Anula: Utworzono nową stronę "==Granice funkcji== '''''Zadanie 1''''' Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć $\lim_{x\rightarrow 1}\fr..."$

2015-05-22T12:29:42Z

Utworzono nową stronę "==Granice funkcji== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć <equation id="eq:gra1"> <math> \lim_{x\rightarrow 1}\fr..."

Nowa strona

==Granice funkcji==

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć
<equation id="eq:gra1">
<math>
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2x}}{\sqrt[3]{x}-1}
\, </math></equation> 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Weźmy dowolny ciąg <math>x_n\, </math> zbieżny do jedynki i taki, że <math>x_n\neq 1\, </math> dla wszystkich <math>n\, </math>. Bez uszczerbku dla ogólności rozważań, możemy przyjąć, że wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Zgodnie z definicją Heinego granicy funkcji, zamiast obliczać <xr id="eq:gra1">(%i)</xr> musimy znaleźć
<equation id="eq:gra1a">
<math>
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{x_n+1}-\sqrt{2x_n}}{\sqrt[3]{x_n}-1}\; .
\, </math></equation>
Będziemy zatem przekształcać powyższe wyrażenie:
<equation id="eq:gra1b">
<math>
\begin{array}{ccl}
\displaystyle\frac{\sqrt{x_n+1}-\sqrt{2x_n}}{\sqrt[3]{x_n}-1}&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle\frac{x_n+1-2x_n}{(\sqrt[3]{x_n}-1)(\sqrt{x_n+1}+\sqrt{2x_n})}=\frac{(1-\sqrt[3]{x_n})(1+\sqrt[3]{x_n}+(\sqrt[3]{x_n})^2)}{(\sqrt[3]{x_n}-1)(\sqrt{x_n+1}+\sqrt{2x_n})}\\
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle -\frac{1+\sqrt[3]{x_n}+(\sqrt[3]{x_n})^2}{\sqrt{x_n+1}+\sqrt{2x_n}}\; .
\end{array}\, </math></equation>
Ponieważ <math>x_n\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}1\, </math>, więc otrzymujemy następującą wartość granicy:
<equation id="eq:gra1c">
<math>
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{x_n+1}-\sqrt{2x_n}}{\sqrt[3]{x_n}-1}=-\frac{3\sqrt{2}}{4}\; .
\, </math></equation>
O ciągu <math>x_n\, </math> nie zakładaliśmy nic ponad to, że jest zbieżny do jedynki, więc, na mocy definicji Heinego, taką samą wartość ma granica <xr id="eq:gra1">(%i)</xr>. 
}}
----
<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć
<equation id="eq:gra2">
<math>
\lim_{x\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\; ,\;\;\;\; \mathrm{oraz}\;\;\;\; \lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\; .
\, </math></equation> 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy skorzystać z faktu, iż
<equation id="eq:gra2a">
<math>
\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\; .
\, </math></equation> }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Weźmy dowolny ciąg <math>x_n\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\infty\, </math> i dobierzmy ciąg <math>k_n\, </math> liczb naturalnych taki, że <math>k_n\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\infty\, </math> oraz
<equation id="eq:gra2b">
<math>
k_n\leq x_n<k_n+1\; .
\, </math></equation>
Dla dowolnych liczb <math>a,b\, </math> spełniających <math>0<a\leq b\, </math> zachodzą nierówności:
<equation id="eq:gra2c">
<math>
1+\frac{1}{a}\geq 1+\frac{1}{b}\;\;\Longrightarrow\;\; \left(1+\frac{1}{a}\right)^b\geq \left(1+\frac{1}{b}\right)^b\;\;\Longrightarrow\;\; \left(1+\frac{1}{a}\right)^a\left(1+\frac{1}{a}\right)^{b-a}\geq \left(1+\frac{1}{b}\right)^b\; .
\, </math></equation>
Podobnie dla liczb <math>b,c\, </math> spełniających <math>0<b<c\, </math> mamy:
<equation id="eq:gra2d">
<math>
1+\frac{1}{b}> 1+\frac{1}{c}\;\;\Longrightarrow\;\; \left(1+\frac{1}{b}\right)^b> \left(1+\frac{1}{c}\right)^b\;\;\Longrightarrow\;\; \left(1+\frac{1}{b}\right)^b> \left(1+\frac{1}{c}\right)^c\left(1+\frac{1}{c}\right)^{b-c}\; .
\, </math></equation>
W efekcie uzyskujemy układ nierówności:
<equation id="eq:gra2e">
<math>
\left(1+\frac{1}{c}\right)^c\left(1+\frac{1}{c}\right)^{b-c}<\left(1+\frac{1}{b}\right)^b\leq \left(1+\frac{1}{a}\right)^a\left(1+\frac{1}{a}\right)^{b-a}\; .
\, </math></equation>
Wykorzystamy je poniżej podstawiając: <math>b=x_n\, </math>, <math>a=k_n\, </math> oraz <math>c=k_n+1\, </math>:
<equation id="eq:gra2f">
<math>
\left(1+\frac{1}{k_n+1}\right)^{k_n+1}\left(1+\frac{1}{k_n+1}\right)^{x_n-k_n-1}<\left(1+\frac{1}{x_n}\right)^{x_n}\leq \left(1+\frac{1}{k_n}\right)^{k_n}\left(1+\frac{1}{k_n}\right)^{x_n-k_n}\; .
\, </math></equation>
Ale: <math>0\leq x_n-k_n<1\, </math>,
co pozwala nam przepisać <xr id="eq:gra2f">(%i)</xr> w formie:
<equation id="eq:gra2g">
<math>
\left(1+\frac{1}{k_n+1}\right)^{k_n+1}\left(1+\frac{1}{k_n+1}\right)^{-1}<\left(1+\frac{1}{x_n}\right)^{x_n}\leq \left(1+\frac{1}{k_n}\right)^{k_n}\left(1+\frac{1}{k_n}\right)\; ,
\, </math></equation>
Skorzystamy teraz z twierdzenia o trzech ciągach. W tym celu wykażemy, że zarówno ciąg po lewej jak i po prawej stronie zbiega do <math>e\, </math>. Ponieważ <math>k_n\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\infty\, </math>, więc
<equation id="eq:gra2h">
<math>
\forall_M\;\;\exists_{N\in\mathbb{N}}\;\; n>N\;\;\Longrightarrow\;\; k_n>M
\, </math></equation>
O ciągu <math>\displaystyle a_n:=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\, </math> wiemy, że zbieżny jest do liczby <math>e\, </math>, co z definicji oznacza, iż
<equation id="eq:gra2i">
<math>
\forall_{\epsilon>0}\;\;\exists_{K\in\mathbb{N}}\;\; n>K\;\;\Longrightarrow\;\; |a_n-e|<\epsilon\; .
\, </math></equation>
Biorąc <math>M=K\, </math> otrzymujemy wniosek, iż istnieje <math>N\in\mathbb{N}\, </math> takie, że <math>k_n>K\, </math> a zatem:
<equation id="eq:gra2j">
<math>
|a_{k_n}-e|=\left|\left(1+\frac{1}{k_n}\right)^{k_n}-e\right|<\epsilon\; , \;\;\;\;\mathrm{czyli}\;\;\;\; \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{k_n}\right)^{k_n}=e\; .
\, </math></equation>
Przechodząc teraz w <xr id="eq:gra2g">(%i)</xr> z <math>n\, </math> do nieskończoności otrzymujemy wniosek, że także
<equation id="eq:gra2k">
<math>
\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x_n}\right)^{x_n}=e\; .
\, </math></equation>
Na mocy definicji Heinego wnosimy stąd, iż
<equation id="eq:gra2l">
<math>
\lim_{x\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\; .
\, </math></equation>

Z kolei dla <math>x\rightarrow -\infty\, </math> możemy przekształcić nasze wyrażenie w następujący sposób:
<equation id="eq:gra2m">
<math>
\begin{array}{ccl}
\left(1+\frac{1}{x}\right)^x &\!\!\! =&\!\!\! \left(1+\frac{1}{-|x|}\right)^{-|x|}=\left(\frac{-|x|}{1-|x|}\right)^{|x|}=\left(1+\frac{1}{|x|-1}\right)^{|x|}\\
&\!\!\! =&\!\!\! \left(1+\frac{1}{|x|-1}\right)^{|x|-1}\left(1+\frac{1}{|x|-1}\right)\; ,
\end{array}\, </math></equation>
i po podstawieniu <math>t:=|x|-1\, </math> oraz skorzystaniu z <xr id="eq:gra2l">(%i)</xr>, otrzymujemy:
<equation id="eq:gra2n">
<math>
\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\; .
\, </math></equation> 
}}
----
<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć
<equation id="eq:gra3">
<math>
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-\mathrm{tg}\,x}{\sin^3 x}\; .
\, </math></equation> 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Weźmy dowolny ciąg <math>x_n\, </math> zbieżny do zera. Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że dla dowolnego <math>n\, </math> mamy: <math>\displaystyle -\frac{\pi}{2}<x_n<\frac{\pi}{2}\, </math>, a zatem funkcja tangens jest dobrze określona. Jak wiemy, zgodnie z definicją Heine'go, w miejsce <xr id="eq:gra3">(%i)</xr> obliczyć należy:
<equation id="eq:gra3a">
<math>
\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sin x_n-\mathrm{tg}\,x_n}{\sin^3 x_n}\; .
\, </math></equation>
Wyrażenie pod znakiem granicy przekształcimy w następujacy sposób:
<equation id="eq:gra3b">
<math>
\begin{array}{ccl}
\displaystyle\frac{\sin x_n-\mathrm{tg}\,x_n}{\sin^3 x_n}&\!\!\! =&\!\!\!\displaystyle\frac{\cos x_n-1}{\cos x_n \sin^2 x_n}=\frac{-2\sin^2 \frac{x_n}{2}}{\cos x_n\left(2\sin \frac{x_n}{2}\cos \frac{x_n}{2}\right)^2}\\
&\!\!\! =&\!\!\!\displaystyle\frac{-1}{2\cos x_n\cos^2 \frac{x_n}{2}}\; ,
\end{array}\, </math></equation>
gdzie wykorzystaliśmy wzory:
<equation id="eq:gra3c">
<math>
\cos\alpha -1=-2\sin^2\frac{\alpha}{2}\;,\;\;\;\;\mathrm{oraz}\;\;\;\; \sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\; .
\, </math></equation>
Prawa strona <xr id="eq:gra3b">(%i)</xr> dąży do <math>\displaystyle -\frac{1}{2}\, </math>, gdyż <math>\cos x_n\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}1\, </math> (to samo oczywiście dotyczy <math>\displaystyle \cos \frac{x_n}{2}\, </math>), co łatwo wykazać posługując się oszacowaniem:
<equation id="eq:gra3d">
<math>
0\leq |\cos x_n-1|=\left|2\sin^2\frac{x_n}{2}\right|\leq 2\left(\frac{x_n}{2}\right)^2\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0\; .
\, </math></equation>
Na mocy definicji Heinego widzimy więc, że
<equation id="eq:gra3e">
<math>
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-\mathrm{tg}\,x}{\sin^3 x}=-\frac{1}{2}\; .
\, </math></equation>
 }}
----
<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Wykorzystując definicję Cauchy'ego granicy funkcji wykazać, że granica <xr id="eq:gra3">(%i)</xr> z poprzedniego zadania równa jest <math>\displaystyle -\frac{1}{2}\, </math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy oszacować wyrażenie:
<equation id="eq:gra4">
<math>
\left|\frac{\sin x-\mathrm{tg}\,x}{\sin^3 x}+\frac{1}{2}\right|\; .
\, </math></equation> }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Wykorzystując przekształcenia poprzedniego zadania, a w szczególności końcowe wyrażenie w <xr id="eq:gra3b">(%i)</xr> możemy napisać:
<equation id="eq:gra4a">
<math>
\begin{array}{ccl}
\displaystyle 0\leq\left|\frac{\sin x-\mathrm{tg}\,x}{\sin^3 x}+\frac{1}{2}\right|&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{1}{2}\left|\frac{\cos x\cos^2 \frac{x}{2}-1}{\cos x\cos^2 \frac{x}{2}}\right|=\frac{1}{2}\left|\frac{\cos x\cos^2 \frac{x}{2}-1+\cos x-\cos x}{\cos x\cos^2 \frac{x}{2}}\right|\\
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{1}{2}\left|\frac{\cos x(\cos^2 \frac{x}{2}-1)+(\cos x-1)}{\cos x\cos^2 \frac{x}{2}}\right|\\
&\!\!\! =&\!\!\!\displaystyle \frac{1}{2}\left|\frac{-\cos x\sin^2 \frac{x}{2}-2\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos x\cos^2 \frac{x}{2}}\right|
=\frac{1}{2}\cdot \sin^2 \frac{x}{2}\left|\frac{\cos x+2}{\cos x\cos^2 \frac{x}{2}}\right|\; .
\end{array}\, </math></equation>
Możemy przyjąć, że w interesującym nas obszarze zmienności <math>x\, </math> (tj. małe <math>\delta\, </math> i <math>|x|<\delta\, </math>) zachodzi:
<equation id="eq:gra4b">
<math>
|\cos x|>\frac{1}{2}\; ,\;\;\;\; \mathrm{oraz}\;\;\;\; \left|\cos\frac{x}{2}\right|>\frac{1}{2}\; .
\, </math></equation>
Wiemy bowiem z <xr id="eq:gra3d">(%i)</xr>, że dla <math>x\, </math> bliskich zeru spełnione są nierówności:
<equation id="eq:gra4c">
<math>
0\leq |\cos x-1|\leq \frac{x^2}{2}<\frac{1}{2}\; .
\, </math></equation>
W konsekwencji:
<equation id="eq:gra4d">
<math>
0\leq\left|\frac{\sin x-\mathrm{tg}\,x}{\sin^3 x}+\frac{1}{2}\right|<\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2}\cdot\frac{x^2}{4}=3\,x^2\; .
\, </math></equation>
Jeśli teraz - zgodnie z definicją Cauchy'ego - wziąć dowolnie małe <math>\epsilon>0\, </math>, to zawsze możemy dobrać <math>\delta\, </math> na przykład w następujący sposób: <math>\delta =\sqrt{\frac{\epsilon}{3}}\, </math> i nierówność <math>|x|<\delta\, </math> pociągnie za sobą:
<equation id="eq:gra4e">
<math>
\left|\frac{\sin x-\mathrm{tg}\,x}{\sin^3 x}+\frac{1}{2}\right|<\epsilon\; ,
\, </math></equation>
co kończy dowód.
 }}
----
<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Wykorzystując definicję Cauchy'ego granicy funkcji wykazać, że granica
<equation id="eq:gra5">
<math>
\lim_{x\rightarrow 2}\left(\frac{8}{x-2}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}\right)
\, </math></equation>
równa jest <math>-1\, </math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy oszacować wyrażenie:
<equation id="eq:gra5a">
<math>
\left|\frac{8}{x-2}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}+1\right|\; .
\, </math></equation>
 }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Wybierzmy dowolne <math>\epsilon>0\, </math> i zażądajmy aby <math>|x-2|<\delta\, </math> (ale <math>x\neq 2</math>), gdzie <math>\delta\, </math> za chwilę odpowiednio dobierzemy. Znajdziemy górne ograniczenie na wyrażenie <xr id="eq:gra5a">(%i)</xr> przepisując je w formie:
<equation id="eq:gra5b">
<math>
\begin{array}{ccl}
0&\!\!\! \leq&\!\!\! \displaystyle\left|\frac{8}{x-2}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}+1\right|=\left|\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}-\sqrt{2})}{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}\right|\\
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle\left|\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}\right|=\left|\frac{x-2}{(\sqrt{x}+\sqrt{2})^2}\right|<\frac{|x-2|}{(\sqrt{2})^2}<\frac{1}{2}\,\delta\; .
\end{array}\, </math></equation>
Jeśli teraz wybierzemy <math>\delta=2\epsilon\, </math>, to otrzymamy oczekiwany wynik:
<equation id="eq:gra5c">
<math>
\left|\frac{8}{x-2}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}+1\right|<\epsilon\; ,
\, </math></equation>
z którego wynika, że granica <xr id="eq:gra5">(%i)</xr> rzeczywiście równa jest <math>-1\, </math>.
 }}
----
<big>'''''Zadanie 6'''''</big>

Zbadać, czy istnieje granica:
<equation id="eq:gra6">
<math>
\lim_{x\rightarrow 0}\mathrm{tgh}\,\frac{1}{x}\; .
\, </math></equation> 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy porównać granice jednostronne.
 }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Obliczymy najpierw:
<equation id="eq:gra6a">
<math>
\lim_{x\rightarrow 0^+}\mathrm{tgh}\,\frac{1}{x}\underset{t=\frac{1}{x}}{\;\;=\;\;}\lim_{t\rightarrow \infty}\mathrm{tgh}\,t=\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{e^t-e^{-t}}{e^t+e^{-t}}=\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{1-e^{-2t}}{1+e^{-2t}}=1\; .
\, </math></equation>
Następnie:
<equation id="eq:gra6b">
<math>
\lim_{x\rightarrow 0^-}\mathrm{tgh}\,\frac{1}{x}\underset{t=\frac{1}{x}}{\;\;=\;\;}\lim_{t\rightarrow -\infty}\mathrm{tgh}\,t=\lim_{t\rightarrow -\infty}\frac{e^t-e^{-t}}{e^t+e^{-t}}=-\lim_{t\rightarrow -\infty}\frac{1-e^{2t}}{1+e^{2t}}=-1\; .
\, </math></equation>
Jak widzimy, granice jednostronne istnieją, ale są różne:
<equation id="eq:gra6c">
<math>
\lim_{x\rightarrow 0^+}\mathrm{tgh}\,\frac{1}{x}\neq\lim_{x\rightarrow 0^-}\mathrm{tgh}\,\frac{1}{x}\; ,
\, </math></equation>
skąd wynika, że granica <xr id="eq:gra6">(%i)</xr> nie istnieje.
 }}
----
<big>'''''Zadanie 7'''''</big>

Zbadać, czy istnieje granica:
<equation id="eq:gra7">
<math>
\lim_{x\rightarrow -2}\frac{x+2+2|x+2|}{x+2+3|x+2|}\; .
\, </math></equation> 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy porównać granice jednostronne.
 }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Obliczymy najpierw:
<equation id="eq:gra7a">
<math>
\lim_{x\rightarrow -2^+}\frac{x+2+2|x+2|}{x+2+3|x+2|}=\lim_{x\rightarrow -2^+}\frac{x+2+2(x+2)}{x+2+3(x+2)}=\lim_{x\rightarrow -2^+}\frac{3(x+2)}{4(x+2)}=\frac{3}{4}\; .
\, </math></equation>
Podobnie:
<equation id="eq:gra7b">
<math>
\lim_{x\rightarrow -2^-}\frac{x+2+2|x+2|}{x+2+3|x+2|}=\lim_{x\rightarrow -2^-}\frac{x+2-2(x+2)}{x+2-3(x+2)}=\lim_{x\rightarrow -2^-}\frac{-(x+2)}{-2(x+2)}=\frac{1}{2}\; .
\, </math></equation>
Jak widać, granice jednostronne istnieją, ale są różne:
<equation id="eq:gra7c">
<math>
\lim_{x\rightarrow -2^+}\frac{x+2+2|x+2|}{x+2+3|x+2|}\neq\lim_{x\rightarrow -2^-}\frac{x+2+2|x+2|}{x+2+3|x+2|}\; ,
\, </math></equation>
czyli granica <xr id="eq:gra7">(%i)</xr> nie istnieje.
 }}
----
<big>'''''Zadanie 8'''''</big>

Zbadać, czy istnieje granica:
<equation id="eq:gra8">
<math>
\lim_{x\rightarrow 0}f(x)\; ,
\, </math></equation>
gdzie
<equation id="eq:gra8a">
<math>
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle \frac{\sin x-\mathrm{tg}\, x}{x^3} & \mathrm{dla} & x>0\; ,\\
\displaystyle \frac{\sinh x-\mathrm{tgh}\, x}{x^3} & \mathrm{dla} & x<0\; .
\end{array}\right.\, </math></equation> 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy porównać granice jednostronne.
 }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Obliczymy najpierw prawostronną granicę funkcji <math>f\, </math>:
<equation id="eq:gra8b">
<math>
\begin{array}{ccl}
\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\sin x-\mathrm{tg}\, x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\sin x\left(1-\frac{1}{\cos x}\right)}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\sin x(\cos x-1)}{x^3\cos x}\\
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{-2\sin x\sin^2\frac{x}{2}}{x^3\cos x}=-2\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\sin x}{x}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{x}\right)^2\frac{1}{\cos x}=-2\cdot 1\cdot \frac{1}{4}\cdot 1=-\frac{1}{2}\; ,
\end{array}\, </math></equation>
gdzie wykorzystaliśmy pierwszy z wzorów <xr id="eq:gra3c">(%i)</xr>.
Granicę lewostronną znajdziemy w podobny sposób:
<equation id="eq:gra8c">
<math>
\begin{array}{ccl}
\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{\sinh x-\mathrm{tgh}\, x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{\sinh x\left(1-\frac{1}{\cosh x}\right)}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{\sinh x(\cosh x-1)}{x^3\cosh x}\\
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{2\sinh x\sinh^2\frac{x}{2}}{x^3\cosh x}=2\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{\sinh x}{x}\left(\frac{\sinh\frac{x}{2}}{x}\right)^2\frac{1}{\cosh x}=2\cdot 1\cdot \frac{1}{4}\cdot 1=\frac{1}{2}\; ,
\end{array}\, </math></equation>
gdzie tym razem skorzystaliśmy z faktu, że
<equation id="eq:gra8d">
<math>
\cosh x-1=2\sinh^2\frac{x}{2}\; .
\, </math></equation>
Ponieważ granice lewo- i prawostronna są różne, więc granica <xr id="eq:gra8">(%i)</xr> nie istnieje.
 }}
----
<big>'''''Zadanie 9'''''</big>

Znaleźć granicę:
<equation id="eq:gra9">
<math>
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\mathrm{tg} (x-1)}{\sin(x\sqrt{x}-1)}\; .
\, </math></equation> 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = W argumencie funkcji sinus należy wydzielić czynnik <math>(x-1)\, </math>.
 }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Najpierw przekształcimy argument sinusa pisząc:
<equation id="eq:gra9a">
<math>
x\sqrt{x}-1=\frac{(x^{3/2}-1)(x^{3/2}+1)}{x^{3/2}+1}=\frac{x^3-1}{x^{3/2}+1}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x\sqrt{x}+1}\; .
\, </math></equation>
Ułamek <math>\displaystyle \frac{x^2+x+1}{x\sqrt{x}+1}\, </math> ma dla <math>x\rightarrow 1\, </math> granicę równą <math>\displaystyle\frac{3}{2\, }</math>, czyli różną od zera. Wykorzystamy to pisząc:
<equation id="eq:gra9b">
<math>
\begin{array}{ccl}
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\mathrm{tg} (x-1)}{\sin(x\sqrt{x}-1)}&\!\!\! = &\!\!\!
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\mathrm{tg} (x-1)}{\sin\left((x-1)\frac{x^2+x+1}{x\sqrt{x}+1}\right)}\\
&\!\!\! = &\!\!\!\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\mathrm{tg}(x-1)}{x-1}\cdot \frac{(x-1)\frac{x^2+x+1}{x\sqrt{x}+1}}{\sin\left((x-1)\frac{x^2+x+1}{x\sqrt{x}+1}\right)}\cdot \frac{x\sqrt{x}+1}{x^2+x+1}=
1\cdot 1\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3}\; .
\end{array}\, </math></equation>
Skorzystaliśmy przy tym z faktu, że
<equation id="eq:gra9c">
<math>
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\mathrm{tg} (x-1)}{x-1}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\mathrm{tg}\, t}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{1}{\cos t}=1\; ,
\, </math></equation>
oraz
<equation id="eq:gra9d">
<math>
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)\frac{x^2+x+1}{x\sqrt{x}+1}}{\sin\left((x-1)\frac{x^2+x+1}{x\sqrt{x}+1}\right)}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin t}{t}=1\; ,
\, </math></equation>
gdzie w pierwszym przypadku podstawiliśmy <math>t=x-1\, </math>, a w drugim <math>\displaystyle t=(x-1)\frac{x^2+x+1}{x\sqrt{x}+1}\, </math>.
 }}
----
<big>'''''Zadanie 10'''''</big>

Znaleźć granicę:
<equation id="eq:gra10">
<math>
\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x}}{4x -\pi}\; .
\, </math></equation> 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.
 }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Wyrażenie <math>\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x}\, </math> można przepisać w postaci:
<equation id="eq:gra10a">
<math>
\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x}=\frac{(\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x})(\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x})}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}=\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\; .
\, </math></equation>
Teraz wykorzystamy wzór:
<equation id="eq:gra10b">
<math>
\begin{array}{ccl}
\sin\alpha-\cos\beta &\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle\sin\alpha-\sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=2\sin\frac{\alpha-\frac{\pi}{2}+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\frac{\pi}{2}-\beta}{2}\\
&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\; .
\end{array}\, </math></equation>
Kładąc <math>\alpha=\beta=x\, </math> mamy:
<equation id="eq:gra10c">
<math>
\sin x-\cos x=2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\cos\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\; ,
\, </math></equation>
i, po wstawieniu do <xr id="eq:gra10a">(%i)</xr>, uzyskujemy wynik końcowy:
<equation id="eq:gra10d">
<math>
\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x}}{4x -\pi}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{x-\frac{\pi}{4}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot 1\cdot\frac{1}{2\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}}=\frac{1}{4\sqrt[4]{2}}\; .\, </math></equation>
 }}
----
<big>'''''Zadanie 11'''''</big>

Zbadać, dla jakiej wartości parametrów <math>a,b\in\mathbb{R}\, </math> istnieje granica:
<equation id="eq:gra11">
<math>
\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{x^2+2x}-ax-b\right)
\, </math></equation>
i równa jest <math>1\, </math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Należy doprowadzić wyrażenie do postaci ilorazowej.
 }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Rozpatrywana granica ma charakter <math>\infty-\infty\, </math>. Aby więc wynik był skończony, to na pewno musi zachodzić: <math>a>0\, </math>. Wyrażenie pod znakiem granicy przepiszemy w postaci ilorazu, mnożąc je i dzieląc przez ten sam czynnik:
<equation id="eq:gra11a">
<math>
\begin{array}{ccl}
\sqrt{x^2+2x}-ax-b &\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle\frac{(\sqrt{x^2+2x}-ax-b)(\sqrt{x^2+2x}+ax+b)}{\sqrt{x^2+2x}+ax+b}=\frac{x^2+2x-(ax+b)^2}{\sqrt{x^2+2x}+ax+b}\\
&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle\frac{x^2(1-a^2)+2x(1-ab)-b^2}{x\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+a+\frac{b}{x}\right)}\; .
\end{array}\, </math></equation>
Istnienie granicy z powyższego wyrażenia wymaga, aby <math>a^2=1\, </math> i <math>a>0\, </math>, czyli <math>a=1\, </math>. Ponadto aby
<equation id="eq:gra11b">
<math>
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x(1-b)-b^2}{x\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1+\frac{b}{x}\right)}=1
\, </math></equation>
musimy mieć <math>1-b=1\, </math>, czyli <math>b=0\, </math>.
 }}
----

Matematyka 1NI/Granice funkcji - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "==Granice funkcji== '''''Zadanie 1''''' Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć \lim_{x\rightarrow 1}\fr..."

Anula: Utworzono nową stronę "==Granice funkcji== '''''Zadanie 1''''' Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć $\lim_{x\rightarrow 1}\fr..."$