Matematyka 1NI/Dwumian Newtona - Historia wersji

SuperAdmin: /* Dwumian Newtona */

2015-05-22T18:45:17Z

Dwumian Newtona

SuperAdmin: /* Dwumian Newtona */

2015-05-22T15:37:03Z

Dwumian Newtona

SuperAdmin: /* Dwumian Newtona */

2015-05-22T15:36:29Z

Dwumian Newtona

SuperAdmin: /* Dwumian Newtona */

2015-05-22T15:35:56Z

Dwumian Newtona

SuperAdmin: /* Dwumian Newtona */

2015-05-22T14:57:05Z

Dwumian Newtona

SuperAdmin: /* Dwumian Newtona */

2015-05-22T14:56:02Z

Dwumian Newtona

SuperAdmin o 14:55, 22 maj 2015

2015-05-22T14:55:48Z

Anula: Utworzono nową stronę "==Dwumian Newtona== '''''Zadanie 1''''' Znaleźć współczynnik przy $x^{334}\,$ w rozwinięciu wyrażenia $\displaystyle \left(\sqrt{x}+\..."$

2015-05-22T12:24:15Z

Utworzono nową stronę "==Dwumian Newtona== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Znaleźć współczynnik przy <math>x^{334}\, </math> w rozwinięciu wyrażenia <math>\displaystyle \left(\sqrt{x}+\..."

Nowa strona

==Dwumian Newtona==

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Znaleźć współczynnik przy <math>x^{334}\, </math> w rozwinięciu wyrażenia <math>\displaystyle \left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\right)^{1001}\, </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Wykorzystamy wzór dwumienny Newtona:
<equation id="eq:dwu1">
<math>
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right)a^kb^{n-k}\; ,
\, </math></equation>
przyjmując:
<equation id="eq:dwu1a">
<math>
a=\sqrt{x}\; ,\;\;\;\; b=\sqrt[3]{x}\; ,\;\;\;\; n=1001\; .
\, </math></equation>
Z żądania aby
<equation id="eq:dwu1b">
<math>
\left(\sqrt{x}\right)^k\left(\sqrt[3]{x}\right)^{1001-k}=x^{334}\; ,
\, </math></equation>
wynika, że
<equation id="eq:dwu1c">
<math>
\frac{k}{2}-\frac{k}{3}+\frac{1001}{3}=334\; ,
\, </math></equation>
co daje <math>k=2\, </math>. W konsekwencji,
jak wynika z <xr id="eq:dwu1">(%i)</xr>, poszukiwany współczynnik równy jest
<equation id="dwu1d">
<math>
\left(\begin{array}{c}1001\\ 2\end{array}\right)=500500\; .
\, </math></equation> 
}}
----
<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

W wielomianie <math>\displaystyle w(x)=\sum_{k=0}^{10}(1+x)^k\, </math> znaleźć wyraz zawierający <math>x^4\, </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = W każdym z nawiasów postaci <math>(1+x)^k\, </math> znajdzie się wyraz zawierający <math>x^4\, </math>, o ile <math>k\geq 4\, </math>, przy czym współczynnik równy będzie
<equation id="eq:dwu2">
<math>
\left(\begin{array}{c}k\\ 4\end{array}\right)\; .
\, </math></equation>
Wnosimy stąd, że poszukiwany wyraz ma postać:
<equation id="eq:dwu2a">
<math>
\left[\sum_{k=4}^{10}\left(\begin{array}{c}k\\ 4\end{array}\right)\right] x^4=(1+5+15+35+70+126+210) x^4=462 x^4\; .
\, </math></equation> 
}}
----
<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Wykazać tożsamość:
<equation id="eq:dwu3">
<math>
\sum_{k=1}^nk\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)=n 2^{n-1}\; .
\, </math></equation> 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy wykorzystać wzór dwumienny Newtona dla <math>(a+b)^{n-1}\, </math> dobierając odpowiednio <math>a\, </math> i <math>b\, </math>.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Wyrażenie <math>2^{n-1}\, </math> zapiszemy w postaci <math>(1+1)^{n-1}\, </math> i wykorzystamy wzór dwumienny Newtona. Otrzymamy:
<equation id="eq:dwu3a">
<math>
2^{n-1}=(1+1)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n-1\\k\end{array}\right)1^k1^{n-1-k}=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n-1\\k\end{array}\right)\; .
\, </math></equation>
W otrzymanym wyrażeniu przesuniemy zmienną sumowania pisząc <math>k=k'-1\, </math>, przy czym sumowanie po <math>k'\, </math> bądzie przebiegać zakres od <math>1\, </math> do <math>n\, </math>. Opuszczając nieistotny prim przy <math>k\, </math> mamy:
<equation id="eq:dwu3b">
<math>
2^{n-1}=\sum_{k=1}^n\left(\begin{array}{c}n-1\\k-1\end{array}\right)=\sum_{k=1}^n\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\cdot\frac{n}{n}\cdot\frac{k}{k}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nk\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nk\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)\; ,
\, </math></equation>
skąd wynika już <xr id="eq:dwu3">(%i)</xr>. 
}}
----
<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Wykazać tożsamość:
<equation id="eq:dwu4">
<math>
\sum_{k=1}^n(-1)^kk\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)=0\; ,
\, </math></equation>
dla <math>n>1\, </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy wykorzystać wzór dwumienny Newtona dla <math>(a+b)^{n-1}\, </math> dobierając odpowiednio <math>a\, </math> i <math>b\, </math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Wyrażenie <math>0^{n-1}\, </math> zapiszemy w postaci <math>(-1+1)^{n-1}\, </math> i wykorzystamy wzór dwumienny Newtona. Otrzymamy:
<equation id="eq:dwu4a">
<math>
0=(-1+1)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n-1\\k\end{array}\right)(-1)^k1^{n-1-k}=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\left(\begin{array}{c}n-1\\k\end{array}\right)\; .
\, </math></equation>
Podobnie jak w poprzednim zadaniu, dokonamy teraz przesunięcia zmiennej sumowania: <math>k=k'-1\, </math>. Sumowanie po <math>k'\, </math> przebiegać będzie zakres od <math>1\, </math> do <math>n\, </math>. Opuszczając nieistotny prim przy <math>k\, </math> otrzymujemy pożądany wynik:
<equation id="eq:dwu4b">
<math>
\begin{array}{ccl}
0&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle-\sum_{k=1}^n(-1)^k\left(\begin{array}{c}n-1\\k-1\end{array}\right)=-\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\cdot\frac{n}{n}\cdot\frac{k}{k}\\
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(-1)^k k\frac{n!}{k!(n-k)!}=-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(-1)^kk\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)\; .
\end{array}\, </math></equation> 
}}
----
<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Wykazać tożsamość:
<equation id="eq:dwu5">
<math>
\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)^2=\left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)\; .
\, </math></equation> 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy wykorzystać tożsamość:
<equation id="eq:dwu5a">
<math>
(x+1)^n\left(\frac{1}{x}+1\right)^n=\frac{1}{x^n}(x+1)^{2n}\; .
\, </math></equation> 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Wykorzystamy wzór (tożsamość), która zachodzi dla każdego <math>x\neq 0\, </math>:
<equation id="eq:dwu5b">
<math>
(x+1)^n\left(\frac{1}{x}+1\right)^n=\frac{1}{x^n}(x+1)^{2n}\; .
\, </math></equation>
Lewą i prawą jej stronę można rozwinąć (niezależnie) korzystając z wzoru dwumiennego Newtona. Współczynniki przy każdej potędze <math>x\, </math> muszą być po obu stronach równe. Nas interesować będą te przy <math>x^0\, </math>.
Po lewej stronie mamy:
<equation id="eq:dwu5c">
<math>
\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)x^k \sum_{l=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\l\end{array}\right)\frac{1}{x^l}\; .
\, </math></equation>
Współczynnik przy <math>x^0\, </math> znajdziemy dopisując pod podwójną sumą deltę Kroneckera postaci <math>\delta_{k-l,0}\, </math>, co oznacza, że suma po <math>l\, </math> zniknie i zredukuje się do jednego wyrazu, dla którego <math>l=k\, </math>. Poszukiwany współczynnik jest zatem równy:
<equation id="eq:dwu5d">
<math>
\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)^2\; .
\, </math></equation>
Po prawej stronie równania <xr id="eq:dwu5b">(%i)</xr> współczynnik przy <math>x^0\, </math> równy jest współczynnikowi przy <math>x^n\, </math> dla wyrażenia wewnątrz nawiasu, czyli
<equation id="eq:dwu5e">
<math>
\left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)\; ,
\, </math></equation>
skąd wynika, że faktycznie zachodzi <xr id="eq:dwu5">(%i)</xr>. 
}}
----
<big>'''''Zadanie 6'''''</big>

Wykazać tożsamość:
<equation id="eq:dwu6">
<math>
\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\left(\begin{array}{c}2n\\k\end{array}\right)^2=(-1)^n\left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)\; .
\, </math></equation> 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy wykorzystać tożsamość:
<equation id="eq:dwu6a">
<math>
(-x+1)^{2n}\left(\frac{1}{x}+1\right)^{2n}=\frac{1}{x^{2n}}(1-x^2)^{2n}\; .
\, </math></equation> 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Wykorzystamy wzór (tożsamość), która zachodzi dla każdego <math>x\neq 0\, </math>:
<equation id="eq:dwu6b">
<math>
(-x+1)^{2n}\left(\frac{1}{x}+1\right)^{2n}=\frac{1}{x^{2n}}(1-x^2)^{2n}\; .
\, </math></equation>
Lewą i prawą stronę <xr id="eq:dwu6b">(%i)</xr> rozwiniemy (niezależnie) korzystając z wzoru dwumiennego Newtona. Ponieważ mamy do czynienia z tożsamością, więc współczynniki przy każdej potędze <math>x\, </math> po obu stronach muszą być równe. Nas interesować będą te przy <math>x^0\, </math>.
Po lewej stronie mamy:
<equation id="eq:dwu6c">
<math>
\sum_{k=0}^{2n}\left(\begin{array}{c}2n\\k\end{array}\right)(-x)^k \sum_{l=0}^{2n}\left(\begin{array}{c}2n\\l\end{array}\right)\frac{1}{x^l}\; .
\, </math></equation>
Podobnie jak w poprzednim zadaniu, współczynnik przy <math>x^0\, </math> znajdziemy dopisując pod podwójną sumą deltę Kroneckera postaci <math>\delta_{k-l,0}\, </math>. Suma po <math>l\, </math> zredukuje się wówczas do jednego wyrazu, dla którego <math>l=k\, </math>. Poszukiwany współczynnik jest zatem równy:
<equation id="eq:dwu6d">
<math>
\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\left(\begin{array}{c}2n\\k\end{array}\right)^2\; .
\, </math></equation>
Po prawej stronie równania <xr id="eq:dwu6b">(%i)</xr> współczynnik przy <math>x^0\, </math> równy jest współczynnikowi przy <math>x^{2n}\, </math> dla wyrażenia wewnątrz nawiasu, czyli
<equation id="eq:dwu6e">
<math>
(-1)^n\left(\begin{array}{c}2n\\n\end{array}\right)\; .
\, </math></equation>
Widzimy, że faktycznie zachodzi tożsamość <xr id="eq:dwu6">(%i)</xr>. 
}}
----
<big>'''''Zadanie 7'''''</big>

Wykazać tożsamość:
<equation id="eq:dwu7">
<math>
\sum_{k=0}^{2n-1}(-1)^k\left(\begin{array}{c}2n-1\\k\end{array}\right)^2=0\; .
\, </math></equation> 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy wykorzystać tożsamość:
<equation id="eq:dwu7a">
<math>
(-x+1)^{2n-1}\left(\frac{1}{x}+1\right)^{2n-1}=\frac{1}{x^{2n-1}}(1-x^2)^{2n-1}\; ,
\, </math></equation>
dla <math>x\neq 0\, </math>.}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Wykorzystamy tę samą tożsamość, z której zrobiliśmy użytek w poprzednim zadaniu, jednakże tym razem dla nieparzystej potęgi:
<equation id="eq:dwu7b">
<math>
(-x+1)^{2n-1}\left(\frac{1}{x}+1\right)^{2n-1}=\frac{1}{x^{2n-1}}(1-x^2)^{2n-1}\; ,\;\;\;\; \mathrm{dla}\;\; x\neq 0\; .
\, </math></equation>
Obie strony <xr id="eq:dwu7b">(%i)</xr> niezależnie rozwiniemy, korzystając z wzoru dwumiennego Newtona. Jak wiemy, współczynniki przy każdej potędze <math>x\, </math> po obu stronach muszą być równe, przy czym dla naszych celów wystarczy rozpatrzenie <math>x^0\, </math>. Po lewej stronie mamy:
<equation id="eq:dwu7c">
<math>
\sum_{k=0}^{2n-1}\left(\begin{array}{c}2n-1\\k\end{array}\right)(-x)^k \sum_{l=0}^{2n-1}\left(\begin{array}{c}2n-1\\l\end{array}\right)\frac{1}{x^l}\; .
\, </math></equation>
Współczynnik przy <math>x^0\, </math> uzyskamy żądając aby <math>l=k\, </math>. Poszukiwany współczynnik jest więc równy:
<equation id="eq:dwu7d">
<math>
\sum_{k=0}^{2n-1}(-1)^k\left(\begin{array}{c}2n-1\\k\end{array}\right)^2\; .
\, </math></equation>
Natomiast po prawej stronie równania<xr id="eq:dwu7b">(%i)</xr> współczynnik przy <math>x^0\, </math> równy jest zero, gdyż występują tam wyłącznie nieparzyste potęgi <math>x\, </math>. Oznacza to, że faktycznie zachodzi tożsamość <xr id="eq:dwu7">(%i)</xr>. 
}}
----

@@ Linia 9: / Linia 9: @@
 | header = ''Wskazówka'' | content = Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.}}
-{{hidden_new|ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |"Wskazówka"|Zadanie bardzo łatwe, więc bez wskazówki.}}
+{{hidden_new|ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |header=''Wskazówka''|content=Zadanie bardzo łatwe, więc bez wskazówki.}}
 ----

@@ Linia 9: / Linia 9: @@
 | header = ''Wskazówka'' | content = Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.}}
-{{hidden_new|"Wskazówka"|Zadanie bardzo łatwe, więc bez wskazówki.}}
+{{hidden_new|ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |"Wskazówka"|Zadanie bardzo łatwe, więc bez wskazówki.}}
 ----

@@ Linia 9: / Linia 9: @@
 | header = ''Wskazówka'' | content = Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.}}
 -->
-{{hidden_2|"Wskazówka"|Zadanie bardzo łatwe, więc bez wskazówki.}}
+{{hidden_new|"Wskazówka"|Zadanie bardzo łatwe, więc bez wskazówki.}}
 ----

@@ Linia 9: / Linia 9: @@
 | header = ''Wskazówka'' | content = Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.}}
 -->
-{{hidden|"Wskazówka"|Zadanie bardzo łatwe, więc bez wskazówki.}}
+{{hidden_2|"Wskazówka"|Zadanie bardzo łatwe, więc bez wskazówki.}}
 ----

@@ Linia 8: / Linia 8: @@
 {{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
 | header = ''Wskazówka'' | content = Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.}}
 ----

Matematyka 1NI/Dwumian Newtona - Historia wersji

SuperAdmin: /* Dwumian Newtona */

SuperAdmin: /* Dwumian Newtona */

SuperAdmin: /* Dwumian Newtona */

SuperAdmin: /* Dwumian Newtona */

SuperAdmin: /* Dwumian Newtona */

SuperAdmin: /* Dwumian Newtona */

SuperAdmin o 14:55, 22 maj 2015

Anula: Utworzono nową stronę "==Dwumian Newtona== '''''Zadanie 1''''' Znaleźć współczynnik przy x^{334}\, w rozwinięciu wyrażenia \displaystyle \left(\sqrt{x}+\..."

Anula: Utworzono nową stronę "==Dwumian Newtona== '''''Zadanie 1''''' Znaleźć współczynnik przy $x^{334}\,$ w rozwinięciu wyrażenia $\displaystyle \left(\sqrt{x}+\..."$