Matematyka 1NI/Ciągłość jednostajna - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "==Ciągłość jednostajna== '''''Zadanie 1''''' Zbadać jednostajną ciągłość funkcji $f(x)=\sin x\,$ na zbiorze $X=\mathbb{R}\,$
2015-05-22T12:30:37Z

Utworzono nową stronę "==Ciągłość jednostajna== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Zbadać jednostajną ciągłość funkcji <math>f(x)=\sin x\, </math> na zbiorze <math>X=\mathbb{R}\, </mat..."

Nowa strona
==Ciągłość jednostajna==

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Zbadać jednostajną ciągłość funkcji <math>f(x)=\sin x\, </math> na zbiorze <math>X=\mathbb{R}\, </math>.
<br>
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy oszacować wyrażenie <math>|f(x)-f(x')|\, </math> dla <math>x,x'\in X\, </math>.
<br>}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Dowodzenie ciągłości jednostajnej funkcji przebiega podobnie jak dowodzenie zwykłej (punktowej) ciągłości metodą Cauchy'ego, z tą różnicą, że teraz wybrane przez nas <math>\delta\, </math> musi być uniwersalne dla wszystkich <math>x\, </math> i <math>x'\, </math>. Obliczamy więc
<equation id="eq:ciafj1">
<math>
|f(x)-f(x')|=|\sin x-\sin x'|= 2\left|\sin\frac{x-x'}{2}\cos\frac{x+x'}{2}\right|\; ,
\, </math></equation>
gdzie wykorzystaliśmy wzór:
<equation id="eq:ciafj1a">
<math>
\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\; .
\, </math></equation>
Ponieważ zachodzi: <math>|\sin t|\leq |t|\, </math>, a cosinus ma wartości w przedziale <math>[-1,1]\, </math>, więc <xr id="eq:ciafj1">(%i)</xr> można oszacować z góry przez:
<equation id="eq:ciafj1b">
<math>
|f(x)-f(x')|\leq 2\left|\frac{x-x'}{2}\right|=|x-x'|\; ,
\, </math></equation>
Biorąc <math>\delta=\epsilon\, </math> (zauważmy, że wybrana <math>\delta\, </math> jest wspólna dla wszystkich <math>x,x'\, </math> i zależy wyłącznie od <math>\epsilon\, </math>) i żądając aby <math>|x-x'|<\delta\, </math>, otrzymujemy wynik:
<equation id="ed:ciafj1c">
<math>
|f(x)-f(x')|<\epsilon\; ,
\, </math></equation>
który oznacza, że funkcja jest ciągła jednostajnie.
<br>}}
----
<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Zbadać jednostajną ciągłość funkcji <math>f(x)=x^3\, </math> na zbiorze <math>X_1=\mathbb{R}\, </math> oraz na zbiorze <math>X_2=[a,b]\, </math>, gdzie <math>0<a<b\, </math>.
<br>
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy oszacować wyrażenie <math>|f(x)-f(x')|\, </math> dla <math>x,x'\in X\, </math>.
<br>}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<ol style="disc">
<li> ''Badamy ciągłość jednostajną na zbiorze'' <math>X_1\, </math>.<br>
Podobnie jak w poprzednim przykładzie rozpoczynamy od oszacowania wyrażenia <math>|f(x)-f(x')|\, </math>:
<equation id="eq:ciafj2">
<math>
|f(x)-f(x')|=|x^3-x'^3|= |x-x'|\, |x^2+x\,x'+x'^2|\; .
\, </math></equation>
Załóżmy, że wybraliśmy <math>\epsilon>0\, </math> i dobraliśmy jakiekolwiek małe <math>\delta\, </math>. Wykażemy, że nie może być ono uniwersalne, czyli że zawsze potrafimy wskazać takie <math>x\, </math> i <math>x'\, </math>, że zachodzi <math>|x-x'|<\delta\, </math>, a <math>|f(x)-f(x')|<\epsilon\, </math> nie. Niewątpliwie biorąc <math>\displaystyle x'=x+\frac{\delta}{2}\, </math>, spełnimy <math>|x-x'|<\delta\, </math>. Oszacujmy wyrażenie <xr id="eq:ciafj2">(%i)</xr> dla tak wybranych <math>x\, </math> i <math>x'\, </math>:
<equation id="eq:ciafj2a">
<math>
\left|f(x)-f(x+\frac{\delta}{2})\right|=\frac{\delta}{2}\, \left|3x^2+\frac{3}{2}\,x\delta+\frac{1}{4}\,\delta^2\right|\; .
\, </math></equation>
Wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest trójmianem kwadratowym w <math>x\, </math> (pamiętamy, że <math>\delta\, </math> jest ustalone), więc jasne jest, że jest nieograniczone z góry. Wybierając bardzo duże <math>x\, </math> naruszymy nierówność <math>|f(x)-f(x')|<\epsilon\, </math>, a zatem funkcja nie jest jednostajnie ciągła na <math>X_1\, </math>.</li>
<li> ''Badamy ciągłość jednostajną na zbiorze'' <math>X_2\, </math>.<br>
Ponieważ <math>0<x,x'\leq b\, </math>, więc
<equation id="eq:ciafj2b">
<math>
\left|x^2+x\,x'+x'^2\right|\leq 3b^2
\, </math></equation>
i, wybierając <math>\displaystyle\delta =\frac{\epsilon}{3b^2}\, </math>, na mocy <xr id="eq:ciafj2">(%i)</xr> mamy <math>|f(x)-f(x')|<\epsilon\, </math>. Na zbiorze <math>X_2=[a,b]\, </math> funkcja jest zatem ciągła jednostajnie.</li>
</ol>
<br>}}
----
<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Zbadać jednostajną ciągłość funkcji <math>f(x)=x+\cos x\, </math> na zbiorze <math>X=\mathbb{R}\, </math>.
<br>
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy oszacować wyrażenie <math>|f(x)-f(x')|\, </math> dla <math>x,x'\in X\, </math>.
<br>}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Wyrażenie <math>|f(x)-f(x')|\, </math> możemy przekształcić, a następnie oszacować w następujący sposób:
<equation id="eq:ciafj3">
<math>
\begin{array}{ccl}
|f(x)-f(x')|&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle |x+\cos x-x'-\cos x'|= \left|x-x' -2\sin\frac{x-x'}{2}\sin\frac{x+x'}{2}\right|\\
&\!\!\! \leq&\!\!\! \displaystyle |x-x'|+2\left|\sin\frac{x-x'}{2}\right|\, \left|\sin\frac{x+x'}{2}\right|\leq |x-x'|+2\left|\frac{x-x'}{2}\right|=2|x-x'|\; .
\end{array}\,</math></equation>
Ponieważ żądamy, aby <math>|x-x'|<\delta\, </math>, więc możemy zapewnić spełnienie <math>|f(x)-f(x')|<\epsilon\, </math> wybierając <math>\displaystyle\delta =\frac{\epsilon}{2}\, </math>, co oznacza, że funkcja jest ciągła jednostajnie.
<br>}}
----
<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Zbadać jednostajną ciągłość funkcji <math>\displaystyle f(x)=\mathrm{tg}\frac{1}{x}\, </math>, na zbiorze <math>\displaystyle X=\left]\frac{2}{\pi},\infty\right[\, </math>.
<br>
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy oszacować wyrażenie <math>|f(x)-f(x')|\, </math> dla <math>x,x'\in X\, </math>.
<br>}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Aby oszacować wyrażenie
<equation id="eq:ciafj4">
<math>
|f(x)-f(x')|=\left|\mathrm{tg}\frac{1}{x}-\mathrm{tg}\frac{1}{x'}\right|
\, </math></equation>
dla <math>x,x'\in X\, </math>, wykorzystamy wzór:
<equation id="eq:ciafj4a">
<math>
\mathrm{tg}\,\alpha - \mathrm{tg}\,\beta=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}\; .
\, </math></equation>
Weźmy przykładowo:
<equation id="eq:ciafj4b">
<math>
x=x_n:=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{n}{n-2}\;,\;\;\;\; x'=x'_n:=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{n}{n-1}\; ,
\, </math></equation>
dla <math>n=3,4,\ldots \, </math>. Zachodzi naturalnie: <math>x,x'\in X\,</math>. Dobierając odpowiednio duże <math>n\,</math> możemy sprawić, że spełniona będzie nierówność <math>|x-x'|<\delta\, </math>, niezależnie od tego jak małe byłoby <math>\delta\, </math>. Mamy bowiem:
<equation id="eq:ciafj4c">
<math>
|x-x'|=|x_n-x'_n|=\left|\frac{2}{\pi}\cdot\frac{n}{(n-1)(n-2)}\right|\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0\; .
\, </math></equation>
Jednakże dla tych wartości <math>x\, </math> i <math>x'\, </math> możemy napisać, przy wykorzystaniu <xr id="eq:ciafj4a">(%i)</xr>:
<equation id="eq:ciafj4d">
<math>
\begin{array}{ccl}
|f(x)-f(x')|&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \left|\frac{\sin\left(\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x'_n}\right)}{\cos\frac{1}{x_n}\cos\frac{1}{x'_n}}\right|=\frac{\left|\sin\left(-\frac{\pi}{2n}\right)\right|}{\left|\cos\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{2}{n}\right)\right|\, \left|\cos\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{1}{n}\right)\right|}\\
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}{\sin\frac{\pi}{n}\sin\frac{\pi}{2n}}=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{n}}\geq 1\; .
\end{array}\, </math></equation>
Nie uda się zatem spełnić warunku <math>|f(x)-f(x')|<\epsilon\, </math> dla dowolnie małego <math>\epsilon\, </math>, co oznacza, że funkcja nie jest ciągła jednostajnie.
<br>}}
----
<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Zbadać jednostajną ciągłość funkcji <math>f(x)=\log x\, </math>, na zbiorze <math>\displaystyle X=\left]0,1\right[\, </math>.
<br>
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy oszacować wyrażenie <math>|f(x)-f(x')|\, </math> dla <math>x,x'\in X\, </math>.
<br>}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Wybierzmy <math>x\, </math> i <math>x'\, </math> w postaci:
<equation id="eq:ciafj5">
<math>
x=x_n:=\frac{1}{e^n}\;,\;\;\;\; x'=x'_n:=\frac{1}{e^{n+1}}; ,
\, </math></equation>
dla <math>n\in\mathbb{N} \, </math>. Zachodzi naturalnie: <math>0<x,x'<1\, </math>. Dobierając odpowiednio duże <math>n\, </math> możemy zagwarantować spełnienie nierówności <math>|x-x'|<\delta\, </math>, niezależnie od tego jak małe <math>\delta\, </math> wybralibyśmy. Mamy bowiem:
<equation id="eq:ciafj5a">
<math>
|x-x'|=|x_n-x'_n|=\left|\frac{1}{e^n}-\frac{1}{e^{n+1}}\right|=\frac{1}{e^n}\cdot\frac{e-1}{e}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0\; .
\, </math></equation>
Jednakże dla tych wartości <math>x\, </math> i <math>x'\, </math>, mamy:
<equation id="eq:ciafj5b">
<math>
|f(x)-f(x')|= |\log x_n-\log x'_n|=\left|\log\frac{x_n}{x'_n}\right|=\log e=1\; .
\, </math></equation>
Nie jesteśmy w stanie zatem spełnić warunku <math>|f(x)-f(x')|<\epsilon\, </math> dla dowolnie małego <math>\epsilon\, </math>, co oznacza, że funkcja nie jest ciągła jednostajnie.
<br>}}
----
<big>'''''Zadanie 6'''''</big>

Zbadać jednostajną ciągłość funkcji <math>f(x)=\sin x^2\, </math>, na zbiorze <math>\displaystyle X=\mathbb{R}\, </math>.
<br>
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy oszacować wyrażenie <math>|f(x)-f(x')|\, </math> dla <math>x,x'\in X\, </math>.
<br>}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
W tym zadaniu wybierzemy <math>x\, </math> i <math>x'\, </math> w postaci:
<equation id="eq:ciafj6">
<math>
x=x_n:=\sqrt{n\pi}\;,\;\;\;\; x'=x'_n:=\sqrt{n\pi+\frac{\pi}{2}}\; ,
\, </math></equation>
dla <math>n\in\mathbb{N} \, </math>. Niezależnie od tego jak małe <math>\delta\, </math> wybierzemy, nierówność <math>|x-x'|<\delta\, </math> będzie spełniona dla dużych wartości <math>n\, </math>. Mamy bowiem:
<equation id="eq:ciafj6a">
<math>
\begin{array}{ccl}
|x-x'|&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle |x_n-x'_n|=\left|\sqrt{n\pi}-\sqrt{n\pi+\frac{\pi}{2}}\right|=\frac{\left|n\pi-n\pi-\frac{\pi}{2}\right|}{\sqrt{n\pi}+\sqrt{n\pi+\frac{\pi}{2}}}\\
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{n\pi}+\sqrt{n\pi+\frac{\pi}{2}}}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0\; .
\end{array}\, </math></equation>
Jednocześnie dla tych wartości <math>x\, </math> i <math>x'\, </math>, mamy:
<equation id="eq:ciafj6b">
<math>
|f(x)-f(x')|= |\sin x_n^2-\sin {x'}^2_n|=\left|\sin n\pi-\sin\left(n\pi+\frac{\pi}{2}\right)\right|=1\; .
\, </math></equation>
Nie uda się więc spełnić warunku <math>|f(x)-f(x')|<\epsilon\, </math> dla dowolnie małego <math>\epsilon\, </math>, co oznacza, że funkcja nie jest ciągła jednostajnie.
<br>}}
----
<big>'''''Zadanie 7'''''</big>

Zbadać jednostajną ciągłość funkcji <math>f(x)=e^x\, </math>, na zbiorze <math>\displaystyle X=\mathbb{R}\, </math>.
<br>
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy oszacować wyrażenie <math>|f(x)-f(x')|\, </math> dla <math>x,x'\in X\, </math>.
<br>}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Wybierzemy tym razem <math>x\, </math> i <math>x'\, </math> w postaci:
<equation id="eq:ciafj7">
<math>
x=x_n:=\log n\;,\;\;\;\; x'=x'_n:=\log (n+1)\; ,
\, </math></equation>
dla <math>n\in\mathbb{N} \, </math>. Dla dowolnie małego <math>\delta>0\, </math> spełnimy nierówność <math>|x-x'|<\delta\, </math> wybierając odpowiednio duże <math>n\, </math>. Mamy bowiem:
<equation id="eq:ciafj7a">
<math>
\begin{array}{ccl}
|x-x'|&\!\!\! =&\!\!\! |x_n-x'_n|=|\log n-\log(n+1)|=\log\frac{n+1}{n}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0\; .
\end{array}\, </math></equation>
Dla tych wartości <math>x\, </math> i <math>x'\, </math>, mamy jednak:
<equation id="eq:ciafj7b">
<math>
|f(x)-f(x')|= \left|e^{x_n}-e^{x'_n}\right|=\left|e^{\log n}-e^{\log(n+1)}\right|=|n-n-1|=1\; .
\, </math></equation>
Warunek <math>|f(x)-f(x')|<\epsilon\, </math> dla małego <math>\epsilon\, </math> nie może być więc spełniony pomimo, że <math>|x-x'|<\delta\, </math> (przy dowolnym wyborze <math>\delta>0\, </math>). Oznacza to, że funkcja nie jest ciągła jednostajnie.
<br>}}
----