Anula: Utworzono nową stronę "==Funkcja wykładnicza i logarytm== '''''Zadanie 1''''' Rozwiąż równanie $49^{\frac{x}{x+2}}=7^{\frac{2}{x}}$ . {{hidden| ta1=left | ta2=le..."

2015-05-22T12:28:51Z

Utworzono nową stronę "==Funkcja wykładnicza i logarytm== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Rozwiąż równanie <math> 49^{\frac{x}{x+2}}=7^{\frac{2}{x}}</math>. {{hidden| ta1=left | ta2=le..."

Nowa strona

==Funkcja wykładnicza i logarytm==

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Rozwiąż równanie
<math> 49^{\frac{x}{x+2}}=7^{\frac{2}{x}}</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Dla każdego <math> x\in {\mathbb R} \setminus \{-2,0\}</math>
zachodzi

<math>49^{\frac{x}{x+2}}=7^{\frac{2}{x}} \iff 7^{\frac{2x}{x+2}}=7^{\frac{2}{x}} \iff \frac{x}{x+2}=\frac{2}{x} \iff x^2=x+2 \iff x=-1\, \vee \, x= 2</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}

----<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Rozwiąż równanie
<math> 3^x+3^{x+2}=7 </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Zapisując powyższe równanie w postaci <math> 3^x+9 \cdot 3^{x}=7 </math> i przekształcając
do <math> 3^x=\frac{7}{10} </math> otrzymujemy ostatecznie <math> x=\log _3 \frac{7}{10} </math>.

}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Rozwiąż równanie
<math> 3^{3x}-3^{2x}-3^{x+2}+9=0 </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Podstaw <math> t=3^{x} </math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Po podstawieniu <math> t=3^{x} </math> otrzymujemy

<math> t^3-t^2-9 t+9=0 </math>,

którego rozwiązaniami są <math> t=1 \, \vee \, t=3 \, \vee \, t=-3</math> .

Ponieważ funkcja wykładnicza nie przyjmuje wartości ujemnych ostatni pierwiastek odrzucamy. Pozostałe dwa dają
<math> 3^{x}=1 \, \vee \, 3^{x}=3 </math> skąd
ostatecznie <math> x=0 \, \vee \, x=1 </math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Raz jeszcze zwrócić uwagę na techniki rozkładu wielomianu na czynniki stopnia co najwyżej 2.
}}
----

<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Rozwiąż nierówność
<math>\left(\frac{1}{2}\right)^x>1024 </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Mamy <math>\left(\frac{1}{2}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^{-10} </math> a ponieważ funkcja
<math>f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x </math> jest funkcją malejącą to

<math> x<-10 </math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Rozwiąż nierówność
<math>2^{3x+1}-4^{x-3}>0 </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = <math>4=2^2 </math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Nierówność przepisujemy w postaci
<math>2^{3x+1}> 2^{2x-6} </math> co jest równoważne <math>{3x+1}> {2x-6} </math> tzn. <math>{x}> -7 </math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 6'''''</big>

Rozwiąż nierówność
<math> \frac{1}{2^x+2}< \frac{2^{x-3}}{2^x-1} </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Rozwiązań zadania będziemy szukali w zbiorze <math> x\in D= {\mathbb R} \setminus \{0\}</math>.
Mnożąc obie strony nierówności przez wyrażenie <math>(2^x+2)(2^x-1)^2</math>, które jest dodatnie dla dowolnego <math>x \in D</math> otrzymujemy

<math> (2^x-1)^2< \frac{1}{8}2^{x} (2^x+2)(2^x-1) \iff 0<(2^x-1)(2^x-2)(2^x-4)</math>.

W zmiennej <math>y=2^x</math> otrzymujemy nierówność wielomianową trzeciego stopnia której rozwiązaniem jest

<math>2^x \in ]1,2[ \cup ]4,\infty[</math> stąd ostatecznie

<math>x\in ]0,1[ \cup ]2,\infty[</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 7'''''</big>

Rozwiąż nierówność
<math>\log_{\frac{1}{4}}x +\log_{2}x>1 </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Wyrażenia występujące w zadaniu mają sens dla <math> x\in {\mathbb R}_+ </math> i w zbiorze
<math> {\mathbb R}_+ </math> będziemy szukali rozwiązań.
Stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu i przepisując jedynkę po prawej stronie nierówności jako <math>log_2 2</math> otrzymujemy

<math> \log_{\frac{1}{4}} 2 \log_{2} x+\log_{2} x> \log_2 2</math>,

skąd (ponieważ <math> \log_{\frac{1}{4}} 2=-\frac{1}{2}</math>)

<math> \log_{2} x^{-\frac{1}{2}}+\log_{2} x> \log_2 2</math>

tzn.

<math> \log_{2}\sqrt{x}> \log_2 2</math>

i ostatecznie <math> x> 4</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 8'''''</big>

Rozwiąż nierówność
<math> \log_4(\log_{\frac{1}{2}}x)\leq 1</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Sprawdźmy najpierw dla jakich wartości <math>x</math> wyrażenie po lewej stronie nierówności
ma sens. Musi zachodzić <math> x>0</math> i <math> \log_{\frac{1}{2}}x>0</math> to znaczy

<math> 0<x<1 </math> . Dla takich wartości <math>x</math> mamy

<math> \log_4(\log_{\frac{1}{2}}x) \leq 1 \iff \log_{\frac{1}{2}}x \leq 4 \iff x \geq \frac{1}{16}</math>.

Rozwiązaniem jest zbiór <math> [\frac{1}{16},1[</math>.

}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 9'''''</big>

Rozwiąż równanie
<math> x^{\log_2x}=4x</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Zlogarytmuj obustronnie równanie.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Rozwiązań szukamy w zbiorze <math> {\mathbb R}_+ </math> wtedy

<math>x^{\log_2 x}=4x \iff\log_2 x^{\log_2 x}=\log_2 (4x) \iff (\log_2 x)^2=\log_2 x+2 </math>

Ostatnia równość jest równaniem kwadratowym na wyrażenie <math>\log_2 x</math> z rozwiązaniami

<math>\log_2 x=-1 \, \vee \, \log_2 x=2</math>.

Zbiorem rozwiązań jest <math>\{\frac{1}{2},4\} </math>.
}}
----

<big>'''''Zadanie 10'''''</big>

Rozwiąż równanie
<math> \log_{4x+8} (x+\sqrt{x+2})=\frac{1}{2}</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Jeśli <math>x </math> jest rozwiązaniem podanego równania to zachodzi

<math> \log_{4x+8} (x+\sqrt{x+2})=\frac{1}{2} \implies x+\sqrt{x+2}=2 \sqrt{x+2} \implies x^2=x+2 \implies x=-1 \, \vee \, x=2 </math>

Pozostaje nam sprawdzić, która z liczb jest istotnie pierwiastkiem równania. Wstawiając do wyjściowego równanie przekonujemy się,
że pierwiastkiem jest jedynie 2.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----
<big>'''''Zadanie 11'''''</big>

Udowodnij, że

<math> \forall x \in {\mathbb R}_+ \setminus \{ 1 \} \,\,\,\, \frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x} + \frac{1}{\log_4 x} +\frac{1}{\log_5 x}=
\frac{1}{\log_{5!} x} </math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Korzystamy z faktu <math> \forall x \in {\mathbb R}_+</math> zachodzi
<math> \frac{1}{\log_k x}=\log_x, k\,\,\,\,k=2,3,4,5,5!</math>.
Mamy

<math> \log_x 2+\log_x 3+\log_x 4+\log_x 5=\log_x 5!</math>

co jest prawdziwe dzięki wzorowi na logarytm iloczynu.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

Matematyka 1NI/Funkcja wykładnicza i logarytm - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "==Funkcja wykładnicza i logarytm== '''''Zadanie 1''''' Rozwiąż równanie 49^{\frac{x}{x+2}}=7^{\frac{2}{x}}. {{hidden| ta1=left | ta2=le..."

Anula: Utworzono nową stronę "==Funkcja wykładnicza i logarytm== '''''Zadanie 1''''' Rozwiąż równanie $49^{\frac{x}{x+2}}=7^{\frac{2}{x}}$ . {{hidden| ta1=left | ta2=le..."