
::<math>
d(x,x_n)<\delta \;\;\mbox{ oraz } d(T(x),T(x_n))<\epsilon </math>
a ta ostatnia nierówność mówi, że <math>T(x_n) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } T(x)</math>, a to znaczy,
że <math>T</math> jest ciągłe.

CBDO

===Twierdzenie===
(nazwane w notatkach 'sakramentalnym'; na pewno jest FUNDAmentalne).

Niech <math>K\subset { \mathbb R}^N</math> — zwarty, oraz niech <math>f: K\rightarrow { \mathbb R}</math> — funkcja ciągła. Wtedy:

<ol>

<li>
<math>f</math> jest ograniczona.

<li>
<math>f</math> osiąga swoje kresy, tzn.:

<equation id="uid19">
<math>\mathop \exists _{x_{min},x_{max}\in K} \;
\mathop \forall _{x\in K}\;
f(x_{min})\le f(x)\le f(x_{max})
</math>
</equation>

<li>
<math>f</math> jest jednostajnie ciągła.

</ol>

====Dowód====
<ol>
<li>
Przypuśćmy, że <math>f</math> nie jest ograniczona. Wtedy istnieje <math>\lbrace {x}_n \rbrace </math> , <math>x_n\in K</math> taki, że

::<math>
f(x_n) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }\infty \;\;\;\;\;(\bullet )
</math>

Ponieważ <math>K</math> jest zwarty, więc ciąg <math>\lbrace {x}_n \rbrace </math>
posiada podciąg zbieżny <math>\lbrace {y}_n \rbrace </math> : <math>y_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } g \in K</math>. Ale <math>f</math> jest ciągła,
więc

::<math>
f(y_n) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } f(g)
</math>

co stanowi sprzeczność z <math>(\bullet )</math>.

CBDO

<li>
Niech <math> {\cal W}\subset { \mathbb R}</math> będzie zbiorem wartości funkcji <math>f</math> na <math>K</math>: <math> {\cal W}= \lbrace f(x):\; x\in K\rbrace </math>.
Niech <math>M</math> będzie kresem górnym zbioru wartości funkcji na <math>K</math>: <math>M={\rm sup}\, {\cal W}</math>. Kres górny należy do
domknięcia zbioru: <math>M\in \overline{ {\cal W}}</math>. <math>\overline{ {\cal W}}</math> jest domknięty, więc istnieje ciąg <math>\lbrace {x}_n \rbrace </math>
o wyrazach z <math>K</math> taki, że <math>f(x_n) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } M</math>. <math>K</math> jest zwarty, więc
domknięty, więc istnieje podciąg <math>\lbrace x_{n_m}\rbrace </math> ciągu <math>\lbrace {x}_n \rbrace </math> , który to podciąg jest zbieżny
do granicy należącej do <math>K</math>:

::<math>
f(\;\underbrace{{\displaystyle \mathop {\lim }_{{m}\rightarrow {\infty }} } x_{n_m} }_{x_{max}}\;)
=
{\displaystyle \mathop {\lim }_{{m}\rightarrow {\infty }} } f(x_{n_m})
=
M.
</math>

CBDO

</ol>
===Jednostajna ciągłość===
Przypomnijmy sobie, co to znaczy, że funkcja od argumentu rzeczywistego jest jednostajnie ciągła.
Dla odwzorowania definicja jest analogiczna:

<equation id="uid24">
<math>(T \mbox{ jednostajnie ciągłe na } X)
\Longleftrightarrow \left(
\displaystyle \mathop \forall _{\epsilon >0} \;
\mathop \exists _{\delta >0} \;
\mathop \forall _{x,y\in X}\;
(d(x,y)<\delta ) \Longrightarrow d(T(x),T(y))<\epsilon \right)
</math>
</equation>

Teraz

====Dowód====
Przypuśćmy, że <math>f</math> nie jest jednostajnie ciągła, tzn.
::<math>
\mathop \exists _{\epsilon >0} \;
\mathop \forall _{\delta >0} \;
\mathop \exists _{x,y\in X}\;
(d(x,y)<\delta )\; \stackrel{\rm i}{\Longrightarrow }\; d(T(x),T(y))\ge \epsilon .
</math>
Weźmy <math>\delta =\frac{1}{n}</math> i ciągi <math>\lbrace {x}_n \rbrace </math> , <math>\lbrace {y}_n \rbrace </math> o wyrazach z <math>X</math> takie, że
::<math>
\left.
\begin{array}{l}
d(x_n,y_n)<\frac{1}{n} \\
d(f(x_n),f(y_n))\ge \epsilon .\;\;\;(\bullet \bullet )
\end{array}
\right.
</math>
<math>K</math> jest zwarty, więc można założyć, że <math>x_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } x_\infty \in K</math>.

Mamy:
::<math>
d(y_n, x_\infty )\le d(y_n, x_n) + d(x_n,x_\infty )
\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } 0
</math>
Mamy więc: <math>y_n \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } x_\infty </math>; oraz z ciągłości <math>f</math>:
::<math>
\left.
\begin{array}{c}
f(x_n) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } f(x_\infty )\\
f(y_n) \stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow } f(x_\infty )
\end{array}
\right\rbrace
\Longrightarrow d(f(x_n),f(y_n))<\epsilon .
</math>
Ale ostatnia nierówność jest sprzeczna z <math>(\bullet \bullet )</math>.

CBDO

Matematyka:Matematyka II NI/Odwzorowania - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Odwzorowania== Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzo..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Odwzorowania== Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzo..."