Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC Rachunek różniczkowy ==Pochodne cząstkowe, różniczkowalność funkcji, przyrosty== Niech ${\cal O}\subset { \mathbb R}^N$ będzie..."

2015-05-22T13:40:56Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ Rachunek różniczkowy ==Pochodne cząstkowe, różniczkowalność funkcji, przyrosty== Niech <math> {\cal O}\subset { \mathbb R}^N</math> będzie..."

Nowa strona

__NOTOC__

Rachunek różniczkowy

==Pochodne cząstkowe, różniczkowalność funkcji, przyrosty==

Niech <math> {\cal O}\subset { \mathbb R}^N</math> będzie zbiorem otwartym, zaś <math>f: {\cal O}\rightarrow { \mathbb R}</math> — funkcją ciągłą.

Niech <math>x\in {\cal O}</math>. Wypiszmy jawnie składowe <math>x</math>:

::<math>
x=(x^1, x^2, \dots , x^N), \;\;\; f(x) = f(x^1, x^2, \dots , x^N).
</math>

Wybierzmy teraz <math>k\in \lbrace 1,2,\dots , N \rbrace </math> i traktujmy zmienne <math>x^l</math>, gdzie <math>l\ne k</math> jako stałe.

===Pochodna cząstkowa===
Rozważmy granicę:

<equation id="uid2">
<math>\frac{\partial }{\partial x^k}f(x^1, x^2, \dots , x^N)
=
{\displaystyle \mathop {\lim }_{{h}\rightarrow {0}} }\frac{f(x^1, \dots ,x^{k-1}, x^k+h,x^{k+1},\dots , x^N) - f(x^1, \dots , x^k,\dots , x^N) }{h}
</math>
</equation>

Def. Powyższą granicę nazywamy pochodną cząstkową funkcji <math>f</math> po zmiennej <math>x^k</math> (liczoną w
punkcie <math>x</math>).
===Funkcja jest różniczkowalna===
Niech <math> {\cal O}\subset { \mathbb R}^N</math> będzie zbiorem otwartym, zaś <math>f: {\cal O}\rightarrow { \mathbb R}</math> — funkcją ciągłą.
(Ten ostatni warunek piszemy też: <math>f\in C( {\cal O})</math>).

Mówimy, że <math>f</math> jest różniczkowalna <math>r</math> razy w sposób ciągły, jeżeli istnieją wszystkie pochodne cząstkowe
aż do rzędu <math>r</math> i są one ciągłe.

====Uwaga (terminologiczna)====
Ten ostatni warunek zapisujemy krócej jako: <math>f\in C^r( {\cal O})</math>, gdzie przez <math>C^r( {\cal O})</math> oznaczamy zbiór funkcji różniczkowalnych <math>r</math> razy w sposób ciągły. Stosujemy też oznaczenie
<math>C^\infty ( {\cal O})</math> dla funkcji, które posiadają pochodne ciągłe dowolnie wysokiego rzędu. Funkcje takie
nazywamy funkcjami gładkimi (należą do nich np. wielomiany).
===Twierdzenie===
Niech <math> {\cal O}</math> — otwarty podzbiór <math> { \mathbb R}^N</math>, oraz <math>f\in C^1( {\cal O})</math>.
Niech <math>x_0\in {\cal O}</math>, i niech <math>h\in { \mathbb R}^N</math> — dostatecznie małe, tzn. <math>||h||<\epsilon </math> dla pewnego <math>\epsilon </math> —
tak, by <math>x_0+h\in {\cal O}</math> RYS.

Zdefiniujmy <math>r(x_0,h)</math> przez:

::<math>
f(x_0+h)-f(x_0) =\sum _{k=1}^N \frac{\partial f}{\partial x^k}(x_0) h^k + r(x_0,h).
</math>

Wtedy zachodzi:

<equation id="uid3">
<math>\lim_{h\rightarrow 0}\frac{r(x_0,h)}{||h||} \longrightarrow 0
</math>
</equation>

====Uwaga====
Znaczenie tego wzoru: Pozwala on wyznaczać przyrost funkcji: Im mniejsze <math>h</math>, tym lepiej
przyrost jest przybliżany przez część liniową.

====Dowód====
Będzie dla (najważniejszego w zastosowaniach) przypadku <math>N=3</math>; dla dowolnego <math>N</math> jest analogiczny.
::<math>
f(x_0+h)-f(x_0) = f(x_0^1 + h^1,x_0^2 + h^2,x_0^3 + h^3)-f(x_0^1, x_0^2, x_0^3)=
</math>
::<math>
f(x_0^1 + h^1,x_0^2 + h^2,x_0^3 + h^3)-f(x_0^1,x_0^2 + h^2,x_0^3 + h^3)\;\;\;\;\; I
</math>
::<math>
+f(x_0^1,x_0^2 + h^2,x_0^3 + h^3)-f(x_0^1,x_0^2,x_0^3 + h^3)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; I I
</math>
::<math>
+f(x_0^1,x_0^2,x_0^3 + h^3)-f(x_0^1,x_0^2,x_0^3)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; I II
</math>
Z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej dla funkcji jednej zmiennej mamy
::<math>
III= \frac{\partial }{\partial x^3} f(x_0^1, x_0^2, y^3) h^3,
</math>
gdzie <math>y^3</math> — punkt pomiędzy <math>x_0^3</math> a <math>x_0^3 + h^3</math>;
::<math>
II= \frac{\partial }{\partial x^2} f(x_0^1, y^2, x_0^3+h^3) h^2,\;\;\;\;\;y^2\in ]x_0^2, x_0^2+h^2[;
</math>
::<math>
I= \frac{\partial }{\partial x^1} f(y^1, x_0^2+h^2, x_0^3+h^3) h^1,\;\;\;\;\;y^2\in ]x_0^1, x_0^1+h^1[.
</math>

Tak więc
::<math>\begin{matrix}
r(x_0,h) =
f(x_0+h)-f(x_0) -\frac{\partial f}{\partial x^1}(x_0) h^1
-\frac{\partial f}{\partial x^2}(x_0) h^2-\frac{\partial f}{\partial x^3}(x_0) h^3
\\
=
\left[
\frac{\partial }{\partial x^1}f(y^1,x_0^2 + h^2,x_0^3 + h^3)-\frac{\partial }{\partial x^1}f(x_0^1, x_0^2, x_0^3)
\right]h^1
\\
+\left[
\frac{\partial }{\partial x^2}f(x_0^1,y^2,x_0^3 + h^3)-\frac{\partial }{\partial x^2}f(x_0^1,x_0^2 ,x_0^3)
\right] h^2
\\
+\left[
\frac{\partial }{\partial x^3}f(x_0^1,x_0^2,y^3)-\frac{\partial }{\partial x^3}f(x_0^1,x_0^2,x_0^3)
\right]h^3
\end{matrix}</math>
Składowe wektora <math>h</math> szacują się przez:
::<math>
\frac{|h^k|}{||h||}\le 1.
</math>
Ponadto, jeżeli <math>h\rightarrow 0</math>, to:
::<math>
y^1\rightarrow x^1;\;\;\;\;\;
y^2\rightarrow x^2;\;\;\;\;\;
y^3\rightarrow x^3.
</math>
Ponieważ pochodne cząstkowe są ciągłe, to różnice w (<xr id="uid4"> %i</xr>) dążą do zera i mamy
::<math>
\frac{r(x_0,h)}{||h||} \stackrel{h\rightarrow 0}{\longrightarrow }0.
</math>

CBDO

==Pochodna funkcji złożonej==
===Oznaczenia===
Usystematyzujmy oznaczenia, przydając im, jeśli trzeba, dodatkowe jeszcze wyjaśnienia:

<ol>

<li>
<math>h=\Delta x</math> — przyrost zmiennej (-ych);

<li>
<math>f(x+h)-f(x)=\Delta f</math> — przyrost funkcji;

<li>
<math>\displaystyle \mathop {\sum }_{k=1}^N \frac{\partial f}{\partial x^k}(x_0) h^k = {\sf d}f</math> — różniczka funkcji;

<li>
<math>r</math> — reszta.

</ol>

Pamiętajmy, że
wszystkie powyższe obiekty: <math>\Delta x, \Delta f, {\sf d}f, r</math> są funkcjami od <math>x</math> i <math>h</math>.

Mamy też:
::<math>
\Delta f = {\sf d}f+r;
</math>
im mniejsze <math>h</math>, tym mniejsze <math>r</math> i w wielu zastosowaniach fizycznych na ogół przyjmuje się, że
dla małych <math>h</math>, <math>r</math> jest zaniedbywalny.

===Twierdzenie (Prototyp twierdzenia o pochodnej odwzorowania złożonego)===
Niech <math>g: {\cal U}\rightarrow {\cal O}</math>, gdzie <math> {\cal U}\subset { \mathbb R}</math>, <math> {\cal O}\subset { \mathbb R}^N</math>,
oraz <math>f: {\cal O}\rightarrow { \mathbb R}</math>. (Pisząc jawnie argumenty, mamy: <math>f(y^1,y^2, \dots , y^N)</math> oraz
<math>g(x)=g^1(x), g^2(x), \dots , g^N(x)</math>). Niech <math>k=f\circ g</math>, tzn. <math>k(x) = f(g(x))</math> lub,
pisząc bardziej jawnie, ale też bardziej rozwlekle argumenty:
<math>k(x) = f(g^1(x), g^2(x), \dots , g^N(x))</math>.

Jeżeli <math>f\in C^1( {\cal O}), g\in C^1( {\cal U})</math>, to <math>k\in C^1( {\cal U})</math> oraz
<equation id="uid10">
<math>\frac{{\sf d}}{{\sf d}x}k(x) = \sum _{i=1}^N \frac{\partial f}{\partial y^i}(g(x)) \frac{{\sf d}g^i}{{\sf d}x}(x).
</math>
</equation>

====Dowód====
Liczymy iloraz różnicowy:
::<math>
\frac{k(x+h)-k(x)}{h} = \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}= \spadesuit </math>
(tu <math>h\in { \mathbb R}</math>). Oznaczmy: <math>\Delta y = g(x+h) - g(x)</math> (tzn. <math>\Delta y^i = g^i(x+h) - g^i(x)</math>).
::<math>
\spadesuit = \frac{f(g(x)+\Delta y))-f(g(x))}{h}
=
\frac{
\sum _{i=1}^N \frac{\partial f}{\partial y^i}(g(x))\Delta y^i + r( g(x),\Delta y)
}{h}
</math>
<equation id="uid11">
<math>=
\frac{
\sum _{i=1}^N \frac{\partial f}{\partial y^i}(g(x))\Delta y^i}{h}
+
\frac{r( g(x),\Delta y)}{h}
</math>
</equation>
Pierwszy wyraz w powyższym wyrażeniu (<xr id="uid11"> %i</xr>) to jest to co trzeba, ponieważ
::<math>
\frac{\Delta y^i}{h} =\frac{g^i(x+h))-g^i(x)}{h} \stackrel{h\rightarrow 0}{\longrightarrow }\frac{\partial g^i}{\partial x} (x)
</math>
Natomiast drugi wyraz w wyrażeniu (<xr id="uid11"> %i</xr>) okazuje się ,że dąży do 0 gdy <math>h\rightarrow 0</math>.
Bowiem, gdy <math>\Delta y</math> = 0, to <math>\frac{r( g(x),\Delta y)}{h}=0</math>. Natomiast gdy <math>\Delta y\ne 0</math>, to mamy:
::<math>
\frac{r( g(x),\Delta y)}{h} = \frac{r( g(x),\Delta y)}{||\Delta y||}\cdot \frac{||\Delta y||}{h}
</math>
W pierwszym czynniku mamy: <math>\Delta y \stackrel{h\rightarrow 0}{\longrightarrow }</math> i co za tym idzie, cały wyraz
też dąży do zera (z własności reszty). Drugi czynnik, tzn. iloraz <math>\frac{||\Delta y||}{h}</math>, spełnia:
::<math>
\frac{||\Delta y||}{h} = \left|\left|\frac{\Delta y}{h}\right|\right| \stackrel{h\rightarrow 0}{\longrightarrow } </math><math>\left|\left|\frac{{\sf d}g}{{\sf d}x}\right|\right|</math>

CBDO Będziemy dalej potrzebować dwu prostych faktów dotyczących normy i odległości.

===Stwierdzenie===
Norma jest funkcją ciągłą swoich argumentów (tzn. składowych wektora).

====Dowód====
Przyjrzyjmy się wyrażeniu na normę wektora <math>x</math>:
::<math>
||x|| = \sqrt{(x^1)^2 + (x^2)^2 +\dots + (x^N)^2}
</math>
i mamy:
<ol>

<li>
podnoszenie do kwadratu jest funkcją ciągłą,
<li>
sumowanie jest funkcją ciągłą,
<li>
pierwiastek jest funkcją ciągłą.
</ol>

===Stwierdzenie===
Odległość jest funkcją ciągłą, tzn. jeżeli <math>x_n\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }x</math>, <math>y_n\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }y</math>, to
<equation id="uid15">
<math>d(x_n,y_n)\stackrel{n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }d(x,y).
</math>
</equation>

====Dowód====
Najsampierw pokażemy następującą nierówność czworoboku:
::<math>
d(x,u)\le d(x,y)+d(y,z)+d(z,u);
</math>
bowiem, pisząc dwukrotnie nierówność trójkąta, mamy:
::<math>
d(x,u)\le d(x,z)+d(z,u)\le d(x,z) + d(z,y)+d(y,u)
</math>
(szkoda tu pisać CBDO) i teraz, korzystając dwukrotnie z nierówności czworoboku:
::<math>
d(x_n,y_n)\le d(x_n,x) + d(x,y) + d(y,y_n) \Longrightarrow d(x_n,y_n)- d(x,y)\le d(x_n,x) + d(y,y_n);
</math>
::<math>
d(x,y)\le d(x,x_n) + d(x_n,y_n) + d(y_n,y) \Longrightarrow d(x,y)- d(x_n,y_n)\le d(x,x_n) + d(y_n,y);
</math>
czyli mamy
::<math>
0\le |d(x,y)- d(x_n,y_n)|\le d(x,x_n) + d(y_n,y);
</math>
Prawa strona powyższej nierówności z założenia dąży do zera, a z tego wynika (<xr id="uid15"> %i</xr>).

CBDO
==Równość drugich pochodnych mieszanych==

===Twierdzenie (o równości drugich pochodnych mieszanych)===
Niech <math> {\cal O}\subset { \mathbb R}^2</math> — zbiór otwarty.
Niech <math>f: {\cal O}\rightarrow { \mathbb R}</math>, <math>f\in C^2( {\cal O})</math>. Wtedy:
<equation id="uid17">
<math>\frac{\partial }{\partial x^1} \frac{\partial f}{\partial x^2}
=\frac{\partial }{\partial x^2}\frac{\partial f}{\partial x^1}
</math>
</equation>
====Dowód====
Najsampierw oznaczmy <math>x</math> zamiast <math>x^1</math> oraz <math>y</math> zamiast <math>x^2</math>.

Oznaczmy:
::<math>
\Delta x = h, \;\;\;\;\;\Delta y=k
</math>
oraz
::<math>
w=f(x+h, y+k) - f(x+h, y) -f(x,y+k)+f(x,y)
</math>
Ustalmy teraz <math>x</math> i <math>h</math> i zdefiniujmy
::<math>
\phi (y) = f(x+h, y) - f(x,y)
</math>
Możemy wyrazić <math>w</math> przez <math>\phi </math>:
::<math>
w = \phi (y+k) - \phi (y) = \phi ^{\prime }(\xi ) \cdot k
</math>
gdzie <math>\xi \in ]y,y+k[</math>; jest to wniosek z tw. Lagrange'a o wartości średniej. Mamy dalej
::<math>
\phi ^{\prime }(\xi ) \cdot k = \left[
\frac{\partial f}{\partial y}(x+h,\xi ) - \frac{\partial f}{\partial y}(x,\xi )
\right]
=
\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}(\eta ,\xi )\cdot h \cdot k
</math>
gdzie <math>\eta \in ]x,x+h[</math>; w ostatnim kroku znów skorzystaliśmy z tw. Lagrange'a
o wartości średniej.

Zdefiniujmy teraz
::<math>
\psi (x) = f(x, y+k)- f(x,y)
</math>
i podobnie jak wyżej, możemy wyrazić <math>w</math> przez <math>\psi </math>. Mamy:
::<math>
w=\psi (x+h)-\psi (x) = \psi ^{\prime }(\tilde{\eta })\cdot h = \spadesuit </math>
(tu <math>\tilde{\eta }\in ]x,x+h[</math>; znów skorzystaliśmy z tw. Lagrange'a) i dalej
::<math>
\spadesuit =
\left[
\frac{\partial f}{\partial x}(\tilde{\eta },y+k) - \frac{\partial f}{\partial x}(\tilde{\eta },y)
\right]
=
\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(\tilde{\eta },\tilde{\xi })\cdot h \cdot k
</math>
gdzie <math>\tilde{\xi }\in ]y,y+k[</math>.

W powyższych wyrażeniach liczyliśmy tę samą wielkość <math>w</math> na dwa różne sposoby. Mamy więc:
::<math>
w=
\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}(\eta ,\xi )\cdot h \cdot k
=\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(\tilde{\eta },\tilde{\xi })\cdot h \cdot k
</math>
Jeśli teraz <math>h\rightarrow 0</math>, to wtedy <math>\xi \rightarrow y</math>, <math>\eta \rightarrow x</math>, oraz <math>\tilde{\xi }\rightarrow y</math>, <math>\tilde{\eta }\rightarrow x</math>,
zatem otrzymujemy równość pochodnych cząstkowych mieszanych w punkcie <math>(x,y)</math>.

CBDO

====Przykł.====
Nie można opuścić założeń o ciągłości;
Nierówność pochodnych mieszanych gdy f nie jest kl. <math>C^2</math> .

==Wyższe pochodne==

===Notacja pochodnych cząstkowych===
Mówiąc o pochodnej cząstkowej trzeba podać nie tylko jej rząd
(ilość różniczkowań), ale też powiedzieć, po jakich zmiennych się różniczkuje. Og/olnie pochodna <math>r</math>-tego rzędu funkcji <math>N</math> zmiennych ma postać:
::<math>
\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}, \;\;\; \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}, \;\;\;\frac{\partial ^2 f}{\partial y^2},
</math>
::<math>
\frac{\partial ^r f}{(\partial x^1)^{r_1} (\partial x^2)^{r_2}\dots (\partial x^N)^{r_N}}, \;\;\;\mbox{ gdzie}
\;\;\;r=r_1+r_2+\dots +r_N;
</math>
i tak wszystkie drugie pochodne funkcji dwóch zmiennych są
::<math>
\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}, \;\;\; \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}, \;\;\;\frac{\partial ^2 f}{\partial y^2},
</math>
pochodne trzeciego rzędu:
::<math>
\frac{\partial ^3 f}{\partial x^3}, \;\;\; \frac{\partial ^3 f}{\partial x^2 \partial y},
\;\;\;\frac{\partial ^3 f}{\partial x \partial y^2}, \;\;\;\frac{\partial ^3 f}{\partial y^3},
</math>
itd.
==Różniczkowalność odwzorowań==

Powyższe uwagi dotyczyły funkcji <math>N</math> zmiennych. Gdy mamy odwzorowania, różniczkowalność
tychże definiujemy analogicznie:

Niech <math>T</math> odwzorowuje <math> {\cal O}\subset { \mathbb R}^N</math> na <math> {\cal U}\subset { \mathbb R}^M</math>, <math> {\cal O}</math> i <math> {\cal U}</math> są otwarte.
RYS.; niech <math>x\in {\cal O}</math>, <math>y\in {\cal U}</math>.

Niech <math>y=T(x)</math>. Wypiszmy tę równość jawnie w składowych:

::<math>
y^k=T^k(x^1, x^2, \dots , x^N), \;\;\; k=1,2,\dots , M.
</math>
===Odwzrorowanie klasy <math>C^r</math>===
Mówimy, że <math>T</math> jest klasy <math>C^r</math>, jeżeli wszystkie funkcje <math>T^k\in C^r( {\cal O})</math>.

Można wypisywać wszystkie pochodne cząstkowe rzędu <math>r</math> dla odwzorowania — wzory są podobne
jak na pochodną funkcji, tylko nieco bardziej skomplikowane. Będziemy je wypisywać, gdy będzie to
potrzebne, a na razie wypiszmy jawnie pierwszą pochodną odwzorowania:
<equation id="uid20">
<math>T^{\prime }(x)=
\left[
\begin{array}{c}
(T^1(x))^{\prime }\\
(T^2(x))^{\prime }\\
\vdots \\
(T^M(x))^{\prime }\\
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{cccc}
\frac{\partial T^1}{\partial x^1} &
\frac{\partial T^1}{\partial x^2} &
\dots &
\frac{\partial T^1}{\partial x^N}\\
\frac{\partial T^2}{\partial x^1} &
\frac{\partial T^2}{\partial x^2} &
\dots &
\frac{\partial T^2}{\partial x^N}\\
\vdots & \vdots & \dots \vdots \\
\frac{\partial T^M}{\partial x^1} &
\frac{\partial T^M}{\partial x^2} &
\dots &
\frac{\partial T^M}{\partial x^N}\\
\end{array}
\right]
</math>
</equation>
tzn. na skrzyżowaniu <math>i</math>-tego wiersza i <math>j</math>-tej kolumny mamy pochodną <math>\displaystyle \frac{\partial T^i}{\partial x^j}</math>.
Pamiętajmy, że każda z pochodnych <math>\displaystyle \frac{\partial T^i}{\partial x^j}</math> jest funkcja <math>N</math> zmiennych <math>x^1, \dots , x^N</math>.

===Oznaczenia & terminologia===
====Macierz Jacobiego====
Pochodną odwzorowania (<xr id="uid20"> %i</xr>) oznacza się też czasem <math>DT</math>. Taka tablica liczb,
jak pamiętamy z części algebraicznej wykładu, nazywa się macierzą; w tym konkretnym przypadku mamy
macierz pochodnej odwzorowania albo macierz Jacobiego.

=====Przykł.=====
Macierz Jacobiego zamiany współrżednych kartezjańskich na biegunowe.

==Pochodna odwzorowania złożonego==
===Złożenie odwzorowań (superopozycja)===
Niech: <math>X\subset { \mathbb R}^N</math>, <math>Y\subset { \mathbb R}^M</math>, <math>Z\subset { \mathbb R}^k</math> oraz <math>S: X\rightarrow Y</math>, <math>T: Y\rightarrow Z</math>.
Pamiętamy, że superpozycją (złożeniem odwzorowań <math>S</math> i <math>T</math> nazywamy odwzorowanie
<math>T\circ S: X\rightarrow Z</math>, określone jako: <math>(T\circ S) (x) = T(S(x))</math>.

RYS.

Pamiętamy też twierdzenie, że jeśli <math>S</math> i <math>T</math> są odwzorowaniami ciągłymi,
to <math>T\circ S</math> też jest odwzorowaniem ciągłym.

Wyprowadziliśmy niedawno wzór (<xr id="uid10"> %i</xr>)
na pochodną odwzorowania złożonego w przypadku, gdy <math>X</math> było podzbiorem <math> { \mathbb R}</math>,
<math>Y</math> podzbiorem <math> { \mathbb R}^n</math>, oraz <math>Z\subset { \mathbb R}</math>:

RYS.

Zastosujmy teraz ten wzór w przypadku, gdy mamy pochodną <math>\displaystyle \frac{\partial (T\circ S)^k}{\partial x^l}(x)</math>.

RYS.

Mamy:

::<math>
\frac{\partial (T\circ S)^k}{\partial x^l}(x)
=
\frac{\partial T^k( S^1(x^1, x^2,\dots ,x^N), S^2(x^1, x^2,\dots ,x^N),\dots , S^M(x^1, x^2,\dots ,x^N) )}{\partial x^l}(x)
</math>

::<math>
=
\frac{\partial T^k}{\partial y^1}(S(x))\cdot \frac{\partial S^1}{\partial x^l}(x) +
\frac{\partial T^k}{\partial y^2}(S(x))\cdot \frac{\partial S^2}{\partial x^l}(x)
+\dots +\frac{\partial T^k}{\partial y^M}(S(x))\cdot \frac{\partial S^M}{\partial x^l}(x)
</math>

<equation id="uid22">
<math>=\sum _{j=1}^M \frac{\partial T^k}{\partial y^j}(S(x))\cdot \frac{\partial S^j}{\partial x^l}(x).

</math>
</equation>

To była konkretna składowa <math>\displaystyle \frac{\partial (T\circ S)^k}{\partial x^l}(x)</math>. Dla całej macierzy Jacobiego
można wypisać wzór, przypominający jako żywo pochodną funkcji złożonej — ale aby go prawidłowo rozczytać,
trzeba pamiętać, co oznaczają poszczeg/olne symbole:

::<math>
(T\circ S)^{\prime }(x) = T^{\prime }(S(x))\cdot S^{\prime }(x)
</math>

gdzie kropka oznacza mnożenie macierzy pochodnych.

Jeśli zarówno <math>S</math> jak i <math>T</math> są odwzorowaniami różniczkowalnymi klasy <math>C^1</math>, to i ich złożenie też jest odwzorowaniem
różniczkowalnym klasy <math>C^1</math>. Wynika to od razu z faktu, że sumy i iloczyny odwzorowań różniczkowalnych typu (<xr id="uid10"> %i</xr>)
też są różniczkowalne, a we wzorze (<xr id="uid22"> %i</xr>) są tylko sumy i iloczyny takich wyrażeń.

Analogicznie się argumentuje pokazując, że jeśli <math>S</math> oraz <math>T</math> są odwzorowaniami różniczkowalnymi klasy <math>C^r</math>,
to i ich złożenie też jest odwzorowaniem
różniczkowalnym klasy <math>C^r</math>.

Powyższe można podsumować w twierdzeniu:

====Twierdzenie====
Jeśli <math>S</math> i <math>T</math> są odwzorowaniami klasy <math>C^r</math>, to również ich złożenie <math>T\circ S</math> jest klasy <math>C^r</math>.
Pierwsza pochodna odwzorowania złożonego dana jest wzorem
<equation id="uid23">
<math>(T\circ S)^{\prime }(x) = T^{\prime }(S(x))\cdot S^{\prime }(x)
</math>
</equation>
bądź bardziej dobitnie,
<equation id="uid24">
<math>\frac{\partial (T\circ S)^k}{\partial x^l}(x)
=
\sum _{j=1}^M \frac{\partial T^k}{\partial y^j}(S(x))\cdot \frac{\partial S^j}{\partial x^l}(x).
</math>
</equation>

=====Przykł.=====
<math>S: { \mathbb R}^2\ni (r,\phi )\rightarrow (x=r\cos \phi ,y=r\sin \phi )\in { \mathbb R}^2</math>,
<math>T: { \mathbb R}^2\ni (x,y)\rightarrow (u=exp(x+y), v=\exp (x-y)\in { \mathbb R}^2</math>. Policzymy pochodną wprost oraz jako
iloczyn macierzy pochodnych <math>S</math> i <math>T</math>.

Matematyka:Matematyka II NI/Rachunek różniczkowy - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ Rachunek różniczkowy ==Pochodne cząstkowe, różniczkowalność funkcji, przyrosty== Niech {\cal O}\subset { \mathbb R}^N będzie..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC Rachunek różniczkowy ==Pochodne cząstkowe, różniczkowalność funkcji, przyrosty== Niech ${\cal O}\subset { \mathbb R}^N$ będzie..."