Anula: Utworzono nową stronę "==Szeregi Potęgowe== '''''Zadanie 1''''' Obliczyć promień zbieżności szeregów i zbadać jego zbieżność na krańcach przedziału zbieżności. a)..."

2015-05-22T12:44:54Z

Utworzono nową stronę "==Szeregi Potęgowe== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Obliczyć promień zbieżności szeregów i zbadać jego zbieżność na krańcach przedziału zbieżności. a)..."

Nowa strona

==Szeregi Potęgowe==

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Obliczyć promień zbieżności szeregów i zbadać jego zbieżność na krańcach przedziału zbieżności.

a) <math> \sum_{n=0}^{\infty} \frac{7^n}{n^2+1} x^n</math>

b) <math> \sum_{n=0}^{\infty} \frac{7^n}{n!} x^n</math>

c) <math> \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{n^n} x^n</math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =

'''a)'''<math> \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{7^n}{n^2+1}}=7 \,\,\, </math> stąd promień zbieżności wynosi <math>\frac{1}{7}</math>.
Na prawym krańcu przedziału zbieżności mamy szereg <math> \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}</math> zbieżny (bo jego zbieżność jest równoważna zbieżności szeregu harmonicznego drugiego rzędu) na lewym krańcu przedziału zbieżności mamy szereg <math> \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2+1}</math>, który również jest zbieżny (a nawet zbieżny bezwzględnie).

'''b)'''<math>
\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{7^n}{n!}}=
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{7^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{7^n}{n!}}=
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{7}{n+1}=0
</math> stąd promień zbieżności wynosi <math>\infty</math>.

'''c)'''<math> \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}=
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}=\frac{1}{e} \,\,\,</math> stąd promień zbieżności wynosi <math>e</math>. Na krańcach promienia zbieżności otrzymujemy szeregi rozbieżne bo warunki konieczne zbieżności szeregu nie są spełnione
bowiem ciąg <math>a_n=\frac{n!e^n}{n^n}</math> jest rosnący. Aby to zobaczyć pokażemy, że iloraz <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}</math> jest większy od 1.
Istotnie
<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{(n+1)!e^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!e^n}{n^n}}=\frac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Obliczyć promień zbieżności szeregu

<math> \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(7x+1)^{2n}}{n^7}</math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Szereg jest zbieżny bezwzględnie jeśli
<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|\frac{(7x+1)^{2n}}{n^7}\right|}<1</math> tzn. gdy
<math>|7x+1|^{2}<1</math> czyli w ,,kole" (odcinku) o promieniu <math>\frac{1}{7}</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Całkując w kole zbieżności rozwinięcie w szereg Taylora funkcji <math> f(x)=\frac{1}{1+x^2}</math>
znaleźć rozwinięcie w szereg Taylora arcus tangensa.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Rozwinięciem <math> f(x)=\frac{1}{1+x^2}</math> dla <math>|x|<1</math> jest

<math>\frac{1}{1+x^2}= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}</math>.

Całkując obustronnie (po prawej stronie wyraz po wyrazie w kole zbieżności) otrzymujemy

<math>\arctan x= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1}x^{2n+1} +c</math>.

Wstawiając <math>x=0</math> otrzymujemy <math>c=0</math>.
Ostatecznie mamy więc

<math>\arctan x= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1}x^{2n+1} </math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Udowodnij, że jeśli

<math> \cos z =\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </math>

oraz

<math> \sin z =\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} </math>

to

<math> \cos^2 z+\sin^2 z=1</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Użyteczna będzie tożsamość <math> \sum_{k=0}^n {2n+2 \choose 2n-2k+1}=\sum_{k=0}^{n+1} {2n+2 \choose 2n-2k+2}</math>, która jest bezpośrednią konsekwencją rozwinięcia dwumianu Newtona <math> 0=(1-1)^{2n+2}= \sum_{k=0}^{n+1} {2n+2 \choose 2n-2k+2}-\sum_{k=0}^n {2n+2 \choose 2n-2k+1}</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Podnieśmy najpierw <math> \cos \, z </math> do kwadratu

<math> \cos^2 z=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(z^{2})^n}{(2n)!} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(z^{2})^n}{(2n)!}
=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(2k)!} \frac{1}{(2(n-k))!} \right) z^{2n}=
=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(2k)!} \frac{1}{(2(n-k))!} \right) z^{2n}=</math>
<math>=1+\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left(\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(2k)!} \frac{1}{(2(n-k))!} \right) z^{2n}=
1+\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} \left(\sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{(2k)!} \frac{1}{(2(n+1-k))!} \right) z^{2n+2}=
</math>
<math>
=1+\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{(2n+2)!} \left(\sum_{k=0}^{n+1} {2n+2 \choose 2n-2k+2} \right) z^{2n+2}
</math>.

Analogicznie dla <math> \sin \, z </math> mamy

<math> \sin^2 z=z^2\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(z^{2})^n}{(2n+1)!} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(z^{2})^n}{(2n+1)!}
=z^2\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(2k+1)!} \frac{1}{(2(n-k)+1)!} \right) z^{2n}=
</math>
<math>
=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{(2n+2)!} \left(\sum_{k=0}^{n} {2n+2 \choose 2n-2k+1} \right) z^{2n+2}</math>.
}}

Dodając tak otrzymane wyniki i używając tożsamości zasugerowanej we wskazówce otrzymujemy
<math> \cos^2 z+\sin^2 z=1</math>.
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

Matematyka 1NI/Szeregi potegowe - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "==Szeregi Potęgowe== '''''Zadanie 1''''' Obliczyć promień zbieżności szeregów i zbadać jego zbieżność na krańcach przedziału zbieżności. a)..."