Anula: Utworzono nową stronę "==Funkcja potęgowa== '''''Zadanie 1''''' Dla jakich wartości $x\in\mathbb{R}$ wyrażenie $x^3+x^{-3}+x^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{2}{3}}+x^{-..."$

2015-05-22T12:27:57Z

Utworzono nową stronę "==Funkcja potęgowa== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Dla jakich wartości <math>x\in\mathbb{R}</math> wyrażenie <math>x^3+x^{-3}+x^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{2}{3}}+x^{-..."

Nowa strona

==Funkcja potęgowa==

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Dla jakich wartości <math>x\in\mathbb{R}</math> wyrażenie

<math>x^3+x^{-3}+x^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{2}{3}}+x^{-\frac{3}{2}}+x^{-\frac{2}{3}}+x^{\pi}+x^{-e}</math>

ma sens.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Dziedziną naturalną kolejnych składników sumy są odpowiednio

<math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{R}\setminus \{0\}</math>,<math>\mathbb{R}_+ \cup \{0\}</math>,<math>\mathbb{R}</math>,
<math>\mathbb{R}_+</math>, <math>\mathbb{R}\setminus \{0\}</math>, <math>\mathbb{R}_+ \cup \{0\}</math>, <math>\mathbb{R}_+</math>.

Odpowiedź: <math>x\in \mathbb{R}_+</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----
<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Rozwiąż równanie  
<math>x=\sqrt{x+6}</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Dla dowolnego <math> x \geq -6 </math>
prawdziwy jest ciąg implikacji

<math>x=\sqrt{x+6}\implies x^2=x+6 \implies x=-2 \, \vee \, x=3 </math>.
Wynika stąd, że wszystkie rozwiązania znajdują się w zbiorze <math>\{-2,3\}</math>.

Sprawdzając czy liczby są rzeczywiście rozwiązaniami (implikacja w drugą stronę) widzimy, że jedynym rozwiązaniem jest liczba 3.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----
<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Rozwiąż nierówność  
<math>2x-1<\sqrt{2 x^2+1}</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Dla <math>2x-1<0 </math> lewa strona nierówności jest ujemna a prawa dodatnia więc nierówność jest spełniona
dla dowolnego <math> x<\frac{1}{2} </math>. Dla <math> x\geq \frac{1}{2} </math> obie strony nierówności są nieujemne i w tym przypadku wyjściowa nierówność jest równoważna nierówności

<math>(2x-1)^2<2 x^2+1 \iff x(x-2)<0 </math>.

Ostatecznie mamy <math>x \in ]-\infty,2[ </math>.

}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----
<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Rozwiąż nierówność  
<math>4x>\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Zadanie rozwiązujemy w zbiorze <math>[-1,1]</math>, bo prawa strona nierówności ma sens dla <math>-1\leq x \leq 1</math>.

Dla <math> x<0 </math> lewa strona nierówności jest ujemna a prawa dodatnia więc nierówność nie jest spełniona.

Dla <math> x \geq 0 </math> wyjściowa nierówność jest równoważna
nierówności

<math>8x^2-1> \sqrt{1-x^2}</math>.

Dalej rozwiązujemy nierówność jedynie dla <math>1 \geq x \geq \frac{\sqrt{2}}{4}</math>. Wtedy mamy

<math>(8x^2-1)^2> 1-x^2</math>

tzn.  
<math>x^2(64x^2-15)>0</math>.

Czyli ostatecznie   <math> \frac{\sqrt{15}}{8}<x\leq 1</math>.

}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

Matematyka 1NI/Funkcja potęgowa - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "==Funkcja potęgowa== '''''Zadanie 1''''' Dla jakich wartości x\in\mathbb{R} wyrażenie x^3+x^{-3}+x^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{2}{3}}+x^{-..."

Anula: Utworzono nową stronę "==Funkcja potęgowa== '''''Zadanie 1''''' Dla jakich wartości $x\in\mathbb{R}$ wyrażenie $x^3+x^{-3}+x^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{2}{3}}+x^{-..."$