Anula: Utworzono nową stronę "==Obliczanie pochodnych skomplikowanych funkcji== '''''Zadanie 1''''' Znaleźć pochodną funkcji: $f(x)=(\mathrm{tg}\, x)^..."$

2015-05-22T12:31:51Z

Utworzono nową stronę "==Obliczanie pochodnych skomplikowanych funkcji== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Znaleźć pochodną funkcji: <equation id="eq:oposf1"> <math> f(x)=(\mathrm{tg}\, x)^..."

Nowa strona

==Obliczanie pochodnych skomplikowanych funkcji==

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Znaleźć pochodną funkcji:
<equation id="eq:oposf1">
<math>
f(x)=(\mathrm{tg}\, x)^{\sin x}\; ,
\, </math> </equation>
gdzie <math>\displaystyle x\in \left]0,\frac{\pi}{2}\right[\, </math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Najpierw należy obliczyć pochodną funkcji <math>\log f(x)\, </math>.
 }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Aby obliczyć pochodną, musimy oddzielić zależność od <math>x\, </math> w podstawie od zależności od <math>x\, </math> w wykładniku. Umożliwia nam to funkcja logarytm. Mamy z jednej strony:
<equation id="eq:oposf1a">
<math>
\left[\log f(x)\right]'=\frac{1}{f(x)}\, f'(x)\; ,
\, </math> </equation>
a z drugiej:
<equation id="eq:oposf1b">
<math>
\begin{array}{ccl}
\left[\log f(x)\right]'&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \left[\sin x\log\mathrm{tg}\,x\right]'=\cos x\log\mathrm{tg}\,x+\sin x\,\frac{1}{\mathrm{tg}\, x}\cdot\frac{1}{\cos^2 x}\\
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \cos x\log\mathrm{tg}\,x+\frac{1}{\cos x}\; .
\end{array}\, </math></equation>
Z porównania powyższych wzorów otrzymujemy:
<equation id="eq:oposf1c">
<math>
f'(x)=(\mathrm{tg}\, x)^{\sin x}\left(\cos x\log\mathrm{tg}\,x+\frac{1}{\cos x}\right)\; .
\, </math> </equation>
 }}
----
<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Znaleźć pochodną funkcji:
<equation id="eq:oposf2">
<math>
f(x)=\log_{\sin x}\cos x\; ,
\, </math> </equation>
gdzie <math>\displaystyle x\in \left]0,\frac{\pi}{2}\right[\, </math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy wykorzystać wzór na zamianę podstawy logarytmu. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Aby oddzielić zależność funkcji od <math>x\, </math> w podstawie logarytmu od zależności w argumencie, wykorzystamy wzór:
<equation id="eq:oposf2a">
<math>
\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}\; .
\, </math> </equation>
dla <math>a,b,c>0</math> i <math>a,c\neq 1</math>. Otrzymujemy:
<equation id="eq:oposf2b">
<math>
f(x)=\frac{\log \cos x}{\log \sin x}\; ,
\, </math> </equation>
więc szukaną pochodną znaleźć możemy wykorzystując znany wzór na różniczkowanie ilorazu:
<equation id="eq:oposf2c">
<math>
f'(x)=\left[\frac{\log \cos x}{\log \sin x}\right]'=-\frac{\mathrm{tg}\, x\,\log\sin x+\mathrm{ctg}\, x\,\log\cos x}{\log^2\sin x}\; .
\, </math> </equation>
 }}
----
<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Znaleźć pochodną funkcji:
<equation id="eq:oposf3">
<math>
f(x)=e^{\sqrt{1-\mathrm{tg}\, x}}\; ,
\, </math> </equation>
gdzie <math>\displaystyle x\in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right[\, </math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Aby znaleźć pochodną wystarczy wykorzystać wzór na różniczkowanie funkcji złożonej. Otrzymujemy:
<equation id="eq:oposf3a">
<math>
\begin{array}{ccl}
f'(x)&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle\left[e^{\sqrt{1-\mathrm{tg}\, x}}\right]'=\left[e^u\right]'_u\bigg|_{u=\sqrt{1-\mathrm{tg}\, x}}\cdot \left[\sqrt{1-t}\right]'_t\bigg|_{t=\mathrm{tg}\, x}\cdot \left[\mathrm{tg}\, x\right]'_x\\
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle-e^{\sqrt{1-\mathrm{tg}\, x}}\,\frac{1}{2\sqrt{1-\mathrm{tg}\, x}\,\cos^2 x}\; .
\end{array}\, </math></equation>
 }}
----
<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Znaleźć pochodną funkcji:
<equation id="eq:oposf4">
<math>
f(x)=\log_x\left(\sin^2 x+2^{x^2}\right)\; ,
\, </math> </equation>
gdzie <math>\displaystyle x\in ]0,1[\, </math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy wykorzystać wzór na zamianę podstawy logarytmu. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Aby oddzielić zależność funkcji od <math>x\, </math> w podstawie logarytmu od zależności w argumencie, wykorzystamy wzór <xr id="eq:oposf2a">(%i)</xr>. Otrzymujemy w ten sposób:
<equation id="eq:oposf4a">
<math>
f(x)=\frac{\log (\sin^2 x+2^{x^2})}{\log x}\; ,
\, </math> </equation>
i szukaną pochodną znaleźć możemy wykorzystując znany wzór na różniczkowanie ilorazu:
<equation id="eq:oposf4b">
<math>
\begin{array}{ccl}
f'(x)&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle \left[\frac{\log (\sin^2 x+2^{x^2})}{\log x}\right]'=\frac{\frac{\sin 2x+2x\, 2^{x^2}\log 2}{\sin^2x+2^{x^2}}\,\log x-\frac{\log (\sin^2 x+2^{x^2})}{x}}{\log^2 x}\\
&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle\frac{x(\sin 2x+2x\, 2^{x^2}\log 2)\log x-(\sin^2 x+2^{x^2})\log (\sin^2 x+2^{x^2})}{x(\sin^2 x+2^{x^2})\log^2 x}\; .\end{array}
\, </math> </equation>
 }}
----

Matematyka 1NI/Obliczanie pochodnych skomplikowanych funkcji - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "==Obliczanie pochodnych skomplikowanych funkcji== '''''Zadanie 1''''' Znaleźć pochodną funkcji: f(x)=(\mathrm{tg}\, x)^..."

Anula: Utworzono nową stronę "==Obliczanie pochodnych skomplikowanych funkcji== '''''Zadanie 1''''' Znaleźć pochodną funkcji: $f(x)=(\mathrm{tg}\, x)^..."$