Anula: Utworzono nową stronę "==Wykorzystywanie pochodnych funkcji odwrotnych== '''''Zadanie 1''''' Wykorzystując znaną pochodną: $[x^k]'=kx^{k-1}\,$ , znaleźć pochodną f..."

2015-05-22T12:31:26Z

Utworzono nową stronę "==Wykorzystywanie pochodnych funkcji odwrotnych== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Wykorzystując znaną pochodną: <math>[x^k]'=kx^{k-1}\,</math>, znaleźć pochodną f..."

Nowa strona

==Wykorzystywanie pochodnych funkcji odwrotnych==

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Wykorzystując znaną pochodną: <math>[x^k]'=kx^{k-1}\,</math>, znaleźć pochodną funkcji <math>f(x)=\sqrt[k]{x}\,</math>, dla <math>x>0\,</math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.
 }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Zachodzi tożsamość:
<equation id="eq:pofod1">
<math>
(f(x))^k=x\; .
\, </math></equation>
Różniczkując obie strony otrzymujemy:
<equation id="eq:pofod1a">
<math>
k (f(x))^{k-1} f'(x)=1\; ,
\, </math></equation>
skąd wynika szukana pochodna:
<equation id="eq:pofod1b">
<math>
f'(x)=\frac{1}{k (f(x))^{k-1}}=\frac{1}{k\sqrt[k]{x^{k-1}}}\; .
\, </math></equation>
 }}
----
<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Wykorzystując znaną pochodną: <math>[\cos x]'=-\sin x\,</math>, znaleźć pochodną funkcji <math>f(x)=\arccos x\,</math>, dla <math>-1<x<1\,</math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.
 }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Spełniona jest tożsamość:
<equation id="eq:pofod2">
<math>
\cos(f(x))=x\; .
\, </math></equation>
Różniczkując obie strony po <math>x</math> otrzymujemy:
<equation id="eq:pofod2a">
<math>
-\sin(f(x)) f'(x)=1\; ,
\, </math></equation>
skąd możemy wyliczyć pochodną <math>f'(x)\,</math>:
<equation id="eq:pofod2b">
<math>
f'(x)=-\frac{1}{\sin(f(x))}\; .
\, </math></equation>
Z równania <xr id="eq:pofod2">(%i)</xr> wynika, iż
<equation id="eq:pofod2c">
<math>
\sin^2(f(x))=1-x^2\; ,
\, </math></equation>
a ponieważ <math>f(x)\,</math> przyjmuje (z definicji) wartości w przedziale <math>]0,\pi[\,</math>, gdzie funkcja sinus jest dodatnia, więc
<equation id="eq:pofod2d">
<math>
\sin(f(x))=\sqrt{1-x^2}\; .
\, </math></equation>
Wstawiając to wyrażenie do <xr id="eq:pofod2b">(%i)</xr>, uzyskujemy wynik końcowy:
<equation id="eq:pofod2e">
<math>
f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\; .
\, </math></equation>
 }}
----
<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Wykorzystując znaną pochodną: <math>[a^x]'=\log a\, a^x\,</math>, znaleźć pochodną funkcji <math>f(x)=\log_a x\,</math>, dla <math>x>0\,</math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.
 }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
W sposób oczywisty spełniona jest tożsamość:
<equation id="eq:pofod3">
<math>
a^{f(x)}=x\; .
\, </math></equation>
Różniczkując obie strony po <math>x</math> otrzymujemy:
<equation id="eq:pofod3a">
<math>
\log a\, a^{f(x)} f'(x)=1\; ,
\, </math></equation>
skąd wyliczamy pochodną <math>f'(x)\,</math>:
<equation id="eq:pofod3b">
<math>
f'(x)=\frac{1}{\log a}\, a^{-f(x)}=\frac{1}{x\log a}\; .
\, </math></equation>
 }}
----
<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Wykorzystując znaną pochodną: <math>\displaystyle [\mathrm{tgh}\, x]'=\frac{1}{\cosh x^2}\,</math>, znaleźć pochodną funkcji <math>f(x)=\mathrm{artgh}\, x\,</math>, dla <math>-1<x<1\,</math>. 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.
 }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Spełniona jest oczywiście tożsamość:
<equation id="eq:pofod4">
<math>
\mathrm{tgh}\, f(x)=x\; ,
\, </math></equation>
po obustronnym zróżniczkowaniu której otrzymujemy:
<equation id="eq:pofod4a"> <math>
\frac{1}{\cosh^2 f(x)}\, f'(x)=1\; .
\, </math></equation>
Wyliczamy stąd pochodną <math>f'(x)\,</math>:
<equation id="eq:pofod4b">
<math>
f'(x)=\cosh^2 f(x)\; .
\, </math></equation>
Prawą stronę możemy teraz znaleźć wykorzystując <xr id="eq:pofod4">(%i)</xr> oraz tak zwaną "jedynkę hiperboliczną"
<equation id="eq:pofod4c">
<math>
\cosh^2 t-\sinh^2 t=1\; .
\, </math></equation>
Mamy bowiem: 
<math>
\cosh^2 f(x)(1-\mathrm{tgh}^2 f(x))=1\; ,\;\;\;\; \mathrm{czyli}\;\;\;\; \cosh^2 f(x)(1-x^2)=1\; .\,
</math> 
W efekcie znajdujemy:
<equation id="eq:pofod4d">
<math>
f'(x)=\frac{1}{1-x^2}\; .
\, </math></equation>

Warto zwrócić uwagę, że pochodną tę można także znaleźć bez odwoływania się do funkcji odwrotnej. Można bowiem rozwiązać <xr id="eq:pofod4">(%i)</xr> ze względu na <math>f(x)\,</math>:
<equation id="eq:pofod4e">
<math>
\frac{e^{f(x)}-e^{-f(x)}}{e^{f(x)}+e^{-f(x)}}=x\;\; \Longleftrightarrow \;\; e^{2f(x)}=\frac{1+x}{1-x} \;\; \Longleftrightarrow \;\; f(x)=\frac{1}{2}\,\log\frac{1+x}{1-x}\; ,
\, </math></equation>
po czym obliczyć <math>f'(x)\,</math> korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej. Ponownie otrzymujemy w ten sposób <xr id="eq:pofod4d">(%i)</xr>.
 }}
----

Matematyka 1NI/Wykorzystywanie pochodnych funkcji odwrotnych - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "==Wykorzystywanie pochodnych funkcji odwrotnych== '''''Zadanie 1''''' Wykorzystując znaną pochodną: [x^k]'=kx^{k-1}\,, znaleźć pochodną f..."

Anula: Utworzono nową stronę "==Wykorzystywanie pochodnych funkcji odwrotnych== '''''Zadanie 1''''' Wykorzystując znaną pochodną: $[x^k]'=kx^{k-1}\,$ , znaleźć pochodną f..."