Anula: Utworzono nową stronę "==Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości== Funkcją pierwotną funkcji $f(x)$ '''w przedziale $X$ ''' nazywamy funkcję $F(x)$
2015-05-22T12:46:08Z

Utworzono nową stronę "==Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości== Funkcją pierwotną funkcji <math> f(x) </math> '''w przedziale <math> X </math>''' nazywamy funkcję <math> F(x) </ma..."

Nowa strona
==Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości==

Funkcją pierwotną funkcji <math> f(x) </math> '''w przedziale <math> X </math>'''
nazywamy funkcję <math> F(x) </math> taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi

<math> F'(x)=f(x) </math>.

Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale <math> X </math> danej funkcji jest funkcją stałą.

Dla wyrażenia <math> F(x)+C </math> rezerwujemy nazwę całka nieoznaczona i symbol <math> \int f(x) \, dx </math>.

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Znajdź wszystkie funkcje pierwotne funkcji

<math>
f(x)=\frac{1}{x}
</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Uwaga, zadanie nie jest sformułowane zbyt precyzyjnie. Dziedzina naturalna funkcji nie jest przedziałem. Rozważ dwa przedziały <math>]-\infty,0[</math> i <math> ]0,\infty[ </math>.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Funkcją pierwotną w przedziale <math> ]-\infty,0[ </math> jest
<math>\displaystyle F(x)=\log(-x) +c_1 \, , </math> zaś w przedziale <math> ]0,\infty[ </math> to
<math>\displaystyle F(x)=\log x +c_2 \, , </math>
gdzie <math>c_1</math> i <math>c_2</math> są pewnymi liczbami rzeczywistymi.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Zwyczajowo stosowany zapis <math>\int \frac{1}{x} \, dx=\log|x|+c</math> może prowadzić do nieporozumień.}}
----

==Całkowanie przez części==

<big>'''''Uwagi wstępne'''''</big>

Wzór na całkowanie przez części:
<math> \displaystyle \int u(x) v'(x) \, dx =u(x) v(x)- \int u'(x) v(x) \, dx</math>
o ile funkcje <math> u' </math> i <math> v' </math> są ciągłe na przedziale <math> X </math> .

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Znajdź wszystkie funkcje pierwotne funkcji

<math>
f(x)=x \cos x
</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Przyjmij <math> u(x)=x </math> i <math> v'(x)=\cos x </math>.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>\displaystyle \int x \cos x \, dx =\left| \begin{matrix} u(x)=x & u'(x)=1 \\ v'(x)=\cos x & v(x)=\sin x \end{matrix}\right|=
x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x +\cos x+c
</math>.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Podobnie obliczamy całki <math> \int x^2 \sin (2x) \, dx </math>, <math> \int x^2 e^{7x} \, dx </math>.}}
----

<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Znajdź związek rekurencyjny między całkami
<math> I_n= \int x^n e^{ax} \;dx </math> gdzie <math> a \neq 0 </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Wykonaj całkowanie przez części przyjmując <math> u(x)=x^n </math> i <math> v'(x)=e^{ax}</math>.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = <math> I_n= \int x^n e^{ax} \;dx=\frac{1}{a}x^n e^{ax}-\frac{n}{a} \int x^{n-1} e^{ax} \;dx \, \, </math>
czyli <br> <math> I_n=\frac{1}{a}x^n e^{ax}-\frac{n}{a}I_{n-1}</math>.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Oblicz <math> I_3 </math>. Metodę tę można zastosować do obliczania całek
<math> J_n= \int x^n \cos (ax) \;dx </math>, <math> K_n= \int x^n sin (ax) \;dx </math> wyrażając całki
<math> J_n </math> i <math> K_n </math> przez całki <math> J_{n-1} </math> i <math> K_{n-1} </math>.
}}
----

<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Oblicz całkę
<math>\displaystyle \int \arctan x \, dx </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Połóż <math> u(x)=\arctan x </math> i <math> v'(x)=1 </math>.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = <math> \int \arctan x \, dx=\left| \begin{matrix} u(x)=\arctan x & u'(x)=\frac{1}{1+x^2} \\ v'(x)=1 & v(x)=x \end{matrix}\right|=x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx=x \arctan x-\frac{1}{2}\log (1+x^2)+c</math>}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Obliczyć <math>\displaystyle \int \log x \, dx </math>. }}
----

<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Oblicz całkę
<math>\displaystyle \int e^{ax} \cos(b x) \, dx </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Wykonaj dwa razy całkowanie przez części}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =<math>\displaystyle \int e^{ax} \cos(b x) \, dx=
\left| \begin{matrix} u(x)=\cos{b x} & u'(x)=-b\sin(b x) \\ v'(x)=e^{ax} & v(x)=\frac{1}{a} e^{ax}\end{matrix}\right|=
\frac{1}{a} e^{ax} \cos{b x}+\frac{b}{a} \int e^{ax} \sin(b x) \, dx=
\left| \begin{matrix} u(x)=\sin{b x} & u'(x)=b\cos(b x) \\ v'(x)=e^{ax} & v(x)=\frac{1}{a} e^{ax}\end{matrix}\right|=
</math>
<math>
\frac{1}{a} e^{ax} \cos{b x}+\frac{b}{a^2} e^{ax} \sin{b x}-\frac{b^2}{a^2} \int e^{ax} \cos(b x) \, dx
</math>

Otrzymaliśmy więc równość między całkami nieoznaczonymi

<math>\displaystyle a^2 \int e^{ax} \cos(b x) \, dx=
a e^{ax} \cos{b x}+ b e^{ax} \sin{b x}-b^2 \int e^{ax} \cos(b x) \, dx
</math>.

Przenosząc całki na jedną stroną otrzymujemy

<math>\displaystyle \int e^{ax} \cos(b x) \, dx=
\frac{a}{a^2+b^2} e^{ax} \cos{b x}+ \frac{b}{a^2+b^2} e^{ax} \sin{b x}+c
</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----

<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Oblicz całkę
<math>\displaystyle \int \sin^2 (7x) \, dx</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Wykonaj całkowanie przez części a następnie skorzystaj z jedynki trygonometrycznej}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = <math>\displaystyle \int \sin^2 (7x) \, dx=
\left| \begin{matrix} u(x)=\sin (7x) & u'(x)=7 \cos(7 x) \\ v'(x)=\sin (7x)& v(x)=-\frac{1}{7} \cos(7 x)\end{matrix}\right|=
-\frac{1}{7}\sin (7x)\cos(7 x)+ \int \cos^2 (7 x) \, dx=-\frac{1}{7}\sin (7x)\cos(7 x)+ \int [1- \sin^2 (7 x)] \, dx=
</math>

<math>
-\frac{1}{7}\sin (7x)\cos(7 x)+ x-\int \sin^2 (7x) \, dx
</math>

Czyli ostatecznie postępując jak w poprzednim zadaniu mamy
<math>\int \sin^2 (7x)=-\frac{1}{14}\sin (7x)\cos(7 x)+\frac{1}{2} x+c</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Metoda działa dla <math>\displaystyle \int \sin^{2 n} (7x) \, dx</math> dla dowolnego <math> n </math> naturalnego. }}
----

<big>'''''Zadanie 6'''''</big>

Oblicz całkę
<math>\displaystyle \int \sqrt{x^2+1} \, dx </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Scałkuj przez części.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = <math>\displaystyle \int \sqrt{x^2+1} \, dx=
\left| \begin{matrix} u(x)=\sqrt{x^2+1} & u'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \\ v'(x)=1 & v(x)=x \end{matrix}\right|=
x\sqrt{x^2+1}-\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} \, dx=x\sqrt{x^2+1}-\int \frac{x^2+1-1}{\sqrt{x^2+1}} \, dx=
</math><math>
=x\sqrt{x^2+1}-\int \sqrt{x^2+1} \, dx+\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \, dx=
x\sqrt{x^2+1}-\int \sqrt{x^2+1} \, dx+ \hbox{ar sinh} \, x=x\sqrt{x^2+1}-\int \sqrt{x^2+1} \, dx+ \log ( x +\sqrt{x^2+1})
</math>.

Postępując jak w dwóch ostatnich zadaniach mamy

<math>\displaystyle \int \sqrt{x^2+1} \, dx=\frac{x}{2} \sqrt{x^2+1}+ \frac{1}{2}\log (x +\sqrt{x^2+1})+c</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Dużo bardziej ogólną metodą pozwalającą obliczyć nie tylko tę całkę ale również szereg innych jest podstawienie <math>x= \sinh t </math> patrz ''Uwagi końcowe'' na tej stronie.}}

==Całkowanie przez podstawienie==

<big>'''''Uwagi wstępne'''''</big>

Wzór na całkowanie przez podstawienie

<math>\displaystyle \int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(y) \, dy |_{y=f(x)} </math>

gdzie zakładamy ciągłość funkcji <math>f</math> i <math>g'</math> na przedziale <math>X</math>.

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Oblicz całki nieoznaczone
<math>
\int (\frac{1}{7}x+1)^{76} \, dx
</math>,
<math>
\int (x^2+1)\sqrt[7]{1+x} \, dx
</math>,
<math>
\int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx
</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Podstawienie odpowiednia funkcja liniowa (w trzecim przykładzie sprowadź trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej).}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
\int (\frac{1}{7}x+1)^{76} \, dx = \left| \begin{matrix} y=\frac{1}{7}x+1\\ dy = \frac{1}{7}dx \end{matrix}\right|=7 \int y^{76} \, dy=
7 \frac{1}{77} y^{77}+c=\frac{1}{11}(\frac{1}{7}x+1)^{77}+c
</math>,

<math>
\int (x^2+1)\sqrt[7]{1+x} \, dx = \left| \begin{matrix} y=x+1\\ dy = dx \end{matrix}\right|=\int ((y-1)^2+1)\sqrt[7]{y} \, dy=
\int y^{\frac{15}{7}}-2y^{\frac{8}{7}}+2y^{\frac{1}{7}}\, dy=\frac{7}{22} (x+1)^{\frac{22}{7}}- \frac{14}{15}(x+1)^{\frac{15}{7}}+
\frac{7}{4}(x+1)^{\frac{8}{7}}+c
</math>,

<math>
\int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx =
\int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} \, dx =
\left| \begin{matrix} \sqrt{\frac{3}{4}}y=x+\frac{1}{2}\\ \sqrt{\frac{3}{4}} dy = dx \end{matrix}\right|=
\sqrt{\frac{4}{3}}\int \frac{1}{y^2+1} \, dy= \sqrt{\frac{4}{3}} \arctan\left[\sqrt{\frac{4}{3}}(x+\frac{1}{2})\right]+c
</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = W pierwszym rzędzie student powinien mieć świadomość, że podstawienie liniowe pozwala sprowadzać całki do pewnych kanonicznych form.}}
----

<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Oblicz całki nieoznaczone
<math>
\int e^{3 x^2} x \, dx
</math>,
<math>
\int \frac{\sin x}{\sqrt[4]{2+\cos x}} \, dx
</math>.
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
\int e^{3 x^2} x \, dx = \left| \begin{matrix} y=3 x^2 \\ dy = 6 x dx \end{matrix}\right|=\frac{1}{6} \int e^y \, dy=
\frac{1}{6}e^y + c=\frac{1}{6}e^{3 x^2}+c
</math>,

<math>
\int \frac{\sin x}{\sqrt[4]{2+\cos x}} \, dx = \left| \begin{matrix} y=2+\cos x \\ dy = -\sin x dx \end{matrix}\right|=
-\int y^{-\frac{1}{4}} \, dy=-\frac{4}{3}y^{\frac{3}{4}}+c=-\frac{4}{3}(2+\cos x)^{\frac{3}{4}}+c
</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----

<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Oblicz całkę nieoznaczoną
<math>
\int \sqrt{x^2-a^2} \, dx
</math>, <math> a>0 </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Na przedziale <math> [a,\infty[ </math> podstaw <math> y= \hbox{ar cosh}\frac{x}{a} </math>,
natomiast na przedziale <math> ]-\infty,-a] </math> podstaw <math> y= \hbox{ar cosh}\left(-\frac{x}{a}\right). </math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Zgodnie ze wskazówką dla całki nieoznaczonej na przedziale <math> [a,\infty[ </math> podstawiamy <math> y= \hbox{ar cosh}\frac{x}{a} </math>,
czyli <math> x= a \cosh y</math>, <math> dx= a \sinh y \, dy</math> i wyjściowa całka to

<math> a^2 \int \sinh^2 y \, dy =a^2 \int \left(\frac{e^{2y}}{4}+\frac{e^{-2y}}{4}- \frac{1}{2}\right) \, dy=
a^2 \left( \frac{e^{2y}}{8}-\frac{e^{-2y}}{8}- \frac{y}{2}\right)+c=\frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}\log\left(x+ \sqrt{x^2-a^2}\right) +c
</math>.

Na przedziale <math> ]-\infty,-a] </math> kładziemy <math> y= \hbox{ar cosh}\left(-\frac{x}{a}\right) </math>,
czyli <math> x= -a \cosh y </math>, <math> dx= -a \sinh y \, dy</math> otrzymując

<math>-a^2 \int \sinh^2 y \, dy =-a^2 \int \left(\frac{e^{2y}}{4}+\frac{e^{-2y}}{4}- \frac{1}{2}\right) \, dy=
a^2 \left( \frac{e^{2y}}{8}-\frac{e^{-2y}}{8}- \frac{y}{2}\right)+c=\frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2}+\frac{a^2}{2}\log\left(-x+ \sqrt{x^2-a^2}\right) +c=
</math><math>
=\frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}\log\left(-x- \sqrt{x^2-a^2}\right) +c_1.
</math>

Ostatecznie
<math>\frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}\log\left| x+ \sqrt{x^2-a^2}\right| +c </math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Narzucamy sposób rozwiązywania tego zadania by przypomnieć funkcje hiperboliczne i polowe. Ewentualnie wspominamy o alternatywnych podstawieniach (<math> y=\frac{1}{\cos x} </math>, <math> y=\frac{1}{\sin x} </math>, podstawienia Eulera) i przypominamy,że akurat to zadanie można rozwiązać podobnie jak zadanie 6 z ustępu ''całkowanie przez części''.}}
----

==Rozkład na ułamki proste==

<big>'''''Uwagi wstępne'''''</big>

Funkcję wymierną nazywamy ułamkiem właściwym jeśli stopień jej licznika jest mniejszy od stopnia mianownika.
Każdą funkcję wymierną można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy pewnego wielomianu i pewnego ułamka właściwego.
Ułamkami prostymi pierwszego rodzaju nazywamy ułamki właściwe postaci

<math>\displaystyle \frac{A}{(x-B)^n} \hbox{ gdzie } n \in {\mathbb N}, A \in {\mathbb R} \setminus {0}, \, B \in {\mathbb R} </math>

Ułamkami prostymi drugiego rodzaju nazywamy ułamki właściwe postaci

<math>\displaystyle \frac{a x+d}{(x^2+bx+c)^n} \hbox{ gdzie } n \in {\mathbb N}, \, a,b,c,d \in {\mathbb R}, \, a^2+d^2 \ne 0,\, b^2-4c<0 </math>

Każdy ułamek właściwy można przedstawić w postaci sumy ułamków prostych.

<br>

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Rozłóż funkcję wymierną <math>Q(x)=\frac{x^6}{x^4-1}</math>
na sumę pewnego wielomianu i pewnego ułamka właściwego.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Podziel wielomian <math>x^6</math> przez wielomian <math>x^4-1</math>.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>\displaystyle \frac{x^6}{x^4-1}=\frac{x^6-x^2+x^2}{x^4-1}=\frac{x^2(x^4-1)}{x^4-1}+\frac{x^2}{x^4-1}=x^2+\frac{x^2}{x^4-1} \, .
</math>}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Celem tego zadania nie jest nauka dzielenia wielomianów (bo tę umiejętność studenci nabywają wcześniej), lecz zaznajomienie słuchaczy po pierwsze z pojęciem ułamka właściwego i po drugie z pierwszym krokiem algorytmu rozkładania funkcji wymiernych na ułamki proste.}}
----

<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

W jakiej postaci należy szukać rozkładu na ułamki proste następującej funkcji wymiernej

<math>
Q(x)=\frac{x^{10}+1}{(x^2+1) x^2 (x+1)^2(x^2-1)(x^2+4)^3} \, .
</math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Zauważ, że mianownik nie jest rozłożony na czynniki (o współczynnikach rzeczywistych) stopnia możliwie najniższego.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Ponieważ podana funkcja wymierna jest ułamkiem właściwym można ją przedstawić w postaci sumy ułamków prostych. Rozkładamy mianownik na czynniki stopnia co najwyżej drugiego i możliwie najniższego,
w naszym przypadku wystarczy położyć <math>x^2-1=(x-1)(x+1)</math> czyli

<math> \displaystyle \frac{x^{10}+1}{(x^2+1) x^2 (x+1)^3(x-1)(x^2+4)^3} \,.
</math>

Postać rozkładu to

<math>\displaystyle \frac{ax+b}{x^2+1}+\frac{c}{x^2}+\frac{d}{x}+\frac{\alpha}{(x+1)^3}+\frac{\beta}{(x+1)^2}+\frac{\gamma}{x+1}+
\frac{\delta}{x-1}+\frac{Ax+B}{(x^2+4)^3}+\frac{Cx+D}{(x^2+4)^2}+\frac{Fx+G}{x^2+4} \, ,
</math>

gdzie <math> a,\, b\, ,c\, ,d\, ,\alpha,\, \beta,\, \gamma,\, \delta,\, A,\, B,\, C,\, D,\, F,\, G </math> to poszukiwane współczynniki rozkładu.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Zwracamy uwagę osobom nieobecnym na wykładzie, że w ogólności w rozkładzie na ułamki proste występują '''wszystkie''' ułamki
proste o następującej własności: mianownik rozkładanej funkcji jest podzielny przez mianownik ułamka prostego. Ponadto przypominamy techniki znajdowania pierwiastków szczególnych klas wielomianów.}}
----

<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję wymierną <math> \displaystyle Q(x)= \frac{x^2+x+2}{x^4+3x^2+2} \, . </math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Rozkładu szukaj w postaci (dlaczego?)
<math> \displaystyle \frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2}\, . </math>}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Stopień licznika podanej funkcji wymiernej jest mniejszy od stopnia jej mianownika, przystępujemy więc od razu do rozkładu na ułamki proste.
Mianownik jest wielomianem dwukwadratowym łatwo dokonujemy więc jego rozkładu (podstawienie <math>t=x^2</math>) na iloczyn wielomianów stopnia drugiego <math>x^4+3x^2+2=(x^2+1)(x^2+4)</math>. Oba wielomiany stopnia drugiego nie dają się rozłożyć na wielomiany stopnia pierwszego (o współczynnikach rzeczywistych) postać rozkładu na ułamki proste wygląda więc następująco

<math> \frac{x^2+x+2}{x^4+3x^2+2}= \frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2} </math>

Monożąc obie strony ostatniej równości przez mianownik wyjściowej funkcji wymiernej mamy

<math> x^2+x+2=(Ax+B)(x^2+2)+ (Cx+D)(x^2+1)</math>

co po wymnożeniu nawiasów i uporządkowaniu daje

<equation id="r1">
<math>\displaystyle x^2+x+2= (A+C) x^3+(B+D) x^2 +(2A+C)x+(2B+D) </math>
</equation>

Dwa wielomiany są sobie równe gdy ich współczynniki są sobie równe (<xr id="r1">równanie (%i)</xr> ma być spełnione dla dowolnej wartości <math>x\, </math>), otrzymujemy więc następujący układ równań

<math> \left\{ \begin{matrix} A+C=0 \\ B+D=1 \\ 2A+C =1 \\ 2B+D=2 \end{matrix} \right. \, , </math>

którego rozwiązaniem jest

<math> \left\{ \begin{matrix} A=1 \\ B=1 \\ C =- 1 \\ D=0 \end{matrix} \right. \, . </math>

Ostatecznie otrzymujemy

<math> \frac{x^2+x+2}{x^4+3x^2+2}= \frac{x+1}{x^2+1}+\frac{-x}{x^2+2} \, .</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----

<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Rozłóż na ułamki proste następujące wyrażenie <math> \displaystyle \frac{1}{x(x+1)(x+2)(x+3)} \, . </math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Rozkładu szukaj w postaci
<math> \displaystyle \frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x+2}+ \frac{d}{x+3}\, . </math>}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Mnożąc równość

<math> \frac{1}{x(x+1)(x+2)(x+3)}= \frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x+2}+ \frac{d}{x+3}</math>

przez <math> x(x+1)(x+2)(x+3)</math> otrzymujemy (lub innymi słowy sprowadzają prawą stronę do wspólnego mianownika i porównując liczniki lewej i prawej strony równości)

<math>\displaystyle 1= a (x+1)(x+2)(x+3)+b x(x+2)(x+3)+c x(x+1)(x+3)+d x(x+1)(x+2) </math>

Wstawiając do powyższej równości kolejno <math>x=0</math>, <math>x=-1</math>, <math>x=-2</math>, <math>x=-3</math> otrzymujemy odpowiednio
<math>a=\frac{1}{6}\,</math>, <math> b=-\frac{1}{2}\, </math>, <math> c=\frac{1}{2} \,</math>, <math>d=-\frac{1}{6}\, </math> i ostatecznie
<math>\frac{1}{x(x+1)(x+2)(x+3)}= \frac{1}{6}\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\frac{1}{(x+1)}+\frac{1}{2}\frac{1}{(x+2)}- \frac{1}{6} \frac{1}{(x+3)}</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Używając liczb zespolonych zastosuj zaprezentowaną tu metodą do Zadania 3}}
----

<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Rozłóż na ułamki proste następujące wyrażenie <math> \displaystyle \frac{x-1}{x^2(x+1)} \, . </math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Rozkładu szukaj w postaci
<math> \displaystyle \frac{A}{x^2}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x+1}\, . </math>}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Mnożąc równość

<math> \frac{x-1}{x^2(x+1)}= \frac{A}{x^2}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x+1}\,</math>

przez <math>x^2(x+1) </math> otrzymujemy

<equation id="r2">
<math>\displaystyle x-1= A(x+1) + Bx(x+1)+C x^2 </math></equation>

Wstawiając do powyższej równości kolejno <math>x=0</math>, <math>x=-1</math> otrzymujemy odpowiednio
<math>A=-1\,</math>, <math> C=-2\, </math>, z kolei wstawiając otrzymane wartości <math>A\,</math> i <math> C\, </math> do
<xr id="r2">równości (%i)</xr> otrzymujemy <math>2 x=B(x^2+x)-2 x^2\,</math> czyli <math>B=2\,</math>. Ostatecznie mamy

<math>\frac{x-1}{x^2(x+1)}= -\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}-\frac{2}{x+1}</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Można pokazać trick z obustronnym różniczkowaniem <xr id="r2">równości (%i)</xr>.}}
----

==Całkowanie funkcji wymiernych==

<big>'''''Uwagi wstępne'''''</big>
Każdą funkcję wymierną można zapisać jako sumę pewnego wielomianu i pewnej liczby ułamków prostych. Dzięki liniowości całki
całkowanie dowolnej funkcji wymiernej można sprowadzić do całkowania wielomianów i ułamków prostych.

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Scałkuj ułamki proste pierwszego rodzaju
<math>
\int \displaystyle \frac{A}{(x-B)^n} \, dx
</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Zrób zadanie 1 z ustępu ''całkowanie przez podstawienie''.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Podstawienie <math> \displaystyle y=x-B </math>
sprowadza nasz problem do całkowania <math> \int \displaystyle \frac{1}{y^n} \, dy </math>.
Odpowiedź :

<math>
\int \displaystyle \frac{A}{(x-B)} \, dx = A \log|x-B|+c
</math>,

<math>
\int \displaystyle \frac{A}{(x-B)^n} \, dx = \frac{1}{1-n} \frac{A}{(x-B)^{n-1}} +c \hbox{ dla } n \ne 1
</math>.

}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Przypomnieć uwagę z zadania 1 z ustępu ''Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości''.}}
----

<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Znajdź związek rekurencyjny między całkami
<math>
I_n:=\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n}\, dx \,\,\, a>0
</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Wykonaj całkowanie przez części kładąc <math> u(x)=\frac{1}{(x^2+a^2)^n} </math> i <math> v'(x)=1</math>.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Całkując przez części otrzymujemy

<math>\displaystyle \int\frac{1}{(x^2+a^2)^n} \, dx =\left| \begin{matrix} u(x)=\frac{1}{(x^2+a^2)^n} & u'(x)=-n\frac{2x}{(x^2+a^2)^{n+1}} \\
v'(x)=1 & v(x)= x \end{matrix}\right|=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+n \int \frac{2x^2+2a^2- 2a^2}{(x^2+a^2)^{n+1}} \, dx =
</math>

<math>
=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}-2 n a^2 \int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n+1}} \, dx +2n \int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n}} \, dx
</math>,

Co daje

<math>I_n=\frac{x}{(x^2+a^2)^n} -2 n a^2 I_{n+1}+2 n I_n</math>,

i ostatecznie

<math>I_{n+1}=\frac{1}{2 n a^2} \left(\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+(2 n-1) I_n \right) </math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Wypisać całki dla <math>n=1,2,3</math>. }}
----

<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Oblicz całkę nieoznaczoną
<math>
\int \frac{x^3+2x^2}{x^2-1} \, dx
</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Zacznij od podzielenia wielomianów i rozkładu na ułamki proste.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Funkcję podcałkową można zapisać jako
<math>\displaystyle x+2 + \frac{\frac{3}{2}}{x-1}- \frac{\frac{1}{2}}{x+1}</math> a stąd

<math>
\int \frac{x^3+2x^2}{x^2-1} \, dx =\int x+2 + \frac{3}{2}\frac{1}{x-1}- \frac{1}{2}\frac{1}{x+1} \, dx=
\frac{1}{2} x^2+2 x + \frac{3}{2} \log|x-1|- \frac{1}{2}\log|x+1|+c
</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----

<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Oblicz całkę nieoznaczoną
<math>
\int \frac{1}{x^4+1}\, dx
</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Jeśli nie straszne Ci liczby zespolone to pewnie potrafisz obliczyć pierwiastki czwartego stopnia z -1, dzięki temu

<math>
x^4+1=(x-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)(x-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)
(x+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)(x+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)=
(x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)
</math>.

Ale czy nie można prościej? Tym razem można <math>x^4+1=x^4+1+2x^2-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2 </math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Po pracowitym rozłożeniu funkcji podcałkowej na ułamki proste (porównaj zadanie 3 w części ''rozkład na ułamki proste'')

<math>
\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1} -\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}x-\frac{1}{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}</math>

przystępujemy do całkowania

<math>
\int \frac{1}{x^4+1}\, dx =\int \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1} \, dx
-\int \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}x-\frac{1}{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1} \, dx=
\int \frac{\frac{\sqrt{2}}{8}(2x+\sqrt{2})-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1} \, dx
-\int \frac{\frac{\sqrt{2}}{8}(2x-\sqrt{2})+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1} \, dx=
</math>

<math>
= \frac{\sqrt{2}}{8}\int \frac{2x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1}\, dx
-\frac{\sqrt{2}}{8}\int \frac{2x-\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}\, dx
+\frac{1}{4}\int\frac{1}{x^2+\sqrt{2}x+1} \, dx
+\frac{1}{4}\int\frac{1}{x^2-\sqrt{2}x+1} \, dx =
</math>

<math>
=\frac{\sqrt{2}}{8}\log \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}
+\frac{\sqrt{2}}{4}\left[ \arctan(\sqrt{2}x+1) + \arctan(\sqrt{2}x-1)\right]+c
</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----
<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Oblicz całkę nieoznaczoną
<math>
\int \frac{x^2(x^2-x+2)}{(x^2+1)^2(x+1)} \, dx
</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Wynik rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste to
<math>\frac{x}{(x^2+1)^2}-\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{x+1}</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
\int \frac{x^2(x^2-x+2)}{(x^2+1)^2(x+1)} \, dx =\int \frac{1}{2} \frac{2x}{(x^2+1)^2}-\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{x+1} \, dx=
-\frac{1}{2} \frac{1}{(x^2+1)} -\arctan x +\log|x+1| +c
</math>.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----

<big>'''''Zadanie 6'''''</big>

Oblicz całkę nieoznaczoną
<math>
\int \frac{1}{(x^2+x+1)^2} \, dx
</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Sprowadź trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej. Użyj wyniku zadania 2.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Zgodnie ze wskazówką
<math>
\int \frac{1}{(x^2+x+1)^2} \, dx =\int \frac{1}{\left[(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\right]^2} \, dx=
\left| \begin{matrix} w=(x+\frac{1}{2}) \\ dw=dx \end{matrix}\right|= \int \frac{1}{\left(w^2+\frac{3}{4}\right)^2} \, dw=
</math>
Używając wyniku zadania 2 mamy dalej
<math>
=\frac{2}{3}\left[\frac{w}{(w^2+\frac{3}{4})}+\int \frac{1}{\left(w^2+\frac{3}{4}\right)} \, dw \right]=
\frac{2}{3}
\left\{
\frac{x+\frac{1}{2}}{\left[(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\right]}
+\sqrt{\frac{4}{3}} \arctan \left[\sqrt{\frac{4}{3}}(x+\frac{1}{2})\right]
\right\} +c
</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----

==Całki sprowadzalne do całkowania funkcji wymiernych==

W tym rozdziale
<math>
Q(a,b)
</math>
oznacza funkcję wymierną dwóch argumentów.

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Oblicz całkę nieoznaczoną
<math>
\int \frac{1+\cos x}{2+\sin x} \, dx
</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Stosujemy uniwersalne podstawienie <math>t =\tan \frac{x}{2}</math>, wtedy
<math>\sin x = \frac{2 t}{1+t^2}</math>, <math>\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}</math> oraz
<math>d x = \frac{2 dt}{1+t^2}</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Stosując podstawienie <math>t =\tan \frac{x}{2}</math> otrzymujemy
<math>
\int \frac{2}{(1+t+t^2)(1+t^2)} \, dt =
\int \frac{2+2t}{(1+t+t^2)} \, dt-\int \frac{2t}{(1+t^2)} \, dt =
\int \frac{1+2t}{(1+t+t^2)} \, dt+\int \frac{1}{(1+t+t^2)} \, dt -\int \frac{2t}{(1+t^2)} \, dt=
</math>
<math>
=\log (1+t+t^2)+\sqrt{\frac{4}{3}} \arctan \left[\sqrt{\frac{4}{3}}(t+\frac{1}{2})\right]-\log (1+t^2)+c
</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = W szczególnych przypadkach gdy

1) <math>Q(\sin x, -\cos x)=-Q(\sin x,\cos x)</math>,

2) <math>Q(-\sin x, \cos x)=-Q(\sin x,\cos x)</math>,

3) <math>Q(-\sin x, -\cos x)=-Q(\sin x,\cos x)</math>,

wygodniejsze są następujące
podstawienia, odpowiednio

1) <math>t=\sin x</math>,

2) <math>t=\cos x</math>,

3) <math>t=\tan x</math>.
}}
----

<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Oblicz całkę nieoznaczoną
<math>
\int \frac{1}{\cos^3 x} \, dx
</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Patrz uwagi do porzedniego zadania.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Podstawiając
<math> t =\sin x</math>
otrzymujemy

<math>
\int \frac{1}{(1-t^2)^2} \, dt =\frac{1}{4} \int \frac{1}{(1-t)^2}+\frac{1}{1-t}+\frac{1}{(1+t)^2}+\frac{1}{1+t} \, dt
= \frac{1}{4}\left(\frac{1}{1-t}-\log|t-1| - \frac{1}{1+t}+\log|t+1| \right)+c.
</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----

===Uwagi końcowe===

Następujące całki dają się sprowadzić do całkowania funkcji wymiernych

<math>
\int Q(e^x,1) \, dx
</math>
podstawienie <math>y=e^x</math>

<math>
\int Q(x,\sqrt{ax^2+bx+c}) \, dx
</math>
dla przypadku <math>a>0</math> i <math>\Delta>0</math> podstawienie
<math>y=\pm\hbox{ar cosh}\left[\frac{2a}{\sqrt{\Delta}} \left(x+\frac{b}{2a}\right)\right]</math>
a dla przypadku <math>a>0</math> i <math>\Delta<0</math>
podstawienie
<math>y=\hbox{ar sinh}\left[\frac{2a}{\sqrt{-\Delta}}\left(x+\frac{b}{2a}\right)\right]</math>
sprowadzają tego rodzaju całki do przypadku
<math>
\int Q(e^x,1) \, dx
</math>.
Natomiast przypadek <math>a<0</math> i <math>\Delta>0</math> sprowadzamy do przypadku całkowania
funkcji <math>Q(\sin x,\cos x)</math> na przykład przez podstawienie
<math>y=\hbox{arc sin}\left[\frac{2a}{\sqrt{\Delta}}\left(x+\frac{b}{2a}\right)\right]</math>

<math>
\int Q(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}) \, dx
</math>
podstawienie <math>y=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}</math>.

----

← poprzednia wersja		Wersja z 12:46, 22 maj 2015
Linia 1:		Linia 1:
		+
		+	__NOTOC__
		+
	==Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości==		==Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości==

Matematyka 1NI/Calka nieoznaczona - Historia wersji

Anula o 12:46, 22 maj 2015