Anula: Utworzono nową stronę "==Dowodzenie tożsamości i nierówności== '''''Zadanie 1''''' Wykazać, że: $\mathrm{arctg}\frac{1+x\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}..."$

2015-05-22T12:38:35Z

Utworzono nową stronę "==Dowodzenie tożsamości i nierówności== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Wykazać, że: <equation id="eq:tnie1"> <math> \mathrm{arctg}\frac{1+x\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}..."

Nowa strona

==Dowodzenie tożsamości i nierówności==

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Wykazać, że:
<equation id="eq:tnie1">
<math>
\mathrm{arctg}\frac{1+x\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}-\mathrm{arcctg}\, x=\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle -\frac{2\pi}{3} & \mathrm{dla} & x<\sqrt{3}\; ,\\ \\
\displaystyle \frac{\pi}{3} & \mathrm{dla} & x>\sqrt{3}\; .\end{array}\right.
\, </math></equation>
 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy sprawdzić przez różniczkowanie, czy lewa strona <xr id="eq:tnie1">(%i)</xr> jest stała. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Zadanie w istocie sprowadza się do pokazania, że funkcja:
<equation id="eq:tnie1a">
<math>
f(x)=\mathrm{arctg}\frac{1+x\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}-\mathrm{arcctg}\, x
\, </math></equation>
jest równa stałej w każdym z przedziałów, w których jest określona, a następnie ustalić wartość tej stałej. To pierwsze sprawdzimy obliczając pochodną:
<equation id="eq:tnie1b">
<math>
f'(x)=\frac{1}{1+\left(\frac{1+x\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}\right)^2}\cdot\frac{\sqrt{3}(x-\sqrt{3})-(1+x\sqrt{3})}{(x-\sqrt{3})^2}+\frac{1}{1+x^2}=\frac{-4}{4+4x^2}+\frac{1}{1+x^2}=0\; .
\, </math></equation>
W przedziałach <math>]-\infty, \sqrt{3}[\,</math> oraz <math>]\sqrt{3},\infty[\,</math> funkcja jest więc stała. W każdym z tych przedziałów stałe te mogą być różne, a nas najpierw interesuje przypadek:
<equation id="eq:tnie1c">
<math>
f(x)=C_1\; ,\;\;\;\;\mathrm{dla}\;\; x<\sqrt{3}\; .
\, </math></equation>
Aby ustalić wartość stałej <math>C_1\,</math>, wystarczy obliczyć <math>f(x)\,</math> dla jakiegoś dogodnie wybranego argumentu z rozważanego przedziału. Podstawmy np. <math>\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{3}\,</math>:
<equation id="eq:tnie1d">
<math>
C_1=f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\mathrm{arctg}(-\sqrt{3})-\mathrm{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{2\pi}{3}\; .
\, </math></equation>

W przedziale <math>]\sqrt{3},\infty[\,</math> na pierwszy rzut oka takiego wygodnego argumentu nie widać, ale można tym razem wykorzystać fakt, że
<equation id="eq:tnie1e">
<math>
C_2=\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\mathrm{arctg}\,\sqrt{3}-0=\frac{\pi}{3}\; .
\, </math></equation>
W ten sposób wykazaliśmy prawdziwość <xr id="eq:tnie1">(%i)</xr>.
 }}
----
<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Wykazać, że:
<equation id="eq:tnie2">
<math>
2\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\arcsin\left(2x\sqrt{1-x^2}\right)=\pi\; ,
\, </math></equation>
dla <math>\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}<x<1\,</math>.
 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy sprawdzić przez różniczkowanie, czy lewa strona <xr id="eq:tnie2">(%i)</xr> jest stała. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Musimy najpierw pokazać, że funkcja:
<equation id="eq:tnie2a">
<math>
f(x)=2\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\arcsin\left(2x\sqrt{1-x^2}\right)
\, </math></equation>
jest równa stałej, w rozważanym przedziale, a następnie ustalić jej wartość. W tym celu obliczamy pochodną:
<equation id="eq:tnie2b">
<math>
\begin{array}{ccc}
f'(x)&\!\!\! =&\!\!\! 2\,\frac{1}{1+\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2}\cdot\frac{\sqrt{1-x^2}+\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}+\frac{2\sqrt{1-x^2}-\frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{\sqrt{1-4x^2(1-x^2)}} \\
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{2(1-2x^2)}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{(1-2x^2)^2}}\; .
\end{array}\, </math></equation>
Dla <math>\displaystyle x>\frac{1}{\sqrt{2}}\,</math> mamy: <math>\sqrt{(1-2x^2)^2}=-(1-2x^2)\,</math> i pochodna okazuje się być równa zeru. W konsekwencji <math>f(x)=C\,</math> w przedziale <math>\displaystyle \left]\frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right[\,</math>. Aby znaleźć stałą <math>C\,</math>, obliczmy teraz:
<equation id="eq:tnie2c">
<math>
\lim_{x\rightarrow1^-}f(x)=2\,\frac{\pi}{2}+0=\pi=C\; ,
\, </math></equation>
co kończy dowód.
 }}
----
<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Wykazać, że dla każdego <math>x\in\mathbb{R}\,</math> spełniona jest nierówność:
<equation id="eq:tnie3">
<math>
x^2-2x\sin x-2\cos x+2\geq 0\; .
\, </math></equation>
 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy zbadać przedziały monotoniczności funkcji, którą stanowi lewa strona nierówności. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Zdefiniujmy funkcję <math>f\,</math> wzorem:
<equation id="eq:tnie3a">
<math>
f(x)=x^2-2x\sin x-2\cos x+2\; ,
\, </math></equation>
dla każdego rzeczywistego <math>x\,</math>. Zauważmy także, iż <math>f(0)=0\,</math>. Poniżej znajdziemy przedziały monotoniczności funkcji <math>f\,</math>. W tym celu obliczamy pochodną:
<equation id="eq:tnie3b">
<math>
f'(x)=2x-2\sin x-2x\cos x+2\sin x =4x\sin^2\frac{x}{2}\; .
\, </math></equation>
Jasne jest, że <math>f'(x)\,</math> ma taki sam znak, jak <math>x\,</math>. W konsekwencji widzimy, że
dla <math>x<0\,</math> funkcja jest malejąca, a dla <math>x>0\,</math> -- rosnąca. Wynika stąd, że znaleziona powyżej wartość <math>f(0)=0\,</math> jest minimalną wartością przyjmowaną przez funkcję. Poza tym punktem funkcja jest dodatnia, a zatem nierówność <xr id="eq:tnie3">(%i)</xr> spełniona.
 }}
----
<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Wykazać, że dla każdego <math>x\in\mathbb{R}\,</math> i <math>x\neq 0\,</math> spełniona jest nierówność:
<equation id="eq:tnie4">
<math>
2x\,\mathrm{arctg}\, x> 1-\frac{\log(1+x^2)}{x^2}\; .
\, </math></equation>
 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy zbadać przedziały monotoniczności odpowiedniej funkcji. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Przepiszmy nierówność <xr id="eq:tnie4">(%i)</xr> w postaci:
<equation id="eq:tnie4a">
<math>
2x^3\mathrm{arctg}\, x-x^2+\log(1+x^2)\geq 0
\, </math></equation>
i oznaczmy symbolem <math>f(x)\,</math> lewą stronę <xr id="eq:tnie4a">(%i)</xr>.
Zauważmy, że tak zdefiniowana funkcja ma miejsce zerowe dla <math>x=0\,</math>: <math>f(0)=0\,</math>. Znajdziemy teraz przedziały monotoniczności tej funkcji. W tym celu obliczamy pochodną:
<equation id="eq:tnie4b">
<math>
f'(x)=6x^2\mathrm{arctg}\,x+\frac{2x^3}{1+x^2}-2x+\frac{2x}{1+x^2}= 6x^2\mathrm{arctg}\,x\; .
\, </math></equation>
Pochodna <math>f'(x)\,</math> ma więc taki sam znak, jak <math>\mathrm{arctg}\,x\,</math>, czyli po prostu <math>x\,</math>. W efekcie widzimy, iż dla <math>x<0\,</math> funkcja <math>f\,</math> jest malejąca, a dla <math>x>0\,</math> -- rosnąca. Wynika stąd, że wartość <math>f(0)=0\,</math> jest minimalną wartością przyjmowaną przez tę funkcję. Poza tym punktem funkcja jest dodatnia, a zatem nierówność <xr id="eq:tnie4">(%i)</xr> spełniona.
 }}
----
<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Wykazać, że dla każdego <math>x>0\,</math> spełniona jest nierówność:
<equation id="eq:tnie5">
<math>
(2x^2+1)\,\mathrm{arsinh}\, x>x\sqrt{x^2+1}\; ,
\, </math></equation>
a dla <math>x<0\,</math> nierówność jest odwrotna.
 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy zbadać przedziały monotoniczności odpowiedniej funkcji. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Przenieśmy prawą stronę nierówności <xr id="eq:tnie5">(%i)</xr> na lewo i zdefiniujmy:
<equation id="eq:tnie5a"> <math>
f(x)=(2x^2+1)\,\mathrm{arsinh}\, x-x\sqrt{x^2+1}\; ,
\, </math></equation>
Widzimy, że funkcja ta ma miejsce zerowe dla <math>x=0\,</math>: <math>f(0)=0\,</math>. Aby znaleźć jej przedziały monotoniczności, obliczamy pochodną:
<equation id="eq:tnie5b">
<math>
f'(x)=4x\,\mathrm{arsinh}\, x+\frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}-\sqrt{x^2+1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}=4x\,\mathrm{arsinh}\, x\; .
\, </math></equation>
Wyrażenie to jest zawsze dodatnie (poza punktem <math>x=0\,</math>), więc funkcja jest rosnąca. Oznacza to, że w przedziale <math>]-\infty, 0[\,</math> przyjmuje ona wartości ujemne, a w przedziale <math>]0,\infty[\,</math> -- dodatnie. Nierówność <xr id="eq:tnie5">(%i)</xr> jest zatem spełniona.
 }}
----
<big>'''''Zadanie 6'''''</big>

Wykazać, że dla każdego <math>x\geq 1\,</math> spełniona jest nierówność:
<equation id="eq:tnie6">
<math>
\log x\leq \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\; .
\, </math></equation>
 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy zbadać przedziały monotoniczności odpowiedniej funkcji. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Zdefiniujmy funkcję <math>f(x)\,</math> wzorem:
<equation id="eq:tnie6a">
<math>
f(x)=\log x-\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\; .
\, </math></equation>
Łatwo zauważyć, że zachodzi: <math>f(1)=0\,</math>. Sprawdzimy, czy na prawo od tego punktu funkcja jest malejąca. W tym celu obliczamy pochodną:
<equation id="eq:tnie6b">
<math>
f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{x^3}}=-\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{2x\sqrt{x}}\; .
\, </math></equation>
Dla <math>x>1\,</math> wyrażenie to jest ujemne, co oznacza, że funkcja jest malejąca. W przedziale <math>]1, \infty[\,</math> przyjmuje więc ona wartości ujemne, czyli nierówność <xr id="eq:tnie6">(%i)</xr> jest spełniona.
 }}
----
<big>'''''Zadanie 7'''''</big>

Wykazać, że dla każdego <math>x\in]0, 1]\,</math> spełniona jest nierówność:
<equation id="eq:tnie7">
<math>
\log x\leq \sqrt{1-x^2}\; .
\, </math></equation>
 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy zbadać przedziały monotoniczności odpowiedniej funkcji. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Zdefiniujmy tym razem funkcję <math>f(x)\,</math> wzorem:
<equation id="eq:tnie7a">
<math>
f(x)=\log x-\sqrt{1-x^2}\; .
\, </math></equation>
Łatwo zauważyć, że zachodzi: <math>f(1)=0\,</math>. Sprawdzimy, czy na lewo od tego punktu funkcja jest rosnąca, co oznaczać będzie, że musi tam ona przyjmować ujemne wartości. Obliczamy pochodną:
<equation id="eq:tnie7b">
<math>
f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\sqrt{1-x^2}+x^2}{\sqrt{1-x^2}}\; .
\, </math></equation>
Oczywiste jest, że w przedziale <math>]0,1[\,</math> pochodna ta przyjmuje wartości dodatnie, skąd wynika, że nierówność <xr id="eq:tnie7">(%i)</xr> jest spełniona.
 }}
----
<big>'''''Zadanie 8'''''</big>

Wykazać, że dla każdego <math>x\in \mathbb{R}\,</math> prawdziwa jest nierówność:
<equation id="eq:tnie8">
<math>
\log(x+\sqrt{x^2+1})-\log(1+\sqrt{2})\leq \sqrt{x^2+1}-\sqrt{2}\;.
\, </math></equation>
 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy zbadać przedziały monotoniczności odpowiedniej funkcji. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Definiujemy funkcję <math>f(x)\,</math> w formie:
<equation id="eq:tnie8a">
<math>
f(x)=\log(x+\sqrt{x^2+1})- \sqrt{x^2+1}-\log(1+\sqrt{2})+\sqrt{2}\; .
\, </math></equation>
Zauważmy, że <math>f(1)=0\,</math>. Sprawdzimy teraz przedziały monotoniczności funkcji. Pochodna funkcji <math>f\,</math> ma postać:
<equation id="eq:tnie8b">
<math>
f'(x)=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{1-x}{\sqrt{x^2+1}}\; .
\, </math></equation>
Dla <math>x<1\,</math> pochodna ta jest dodatnia, a zatem sama funkcja <math>f\,</math> rosnąca. Z kolei dla <math>x>1\,</math> pochodna staje się ujemna, czyli funkcja <math>f\,</math> malejąca. W punkcie <math>x=1\,</math> przyjmuje więc ona swoją największą wartość równą 0. W efekcie nierówność <xr id="eq:tnie8">(%i)</xr> jest spełniona.
 }}
----

Matematyka 1NI/Dowodzenie tożsamości i nierówności - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "==Dowodzenie tożsamości i nierówności== '''''Zadanie 1''''' Wykazać, że: \mathrm{arctg}\frac{1+x\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}..."

Anula: Utworzono nową stronę "==Dowodzenie tożsamości i nierówności== '''''Zadanie 1''''' Wykazać, że: $\mathrm{arctg}\frac{1+x\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}..."$