Anula: Utworzono nową stronę "==Wstęp== ''''' Przykład ''''' (O tym że grupowanie wyrazów to delikatna materia a raczej o tym, że trzeba sprecyzować o czym mówimy pisząc $a_0..."$

2015-05-22T12:44:24Z

Utworzono nową stronę "==Wstęp== <big>''''' Przykład '''''</big> (O tym że grupowanie wyrazów to delikatna materia a raczej o tym, że trzeba sprecyzować o czym mówimy pisząc <math>a_0..."

Nowa strona

==Wstęp==

<big>''''' Przykład '''''</big>
(O tym że grupowanie wyrazów to delikatna materia a raczej o tym, że trzeba sprecyzować o czym mówimy pisząc <math>a_0+a_1+\cdots</math>)

<math>\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n</math>,

<math>(1-1)+(1-1)+\cdots=0 ?</math>

<math>1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots=1 ?</math>
----

<big>''''' Definicja szeregu, zbieżności (rozbieżności) szeregu, sumy szeregu '''''</big>

Niech dany jest ciąg <math>n \mapsto a_n</math>.
Szeregiem o wyrazach <math>a_n</math> nazywamy ciąg
<math>n \mapsto S_n=\sum_{k=0}^{n} a_k</math>.
<math>S_n</math> nazywamy sumą częściową szeregu.
Szereg nazywamy zbieżnym gdy ciąg <math>S_n</math> ma skończoną granicę
(granicę tę nazywamy sumą szeregu).
W przeciwnym wypadku szereg nazywamy rozbieżnym.
----

<big>'''''Fakt'''''</big>

Szereg powstający z pogrupowania wyrazów wyjściowego szeregu '''zbieżnego'''
ma tę samą sumę co szereg wyjściowy bo jest podciągiem ciągu wyjściowego (szeregu wyjściowego rozumianego jako ciąg). Dla szeregów o wyrazach dodatnich fakt ten można rozciągnąć na szeregi rozbieżne do <math>\infty</math>.
----

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>
(Warunek konieczny zbieżności szeregu)

Zbadaj zbieżność szeregów <math>\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3-2n}{3+2n}\right)^n</math>, <math>\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}}</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Sprawdź czy spełniony jest warunek konieczny zbieżności szeregu.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = W obu przypadkach granica wyrazów ciągów nie dąży do zera:
<math>\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}}=1 \, ,</math>
natomiast ciąg <math> \left(\frac{3-2n}{3+2n}\right)^n</math> nie ma granicy. Warunek konieczny zbieżności szeregu w obu przypadkach nie jest spełniony.
Szeregi są rozbieżne.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Nawet pod koniec semestru zdarzają się studenci nie wiedzący czym jest warunek konieczny.
}}
----

<big>'''''Zadanie 2'''''</big> (suma resorująca)

Zbadaj zbieżność szeregów ewentualnie oblicz ich sumę

<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{7n+7n^2}</math>,

<math>\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Zapisz wyrazy ciągu w postaci <math>b_{n}-b_{n+1}</math>. Skorzystaj z definicji zbieżności szeregu.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{7n+7n^2}=\frac{5}{7}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{5}{7}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1-n}{n(n+1)}
=\frac{5}{7}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{5}{7}\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1
</math>,

<math>\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \ln \frac{n(n+2)}{(n+1)^2}=
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\ln \frac{n}{(n+1)} - \ln \frac{(n+1)}{(n+2)} \right)=\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\ln\frac{1}{2}-\ln \frac{(n+1)}{(n+2)}
\right)=\ln\frac{1}{2}
</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 3'''''</big> (sumy częściowe szeregu geometrycznego, suma szeregu geometrycznego, dodawanie szeregów, mnożenie przez stałą)

Znaleźć sumę szeregu
<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 \pi^n+e^n}{4^n}</math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 \pi^n+e^n}{4^n}=4 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{\pi}{4}\right)^n+
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{e}{4}\right)^n=4 \frac{\pi}{4-\pi}+\frac{e}{4-e}</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Zbadaj zbieżność szeregu, w zależności od parametru <math>q</math>, oblicz jego sumę
<math>\sum_{k=0}^{\infty} (k+1) q^k</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Sugeruję by najpierw wyprowadzić wzór na sumy częściowe <math>T_n=\sum_{k=0}^{n} (k+1) q^k</math> na przyklad z faktu iż

<math> T_{n+1}-T_n=(n+2)q^{n+1}</math>

<math>T_{n+1}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q}+q T_n</math>

(potem pokazać, że łatwiej było zróżniczkować wzór na sumę częściową szeregu geometrycznego).
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Rozwiązując układ równań na <math>T_n</math> i <math>T_{n+1}</math>

<math> T_{n+1}-T_n=(n+2)q^{n+1}</math>

<math>T_{n+1}=1+q+ \cdots +q^{n+1}+q(1+2q+\cdots+(n+1)q^n)=\frac{1-q^{n+2}}{1-q}+q T_n</math>

otrzymujemy

<math> T_n=\frac{1-(n+2)q^{n+1}+(n+1)q^{n+2}}{(1-q)^2}</math>.

Szereg <math>T_n</math> jest zbieżny jedynie dla <math>|q|<1</math> i jego suma wynosi

<math>\frac{1}{(1-q)^2}</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 5'''''</big>
(Permutacja wyrazów szeregu to delikatna sprawa)

Wiedząc że <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\log 2</math>
znajdź sumę szeregu, którego sumy częściowe to
<math>T_1=1</math>, <math>T_2=1+\frac{1}{3}</math>, <math>T_3=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}</math>
<math>T_4=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}</math>,
<math>T_5=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}</math>,
<math>T_6=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}</math> etc.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
<math>T_{3n}=S_{4n}+\frac{1}{2}S_{2n}</math> (gdzie <math>S_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}</math>) i ponadto
<math>\lim_{n \to \infty} (T_{3n+1}-T_{3n})=0=\lim_{n \to \infty} (T_{3n+2}-T_{3n})</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Ponieważ <math>S_n</math> jest szeregiem zbieżnym to
<math>\lim_{n \rightarrow \infty} S_{4n} =\log 2=\lim_{n \rightarrow \infty} S_{2n}</math> a to oznacza że
<math>\lim_{n \rightarrow \infty}T_{3n}=\frac{3}{2}</math>. Ponieważ <math>\lim_{n \rightarrow \infty}T_{3n}=\lim_{n \rightarrow \infty}T_{3n+1}
=\lim_{n \rightarrow \infty}T_{3n+2}</math> otrzymujemy ostatecznie
<math>\lim_{n \to \infty} T_{n}=\frac{3}{2}</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Fakt'''''</big>

Suma szeregów bezwzględnie zbieżnych nie zmienia się gdy poprzestawiamy jego wyrazy.
----

== Szeregi o wyrazach dodatnich, zbieżność bezwzględna a zbieżność==

<big>'''''Fakt'''''</big>

Szereg harmoniczny p-tego rzędu <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}</math>.

<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}</math> jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy <math>p>1</math>.

<big>'''''Zadanie 6'''''</big>
(kryterium Cauchy o zagęszczaniu)
<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \ln n}</math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Nie ukrywamy, że można skorzystać z kryterium Cauchy'ego o zagęszczaniu.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Ponieważ ciąg <math>a_n=\frac{1}{n \ln n}</math> jest ciągiem malejącym i o wyrazach dodatnich to
zbieżność szeregu

<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \ln n}</math>

jest równoważna zbieżności szeregu

<math>\sum_{n=1}^{\infty}2^n\frac{1}{2^n \ln (2^n)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln 2}</math>.

Ponieważ ten ostatni szereg (szereg harmoniczny) jest rozbieżny to i wyjściowy szereg jest również rozbieżny.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Zadanie niniejsze poprzedzamy uwagą, że na wykładzie kryterium Cauchy'ego o zagęszczeniu posłużyło do stwierdzenia, że szereg harmoniczny p-tego rzędu jest zbieżny dla <math>p>1</math>.
}}
----

<big>'''''Zadanie 7'''''</big>
(kryterium porównawcze, kryterium porównawcze ilorazowe)

Zbadaj zbieżność poniższych szeregów

a) <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+n+1}{n^4+n^2+1}, </math>

b) <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}</math>,

c) <math> \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots 2n}}, </math>

d) <math> \sum_{n=1}^{\infty} \left[\frac{1}{n}- \log (1+\frac{1}{n}) \right]</math>

e) <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^3}</math>,

f) <math>\sum_{n=1}^{\infty}2^n\sin\frac{\pi}{3^n}</math>,

g) <math>\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n(n-1)}</math>,

h) <math>\sum_{n=1}^{\infty} \left(1- \sqrt[n]{\frac{n-1}{n}} \right)</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Wszystkie szeregi są szeregami o wyrazach dodatnich, można więc stosować kryteria porównawcze zbieżności szeregów.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
'''a)''' Porównajmy szereg z szeregiem harmonicznym rzędu 2 (o którym wiemy, że jest zbieżny). Stosujemy kryterium ilorazowe

<math>
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n^2+n+1}{n^4+n^2+1}}{\frac{1}{n^2}}=1
</math>

Ponieważ <math>0 <1< \infty</math> to zbieżność obu szeregów jest równoważna.
Szereg wyjściowy jest zbieżny.

'''b)''' Porównajmy szereg z szeregiem harmonicznym rzędu 1 (o którym wiemy, że jest rozbieżny). Stosujemy kryterium ilorazowe

<math>
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}}{\frac{1}{n}}=1
</math>

Ponieważ <math>0 <1< \infty</math> to zbieżność obu szeregów jest równoważna.
Szereg wyjściowy jest rozbieżny.

'''c)''' Ponieważ dla każdego <math> n </math> naturalnego zachodzi
<math>\frac{1}{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots 2n}}>\frac{1}{\sqrt[n]{(2n)^n}}=\frac{1}{2n}</math> a szereg <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}</math>
jest rozbieżny to na mocy kryterium porównawczego badany szereg jest rozbieżny.

'''d)''' Upewnijmy się najpierw, że jest to szereg o wyrazach dodatnich

<math> 0 <\frac{1}{n}- \log (1+\frac{1}{n}) \iff \log (1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n} \iff \log (1+\frac{1}{n})^n<1 \iff (1+\frac{1}{n})^n<e </math>

Ostatnia nierówność jest oczywiście prawdziwa (bo ciąg <math>(1+\frac{1}{n})^n</math> jest ciągiem rosnącym o granicy <math>e</math>).

Ponieważ przy <math>x </math> dążącym do 0 mamy <math>\log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^3)</math> to oznacza

<math>
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\log (1+x)}{x^2}=\frac{1}{2}
</math>

w szczególności

<math>
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n}-\log (1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{2}
</math>

to znaczy zbieżność rozważanego szeregu jest równoważna zbieżności szeregu harmonicznego rzędu 2. Wyjściowy szereg jest zbieżny.

'''e)''' Ponieważ dla każdego <math> n </math> naturalnego zachodzi <math>\frac{\ln n}{n^3}< \frac{n}{n^3}=\frac{1}{n^2}</math> i ponieważ szereg harmoniczny rzędu 2 jest zbieżny to zbieżny jest również wyjściowy szereg.

'''f)''' Tym razem porównajmy nasz szereg z szeregiem geometrycznym <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{3^n}</math> (jeśli żarzy się żarówka z napisem ,,dlaczego?" wróć do podpunktu '''d)''') mamy

<math>
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^n\sin\frac{\pi}{3^n}}{\frac{2^n}{3^n}}=\pi
</math>.

Na mocy kryterium porównawczego ilorazowego szereg jest zbieżny.

'''g)''' Obliczmy najpierw granicę ciągu <math>a_n=\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n-1}=\left(1-\frac{2}{n+1}\right)^{n-1}</math>,
Ponieważ <math>
\lim_{n \rightarrow \infty} -\frac{2}{n+1}=0
</math> oraz <math>
\lim_{n \rightarrow \infty} -\frac{2}{n+1}(n-1)=-2
</math>
to
<math>
\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1-\frac{2}{n+1}\right)^{n-1}=e^{-2}
</math>.
Oznacza to, że od pewnego <math>n </math> zachodzi
<math>\left[\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n-1}\right]^n< \left[\frac{1}{3} \right]^n </math>, a więc na mocy kryterium porównawczego
szereg jest zbieżny.

'''h)''' Obliczmy najpierw granicę używając reguły de l'Hospitala
<math>
\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1-(1-x)^x}{x^2} =\lim_{x \rightarrow 0^+} (1-x)^x \frac{\frac{x}{1-x}-\log (1-x)}{2x}=
\lim_{x \rightarrow 0^+} (1-x)^x \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\frac{x}{1-x}-\log (1-x)}{2x}=1
</math>

W szczególności

<math>
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1- \sqrt[n]{\frac{n-1}{n}}}{\frac{1}{n^2}} =1
</math>

a więc wyjściowy szereg na mocy kryterium porównawczego ilorazowego jest zbieżny.

}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 8'''''</big> (kryterium d'Alemberta, Cauchy'ego)

Zbadaj zbieżność szeregów

a) <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2}, </math>

b) <math>\sum_{k=1}^{\infty} \left( \begin{matrix} 2k \\ k\end{matrix}\right)5^{-k},</math>

c) <math>\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n(n-1)}</math>

d) <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n n!}{n^n}</math>

e) <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\operatorname{arctg} n)^n}{2^n}</math>,

f) <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+\sqrt{n}}{8n+1}\right)^{\frac{n}{2}}</math>,

g) <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n^2+n+1)7^n}{2^{n+1} 3^{n-1}}</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Wszystkie szeregi są szeregami o wyrazach dodatnich porównujemy je z szeregami geometrycznymi stosując kryteria d'Aleberta lub Cauchy'ego.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = We wszystkich odpowiedziach <math>a_n</math> oznacza ciąg wyrazów szeregu, którego zbieżność badamy.

'''a)''' Zastosujmy kryterium d'Alemberta tzn. obliczmy granicę ilorazu dwóch kolejnych wyrazów szeregu

<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{ \frac{[2(n+1)]!}{[(n+1)!]^2} }{ \frac{(2n)!}{(n!)^2} }=
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)(n+1)}=4</math>.

Ponieważ granica ta jest większa od jedynki to na mocy kryterium d'Alemberta wyjściowy szereg jest rozbieżny.

'''b)''' Jak w punkcie a):

<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=
\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\left( \begin{matrix} 2n+2 \\ n+1\end{matrix}\right)5^{-n-1}}{ \left( \begin{matrix} 2n \\ n\end{matrix}\right)5^{-n}}=
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(2n+2)(2n+1)}{5(n+1)(n+1)}=\frac{4}{5}
</math>.

Ponieważ granica ta jest mniejsza od jedynki to na mocy kryterium d'Alemberta wyjściowy szereg jest zbieżny.

'''c)''' Szereg ten pojawił się już w poprzednim zadaniu (przykład g)), gdzie zastosowaliśmy ideę stojącą za kryterium Cauchy'ego. Tym razem użyjmy gotowego narzędzia
kryterium Cauchy'ego właśnie. Obliczmy granicę <math>\sqrt[n]{a_n}</math>

<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=
\lim_{n \rightarrow \infty} \left(1-\frac{2}{n+1}\right)^{n-1}=e^{-2}
</math>

Granica ta jest mniejsza od jedynki wobec tego szereg jest zbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego.

'''d)''' Korzystamy z kryterium d'Alemberta

<math>
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^(n+1)}}{\frac{2^n n!}{n^n}} =
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{2}{e}<1
</math>

Szereg jest zbieżny.

'''e)''' Korzystamy z kryterium Cauchy'ego

<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(\operatorname{arctg} n)}{2}=\frac{\pi}{4}<1</math>

Szereg jest zbieżny.

'''f)'''Korzystamy z kryterium Cauchy'ego

<math> \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2n+\sqrt{n}}{8n+1}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}<1</math>

Szereg jest zbieżny.

'''g)''' Korzystamy z kryterium Cauchy'ego

<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{7\sqrt[n]{n^2+n+1}\sqrt[n]{3}}{6\sqrt[n]{2}}=\frac{7}{6}>1 </math>.

Szereg jest rozbieżny.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Przypomnienie'''''</big>

Związek między kryterium d'Alemberta i kryterium Cauchy'ego.
<math>\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=g \Rightarrow \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=g</math>.

<big>'''''Zadanie 9'''''</big> (Zbieżność bezwzględna a zbieżność)

Zbadaj zbieżność szeregu

<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin 3^n}{3^n}</math>,

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Zbadaj zbieżność bezwzględną szeregu.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Zachodzi następujące oszacowanie
<math>\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\sin 3^n}{3^n}\right|< \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n} </math>, a więc nasz szereg jest zbieżny bezwzględnie.
Wobec tego jest również zbieżny.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

== Szeregi naprzemienne==

<big>'''''Zadanie 10'''''</big> (Kryterium Leibnitza)

Zbadaj zbieżność szeregów

a) <math> \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt[4]{|n -\frac{2011}{2}|}} </math>

b) <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{\ln n}{n}</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = '''a)'''
Ciąg <math> \displaystyle a_n= \frac{1}{\sqrt[4]{|n -\frac{2011}{2}|}} </math> jest zbieżny do 0 i malejący do począwszy od
<math> n=1006 </math>.
Zatem na mocy kryterium Leibnitza wyjściowy szereg jest zbieżny.

'''b)''' Ponieważ pochodna funkcji <math>f(x) =\frac{\ln x}{x}</math>.
wynosi
<math>f'(x)= \frac{1-\ln x}{x^2}</math> to na zbiorze <math>]e,\infty[</math> jest ona ujemna i w rezultacie funkcja jest malejąca.
Ponadto granica tej funkcji w nieskończoności wynosi 0. Wynika stąd, że ciąg <math>a_n =\frac{\ln n}{n}</math> jest rosnący przynajmniej od
<math>n=3</math> i ma granicę 0. Zatem na mocy kryterium Leibnitza wyjściowy szereg jest zbieżny.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 11'''''</big>

Zbadaj zbieżność szeregu

<math> \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{2009+(-1)^n}{n}</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Szereg jest rozbieżny bo jest sumą szeregu zbieżnego i rozbieżnego.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

Matematyka 1NI/Szeregi liczbowe - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "==Wstęp== ''''' Przykład ''''' (O tym że grupowanie wyrazów to delikatna materia a raczej o tym, że trzeba sprecyzować o czym mówimy pisząc a_0..."

Anula: Utworzono nową stronę "==Wstęp== ''''' Przykład ''''' (O tym że grupowanie wyrazów to delikatna materia a raczej o tym, że trzeba sprecyzować o czym mówimy pisząc $a_0..."$