Anula: Utworzono nową stronę "'''''Zadanie 1''''' Znajdź sumę $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2$ . {{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F | | header = ''Wskazówka'' |..."

2015-05-22T12:47:09Z

Utworzono nową stronę "<big>'''''Zadanie 1'''''</big> Znajdź sumę <math> \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 </math>. {{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F | | header = ''Wskazówka'' |..."

Nowa strona

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Znajdź sumę

<math>
\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2
</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Skorzystaj z faktu iż <math>\sum_{k=1}^n k^3=\sum_{k=0}^{n-1} (k+1)^3</math>
stosując wzór skróconego mnożenia po prawej stronie.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Zgodnie ze wskazówką mamy

<math>\sum_{k=1}^n k^3=\sum_{k=0}^{n-1} (k^3 + 3 k^2+3 k+1)</math>.

Czyli

<math> n^3=3 \sum_{k=0}^{n-1} k^2+3 \sum_{k=0}^{n-1} k+n </math>,

skąd

<math>
3\sum_{k=0}^{n-1} k^2 = n^3-n -\frac{n(n-1)}{2}
</math>,

i ostatecznie

<math>
\sum_{k=0}^{n-1} k^2 = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}
</math>, czyli
<math>
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Zadanie to jest przygotowaniem do zadania 2. Ćwiczymy posługiwanie się symbolem sumy.}}
----

<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Oblicz z definicji
<math>
\int_{0}^{1} x^2 \, dx
</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Ponieważ funkcja podcałkowa jest ciągła więc całka Riemanna istnieje,
wystarczy więc policzyć granicę sum górnych dla dowolnego ciągu normalnych podziałów przedziału <math>[0,1]</math>. Sugerujemy ciąg podziałów na n
równych odcinków.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Biorąc ciąg podziałów jak we wskazówce suma górna dla n-tego podziału wynosi

<math>
\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \left(\frac{k}{n}\right)^2=\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}
</math>

gdzie wykorzystaliśmy wynik zadania 1.
Całka Riemanna jest granicą powyższego ciągu podziałów i wynosi

<math>
\frac{1}{3}
</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Oblicz
<math>
\int_{-e}^{-1} \frac{1}{x} \, dx
</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Do takich zadań nie ma wskazówek.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
\int_{-e}^{-1} \frac{1}{x} \, dx = \left. \log |x| \right|_{-e}^{-1}=\log 1 - \log e=0-1=-1
</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Pokaż, że
<math>
I_n:=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1} x \, dx=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n \choose k} \frac{1}{2k+1}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}.
</math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Pierwszą równość otrzymamy całkując przez podstawienie <math>t=\cos x</math>, drugą
całkując przez części (umiejętnie skorzystać z jedynki trygonometrycznej w obu przypadkach).
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Postępując zgodnie ze wskazówką mamy

<math>
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1} x \, dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos^2 x)^n \sin x \, dx =\left| \begin{matrix} t=\cos x \\ dt = -\sin x dx \end{matrix}\right|=
-\int_{1}^{0} (1-t^2)^n \, dt =-\int_{1}^{0} \left[ \sum_{k=0}^n (-1)^{k} {n\choose k} t^{2k}\right] \, dt =
</math>
<math>
\sum_{k=0}^n \int (-1)^{k+1} {n\choose k} t^{2k} \, dt= \left. \sum_{k=0}^n (-1)^{k+1} {n\choose k} \frac{t^{2k+1}}{2k+1} \right|^{0}_{1}=
\sum_{k=0}^n (-1)^{k} {n\choose k} \frac{1}{2k+1}
</math>.

Z drugiej strony całkując przez części mamy dla dowolne go <math>n</math> naturalnego mamy

<math>
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1} x \, dx
=\left| \begin{matrix} u(x)=\sin^{2n} x & u'(x)=2n\sin^{2n-1} x \cos x \\ v'(x)=\sin x & v(x)=-\cos x \end{matrix}\right|=
\left.-\sin^{2n} x \cos x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+2n\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n-1} x\cos^2 x \, dx=
2n\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n-1} x\cos^2 x \, dx
</math>.

Używając jedynki trygonometrycznej mamy

<math>
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1} x \, dx=2n\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n-1} x \, dx-2n\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1} x
</math>

czyli

<math>
I_{n}=2n I_{n-1}-2nI_{n}
</math>

to znaczy

<equation id="it1">
<math>
I_{n}=\frac{2n}{2n+1} I_{n-1}
</math></equation><br>
przy czym <math>I_0=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx=1</math>.

Iterując <math>n</math> razy <xr id="it1">równanie %i</xr> otrzymujemy ostatecznie

<math>
I_n=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \cdot I_0=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}
</math>.

}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Znaleźć pole figury ograniczonej osią x i wykresem funkcji
<math>
{\mathbb R} \ni x \mapsto f(x)=(x^2-1)(x^2-4)
</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Znajdź najpierw punkty miejsca zerowe funkcji, naszkicuj jej wykres.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Dla <math>x \in ]-2,-1[ \cup ]1,2[ </math> funkcja przyjmuje wartości ujemne
dla <math>x \in ]-1,1[ </math> wartości dodatnie wobec tego szukane pole <math>P</math> to

<math>P=\left| \int_{-2}^{-1} f(x)\, dx\right| + \left| \int_{-1}^{1} f(x)\, dx\right|+\left| \int_{1}^{2} f(x)\, dx\right|
=-\int_{-2}^{-1} f(x)\, dx+\int_{-1}^{1} f(x)\, dx-\int_{1}^{2} f(x)\, dx=2\int_{0}^{1} f(x)\, dx-2 \int_{1}^{2} f(x)\, dx
</math>

gdzie wykorzystaliśmy parzystość rozważanej funkcji. Ponieważ

<math>\int f(x)\, dx=\frac{1}{5} x^5-\frac{5}{3} x^3+4x+c</math>

to

<math>P=2\left[\left.\left( \frac{1}{5} x^5-\frac{5}{3} x^3+4x\right) \right|_{0}^{1}-\left. \left( \frac{1}{5} x^5-\frac{5}{3} x^3+4x \right)\right|_{1}^{2}\right]
=4 \left(\frac{1}{5}-\frac{5}{3}+4\right)-2 \left(\frac{1}{5}2^5-\frac{5}{3}2^3+4\cdot 2\right)=8
</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 6'''''</big>

Znaleźć pole elipsy o półosiach a i b.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Rozważ elipsę zadaną przez
<math>\left\{ (x,y)\in {\mathbb R^2} \, | \, \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\right\}
</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Szukane pole to

<math>P= 2b \int_{-a}^{a} \sqrt{1- \frac{x^2}{a^2}}\, dx
</math> .

Stosując podstawienie
<math>
\left| \begin{matrix} [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \ni t \mapsto x=a \sin t \\ dx = \cos t dt \end{matrix}\right|
</math>
będące bijekcją odwzorowującą odcinek <math>
[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math> na odcinek
<math>
[-a,a]</math>

otrzymujemy

<math>P= 2ab \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\cos t| \cos t\, dt= 2ab \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t\, dt=
2ab \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\cos (2t)\, dt =\left. ab t\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\pi ab
</math> .

}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}

----
<big>'''''Zadanie 7'''''</big>

Znaleźć pole pod jednym łukiem
cykloidy tzn. krzywej zadanej parametrycznie przez

<math>
x=R(t-\sin t), \,\,\, \,\,\, y=R(1-\cos t) , \,\,\,\,\,\, t \in [0, 2\pi].
</math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
P= \int_0^{2 \pi R} y \, dx=\left| \begin{matrix} y=R(1-\cos t)\\
x=R(t-\sin t)\\
dx = R (1-\cos t) dt \end{matrix}\right|=R^2\int_0^{2 \pi } (1-\cos t)^2 \, dt=
R^2\int_0^{2 \pi } 1+\cos^2 t -2 \cos t \, dt=R^2\int_0^{2 \pi } 1+\cos^2 t\, dt=R^2\int_0^{2 \pi } \frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cos(2 t)\, dt=
</math>
<math>
=\left. \frac{3}{2} t \right|_{0}^{2\pi} =3 \pi R^2
</math> .
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 8'''''</big>

Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi

<math>
y=e^{7x}=: \, f(x)
</math> ,

<math>
y=-x^4-1=: \, g(x)
</math> ,

<math>
x=0
</math> ,

<math>
x=1
</math> .

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Ponieważ dla każdego <math>x</math> zachodzi <math>f(x)>g(x)</math> mamy

<math>P=\int_0^1 f(x)-g(x) \, dx=\int_0^1 e^{7x} +x^4+1 \, dx=\left. \frac{1}{7}e^{7x}+ \frac{1}{5} x^5 +x \right|_0^1=
\frac{1}{7}e^{7}+ \frac{1}{5} +1-\frac{1}{7}</math>.

}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 9'''''</big>

Znaleźć objętość kuli.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Rozważ kulę jako bryłe obrotową ograniczoną przez sferę powstającą z obrotu wykresu funkcji
<math>[-R,R] \ni x \mapsto y=\sqrt{R^2-x^2}</math> wokół osi x.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>V= \pi \int_{-R}^R y^2 \, dx =\pi \int_{-R}^R R^2-x^2\, dx=\left. \pi(R^2 x-\frac{1}{3} x^3) \right|_{-R}^R
\pi(R^3-\frac{1}{3} R^3+R^3-\frac{1}{3})=\frac{4}{3}\pi R^3
</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}

<big>'''''Zadanie 10'''''</big>

Oblicz pochodną funkcji
<math>h(x)=\int^{x}_{x^2} \frac{dt}{1+t^{100}}</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Funkcja podcałkowa <math> f(t)=\frac{1}{1+t^{100}}</math> jest funkcją ciągłą.
Posiada więc funkcję pierwotną oznaczmy ją <math>F(t)</math>. Skorzystaj z twierdzenia podstawowego rachunku różniczkowego i całkowego.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Korzystając ze wskazówki

<math>h'(x)=(F(x^2)-F(x))'=F'(x^2) 2 x-F'(x)=f(x^2) 2x-f(x)=\frac{2x}{1+x^{200}}-\frac{1}{1+x^{100}}</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}

<big>'''''Zadanie 11'''''</big>

''Całki z funkcji nieograniczonych''

Dla jakich wartości parametru <math> p </math> zbieżna jest całka
<math> \int_0^7 x^p \; dx </math>.

Obliczyć <math> \int_0^1 \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \; dx </math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Całka jest zbieżna dla <math> p>-1 </math>.
<math> \int_0^1 \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \; dx=\left. \frac{4}{3} x^\frac{3}{4} \right|_0^1= \frac{4}{3}</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}

<big>'''''Zadanie 12'''''</big>

''Całki na zbiorach nieograniczonych''

Dla jakich wartości parametru $p$ zbieżna jest całka
<math> \int_7^{\infty} x^p \; dx </math>.

Obliczyć <math> \int_1^{\infty} \frac{1}{x^\frac{3}{2}} \; dx </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Całka jest zbieżna dla <math> p<-1 </math>.
<math> \int_1^{\infty} \frac{1}{x^\frac{3}{2}} \; dx=\left. -2 \frac{1}{\sqrt{x}} \right|_1^{\infty}= 2</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}

<big>'''''Zadanie 13'''''</big>

Oblicz
<math>\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\left. \arcsin x \right|_{-1}^1=\pi</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}

<big>'''''Zadanie 14'''''</big>

Oblicz
<math>\int_0^{\infty} e^{-x} \sin x \; dx</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Zajrzyj do działu ''całka nieoznaczona'' gdzie w podrozdziale ''całkowanie przez części'' pokazaliśmy, że
<math>\int e^{ax} \sin bx \; dx=\frac{a}{a^2+b^2}e^{ax} \sin bx- \frac{b}{a^2+b^2} e^{ax} \cos bx +c</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>\int_0^{\infty} e^{-x} \sin x \; dx=\left. -\frac{1}{2}e^{-x} \sin x- \frac{1}{2} e^{-x} \cos x\right|_0^{\infty}=\frac{1}{2}</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}

<big>'''''Zadanie 15'''''</big>

Oblicz
<math> \int_1^\infty \frac{1}{x(x+1)(x+2)(x+3)} \, dx </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Rozkładaliśmy już funkcję podcałkową na ułamki proste.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math> \int_1^{\infty} \frac{1}{x(x+1)(x+2)(x+3)} \, dx =
\int_1^\infty \frac{1}{6x}-\frac{1}{2(x+1)}+\frac{1}{2(x+2)}- \frac{1}{6(x+3)}\, dx =
\left. \log \left(\sqrt[6]{\frac{x}{x+3}}\sqrt[2]{\frac{x+2}{x+1}}\right)\right|_1^{\infty}= \log \left(\sqrt[6]{4}\sqrt[2]{\frac{2}{3}}\right)
=\frac{1}{6} \log \frac{32}{27}
</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}

<big>'''''Zadanie 16'''''</big>

oblicz
<math>\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2-1}</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = <math> \int \frac{1}{(x-1)(x+1)} \, dx=\frac{1}{2} \log\frac{x-1}{x+1}+c</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Całka jest rozbieżna. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}

<big>'''''Zadanie 17'''''</big>

Obliczyć
<math>\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2(e^{\frac{1}{x}}+ e^{-\frac{1}{x}})} \; dx</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Podstaw <math>u=e^{\frac{1}{x}}</math>.
Jeśli otrzymany wynik jest ujemny (dla całki z funkcji o wartościach nieujemnych, w zerze mamy osobliwość usuwalną) spróbuj raz jeszcze.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Zaproponowane podstawienie jest nieciągłe w zerze! Jest natomiast ciągłe na <math>[-1,0[\cup]0,1]</math>.

Wobec tego rozbijmy całkę na sumę dwóch całek
<math>\int_{-1}^{0}\frac{1}{x^2(e^{\frac{1}{x}}+ e^{-\frac{1}{x}})} \; dx+
\int_{0}^{1}\frac{1}{x^2(e^{\frac{1}{x}}+ e^{-\frac{1}{x}})} \; dx=
\left| \begin{matrix} u= e^{\frac{1}{x}}\\ du =-\frac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x}}dx \end{matrix}\right|=
-\int_{\frac{1}{e}}^{0}\frac{1}{t^2+1} \; dt-\int_{\infty}^{e}\frac{1}{t^2+1} \; dt=
\left.-\arctan t\right|_{\frac{1}{e}}^{0}\left.- \arctan t\right|_{\infty}^{e}=
</math>
<math>
=\arctan \frac{1}{e}-\arctan e+\frac{\pi}{2}
</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}

----

Matematyka 1NI/Calka Riemanna - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "'''''Zadanie 1''''' Znajdź sumę \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 . {{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F | | header = ''Wskazówka'' |..."

Anula: Utworzono nową stronę "'''''Zadanie 1''''' Znajdź sumę $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2$ . {{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F | | header = ''Wskazówka'' |..."