Anula: Utworzono nową stronę "==Obliczanie pochodnych z definicji== '''''Zadanie 1''''' Znaleźć z definicji pochodną funkcji $f(x)=\mathrm{ctg}\, x\,$ w punkcie $x_0\..."$

2015-05-22T12:30:59Z

Utworzono nową stronę "==Obliczanie pochodnych z definicji== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Znaleźć z definicji pochodną funkcji <math>f(x)=\mathrm{ctg}\, x\, </math> w punkcie <math>x_0\..."

Nowa strona

==Obliczanie pochodnych z definicji==

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Znaleźć z definicji pochodną funkcji <math>f(x)=\mathrm{ctg}\, x\, </math> w punkcie <math>x_0\neq k\pi\, </math>, gdzie <math>k\in\mathbb{N}\, </math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Zadanie bardzo proste, bez wskazówki.
 }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Napiszemy wyrażenie na iloraz różnicowy:
<equation id="eq:pdef1">
<math>
\begin{array}{ccl}
\displaystyle \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}
&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle \frac{\mathrm{ctg}(x_0+\bigtriangleup x)-\mathrm{ctg}\, x_0}{\bigtriangleup x}\\
&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle \frac{\cos(x_0+\bigtriangleup x)\sin x_0 -\sin(x_0+\bigtriangleup x)\cos x_0}{\bigtriangleup x \sin x_0 \sin(x_0+\bigtriangleup x)}\; .\end{array}
\, </math></equation>
Korzystając ze wzorów na sinus i cosinus sumy kątów oraz ze znanych granic:
<equation id="eq:pdef1a">
<math>
\begin{array}{ccl}
\displaystyle \lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\frac{\sin \bigtriangleup x}{\bigtriangleup x}&\!\!\! =&\!\!\! 1\; ,\\
\displaystyle \lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\sin (x_0+\bigtriangleup x)&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \sin x_0\; ,
\end{array}\,</math></equation>
przy czym ta druga wynika z ciągłości funkcji sinus, możemy napisać:
<equation id="eq:pdef1b">
<math>
\begin{array}{ccl}
f'(x_0)&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}\\
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\frac{(\cos x_0\cos\bigtriangleup x-\sin x_0\sin\bigtriangleup x)\sin x_0 -(\sin x_0\cos\bigtriangleup x+\cos x_0\sin\bigtriangleup x)\cos x_0}{\bigtriangleup x \sin x_0 \sin(x_0+\bigtriangleup x)}\\
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle
-\lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\frac{\sin \bigtriangleup x}{\bigtriangleup x}\cdot\frac{\sin^2 x_0 +\cos^2 x_0}{\sin x_0 \sin(x_0+\bigtriangleup x)}=-\frac{1}{\sin^2 x_0}\; .
\end{array}\,</math></equation>
 }}
----
<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Znaleźć z definicji pochodną funkcji <math>f(x)=\mathrm{cosh}\, x\, </math> w punkcie <math>x_0\in\mathbb{R}\, </math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Zadanie bardzo proste, bez wskazówki.
 }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Iloraz różnicowy ma postać:
<equation id="eq:pdef2">
<math>
\begin{array}{ccl}
\displaystyle \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{\mathrm{cosh}(x_0+\bigtriangleup x)-\mathrm{cosh}\, x_0}{\bigtriangleup x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{x_0+\bigtriangleup x}+e^{-x_0-\bigtriangleup x}-e^{x_0}-e^{-x_0}}{\bigtriangleup x }\\
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{1}{2}\,e^{x_0}\frac{e^{\bigtriangleup x}-1}{\bigtriangleup x}-\frac{1}{2}\,e^{-x_0-\bigtriangleup x}\frac{e^{\bigtriangleup x}-1}{\bigtriangleup x}\; .
\end{array}\,</math></equation>
Jak wiadomo
<equation id="eq:pdef2a">
<math>
\lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\frac{e^{\bigtriangleup x}-1}{\bigtriangleup x}=1\; ,
\, </math></equation>
więc
<equation id="eq:pdef2b">
<math>
f'(x_0)=\lim_{\bigtriangleup x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}=\frac{1}{2}\,e^{x_0}-\frac{1}{2}\,e^{-x_0}=\mathrm{sinh}\, x_0 \; .
\, </math></equation>
 }}
----
<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Znaleźć z definicji pochodną funkcji <math>f(x)=\mathrm{arctg}\, x\, </math> w punkcie <math>x_0\in\mathbb{R}\, </math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy skorzystać ze wzoru:
<equation id="eq:pdef3">
<math>
\mathrm{arctg}\, a-\mathrm{arctg}\, b=\mathrm{arctg}\frac{a-b}{1+ab}\; ,
\, </math></equation>
który słuszny jest dla rzeczywistych <math>a\, </math> i <math>b\, </math>, dla których <math>ab>-1\, </math>.
 }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Wyrażenie na iloraz różnicowy ma postać:
<equation id="eq:pdef3a">
<math>
\frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}=\frac{\mathrm{arctg}(x_0+\bigtriangleup x)-\mathrm{arctg}\, x_0}{\bigtriangleup x}=\frac{\mathrm{arctg}\frac{\bigtriangleup x}{1+x_0(x_0+\bigtriangleup x)}}{\bigtriangleup x}\; ,
\, </math></equation>
gdzie wykorzystaliśmy wzór podany we wskazówce:
<equation id="eq:pdef3b">
<math>
\mathrm{arctg}\, a-\mathrm{arctg}\, b=\mathrm{arctg}\frac{a-b}{1+ab}\; ,
\, </math></equation>
który obowiązuje dla rzeczywistych <math>a\, </math> i <math>b\, </math>, spełniających <math>ab>-1\, </math>. W naszym przypadku <math>a=x_0+\bigtriangleup x\, </math>, a <math>b=x_0\, </math>, więc (dla małego <math>\bigtriangleup x\, </math>) warunek ten jest spełniony. Jak wiadomo:
<equation id="eq:pdef3c">
<math>
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\mathrm{arctg}\, t}{t}=1\; ,
\, </math></equation>
więc otrzymujemy:
<equation id="eq:pdef3d">
<math>
\begin{array}{ccl}
f'(x_0)=\displaystyle \lim_{\bigtriangleup x \rightarrow 0}\frac{\mathrm{arctg}\frac{\bigtriangleup x}{1+x_0(x_0+\bigtriangleup x)}}{\frac{\bigtriangleup x}{1+x_0(x_0+\bigtriangleup x)}}\cdot \frac{1}{1+x_0(x_0+\bigtriangleup x)}=\frac{1}{1+x_0^2} \; .
\end{array}\, </math></equation>
Aby wykorzystać <xr id="eq:pdef3c">(%i)</xr> zastosowaliśmy powyżej podstawienie <math>\displaystyle t=\frac{\bigtriangleup x}{1+x_0(x_0+\bigtriangleup x)}\, </math>.
 }}
----
<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Znaleźć z definicji pochodną funkcji <math>f(x)=\sqrt{x}\, </math> w punkcie <math>x_0>0\, </math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Zadanie bardzo proste, bez wskazówki.
 }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Jak zwykle napiszemy wyrażenie na iloraz różnicowy:
<equation id="eq:pdef4">
<math>
\begin{array}{ccl}
\displaystyle \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{\sqrt{x_0+\bigtriangleup x}-\sqrt{x_0}}{\bigtriangleup x}\\
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{x_0+\bigtriangleup x-x_0}{\bigtriangleup x\,(\sqrt{x_0+\bigtriangleup x}+\sqrt{x_0})}=\frac{1}{\sqrt{x_0+\bigtriangleup x}+\sqrt{x_0}}\; .
\end{array}\, </math></equation>
Przechodząc z <math>\bigtriangleup x\, </math> do zera otrzymujemy:
<equation id="eq:pdef4a">
<math>
f'(x_0)=\frac{1}{2\sqrt{x_0}} \; .
\, </math></equation>
 }}
----
<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Znaleźć z definicji pochodną funkcji <math>f(x)=\sqrt[k]{x}\,</math> w punkcie <math>x_0>0\, </math> dla <math>k\in \mathbb{N}\, </math> i <math>k\geq 2\, </math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy skorzystać ze wzoru:
<equation id="eq:pdef5">
<math>
a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+\ldots +a b^{k-2}+b^{k-1})\; .
\, </math></equation>
 }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Wyrażenie na iloraz różnicowy ma teraz postać:
<equation id="eq:pdef5a">
<math>
\frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}= \frac{\sqrt[k]{x_0+\bigtriangleup x}-\sqrt[k]{x_0}}{\bigtriangleup x}\; .
\, </math></equation>
Aby pozbyć się różnicy pierwiastków z licznika wykorzystamy podany we wskazówce wzór:
<equation id="eq:pdef5b">
<math>
a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+\ldots +a b^{k-2}+b^{k-1})\; ,
\, </math></equation>
przyjmując: <math>\displaystyle a=\sqrt[k]{x_0+\bigtriangleup x}\, </math> oraz <math>\displaystyle b=\sqrt[k]{x_0}\, </math>. Otrzymujemy:
<equation id="eq:pdef5c">
<math>
\begin{array}{ccl}
\displaystyle \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle \frac{x_0+\bigtriangleup x-x_0}{\bigtriangleup x\,(\sqrt[k]{(x_0+\bigtriangleup x)^{k-1}}+\sqrt[k]{(x_0+\bigtriangleup x)^{k-2}x_0}+\ldots +\sqrt[k]{x_0^{k-1}})}\\
&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle \frac{1}{\sqrt[k]{(x_0+\bigtriangleup x)^{k-1}}+\sqrt[k]{(x_0+\bigtriangleup x)^{k-2}x_0}+\ldots +\sqrt[k]{x_0^{k-1}}}\; .
\end{array}\, </math></equation>
Przechodząc z <math>\bigtriangleup x\, </math> do zera mamy:
<equation id="eq:pdef5d">
<math>
f'(x_0)=\frac{1}{k\sqrt[k]{x_0^{k-1}}} \; .
\, </math></equation>
 }}
----
<big>'''''Zadanie 6'''''</big>

Znaleźć z definicji pochodną funkcji <math>\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+x^2}\, </math> w punkcie <math>x_0>0\, </math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Zadanie bardzo proste, bez wskazówki.
 }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Jak zwykle rozpoczynamy od napisania ilorazu różnicowego:
<equation id="eq:pdef6">
<math>
\begin{array}{ccl}
\displaystyle \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle \frac{1}{\bigtriangleup x}\left[\frac{1}{(x_0+\bigtriangleup x)(1+x_0+\bigtriangleup x)}-\frac{1}{x_0(1+x_0)}\right]\\
&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle \frac{x_0(1+x_0)-(x_0+\bigtriangleup x)(1+x_0+\bigtriangleup x)}{\bigtriangleup x(x_0+\bigtriangleup x)(1+x_0+\bigtriangleup x)x_0(1+x_0)}\; .
\end{array}\, </math></equation>
Po uproszczeniu otrzymujemy:
<equation id="eq:pdef6a">
<math>
\frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}=-\frac{1+2x_0+\bigtriangleup x}{(x_0+\bigtriangleup x)(1+x_0+\bigtriangleup x)x_0(1+x_0)}\underset{\bigtriangleup x\rightarrow 0}{\longrightarrow}-\frac{1+2x_0}{x_0^2(1+x_0)^2}\; ,
\, </math></equation>
i taka jest też wartość pochodnej.
 }}
----
<big>'''''Zadanie 7'''''</big>

Znaleźć z definicji pochodną funkcji <math>f(x)=x\sin x\, </math> w punkcie <math>x_0\in\mathbb{R}\, </math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Zadanie bardzo proste, bez wskazówki.
 }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Iloraz różnicowy ma tym razem postać:
<equation id="eq:pdef7">
<math>
\begin{array}{ccl}
\displaystyle \frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle \frac{(x_0+\bigtriangleup x)\sin(x_0+\bigtriangleup x)-x_0\sin x_0}{\bigtriangleup x}\\
&\!\!\! =&\!\!\! \displaystyle x_0\,\frac{\sin(x_0+\bigtriangleup x)-\sin x_0}{\bigtriangleup x}+\sin(x_0+\bigtriangleup x)\; .
\end{array}\, </math></equation>
Wykorzystamy teraz wzór:
<equation id="eq:pdef7a">
<math>
\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\; ,
\, </math></equation>
który pozwoli nam przepisać <xr id="eq:pdef7">(%i)</xr> w postaci:
<equation id="eq:pdef7b">
<math>
\frac{f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0)}{\bigtriangleup x}=2x_0\cos\left(x_0+\frac{\bigtriangleup x}{2}\right)\frac{\sin\frac{\bigtriangleup x}{2}}{\bigtriangleup x}+\sin(x_0+\bigtriangleup x)\; .
\, </math></equation>
Korzystając z ciągłości funkcji trygonometrycznych oraz z wartości granicy:
<equation id="eq:pdef7c">
<math>
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin a t}{t}=a\; ,
\, </math></equation>
otrzymujemy:
<equation id="eq:pdef7d">
<math>
f'(x_0)=x_0\cos x_0+\sin x_0\; .
\, </math></equation>
 }}
----

Matematyka 1NI/Obliczanie pochodnych z definicji - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "==Obliczanie pochodnych z definicji== '''''Zadanie 1''''' Znaleźć z definicji pochodną funkcji f(x)=\mathrm{ctg}\, x\, w punkcie x_0\..."

Anula: Utworzono nową stronę "==Obliczanie pochodnych z definicji== '''''Zadanie 1''''' Znaleźć z definicji pochodną funkcji $f(x)=\mathrm{ctg}\, x\,$ w punkcie $x_0\..."$