Anula: Utworzono nową stronę "==Uwagi wstępne== Przystępując do ćwiczeń zakładamy, że studenci umieją

Szkicować wykresy funkcji trygonometrycznych, w szczególności znają znaki..."

2015-05-22T12:27:19Z

Utworzono nową stronę "==Uwagi wstępne== Przystępując do ćwiczeń zakładamy, że studenci umieją <ol> <li> Szkicować wykresy funkcji trygonometrycznych, w szczególności znają znaki..."

Nowa strona

==Uwagi wstępne==

Przystępując do ćwiczeń zakładamy, że studenci umieją

<ol>
<li> Szkicować wykresy funkcji trygonometrycznych, w szczególności znają znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach
<li> Znają wartości tych funkcji dla argumentów <math>0</math>, <math>\frac{\pi}{6}</math>, <math>\frac{\pi}{4}</math>,
<math>\frac{\pi}{3}</math>, <math>\frac{\pi}{2}</math>, <math>\pi</math>, <math>\frac{3\pi}{2}</math>,</li> 
<li> Znają podstawowe związki między funkcjami trygonometrycznymi 

<math>\sin^2 x+\cos^2 x=1 </math>, 

<math> \tan x \frac{\sin x}{\cos x}</math>, 

<math> \tan x \ctg x =1 </math>.
</li>
<li> Znają wzory na sinus sumy kątów i cosinus sumy kątów 

<math>\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x \sin y</math> , 

<math> \cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x \sin y</math> 

i jego konsekwencje 

<math>\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x \sin y</math>, 

<math> \cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x \sin y </math>, 

<math>\sin (2x)=2\sin x\cos x </math>, 

<math> \cos (2 x)=\cos^2 x-\sin^2 x </math>.
</li></ol>
Umiejętności te będziemy sprawdzać w poniższych zadaniach.

==Zadania==

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Rozwiąż równania

a) <math>\cos x = 1</math>,

b) <math>\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>,

c) <math>\cos x =0</math>,

d) <math>\sin x = 0</math>,

e) <math>\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>,

f) <math>\tg x= \sqrt{3}</math>,

g) <math>\ctg x = - \sqrt{3}</math>.

h) <math>\cos x = \sin x</math>.
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
a) <math>\left\{2 k \pi \, | \, k \in {\mathbb Z} \right\}</math>,

b) <math>\left\{\frac{\pi}{6}+2 k \pi \, \vee \, -\frac{\pi}{6}+2 k \pi \, | \, k \in {\mathbb Z} \right\}</math>,

c) <math>\left\{\frac{\pi}{2}+ k \pi \, | \, k \in {\mathbb Z} \right\}</math>,

d) <math>\left\{k \pi \, | \, k \in {\mathbb Z} \right\}</math>,

e) <math>\left\{\frac{\pi}{3}+2 k \pi \, \vee \, \frac{2 \pi}{3}+2 k \pi \, | \, k \in {\mathbb Z} \right\}</math>,

f) <math>\left\{\frac{\pi}{3}+k \pi \, | \, k \in {\mathbb Z} \right\}</math>,

g) <math>\left\{\frac{5\pi}{6}+k \pi \, | \, k \in {\mathbb Z} \right\}</math>,

h) <math>\left\{\frac{\pi}{4}+k \pi \, | \, k \in {\mathbb Z} \right\}</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Rozwiąż nierówności

a) <math>2 \sin x < - 1</math>,

b) <math>3 \ctg^2 x \geq 1</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
a)
<math>\displaystyle \bigcup_{k \in {\mathbb Z}}\,\, \left]\frac{7\pi}{6}+2 k \pi,\frac{11\pi}{6}+2 k \pi\right[</math>,

b)
<math>\displaystyle \bigcup_{k \in {\mathbb Z}}\,\, \left] k \pi,\frac{\pi}{3}+ k \pi\right]
\cup\left[\frac{2\pi}{3}+ k \pi,\pi+ k \pi\right[</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Zredukuj następujące wyrażenia

a) <math>\cos (\pi-x)</math>,

b) <math>\cos (\frac{\pi}{2}+x)</math>,

c) <math>\sin (x-\pi)</math>,

d) <math>\sin (\frac{3}{2} \pi+x)</math>,

e) <math>\ctg (\frac{\pi}{2}+x)</math>,

f) <math>\tg (\frac{3}{2} \pi-x)</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Zakładając, że <math>x</math> jest w pierwszej ćwiartce jaki znak będzie miała nasza funkcja?
Pozbywając się <math>\frac{3}{2} \pi</math> lub <math>\frac{1}{2} \pi</math> zmieniamy funkcję na jej kofunkcję.
W przypadku usuwania <math>\pi</math> i jego wielokrotności funkcji nie zmieniamy.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Postępując zgodnie ze wskazówkami mamy

a) <math>-\cos x</math>,

b) <math>-\sin x</math>,

c) <math>-\sin x</math>,

d) <math>-\cos x</math>,

e) <math>-\tg x</math>,

f) <math>\ctg x</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Znajdź wartość <math>\cos \frac{\pi}{8}</math> (wynik może zawierać jedynie operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i pierwiastkowania liczb naturalnych).

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Użyj wzoru na cosinus podwojonego kąta.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Zgodnie ze wskazówką mamy

<math>2 \cos^2 \frac{\pi}{8}=1+\cos \frac{\pi}{4}=1+ \frac{\sqrt{2}}{2}</math>

skąd otrzymujemy

<math>\cos \frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Rozwiąż równanie
<math>\cos (x+\pi) \cos(x+\frac{\pi}{2}) \ctg(x-\pi)=\frac{1}{2}.</math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Użyj wzorów redukcyjnych.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Po użyciu wzorów redukcyjnych otrzymujemy <math>\cos^2 x=\frac{1}{2}</math> czyli
<math>\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}</math> lub <math>\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}</math> co daje zbiór rozwiązań
<math>\left\{\frac{\pi}{4}+ \frac{k \pi}{2} \, | \, k \in {\mathbb Z} \right\}</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 6'''''</big>

Udowodnij, że

a) <math>\forall \alpha \not\in \left\{ k \pi \, | \, k \in {\mathbb Z} \right\}: \,\,
\tg \frac{\alpha}{2}= \frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}</math>,

b) <math>\sin \frac{\alpha}{2} =\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Użyj znanych Ci wzorów <math>\cos \alpha=\cos^2 \frac{\alpha}{2}- \sin ^2 \frac{\alpha}{2}</math> i
<math>\sin \alpha= 2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = a) Mamy <math> \frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha} =
\frac{1-\cos^2 \frac{\alpha}{2}+\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}
=\frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}=\tg \frac{\alpha}{2}</math>.

b) Ze wzoru <math>\cos \alpha=\cos^2 \frac{\alpha}{2}- \sin ^2 \frac{\alpha}{2}</math> i jedynki trygonometrycznej mamy

<math>2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}=1-\cos \alpha</math> skąd natychmiast otrzymujemy żądaną tożsamość.

}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 7'''''</big>

Pokaż, że
<math>\cos x+\cos y= 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}</math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Skorzystaj z dobrze Ci znanych wzorów
<math>\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha \cos\beta-\sin\alpha \sin\beta</math>, <math>\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha \cos\beta+\sin\alpha \sin\beta</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Dodając stronami wzory podane we wskazówce otrzymujemy
<math>\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha \cos\beta</math>. Kładąc <math>\alpha=\frac{x+y}{2}</math> i <math>\beta=\frac{x-y}{2}</math> otrzymujemy żądaną tożsamość.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 8'''''</big>

Wyprowadź wzory

a) <math>\sin x =\frac{2 \tg \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}</math>,

b) <math>\cos x =\frac{1- \tg^2 \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}</math>,

c) <math>\tg x =\frac{2 \tg \frac{x}{2}}{1-\tg^2 \frac{x}{2}}</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Użyj wzorów <math>\cos x=\cos^2 \frac{x}{2}- \sin ^2 \frac{x}{2},\,\,\,</math>
<math>\sin x= 2 \sin\frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}</math> i jedynki trygonometrycznej.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
a) <math>\sin x=\frac{\sin x}{1}=\frac{2 \sin\frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} }{ \cos^2 \frac{x}{2}+ \sin ^2 \frac{x}{2} } =
\frac{2 \frac{ \sin\frac{x}{2} }{ \cos \frac{x}{2} } }{ 1+ \frac{ \sin ^2 \frac{x}{2} }{ \cos^2 \frac{x}{2} }
} =\frac{2 \tg \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}
</math>,

b) <math>\cos x =\frac{\cos x}{1}=\frac{\cos^2 \frac{x}{2}- \sin ^2 \frac{x}{2}}{ \cos^2 \frac{x}{2}+ \sin ^2 \frac{x}{2} } =
\frac{ 1- \frac{ \sin ^2 \frac{x}{2}}{ \cos^2 \frac{x}{2} } }{ 1+ \frac{ \sin ^2 \frac{x}{2} }{ \cos^2 \frac{x}{2} }
} =\frac{1- \tg^2 \frac{x}{2} }{1+\tg^2 \frac{x}{2}}
</math>,

c)<math>\tg x=\frac{\sin x}{\cos x }=\frac{2 \tg \frac{x}{2}}{1-\tg^2 \frac{x}{2}}</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 9'''''</big>

Rozwiąż równania w zbiorze <math>]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[</math>

a) <math>4 \sin^3 \theta+2 \cos^2 \theta-2 \sin \theta -1=0 </math>,

b) <math>\tan ^2 x- \tan x -3 + 3 \cot x = 0</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
a) Podstaw <math>t=\sin \theta</math> (uprzednio używając jedynki trygonometrycznej) a następnie poszukaj pierwiastków wymiernych równania na <math>t</math>.

b) Podstaw <math>t=\tan x</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
a) Postępując zgodnie ze wskazówką otrzymujemy <math>4 t^3- 2 t^2 -2 t+1=0</math>. Pierwiastkiem wymiernym tego równania jest
<math>t=\frac{1}{2}</math>, dzięki temu mamy <math>4 t^3- 2 t^2 -2 t+1=4 (t-\frac{1}{2})(t^2-\frac{1}{2})=4 (t-\frac{1}{2})(t^2-\frac{1}{2})
=4 (t-\frac{1}{2})(t-\frac{\sqrt{2}}{2})(t+\frac{\sqrt{2}}{2})
</math> a więc

<math>\sin \theta=\frac{1}{2} \, \vee \, \sin \theta=\frac{\sqrt{2}}{2} \, \vee \, \sin \theta=-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>,

skąd ostatecznie

<math> \theta \in \{-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{6} \}</math>.

b) Po podstawieniu <math>t=\tan x</math> otrzymujemy <math>t^3- t^2 -3 t+3=0</math>. Zapisując wyrażenie po lewej stronie równości w postaci iloczynowej
<math>(t-1)(t-\sqrt{3})(t+\sqrt{3})=0</math>. mamy natychmiast

<math>\tan x=1 \, \vee \, \tan x=\sqrt{3} \, \vee \, \tan x=-\sqrt{3}</math> i ostatecznie

<math>x \in \{\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{3} \}</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 10'''''</big>

Udowodnij, że jeżeli <math> \cos x \neq 0,\,\,\, \cos y \neq 0,\,\,\, \cos (x+y) \neq 0\,\,\,</math>
to <math> \tan(x+y)=\frac{\tan x + \tan y}{1-\tan x \tan y}</math>
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Skorzystaj ze wzorów <math>\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x \sin y</math>,
<math> \cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x \sin y</math> 
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math> \tan(x+y)=\frac{\sin (x+y)}{ \cos (x+y)}=\frac{\sin x\cos y+\cos x \sin y}{\cos x\cos y-\sin x \sin y}=
\frac{\frac{\sin x}{\cos x }+\frac{\sin y}{\cos y}}{1-\frac{\sin x}{\cos x }\frac{\sin y}{\cos y}}=\frac{\tan x + \tan y}{1-\tan x \tan y}
</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

----

----

Matematyka 1NI/Funkcje trygonometryczne - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "==Uwagi wstępne== Przystępując do ćwiczeń zakładamy, że studenci umieją Szkicować wykresy funkcji trygonometrycznych, w szczególności znają znaki..."

Anula: Utworzono nową stronę "==Uwagi wstępne== Przystępując do ćwiczeń zakładamy, że studenci umieją

Szkicować wykresy funkcji trygonometrycznych, w szczególności znają znaki..."