Anula: Utworzono nową stronę "'''''Zadanie 1''''' Pokaż, że funkcja $f: \, {\mathbb R} \ni x \mapsto f(x)=x^3+x$ jest injekcją. {{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FB..."

2015-05-22T12:26:06Z

Utworzono nową stronę "<big>'''''Zadanie 1'''''</big> Pokaż, że funkcja <math> f: \, {\mathbb R} \ni x \mapsto f(x)=x^3+x </math> jest injekcją. {{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FB..."

Nowa strona

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Pokaż, że funkcja

<math>
f: \, {\mathbb R} \ni x \mapsto f(x)=x^3+x
</math>

jest injekcją.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Istotnie <math>\forall x_1,x_2 \in {\mathbb R}</math> prawdą jest

<math>
x_1^3+x_1=x_2^3+x_2 \iff x_2^3-x_1^3+x_2 -x_1=0 \iff (x_2 -x_1)(x_2^2+x_1^2+x_1 x_2+1) =0
\iff (x_2 -x_1) [\frac{1}{2}x_2^2+\frac{1}{2}x_1^2+\frac{1}{2}(x_1+ x_2)^2+1]=0\iff x_2=x_1
</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----

<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Pokaż, że funkcja

<math>
f: \, {\mathbb R} \ni x \mapsto f(x)=x^3+x
</math>

jest rosnąca.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Istotnie <math>\forall x_1,x_2 \in {\mathbb R}</math> prawdą jest

<math>
x_1^3+x_1<x_2^3+x_2 \iff x_2^3-x_1^3+x_2 -x_1>0 \iff (x_2 -x_1)(x_2^2+x_1^2+x_1 x_2+1) >0
\iff (x_2 -x_1) [\frac{1}{2}x_2^2+\frac{1}{2}x_1^2+\frac{1}{2}(x_1+ x_2)^2+1]>0\iff x_2>x_1
</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----

<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Podaj, przeciwdziedzinę funkcji

<math>
f: \, {\mathbb R} \ni x \mapsto f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}
</math>

tak by funkcja ta była surjekcją.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Niech <math>y</math> jest dowolną liczbą rzeczywistą
sprawdźmy kiedy istnieje <math>x </math> takie, że
<math> y=\frac{x^2-1}{x^2+1} </math>. Mnożąc przez <math> x^2+1 </math> i porządkując otrzymujemy
<math> (1-y)x^2=1+y </math>. Widzimy, że w przypadku gdy <math> y=1</math> taki <math> x</math> nie istnieje.
Gdy <math> y\neq 1</math> otrzymujemy <math> x^2=\frac{1+y}{1-y} </math>. Aby <math> x</math> istniał potrzeba i wystarcza by
<math> 0 \leq \frac{1+y}{1-y} </math> co zachodzi dla
<math> y\in [-1, 1[</math>.

Szukana przeciwdziedzina to odcinek <math> [-1, 1[</math>.

}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----

<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Dana jest funkcja

<math>
f: \, \{1,3,7 \}\to \{-1,2,3 \}
</math>

zadana przez

<math>
f(1)=2
</math>

<math>
f(3)=3
</math>

<math>
f(7)=-1
</math>

Znajdź funkcję odwrotną do <math>f</math>. Narysuj wykresy <math>f</math> i <math>f^{-1}</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Odpowiedź

<math>
f: \, \{-1,2,3 \} \to \{1,3,7 \}
</math>

<math>
f(2)=1
</math>

<math>
f(3)=3
</math>

<math>
f(-1)=7
</math>

}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----

<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Pokaż, że funkcja

<math>
f: \, {\mathbb R} \ni x \mapsto f(x)=\frac{x}{x^2+1}
</math>

jest ograniczona.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Pokaż na przykład, że
<math>
\forall x \in {\mathbb R} \,\,\, -1<\frac{x}{x^2+1}<1
</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Rzeczywiście dla dowolnego <math> x \in {\mathbb R}</math> mamy

<math>
-1<\frac{x}{x^2+1}<1 \iff -x^2-1<x<x^2+1 \iff -x^2-x-1<0<x^2-x+1 \iff -(x+\frac{1}{2})^2-\frac{3}{4}<0<(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}
</math>

ostatnie nierówności są w sposób oczywisty prawdziwe.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----

<big>'''''Zadanie 6'''''</big>

Znajdź funkcję odwrotną do funkcji

<math>
f: \, {\mathbb R_+} \to ]-1,1[
</math>

<math>
x \mapsto f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}
</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Z zadania 3 wiemy już, że zbiór wartości funkcji to <math> ]-1,1[</math>. Niech <math>y</math> jest dowolną liczbą rzeczywistą z przedziału <math> ]-1,1[</math>.
Pokażemy, że istnieje dokładnie jeden <math>x </math> dodatni taki, że
<math> y=\frac{x^2-1}{x^2+1} </math>. Istotnie, mnożąc przez <math> x^2+1 </math> i porządkując otrzymujemy
<math> (1-y)x^2=1+y </math>. Skąd ponieważ
<math> y\neq 1</math> otrzymujemy <math> x^2=\frac{1+y}{1-y} </math> i ponieważ <math> \frac{1+y}{1-y} </math> jest liczbą dodatnią
(patrz Zadanie 3),
istnieje <math>x</math> i jest tylko jeden (bo <math>x \in\mathbb{R}_+</math>), taki że <math> x^2=\frac{1+y}{1-y} </math> mianowicie <math> x=\sqrt{\frac{1+y}{1-y}} </math>. Wniosek

<math> f^{-1}(x)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} </math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Położyć nacisk na sprawdzanie czy funkcja jest bijekcją. Tu wynika to wprost ze znajomości podstawowych funkcji elementarnych. Na zakończenie złożyć <math> f^{-1}\circ f</math>. }}
----

Matematyka 1NI/Podstawowe własności funkcji - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "'''''Zadanie 1''''' Pokaż, że funkcja f: \, {\mathbb R} \ni x \mapsto f(x)=x^3+x jest injekcją. {{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FB..."

Anula: Utworzono nową stronę "'''''Zadanie 1''''' Pokaż, że funkcja $f: \, {\mathbb R} \ni x \mapsto f(x)=x^3+x$ jest injekcją. {{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FB..."