Anula o 15:14, 26 maj 2015

2015-05-26T15:14:52Z

Anula o 15:12, 26 maj 2015

2015-05-26T15:12:44Z

Anula: Utworzono nową stronę "==Ciągi zwykłe== '''''Zadanie 1''''' Znaleźć granicę ciągu: $a_n=\frac{n-\sqrt[3]{n^3+2n}}{n-\sqrt[3]{n^3+3n}}\; . \,$
2015-05-22T12:24:56Z

Utworzono nową stronę "==Ciągi zwykłe== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Znaleźć granicę ciągu: <equation id="eq:cia1"> <math> a_n=\frac{n-\sqrt[3]{n^3+2n}}{n-\sqrt[3]{n^3+3n}}\; . \, </..."
Podgląd zmian

@@ Linia 99: / Linia 99: @@
 \,</math></equation>
 Na mocy kryterium Cauchy'ego zachodzi: <math>n^2(4/5)^n\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0\,</math>. Mamy bowiem
-<equation>
+<equation id="eq:eq19">
 <math>
 \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n^2\left(\frac{4}{5}\right)^n}=\frac{4}{5}\,\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n^2}=\frac{4}{5}<1\; .
@@ Linia 237: / Linia 237: @@
 \,</math></equation id="eq:eq7">
 oraz (dla dużych <math>n\,</math>) mamy następujące oszacowanie dla <math>\displaystyle \sqrt[n]{(n^5+2^n)}\, </math>:
-<equation>
+<equation id="eq:eq20">
 <math>
 =\sqrt[n]{2^n}<\sqrt[n]{(n^5+2^n)}<\sqrt[n]{2^n+2^n}=\sqrt[n]{2\cdot 2^n}=2\sqrt[n]{2}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}2
@@ Linia 262: / Linia 262: @@
 {{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
 | header = ''Rozwiązanie'' | content = Wzór na wyraz ogólny ciągu <math>a_n</math> ma postać ilorazu. W takiej sytuacji często możliwe jest skorzystanie z kryterium Stolza. Oznaczmy:
-<equation>
+<equation id="eq:eq21">
 <math>
 a_n=\frac{b_n}{c_n}\; ,

@@ Linia 14: / Linia 14: @@
 {{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
 | header = ''Rozwiązanie'' | content = Pomnożymy licznik i mianownik wzoru <xr id="eq:cia1">(%i)</xr> przez wyrażenie:<br>
-<equation>
+<equation id="eq:eq1">
 <math>
 n^2+n \sqrt[3]{n^3+2n}+(\sqrt[3]{n^3+2n})^2\; .
@@ Linia 104: / Linia 104: @@
 \,</math></equation>
 Podobnie: <math>n(4/5)^{n+1}\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0\,</math>, gdyż
-<equation>
+<equation id="eq:eq2">
 <math>
 \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n\left(\frac{4}{5}\right)^{n+1}}=\frac{4}{5}\,\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\frac{4n}{5}}=\frac{4}{5}<1\; .
 \,</math></equation>
 W konsekwencji otrzymujemy
-<equation>
+<equation id="eq:eq3">
 <math>
 \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\frac{1}{5}\; .
-\,</math></equation><br>
+\,</math></equation id="eq:eq4"><br>
 }}
 ----
@@ Linia 202: / Linia 202: @@
 \,</math></equation>
 Pamiętając, że
-<equation>
+<equation id="eq:eq5">
 <math>
 \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\; ,
@@ Linia 232: / Linia 232: @@
 \,</math></equation>
 Ponieważ
-<equation>
+<equation id="eq:eq6">
 <math>
 \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1-\frac{1}{2n}\right)^n=\frac{1}{\sqrt{e}}\; ,
-\,</math></equation>
+\,</math></equation id="eq:eq7">
 oraz (dla dużych <math>n\,</math>) mamy następujące oszacowanie dla <math>\displaystyle \sqrt[n]{(n^5+2^n)}\, </math>:
 <equation>
@@ Linia 267: / Linia 267: @@
 \,</math></equation>
 gdzie:
-<equation>
+<equation id="eq:eq8">
 <math>
 b_n:=\sqrt{2}+\sqrt{4}+\ldots +\sqrt{2n}\; ,\;\;\;\;\;\;\;\; c_n:=n\sqrt{n}\; .
@@ Linia 277: / Linia 277: @@
 \,</math></equation>
 Aby pozbyć się różnicy pierwiastków z mianownika pomnożymy licznik i mianownik przez sumę:
-<equation>
+<equation id="eq:eq9">
 <math>
 (n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}\; .
@@ Linia 287: / Linia 287: @@
 \,</math></equation>
 W konsekwencji
-<equation>
+<equation id="eq:eq10">
 <math>
 \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{b_{n+1}-b_n}{c_{n+1}-c_n}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\; ,
@@ Linia 307: / Linia 307: @@
 {{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
 | header = ''Rozwiązanie'' | content = Zgodnie z treścią kryterium Stolza oznaczmy:
-<equation>
+<equation id="eq:eq12">
 <math>
 a_n=\frac{b_n}{c_n}\; ,
 \,</math></equation>
 gdzie:
-<equation>
+<equation id="eq:eq11">
 <math>
 b_n:=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\ldots +\sqrt[3]{2n+1}\; ,\;\;\;\;\;\;\;\; c_n:=n\sqrt[3]{n}\; ,
@@ Linia 322: / Linia 322: @@
 \,</math></equation>
 Aby pozbyć się różnicy pierwiastków z mianownika pomnożymy licznik i mianownik przez
-<equation>
+<equation id="eq:eq13">
 <math>
 (n+1)^{8/3}+(n+1)^{4/3}n^{4/3}+n^{8/3}\; ,\,</math></equation>
@@ Linia 333: / Linia 333: @@
 \end{array}\,</math></equation>
 W efekcie
-<equation>
+<equation id="eq:eq14">
 <math>
 \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{b_{n+1}-b_n}{c_{n+1}-c_n}=\frac{3\sqrt[3]{2}}{4}\; ,
@@ Linia 350: / Linia 350: @@
 {{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
 | header = ''Wskazówka'' | content = Nalezy skorzystać z twierdzenia o granicy ciągu postaci:
-<equation>
+<equation id="eq:eq15">
 <math>
 a_n=(1+b_n)^{c_n}\; .
@@ Linia 392: / Linia 392: @@
 {{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
 | header = ''Wskazówka'' | content = Należy skorzystać z twierdzenia o granicy ciągu postaci:
-<equation>
+<equation id="eq:eq16">
 <math>
 a_n=(1+b_n)^{c_n}\; .
@@ Linia 414: / Linia 414: @@
 \lim_{n\rightarrow\infty}b_nc_n=\lim_{n\rightarrow\infty}2n \frac{(\alpha-\beta) n-1}{1+\beta n + n^2}=2(\alpha-\beta)\; .\,</math></equation>
 W efekcie mamy:
-<equation>
+<equation id="eq:eq17">
 <math>
 \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=e^{2(\alpha-\beta)}\; .\,</math></equation><br>
@@ Linia 556: / Linia 556: @@
 \,</math></equation>
 i w rezultacie
-<equation>
+<equation id="eq:eq18">
 <math>
 \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=2\; .

Matematyka 1NI/Ciągi zwykłe - Historia wersji

Anula o 15:14, 26 maj 2015

Anula o 15:12, 26 maj 2015