Anula: Utworzono nową stronę "==Ciągi rekurencyjne== '''''Zadanie 1''''' Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: ..."

2015-05-22T12:25:21Z

Utworzono nową stronę "==Ciągi rekurencyjne== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: <equation id="eq:ciar1">..."

Nowa strona

==Ciągi rekurencyjne==

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
<equation id="eq:ciar1">
<math>
a_{n+2}=\frac{10}{3}\,a_{n+1}-a_n\; ,
\, </math></equation>
w dwóch przypadkach:
<ol>
<li type="a"> dla <math>a_1=2\, </math> i <math>\displaystyle a_2=\frac{10}{3}\, </math>,
<li type="a"> oraz dla <math>\displaystyle a_1=\frac{2}{3}\, </math> i <math>\displaystyle a_2=\frac{2}{9}\, </math>.
</ol>
 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy poszukiwać rozwiązania w postaci <math>A\, \lambda^n\, </math>, gdzie <math>A\, </math> i <math>\lambda\, </math> są stałymi.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Do równania rekurencyjnego <xr id="eq:ciar1">(%i)</xr> podstawmy <math>a_n\, </math> w postaci <math>\lambda^n\, </math>, gdzie <math>\lambda\, </math> jest pewną, różną od zera, stałą do wyznaczenia. Otrzymamy w ten sposób równanie:
<equation id="eq:ciar1a">
<math>
\lambda^{n+2}-\frac{10}{3}\,\lambda^{n+1}+\lambda^n=0\; .
\, </math></equation>
Po uproszczeniu przez <math>\lambda^n\, </math>, uzyskamy równanie kwadratowe na <math>\lambda\, </math>:
<equation id="eq:ciar1b">
<math>
\lambda^2-\frac{10}{3}\,\lambda+1=0\; .
\, </math></equation>
Równanie to ma dwa rozwiązania: <math>\displaystyle\lambda_1=\frac{1}{3}\, </math> i <math>\lambda_2=3\, </math>.

Związek rekurencyjny <xr id="eq:ciar1">(%i)</xr> jest liniowy i jednorodny. Oznacza to, że jeśli pewien ciąg <math>a_n\, </math> jest jego rozwiązaniem, to jest nim także <math>A\, a_n\, </math>, gdzie <math>A\, </math> jest stałą. Z kolei jeśli znaleźlibyśmy dwa rozwiązania <math>a'_n\, </math> oraz <math>a''_n\, </math>, to rozwiązaniem będzie także ich suma: <math>a'_n+a''_n\, </math>, a nawet kombinacja <math>A\, a'_n+B\, a''_n\, </math>, z dowolnymi stałymi <math>A\, </math> oraz <math>B\, </math>. Takie dwa rozwiązania otrzymaliśmy już powyżej: <math>\lambda_1^n\, </math> oraz <math>\lambda_2^n\, </math>. Wynika stąd, że ogólne rozwiązanie równania <xr id="eq:ciar1">(%i)</xr> ma postać:
<equation id="eq:ciar1c">
<math>
a_n=A\, \lambda_1^n+B\, \lambda_2^n=A\, \left(\frac{1}{3}\right)^n+B\, 3^n\; .
\, </math></equation>
Aby znaleźć stałe <math>A\, </math> i <math>B\, </math> wykorzystamy warunki początkowe.
<ol>
<li type="a"> Musi zachodzić:
<equation id="eq:ciar1d">
<math>
a_1=\frac{1}{3}\,A+3 B=2\; ,\;\;\;\;\mathrm{oraz}\;\;\;\; a_2=\left(\frac{1}{3}\right)^2A+ 3^2B=\frac{10}{3}\; .
\, </math></equation>
Rozwiązując ten układ równań ze względu na <math>A\, </math> i <math>B\, </math> otrzymujemy: <math>A=3\, </math>, <math>\displaystyle B=\frac{1}{3}\, </math> i wzór na wyraz ogólny ciągu ma w tym przypadku postać:
<equation id="eq:ciar1e">
<math>
a_n=3\,\left(\frac{1}{3}\right)^n+\frac{1}{3}\,3^n=\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}+3^{n-1}\; .
\, </math></equation>
Ze względu na drugi człon, ciąg ten jest rozbieżny przy <math>n\rightarrow\infty\, </math>.</li>
<li type="a"> Teraz muszą być spełnione warunki:
<equation id="eq:ciar1f">
<math>
a_1=\frac{1}{3}\, A+3B=\frac{2}{3}\; ,\;\;\;\;\mathrm{oraz}\;\;\;\; a_2=\left(\frac{1}{3}\right)^2A+3^2B=\frac{2}{9}\; .
\, </math></equation>
Po rozwiązaniu tego układu widzimy, że <math>A=2\, </math>, <math>B=0\, </math>. Wzór na wyraz ogólny ciągu ma teraz postać:
<equation id="eq:ciar1g">
<math>
a_n=2\,\left(\frac{1}{3}\right)^n+0\cdot 3^n=2\,\left(\frac{1}{3}\right)^n\; .
\, </math></equation>
Jasne jest, że w tym przypadku zachodzi:
<equation id="eq:ciar1h">
<math>
\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\; .
\, </math></equation></li>
</ol> 
}}
----
<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
<equation id="eq:ciar2">
<math>
a_{n+2}=4(a_{n+1}-a_n)\; ,
\, </math></equation>
dla <math>a_1=6\, </math> i <math>a_2=16\, </math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy poszukiwać rozwiązania w postaci <math>A\, \lambda^n\, </math>, gdzie <math>A\, </math> oraz <math>\lambda\, </math> są stałymi.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Podobnie jak w poprzednim zadaniu, podstawimy do równania rekurencyjnego <xr id="eq:ciar2">(%i)</xr> <math>a_n\, </math> w postaci <math>\lambda^n\, </math>, gdzie <math>\lambda\, </math> jest pewną niezerową stałą. Otrzymamy w ten sposób równanie:
<equation id="eq:ciar2a">
<math>
\lambda^{n+2}-4\lambda^{n+1}+4\lambda^n=0\; .
\, </math></equation>
Po skróceniu obu stron przez <math>\lambda^n\, </math>, dochodzimy do równania kwadratowego na niewiadomą <math>\lambda\, </math>:
<equation id="eq:ciar2b">
<math>
\lambda^2-4\lambda+4=0\; ,\;\;\;\; \mathrm{czyli}\;\;\;\; (\lambda-2)^2=0\; .
\, </math></equation>
Jedynym (ale za to podwójnym) jego rozwiązaniem jest <math>\lambda=2\, </math>.

Z poprzedniego zadania wiemy, że jeśli związek rekurencyjny jest liniowy i jednorodny (a tak jest w istocie w <xr id="eq:ciar2">(%i)</xr>, to rozwiąznie ogólne jest kombinacją liniową rozwiązań szczególnych (<math>a'_n\, </math>, <math>a''_n\, </math>, <math>a'''_n\, </math>,...): <math>A\, a'_n+B\, a''_n+C\,a'''_n+\ldots\, </math>, z dowolnymi stałymi <math>A\, </math>, <math>B\, </math>, <math>C\, </math>,.... W naszym przypadku mamy dwa niezależne rozwiązania, gdyż rekurencja <xr id="eq:ciar2">(%i)</xr> jest rekurencją "o dwa". Jednym z tych rozwiązań jest, naturalnie, <math>\lambda^n\, </math>, a drugie ma postać <math>n\lambda^n\, </math>, o czym łatwo jest się przekonać wstawiając je do <xr id="eq:ciar2">(%i)</xr>. Widzimy zatem, że ogólne rozwiązanie równania <xr id="eq:ciar2">(%i)</xr> ma postać:
<equation id="eq:ciar2c">
<math>
a_n=A\, \lambda^n+B\, n\lambda^n=(A+B\, n)2^n\; .
\, </math></equation>
Stałe <math>A\, </math> i <math>B\, </math> wyznaczymy z warunków początkowych:
<equation id="eq:ciar2d">
<math>
a_1=2A+2B=6\; ,\;\;\;\;\mathrm{oraz}\;\;\;\; a_2=2^2A +2\cdot2^2B =16\; .
\, </math></equation>
Układ ten spełniony jest przez liczby <math>A=2\, </math> oraz <math>B=1\, </math> i, w konsekwencji:
<equation id="eq:ciar2e">
<math>
a_n=(n+2)\,2^n\; .
\, </math></equation>
Oczywiste jest, że ciąg ten jest rozbieżny. 
}}
----
<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie:
<equation id="eq:ciar3">
<math>
a_{n+1}=\frac{4a_n}{a_n+1}\; ,
\, </math></equation>
gdzie <math>a_1=1\, </math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy wykazać ograniczoność i monotoniczność ciągu.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Ciąg w treści zadania zdefiowany jest nieliniową rekurencją, którą można opisać wzorem:
<equation id="eq:ciar3a">
<math>
a_{n+1}=f(a_n)\; ,\;\;\;\;\mathrm{gdzie}\;\;\;\; f(x)=\frac{4x}{x+1}\; .
\, </math></equation>
W tego typu problemach w ogólności nie potrafimy znaleźć jawnego wzoru na <math>a_n\, </math> i musimy się ograniczyć do zbadania samej granicy. Wygodnie jest rozpocząć rozwiązywanie zadania od wykonania szkicu przebiegu funkcji <math>f\, </math> podobnego do tego z rysunku 1. Przedstawiony jest na nim - przy użyciu czerwonych strzałek - sposób obliczania kolejnych wyrazów ciągu, przy czym punktem startowym jest <math>a_1\, </math>. W treści zadania <math>a_1=1\, </math>, ale rysunek wygląda bardzo podobnie dla wszystkich <math>a_1<3\, </math> i został wykonany dla takiej jego wartości, dla której wygląda najbardziej przejrzyście. Punkt <math>x=3\, </math> jest rozwiązaniem równania <math>x=f(x)\, </math>, a zatem jest punktem stałym odwzorowania <math>f\, </math>.

[[Plik:ciarek1.jpg|250px|thumb|right|Rys 1. Rekurencja opisana wzorem <xr id="eq:ciar3">(%i)</xr> dla <math>a_1<3\, </math>.]]

Rysunek ten sugeruje, że nasz ciąg po pierwsze jest ograniczony z góry przez liczbę <math>3\, </math>, a po drugie - rosnący. Te dwie jego własności poniżej udowodnimy.

<ol>
<li type="disc"> '''Ograniczoność.''' 
Ograniczoność ciągu wykażemy, korzystając z metody indukcji matematycznej.
<ol>
<li> Dla <math>n=1\, </math> mamy <math>a_1=1<3\, </math>.</li>
<li> Teraz dowodzimy następującej implikacji:
<equation id="eq:ciar3b">
<math>
a_n<3\;\;\;\Longrightarrow \;\;\; a_{n+1}<3\; .
\, </math></equation>
Znajdźmy znak wyrażenia <math>a_{n+1}-3\, </math>:
<equation id="eq:ciar3c">
<math>
a_{n+1}-3=\frac{4a_n}{a_n+1}-3=\frac{a_n-3}{a_n+1}<0\; ,
\, </math></equation>
przy czym ostatnia nierównosć wynika z założenia indukcyjnego.

Ciąg jest więc w istocie ograniczony:
<equation id="eq:ciar3d">
<math>
\forall_{n\in\mathbb{N}}\;\; a_n<3\; .
\, </math></equation></li>
</ol> 

<li type="disc"> '''Monotoniczność.''' 
Obliczymy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu:
<equation id="eq:ciar3e">
<math>
a_{n+1}-a_n=\frac{4a_n}{a_n+1}-a_n=\frac{a_n(3-a_n)}{a_n+1}>0\; .
\, </math></equation>
Końcowa nierówność wynika z wykazanej wyżej własności <xr id="eq:ciar3d">(%i)</xr> i oznacza, że nasz ciąg jest rosnący.
</ol>
Jak wiadomo w zbiorze liczb rzeczywistych ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę. Oznaczmy ją literą <math>g\, </math>. Skoro granica ta istnieje to możemy po obu stronach równania <xr id="eq:ciar3">(%i)</xr> przejść z <math>n\, </math> do nieskończoności, otrzymując równanie:
<equation id="eq:ciar3f">
<math>
g=\frac{4g}{g+1}\; ,
\, </math></equation>
które ma dwa rozwiązania: <math>g=0\, </math> lub <math>g=3\, </math>. Tylko jedna z tych dwóch liczb może być granicą ciągu <math>a_n\, </math>. Jednakże rosnący ciąg liczb dodatnich nie może być zbieżny do zera. Stąd:
<equation id="eq:ciar3g">
<math>
\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=3\; .
\, </math></equation> 
}}
----
<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie:
<equation id="eq:ciar4">
<math>
a_{n+1}=5\,\frac{3a_n+1}{2a_n+6}\; ,
</math></equation>
gdzie <math>a_1=6\, </math>.
 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy wykazać ograniczoność i monotoniczność ciągu.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Ponownie mamy do czynienia z nieliniową rekurencją opisaną wzorem:
<equation id="eq:ciar4a">
<math>
a_{n+1}=f(a_n)\; ,\;\;\;\;\mathrm{gdzie}\;\;\;\; f(x)=5\,\frac{3x+1}{2x+6}\; .
\, </math></equation>
Przebieg funkcji <math>f\, </math> przedstawiony jest na rysunku 2. Punktem startowym jest w tym zadaniu <math>a_1=6\, </math>, ale rysunek - podobnie jak w poprzednim zadaniu - został wykonany dla innej wartości, dla której wygląda bardziej przejrzyście, a zasadnicze własności ciągu (którymi zajmiemy się poniżej) przy tym się nie zmieniają. Punkt <math>x=5\, </math> jest rozwiązaniem równania <math>x=f(x)\, </math>, a zatem jest punktem stałym odwzorowania <math>f\, </math>.

[[Plik:ciarek2.jpg|250px|thumb|right|Rys 2. Rekurencja opisana wzorem <xr id="eq:ciar4">(%i)</xr> dla <math>a_1>5\, </math>).]]

Z rysunku możemy się zorientować, że ciąg <math>a_n\, </math> jest ograniczony z dołu przez liczbę <math>5\, </math> oraz że jest malejący, co poniżej ściśle wykażemy.
<ol>
<li type="disc"> '''Ograniczoność.''' 
Tak jak poprzednio ograniczoność ciągu udowodnimy metodą indukcji matematycznej.
<ol>
<li> Dla <math>n=1\, </math> mamy <math>a_1=6>5\, </math>.</li>
<li> Teraz dowodzimy implikacji:
<equation id="eq:ciar4b">
<math>
a_n>5\;\;\;\Longrightarrow \;\;\; a_{n+1}>5
\, </math></equation>
Znajdziemy znak wyrażenia <math>a_{n+1}-5\, </math>:
<equation id="eq:ciar4c">
<math>
a_{n+1}-5=5\,\frac{3a_n+1}{2a_n+6}-5=5\,\frac{a_n-5}{2a_n+6}>0\; .
\, </math></equation>
Otrzymana nierówność wynika z założenia indukcyjnego.</li>
</ol>
Ciąg <math>a_n\, </math> jest więc faktycznie ograniczony z dołu:
<equation id="eq:ciar4d">
<math>
\forall_{n\in\mathbb{N}}\;\; a_n>5\; .
\, </math></equation>

<li type="disc"> '''Monotoniczność.''' 
Obliczymy teraz różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu:
<equation id="eq:ciar4e">
<math>
a_{n+1}-a_n=5\,\frac{3a_n+1}{2a_n+6}-a_n=-2\frac{(a_n-5)(a_n+\frac{1}{2})}{2a_n+6}\; .
\, </math></equation>
Wyrażenie to jest ujemne, co jest konsekwencją własności <xr id="eq:ciar4d">(%i)</xr> i oznacza, że ciąg jest malejący. </li>
</ol>
Ciąg monotoniczny i ograniczony ma na pewno granicę, którą oznaczymy literą <math>g\, </math>. Skoro granica ta istnieje, to możemy po obu stronach równania <xr id="eq:ciar4">(%i)</xr> przejść z <math>n</math> do nieskończoności, otrzymując:
<equation id="eq:ciar4f">
<math>
g=5\,\frac{3g+1}{2g+6}\; .
</math></equation>
Równanie to ma dwa rozwiązania: <math>\displaystyle g=-\frac{1}{2}\, </math> lub <math>g=5\, </math> i tylko jedna z tych liczb może być granicą ciągu <math>a_n\, </math>. Ciąg ograniczony z dołu przez liczbę <math>5\, </math> nie może być jednak zbieżny do <math>\displaystyle -\frac{1}{2}\, </math>. Stąd wynika, że:
<equation id="eq:ciar4g">
<math>
\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=5\; .
\, </math></equation> 
}}
----
<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie:
<equation id="eq:ciar5">
<math>
a_{n+1}=\frac{a_n+4}{a_n+1}\; ,
\, </math></equation>
gdzie <math>a_1=1\, </math>.
 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy rozłożyć ciąg na dwa podciągi ograniczone i monotoniczne.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie 1'' | content = Rekurencja tym razem opisana jest wzorem:
<equation id="eq:ciar5a">
<math>
a_{n+1}=f(a_n)\; ,\;\;\;\;\mathrm{gdzie}\;\;\;\; f(x)=\frac{x+4}{x+1}\; .
\, </math></equation>
Przebieg funkcji <math>f\, </math> przedstawiony jest na rysunku 3. Jest ona w interesującym nas przedziale malejąca, a ciąg wydaje się oscylować wokół punktu <math>x=2\, </math>, który jest rozwiązaniem równania <math>x=f(x)\, </math> i jednocześnie kandydatem na granicę ciągu <math>a_n\, </math>. Rysunek ten mówi nam, że musimy zmienić nasz sposób postępowania w stosunku do poprzednich zadań, gdyż w tym przykładzie ''nie mamy do czynienia z ciągiem monotonicznym''. Jednakże można mieć nadzieję, że monotoniczne (i ograniczone) okażą się jego podciągi: ten o indeksach parzystych, czyli <math>a_{2k}\, </math> oraz ten o indeksach nieparzystych, czyli <math>a_{2k-1}\, </math>, gdzie <math>k=1,2,3,\ldots\, </math>.

[[Plik:ciarek3.jpg|250px|thumb|right|Rys 3. Rekurencja opisana wzorem <xr id="eq:ciar5">(%i)</xr> dla <math>a_1<2\, </math>.]]

Musimy więc zacząć od przekształcenia rekurencji <xr id="eq:ciar5">(%i)</xr> w rekurencję "o dwa":
<equation id="eq:ciar5b">
<math>
a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+4}{a_{n+1}+1}=\frac{\frac{a_n+4}{a_n+1}+4}{\frac{a_n+4}{a_n+1}+1}=\frac{5a_n+8}{2a_n+5}\; ,
\, </math></equation>
i rozpatrzenia kolejno podciągów "parzystego" i "nieparzystego".
<ol>
<li> ''Ciąg o indeksach parzystych.'' 
Mamy następującą rekurencję ("o jeden") w zmiennej <math>k\, </math>:
<equation id="eq:ciar5c">
<math>
a_{2(k+1)}=f_p(a_{2k})\; ,\;\;\;\;\mathrm{gdzie}\;\;\;\; f_p(x)=\frac{5x+8}{2x+5}\; .
\, </math></equation>
Z rysunku możemy wnosić, że ciąg ten jest malejący i ograniczony z dołu przez liczbę <math>2\, </math> (<math>x=2\, </math> jest punktem stałym funkcji <math>f\, </math>, ale także <math>f_p\, </math>). Wykażemy poniżej, że tak jest w istocie.

<ol>
<li type="disc"> '''Ograniczoność.''' 
Ograniczoność ciągu udowodnimy --- jak zwykle --- metodą indukcji matematycznej.
<ol>
<li type="a"> Dla <math>k=1\, </math> mamy <math>\displaystyle a_2=\frac{5}{2}>2\, </math>.</li>
<li type="a"> Teraz dowiedziemy prawdziwości implikacji:
<equation id="eq:ciar5d">
<math>
a_{2k}>2\;\;\;\Longrightarrow \;\;\; a_{2(k+1)}>2\; .
\, </math></equation>
Znajdziemy znak wyrażenia <math>a_{2(k+1)}-2\, </math>:
<equation id="eq:ciar5e">
<math>
a_{2(k+1)}-2=\frac{5a_{2k}+8}{2a_{2k}+5}-2=\frac{a_{2k}-2}{2a_{2k}+5}>0\; ,
\, </math></equation>
gdzie ostatnia nierówność wynika z założenia indukcyjnego.</li>
</ol>
Ciąg <math>a_{2k}\, </math> jest więc rzeczywiście ograniczony z dołu:
<equation id="eq:ciar5f">
<math>
\forall_{k\in\mathbb{N}}\;\; a_{2k}>2\; .
\, </math></equation></li> 

<li type="disc"> '''Monotoniczność.''' 
Obliczymy teraz różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu:
<equation id="eq:ciar5g">
<math>
a_{2(k+1)}-a_{2k}=\frac{5a_{2k}+8}{2a_{2k}+5}-a_{2k}=2\,\frac{(2-a_{2k})(2+a_{2k})}{2a_{2k}+5}<0\; ,
\, </math></equation>
co wynika z <xr id="eq:ciar5f">(%i)</xr> i oznacza, że ciąg jest malejący.</li>
</ol>
Ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę, którą oznaczymy literą <math>g_p\, </math>. Skoro granica ta istnieje to możemy po obu stronach równania <xr id="eq:ciar5c">(%i)</xr> przejść z <math>k\, </math> do nieskończoności, otrzymując:
<equation id="eq:ciar5h">
<math>
g_p=\frac{5g_p+8}{2g_p+5}\; .
\, </math></equation>
Równanie to ma dwa rozwiązania: <math>-2\, </math> oraz <math>2\, </math>, ale granicą musi być ta druga liczba, gdyż <math>a_{2k}\,</math> jest ograniczony z dołu przez dwójkę. Mamy zatem:
<equation id="eq:ciar5i">
<math>
g_p=\lim_{k\rightarrow\infty}a_{2k}=2\; .
\, </math></equation> 

<li> ''Ciąg o indeksach nieparzystych''. 
Mamy teraz rekurencję w zmiennej <math>k\, </math>:
<equation id="eq:ciar5j">
<math>
a_{2k+1}=f_n(a_{2k-1})\; ,\;\;\;\;\mathrm{gdzie}\;\;\;\; f_n(x)=\frac{5x+8}{2x+5}\; .
\, </math></equation>
Na podstawie rysunku wydaje się, że ciąg ten powinien być rosnący i ograniczony z góry przez liczbę <math>2\, </math>.

<ol>
<li type="disc"> '''Ograniczoność.''' 
Ograniczoność ciągu wykażemy ponownie metodą indukcji matematycznej.
<ol>
<li type="a"> Dla <math>k=1\, </math> mamy <math>\displaystyle a_1=1<2\, </math>.</li>
<li type="a"> Teraz dowiedziemy, że:
<equation id="eq:ciar5k">
<math>
a_{2k-1}<2\;\;\;\Longrightarrow \;\;\; a_{2k+1}<2\; .
\, </math></equation>
Następnie rozpatrzymy wyrażenie <math>a_{2k+1}-2\, </math>:
<equation id="eq:ciar5l">
<math>
a_{2k+1}-2=\frac{5a_{2k-1}+8}{2a_{2k-1}+5}-2=\frac{a_{2k-1}-2}{2a_{2k-1}+5}<0\; .
\, </math></equation></li>
</ol>
Jak widzimy, ciąg <math>a_{2k-1}\, </math> jest ograniczony z góry:
<equation id="eq:ciar5m">
<math>
\forall_{k\in\mathbb{N}}\;\; a_{2k-1}<2\; .
\, </math></equation> 

<li type="disc"> '''Monotoniczność.''' 
Różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu wyraża się wzorem analogicznym do <xr id="eq:ciar5g">(%i)</xr> :
<equation id="eq:ciar5n">
<math>
a_{2k+1}-a_{2k-1}=\frac{5a_{2k-1}+8}{2a_{2k-1}+5}-a_{2k-1}=2\,\frac{(2-a_{2k-1})(2+a_{2k-1})}{2a_{2k-1}+5}\; ,
\, </math></equation>
i jest dodatnia, co jest konsekwencją <xr id="eq:ciar5m">(%i)</xr>. </li>
</ol>
Mamy do czynienia z ciągiem ograniczonym i monotonicznym, a zatem ma on granicę (<math>g_n\, </math>). Przechodąc z <math>k\, </math> do nieskończoności po obu stronach równania <xr id="eq:ciar5j">(%i)</xr> otrzymujemy:
<equation id="eq:ciar5o">
<math>
g_n=\frac{5g_n+8}{2g_n+5}\; .
\, </math></equation>
Jest to równanie identyczne do <xr id="eq:ciar5h">(%i)</xr> i oczywiście ma takie same rozwiązania. Mamy więc:
<equation id="eq:ciar5p">
<math>
g_n=\lim_{k\rightarrow\infty}a_{2k-1}=2\; .
\, </math></equation>
Ponieważ <math>g_p=g_n=2\, </math>, więc oba podciągi zbieżne są do tej samej granicy. Jest to też granica samego ciągu <math>a_n\, </math>, gdyż do podciągu "parzystego" i "nieparzystego" należą wszystkie wyrazy ciągu (wystarczyłoby nawet, gdyby należały tylko ''prawie'' wszystkie).
</ol> 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie 2'' | content = Udowadniamy najpierw, że <math> \forall n \in \mathbb{N}: \, a_n>1 </math> (prosty dowód indukcyjny).
Jak już wiemy kandydatem na granicę jest 2. Zapiszmy różnicę <math> a_{n+1}-2 </math> następująco

<math> a_{n+1}-2 = \frac{a_n+4}{a_n+1} -2=-\frac{a_n-2}{a_n+1} </math>

W liczniku odtworzyła nam się różnica <math> a_{n+1}-2 </math> dla wyrazu wcześniejszego! Mamy dla dowolnego <math> n</math>

<math> |a_{n+1}-2|= \frac{|a_n-2|}{a_n+1}<\frac{1}{2}|a_n-2|</math> skąd otrzymujemy

<math> |a_{n+1}-2|<\frac{1}{2^n}|a_1-2|</math>.
Wyrażenie po prawej stronie nierówności zbiega do zera wobec tego z twierdzenia o trzech ciągach mamy
<math>
\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=2. </math>
}}
----
<big>'''''Zadanie 6'''''</big>

Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie:
<equation id="eq:ciar6">
<math>
a_{n+1}=\frac{3}{4a_n+1}\; ,
\, </math></equation>
gdzie <math>a_1>1\, </math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy rozłożyć ciąg na dwa podciągi ograniczone i monotoniczne.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Rekurencja dana jest wzorem:
<equation id="eq:ciar6a">
<math>
a_{n+1}=f(a_n)\; ,\;\;\;\;\mathrm{gdzie}\;\;\;\; f(x)=\frac{3}{4x+1}\; .
\, </math></equation>
Wykres funkcji <math>f\, </math> przedstawiony jest na rysunku 4 i, jak widać, dla dodatnich wartości <math>x\, </math> jest ona malejąca. W konsekwencji ciąg <math>a_n\, </math> oscyluje wokół punktu <math>\displaystyle x=\frac{3}{4}\, </math>, który jest rozwiązaniem równania <math>x=f(x)\, </math> i może ewentualnie stanowić jego granicę. Postąpimy więc podobnie jak poprzednio - rozłożymy ciąg na dwa podciągi: <math>a_{2k}\, </math> oraz <math>a_{2k-1}\, </math>, gdzie <math>k=1,2,3,\ldots\, </math>.

[[Plik:ciarek4.jpg|250px|thumb|right|Rys. 4. Rekurencja opisana wzorem <xr id="eq:ciar6">(%i)</xr> dla <math>a_1>1\, </math>.]]

Przekształcimy teraz rekurencję <xr id="eq:ciar6">(%i)</xr> na rekurencję "o dwa":
<equation id="eq:ciar6b">
<math>
a_{n+2}=\frac{3}{4a_{n+1}+1}=\frac{3}{4\,\frac{3}{4a_n+1}+1}=\frac{12a_n+3}{4a_n+13}\; ,
\, </math></equation>
i badać będziemy osobno podciągi "parzysty" i "nieparzysty".
<ol>
<li> ''Ciąg o indeksach parzystych.'' 
Mamy następującą rekurencję ("o jeden") w zmiennej <math>k\, </math>:
<equation id="eq:ciar6c">
<math>
a_{2(k+1)}=f_p(a_{2k})\; ,\;\;\;\;\mathrm{gdzie}\;\;\;\; f_p(x)=\frac{12x+3}{4x+13}\; .
\, </math></equation>
Z rysunku wynika, że ciąg ten powinien być rosnący i ograniczony z góry przez liczbę <math>\displaystyle\frac{3}{4}\, </math> (punkt stały dla funkcji <math>f\, </math> oraz <math>f_p\, </math>). Wykażemy te własności poniżej.

<ol>
<li type="disc"> '''Ograniczoność.''' 
Znów stosujemy indukcję matematyczną.
<ol>
<li type="a"> Dla <math>k=1\, </math> mamy: <math>\displaystyle a_2=\frac{3}{4a_1+1}<\frac{3}{5}<\frac{3}{4}\, </math>, gdyż <math>a_1>1\, </math>.</li>
<li type="a"> Teraz wykazujemy, że:
<equation id="eq:ciar6d">
<math>
a_{2k}<\frac{3}{4}\;\;\;\Longrightarrow \;\;\; a_{2(k+1)}<\frac{3}{4}\; .
\, </math></equation>
Zbadamy znak wyrażenia <math>\displaystyle a_{2(k+1)}-\frac{3}{4}\, </math>:
<equation id="eq:ciar6e">
<math>
a_{2(k+1)}-\frac{3}{4}=\frac{12a_{2k}+3}{4a_{2k}+13}-\frac{3}{4}=9\,\frac{a_{2k}-\frac{3}{4}}{4a_{2k}+13}<0\; .
\, </math></equation></li>
</ol>
Ciąg <math>a_{2k}\, </math> jest więc ograniczony z góry:
<equation id="eq:ciar6f">
<math>
\forall_{k\in\mathbb{N}}\;\; a_{2k}<\frac{3}{4}\; .
\, </math></equation> 

<li type="disc"> '''Monotoniczność.''' 
Obliczymy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu:
<equation id="eq:ciar6g">
<math>
a_{2(k+1)}-a_{2k}=\frac{12a_{2k}+3}{4a_{2k}+13}-a_{2k}=4\,\frac{(\frac{3}{4}-a_{2k})(a_{2k}+1)}{4a_{2k}+13}>0\; ,
\, </math></equation>
co wynika z <xr id="eq:ciar6f">(%i)</xr>. Oznacza to, że badany podciąg jest rosnący.</li>
</ol>
Podciąg "parzysty" jest monotoniczny i ograniczony, a zatem ma granicę (<math>g_p\, </math>). Liczba ta spełnia równanie:
<equation id="eq:ciar6h">
<math>
g_p=\frac{12g_p+3}{4g_p+13}\; ,
\, </math></equation>
które ma dwa rozwiązania: <math>-1\, </math> oraz <math>\displaystyle \frac{3}{4}\, </math>, przy czym ta druga liczba jest szukaną granicą podciągu <math>a_{2k}\, </math>:
<equation id="eq:ciar6i">
<math>
g_p=\lim_{k\rightarrow\infty}a_{2k}=\frac{3}{4}\; .
\, </math></equation></li> 

<li> ''Ciąg o indeksach nieparzystych.'' 
Mamy teraz następującą rekurencję w zmiennej <math>k\, </math>:
<equation id="eq:ciar6j">
<math>
a_{2k+1}=f_n(a_{2k-1})\; ,\;\;\;\;\mathrm{gdzie}\;\;\;\; f_n(x)=\frac{12x+3}{4x+13}\; .
\, </math></equation>
Na podstawie rysunku podejrzewamy, że podciąg ten jest malejący i ograniczony z dołu przez liczbę <math>\frac{3}{4}\, </math>.

<ol>
<li type="disc"> '''Ograniczoność.'''
<ol>
<li type="a"> Dla <math>k=1\, </math> mamy <math>\displaystyle a_1>1>\frac{3}{4}\, </math>.</li>
<li type="a"> Teraz musimy dowieść, że:
<equation id="eq:ciar6k">
<math>
a_{2k-1}>\frac{3}{4}\;\;\;\Longrightarrow \;\;\; a_{2k+1}>\frac{3}{4}\; .
\, </math></equation>
Rozpatrzymy wyrażenie <math>\displaystyle a_{2k+1}-\frac{3}{4}\, </math>:
<equation id="eq:ciar6l">
<math>
a_{2k+1}-\frac{3}{4}=\frac{12a_{2k-1}+3}{4a_{2k-1}+13}-\frac{3}{4}=9\, \frac{a_{2k-1}-\frac{3}{4}}{4a_{2k-1}+13}>0\; .
\, </math></equation>
</ol>
Podciąg <math>a_{2k-1}\, </math> jest więc ograniczony z dołu:
<equation id="eq:ciar6m">
<math>
\forall_{k\in\mathbb{N}}\;\; a_{2k-1}>\frac{3}{4}\; .
\, </math></equation></li> 

<li type="disc"> '''Monotoniczność.''' 
Różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu wyraża się wzorem podobnym do <xr id="eq:ciar6g">(%i)</xr>:
<equation id="eq:ciar6n">
<math>
a_{2k+1}-a_{2k-1}=\frac{12a_{2k-1}+3}{4a_{2k-1}+13}-a_{2k-1}=4\,\frac{(\frac{3}{4}-a_{2k-1})(a_{2k-1}+1)}{4a_{2k-1}+13}<0\; .
\, </math></equation>
</ol>
Mamy więc do czynienia z podciągiem ograniczonym i monotonicznym, a zatem ma on granicę (<math>g_n\, </math>) spełniającą równanie:
<equation id="eq:ciar6o">
<math>
g_n=\frac{12g_n+3}{4g_n+13}\; .
\, </math></equation>
Jest to równanie identyczne do <xr id="eq:ciar6h">(%i)</xr> i oczywiście ma takie same rozwiązania. Otrzymujemy więc:
<equation id="eq:ciar5p">
<math>
g_n=\lim_{k\rightarrow\infty}a_{2k-1}=\frac{3}{4}\; .
\, </math></equation>
Jak widzimy <math>\displaystyle g_p=g_n=\frac{3}{4}\, </math>, więc oba podciągi mają tę samą granicę. Podobnie jak w poprzednim przykładzie wnosimy stąd, że jest ona też granicą samego ciągu <math>a_n\, </math>.
</ol> 
}}
----
<big>'''''Zadanie 7'''''</big>

Zbadać zbieżność ciągu określonego rekurencyjnie:
<equation id="eq:ciar7">
<math>
a_{n+1}=\frac{1}{4}\,a_n^2+1\; ,
\, </math></equation>
dla przypadków:
<ol>
<li type="a"> <math>0<a_1<2\, </math>.
<li type="a"> <math>a_1>2\, </math>.
</ol>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy zbadać, czy ciąg jest ograniczony i monotoniczny.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Rekurencja w tym przypadku dana jest wzorem:
<equation id="eq:ciar7a">
<math>
a_{n+1}=f(a_n)\; ,\;\;\;\;\mathrm{gdzie}\;\;\;\; f(x)=\frac{1}{4}\, x^2+1\; .
\, </math></equation>
Zbadamy, czy uda się wykazać, że ciąg jest monotoniczny i ograniczony.
<ol>
<li type="a"> <math>0<a_1<2\, </math>. 
Przebieg funkcji <math>f\, </math> przedstawiony jest na rysunku 5a, gdzie zaznaczone zostały także kolejne wyrazy ciągu. Szkic ten podpowiada nam, że ciąg <math>a_n\, </math> jest rosnący i ograniczony z góry przez dwójkę (która jest jedynym punktem stałym odwzorowania <math>f\, </math>), co postaramy się poniżej udwowodnić.

[[Plik:ciarek5a.jpg|250px|thumb|right|Rys 5a. Rekurencja opisana wzorem <xr id="eq:ciar7">(%i)</xr>, gdy <math>0<a_1<2\, </math>.]]

<ol>
<li type="disc"> '''Ograniczoność.''' 
Ograniczoność ciągu wykażemy korzystając, jak zwykle, z indukcji matematycznej.
<ol>
<li> Dla <math>n=1\, </math> mamy <math>0<a_1<2\, </math>.</li>
<li> Teraz dowodzimy następującej implikacji:
<equation id="eq:ciar7b">
<math>
a_n<2\;\;\;\Longrightarrow \;\;\; a_{n+1}<2\; .
\, </math></equation>
Znajdziemy znak wyrażenia <math>a_{n+1}-2\, </math>:
<equation id="eq:ciar7c">
<math>
\begin{array}{ccl}
a_{n+1}-2&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle\frac{1}{4}\,a_n^2+1-2\\
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle\frac{1}{4}(a_n-2)(a_n+2)<0\; ,\end{array}
\, </math></equation>
co wynika z założenia indukcyjnego.</li>
</ol>
Ciąg jest więc rzeczywiście ograniczony:
<equation id="eq:ciar7d">
<math>
\forall_{n\in\mathbb{N}}\;\; a_n<2\; .
\, </math></equation></li> 

<li type="disc"> '''Monotoniczność.''' 
Obliczymy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu:
<equation id="eq:ciar7e">
<math>
a_{n+1}-a_n=\frac{1}{4}\,a_n^2+1-a_n=\frac{1}{4}\,(a_n-2)^2>0\; .
\, </math></equation>
Ciąg jest więc rosnący. Zauważmy, że w przeciwieństwie do poprzednich przykładów, ostatnia nierówność jest prawdziwa niezależnie od tego, czy <math>a_n<2\, </math>, czy <math>a_n>2\, </math>, więc słuszna będzie ona także w podpunkcie b.</li>
</ol>

[[Plik:ciarek5b.jpg|250px|thumb|right|Rys 5b. Rekurencja opisana wzorem <xr id="eq:ciar7">(%i)</xr> dla <math>a_1>2\, </math>.]]

Wynika stąd, że ciąg ma granicę i spełnia ona równanie:
<equation id="eq:ciar7f">
<math>
g=\frac{1}{4}\, g^2+1\; ,
\, </math></equation>
którego jedynym rozwiazaniem jest <math>g=2\, </math>. Liczba ta musi więc być szukaną granicą ciągu:
<equation id="eq:ciar7g">
<math>
\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=2\; .
\, </math></equation></li> 

<li type="a"> <math>a_1>2\, </math>. 
Sytuacja, z jaką mamy teraz do czynienia, przedstawiona jest na rysunku 5b. Kolejne wyrazy ciągu "uciekają" od punktu stałego, a kolejnego punktu stałego odwzorowanie <math>f\, </math> nie ma. To że ciąg jest rzeczywiście rosnący, wykazaliśmy już zresztą w ścisły sposób w punkcie a.

Wiedza ta wystarcza nam do wyciagnięcia wniosku, że ciąg jest rozbieżny. Granicą może być bowiem tylko punkt stały, a innego takiego punktu poza dwójką nie ma. Rosnący ciąg liczb <math>a_1, a_2, a_3, \ldots\, </math>, dla którego <math>a_1>2\, </math> nie może być jednak zbieżny do <math>2\, </math>.</li>
</ol> 
}}
----
[[category:Matematyka I ćwiczenia]]
[[category:Matematyka I]]

← poprzednia wersja		Wersja z 12:25, 22 maj 2015
Linia 608:		Linia 608:
	}}		}}
	----		----
−	~~[[category:Matematyka I ćwiczenia]]~~
−	~~[[category:Matematyka I]]~~

Matematyka 1NI/Ciągi rekurencyjne - Historia wersji

Anula o 12:25, 22 maj 2015

Anula: Utworzono nową stronę "==Ciągi rekurencyjne== '''''Zadanie 1''''' Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: ..."