Anula: Utworzono nową stronę "==Wzór Taylora== '''''Zadanie 1''''' Napisać wzór Taylora-Maclaurina dla funkcji $\displaystyle f(x)=(1+x)^{\frac{1}{3}}\,$ do rzędu $n..."$

2015-05-22T12:43:30Z

Utworzono nową stronę "==Wzór Taylora== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Napisać wzór Taylora-Maclaurina dla funkcji <math>\displaystyle f(x)=(1+x)^{\frac{1}{3}}\, </math> do rzędu <math>n..."

Nowa strona

==Wzór Taylora==

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Napisać wzór Taylora-Maclaurina dla funkcji <math>\displaystyle f(x)=(1+x)^{\frac{1}{3}}\, </math> do rzędu <math>n\, </math> z resztą w postaci Lagrange'a.
 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Zgodnie ze wzorem Taylora obliczamy kolejne pochodne funkcji <math>\displaystyle f(x)=(1+x)^{\frac{1}{3}}\, </math> w zerze. Mamy zatem:
<equation id="eq:wzta1"> <math>\begin{array}{ccl}
f'(x)&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle \frac{1}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}}\;\; \Longrightarrow \;\; f'(0)=\frac{1}{3}\; ,\\
f''(x)&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle \frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)(1+x)^{-\frac{5}{3}}\;\; \Longrightarrow \;\; f''(0)=\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{2}{3^2}\; , \\
f'''(x)&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle \frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{5}{3}\right)(1+x)^{-\frac{8}{3}}\;\; \Longrightarrow \;\; f'''(0)=\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{2\cdot 5}{3^3}\; ,\\
\ldots & \ldots & \ldots \\
f^{(n)}(x)&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle \frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{5}{3}\right)\cdot\ldots \cdot \left(-\frac{3n-4}{3}\right)(1+x)^{-\frac{3n-1}{3}}\\
\Longrightarrow \;\; f^{(n)}(0)&\!\!\! = &\!\!\!\displaystyle \frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{5}{3}\right)\cdot\ldots \cdot \left(-\frac{3n-4}{3}\right)= (-1)^{n-1}\frac{2\cdot 5\cdot\ldots\cdot (3n-4)}{3^n}\; .
\end{array}\, </math></equation>
Teraz możemy już skompletować wzór Taylora, do rzędu <math>n\, </math>:
<equation id="eq:wzta1a"> <math>\begin{array}{ccl}
f(x)&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle f(0)+\frac{x}{1!}\, f'(0)+\frac{x^2}{2!}\, f''(0)+\frac{x^3}{3!}\, f'''(0)+\ldots+\frac{x^n}{n!}\, f^{(n)}(0)+R_n(0,x)\\
&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle 1+\frac{1}{3}\, x-\frac{1}{9}\, x^2+\frac{5}{81}\, x^3+\ldots+(-1)^{n-1}\frac{2\cdot 5\cdot\ldots\cdot (3n-4)}{3^n n!}\, x^n+R_n(0,x)\; .\\
\end{array}\, </math></equation>
Reszta <math>R_n(0,x)\, </math> zapisana w postaci Lagrange'a, ma tutaj postać:
<equation id="eq:wzta1b"> <math>
R_n(0,x)=\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\, f^{(n+1)}(\theta x)=(-1)^{n}\frac{2\cdot 5\cdot\ldots\cdot (3n-1)}{3^{n+1} (n+1)!}(1+\theta x)^{-\frac{3n+2}{3}}x^{n+1}\; ,
\, </math></equation>
przy czym <math>\theta\, </math> jest pewną nieznaną nam stałą z przedziału <math>]0,1[\, </math>.
}}
----
<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Wyprowadzić wzór Taylora-Maclaurina dla funkcji <math>\displaystyle f(x)=\mathrm{arsinh}\,x\, </math> do rzędu <math>k=2n+1\, </math> z resztą w postaci Peano.
 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Można najpierw znaleźć wzór Taylora dla <math>f'(x)\, </math>, a potem na tej podstawie otrzymać wzór dla <math>f(x)\, </math>. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Spróbujmy najpierw rozwiązać to zadanie identyczną metodą, jak w poprzednim zadaniu. Należy przy tym pamiętać, że zachodzi:
<equation id="eq:wzta2"> <math>
\mathrm{arsinh}\,x=\log(x+\sqrt{x^2+1})\; .
\, </math></equation>
Obliczmy kilka pierwszych pochodnych funkcji <math>f\, </math>:
<equation id="eq:wzta2a"> <math>\begin{array}{ccl}
f'(x)&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\; ,\\
f''(x)&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle \frac{-x}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}\; ,\\
f'''(x)&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle \frac{2x^2-1}{(x^2+1)^{\frac{5}{2}}}\; , \\
f^{(4)}(x)&\!\!\! = &\!\!\! \displaystyle \frac{-3(2x^3-3x)}{(x^2+1)^{\frac{7}{2}}}\; ,
\end{array}\, </math></equation>
i tak dalej. Rzut oka na powyższe wyrażenia uzmysławia nam, że trudno byłoby wydedukować na ich podstawie ogólny wzór na <math>f^{(n)}(x)\, </math>. Dlatego też postąpimy inaczej. Zauważając, że pierwsza pochodna jest funkcją wyłącznie argumentu <math>x^2\, </math>, zdefiniujemy
<equation id="eq:wzta2b"> <math>
g(t):=\left.f'(x)\right|_{x^2=t}=(1+t)^{-\frac{1}{2}}\; ,
\, </math></equation>
po czym szukać będziemy wzoru Taylora dla funkcji <math>g(t)\, </math>. Tym razem wszystkie pochodne (po <math>t\, </math>) obliczać będzie można bardzo łatwo. Mamy:
<equation id="eq:wzta2c"> <math>\begin{array}{ccl}
g'(t)&\!\!\!\! = &\!\!\!\! \displaystyle -\frac{1}{2}(1+t)^{-\frac{3}{2}}\;\; \Longrightarrow \;\; g'(0)=-\frac{1}{2}\; ,\\
g''(t)&\!\!\!\! = &\!\!\!\! \displaystyle -\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)(1+t)^{-\frac{5}{2}}\;\; \Longrightarrow \;\; g''(0)=-\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{1\cdot 3}{2^2}\; , \\
\ldots & \ldots & \ldots \\
g^{(n)}(t)&\!\!\!\! = &\!\!\!\! \displaystyle (-1)^n\frac{(2n-1)!!}{2^n}(1+t)^{-\frac{2n+1}{2}}\;\;
\Longrightarrow \;\; g^{(n)}(0)=(-1)^n\frac{(2n-1)!!}{2^n}
\end{array}\, </math></equation>
i stąd:
<equation id="eq:wzta2d"> <math>
g(t)=1-\frac{1}{2}\, t+\frac{3}{8}\, t^2+\ldots +(-1)^n\frac{(2n-1)!!}{2^n n!}\, t^n+o(t^n)\; .
\, </math></equation>
Symbol <math>o(t^n)\, </math> oznacza tu resztę w postaci Peano, a zatem spełniającą:
<equation id="eq:wzta2e"> <math>
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{o(t^n)}{t^n}=0\; .
\, </math></equation>
Wzór <xr id="eq:wzta2d">(%i)</xr> jest w rzeczywistości wzorem na pochodną funkcji <math>f\, </math>:
<equation id="eq:wzta2f"> <math>
f'(x)=1-\frac{1}{2}\, x^2+\frac{3}{8}\, x^4+\ldots +(-1)^n\frac{(2n-1)!!}{2^n n!}\, x^{2n}+o(x^{2n})\; .
\, </math></equation>

Załóżmy teraz, że funkcja <math>f\, </math> ma następujący wzór Taylora:
<equation id="eq:wzta2g"> <math>
f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4+a_5 x^5\ldots +a_{2n+1}x^{2n+1}+R(x)\; .
\, </math></equation>
Jasne jest, że <math>a_0=0\, </math> podobnie jak wszystkie inne parzyste współczynniki, ze względu na to, iż funkcja arsinh jest nieparzysta. Natomiast współczynniki o indeksach nieparzystych znajdziemy, obliczając pochodną <xr id="eq:wzta2g">(%i)</xr> i porównując wynik z <xr id="eq:wzta2f">(%i)</xr>. W ten sposób otrzymujemy:
<equation id="eq:wzta2h"> <math>
a_1=1\; ,\;\;\;\; a_3=-\frac{1}{6}\; ,\;\;\;\; a_5=\frac{3}{40}\; ,\;\;\;\; \ldots\; ,\;\;\;\; a_{2n+1}=(-1)^n\frac{(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}
\, </math></equation>
oraz <math>R'(x)=o(x^{2n})\, </math>. Ponieważ <math>R(x)\underset{x\rightarrow 0}{\longrightarrow}0\, </math>,
więc do granicy
<equation id="eq:wzta2h1"> <math>
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{R(x)}{x^{2n+1}}
\, </math></equation>
możemy zastosować twierdzenie de l'Hospitala, otrzymując:
<equation id="eq:wzta2i"> <math>
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{R(x)}{x^{2n+1}}\stackrel{\mathrm{H}}{=}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{R'(x)}{(2n+1)x^{2n}}=0\; ,
\, </math></equation>
na mocy <xr id="eq:wzta2e">(%i)</xr>. Oznacza to, iż <math>R(x)=o(x^{2n+1})\,</math>. Zbierając wszystko razem, otrzymujemy wynik:
<equation id="eq:wzta2j"> <math>
\mathrm{arsinh}\, x =x-\frac{1}{6}\, x^3+\frac{3}{40}\, x^5+\ldots + (-1)^n\frac{(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!} x^{2n+1}+o(x^{2n+1})\; .
\, </math></equation> 
}}
----
<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Znaleźć rozwinięcie funkcji <math>f(x)=\log\cos x\, </math> w szereg Taylora wokół punktu <math>x_0=0\, </math> do wyrazów czwartego rzędu włącznie, z resztą w postaci Peano.
 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy wykorzystać znane wzory Taylora dla funkcji <math>\cos x\, </math> oraz <math>\log (1+x)\, </math>. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
W tym zadaniu nie będziemy obliczać już kolejnych pochodnych, a wykorzystamy znane rozwinięcia dla potrzebnych nam funkcji elementarnych:
<equation id="eq:wzta3"> <math>\begin{array}{ccl}
\cos x &\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle 1-\frac{1}{2!}\, x^2+\frac{1}{4!}\, x^4 + o(x^4)\; ,\\
\log(1+x) &\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle x-\frac{1}{2}\, x^2+o(x^2)\; ,
\end{array}\, </math></equation>
gdzie symbole <math>o(x^k)\, </math> oznaczają reszty (naturalnie różne dla obu funkcji) w postaci Peano, a zatem spełniające:
<equation id="eq:wzta3a"> <math>
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{o(x^k)}{x^k}=0\; .
\, </math></equation>
To ile wyrazów rozwinięcia musieliśmy uwzględnić w <xr id="eq:wzta3">(%i)</xr>, dyktowane jest stopniem najwyższej potęgi <math>x\, </math>, która ma pojawić się w końcowym wzorze (w naszym przypadku jest to <math>x^4\, </math>). Składając razem oba rozwinięcia <xr id="eq:wzta3">(%i)</xr> otrzymujemy:
<equation id="eq:wzta3b"> <math> \begin{array}{ccl}
\log\cos x&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle \log\left(1-\frac{1}{2!}\,x^2+\frac{1}{4!}\, x^4+ o(x^4)\right)\\
&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle -\frac{1}{2!}\,x^2+\frac{1}{4!}\, x^4+ o(x^4)-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2!}\,x^2+\frac{1}{4!}\, x^4+ o(x^4)\right)^2+o((x^2)^2)
\end{array}\, </math></equation>
Pozostawiając wyłącznie wyrazy do rzędu <math>x^4\, </math>, otrzymujemy:
<equation id="eq:wzta3c"> <math>
\log\cos x=-\frac{1}{2}\, x^2-\frac{1}{12}\, x^4+o(x^4)\; .
\, </math></equation>
Jedynie parzyste potęgi <math>x\, </math> pojawiły się we wzorze końcowym, co wynika z faktu. iż funkcja <math>f(x)\, </math> jest parzysta.
}}
----
<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Znaleźć rozwinięcie funkcji <math>\displaystyle f(x)=\cos (e^x-1)\, </math> w szereg Taylora wokół punktu <math>x_0=0\, </math> do wyrazów piątego rzędu włącznie, z resztą w postaci Peano.
 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy wykorzystać znane wzory Taylora dla funkcji <math>\displaystyle e^x\, </math> oraz <math>\cos x\, </math>. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Podobnie jak w poprzednim zadania, także i tutaj nie będziemy obliczać kolejnych pochodnych, a wykorzystamy znane rozwinięcia dla potrzebnych nam funkcji elementarnych:
<equation id="eq:wzta4"> <math>\begin{array}{ccl}
e^x&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle 1+x+\frac{1}{2!}\, x^2+\frac{1}{3!}\, x^3+\frac{1}{4!}\, x^4+\frac{1}{5!}\, x^5+o(x^5)\; ,
\\
\cos x &\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle 1-\frac{1}{2!}\,x^2+\frac{1}{4!}\, x^4+ o(x^4)\; .
\end{array}\, </math></equation>
Symbole <math>o(x^k)\, </math> ponownie oznaczają reszty (różne dla obu funkcji) w postaci Peano, czyli spełniające:
<equation id="eq:wzta4a"> <math>
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{o(x^k)}{x^k}=0\; .
\, </math></equation>
Składamy razem oba rozwinięcia <xr id="eq:wzta4">(%i)</xr>, otrzymując:
<equation id="eq:wzta4b"> <math>\begin{array}{ccl}
\cos (e^x-1)&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle \cos\left(x+\frac{1}{2!}\, x^2+\frac{1}{3!}\, x^3+\frac{1}{4!}\, x^4+\frac{1}{5!}\, x^5+o(x^5)\right) \\
&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle 1-\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2!}\, x^2+\frac{1}{3!}\, x^3+\frac{1}{4!}\, x^4+\frac{1}{5!}\, x^5+o(x^5)\right)^2\\
&\!\!\!\! +&\!\!\!\! \displaystyle \frac{1}{24}\left(x+\frac{1}{2!}\, x^2+\frac{1}{3!}\, x^3+\frac{1}{4!}\, x^4+\frac{1}{5!}\, x^5+o(x^5)\right)^4+o(x^5)\; .

\end{array}\, </math></equation>
Pozostawiamy teraz wyłącznie wyrazy do rzędu <math>x^5\, </math>, dzięki czemu powyższy wzór upraszcza się do:
<equation id="eq:wzta4c"> <math>
\cos (e^x-1)=1-\frac{1}{2}\, x^2-\frac{1}{2}\, x^3-\frac{1}{4}\, x^4-\frac{1}{24}\, x^5+o(x^5)\; .
\, </math></equation> 
}}
----
<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Znaleźć rozwinięcie funkcji <math>\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+\sin x}\, </math> w szereg Taylora wokół punktu <math>x_0=0\, </math> do wyrazów trzeciego rzędu włącznie, z resztą w postaci Peano.
 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy wykorzystać znane wzory Taylora dla funkcji <math>\sin x\, </math> oraz <math>\displaystyle \frac{1}{1+x}\, </math>. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Rozpoczniemy od wypisania rozwinięć dla potrzebnych nam funkcji elementarnych:
<equation id="eq:wzta5"> <math>\begin{array}{ccl}
\sin x &\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle x-\frac{1}{3!}\,x^3+o(x^3)\; ,
\\
\frac{1}{1+x}&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle 1-x+x^2-x^3+o(x^3)\; ,
\end{array}\, </math></equation>
przy czym to drugie jest konsekwencją wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego:
<equation id="eq:wzta5z"> <math>
1+q+q^2+\ldots + q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\; ,
\, </math></equation>
dla <math>q\neq 1\, </math>. Ponownie zachodzi:
<equation id="eq:wzta5a"> <math>
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{o(x^k)}{x^k}=0\; .
\, </math></equation>
Składając razem oba rozwinięcia <xr id="eq:wzta5">(%i)</xr>, otrzymujemy:
<equation id="eq:wzta5b"> <math>\begin{array}{ccl}
\displaystyle \frac{1}{1+\sin x}&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle \frac{1}{1+x-\frac{1}{3!}\,x^3+o(x^3)}+o(x^3)=1-\left(x-\frac{1}{3!}\,x^3+o(x^3)\right)\\
&\!\!\!\! +&\!\!\!\! \displaystyle \left(x-\frac{1}{3!}\,x^3+o(x^3)\right)^2-\left(x-\frac{1}{3!}\,x^3+o(x^3)\right)^3+o(x^3) \\
&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle 1-x+x^2-\frac{5}{6}\, x^3+o(x^3)\; .
\end{array}\, </math></equation> 
}}
----
<big>'''''Zadanie 6'''''</big>

Znaleźć rozwinięcie funkcji <math>\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+\sin x}\, </math> w szereg Taylora wokół punktu <math>\displaystyle x_0=\frac{\pi}{2}\, </math> do wyrazów trzeciego rzędu włącznie, z resztą w postaci Peano.
 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy wykorzystać znane rozwinięcie Taylora dla funkcji <math>\displaystyle \frac{1}{1+x}\, </math> wokół <math>x_0=0\, </math> oraz wyprowadzić wzór na rozwinięcie funkcji <math>\sin x\, </math> wokół <math>\displaystyle x_0=\frac{\pi}{2}\, </math>. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Rozpoczniemy od wypisania rozwinięć dla potrzebnych nam funkcji elementarnych:
<equation id="eq:wzta6"> <math>\begin{array}{ccl}
\sin x &\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle \cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)=1-\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2+O\left(\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^3\right)\; ,
\\
\displaystyle \frac{1}{1+x}&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle 1-x+x^2-x^3+o(x^3)\; .
\end{array}\, </math></equation>
Zauważmy, że w pierwszym wzorze mogliśmy zamienić symbol <math>o(z^2)\, </math> na <math>o(z^3)\, </math>, gdyż funkcja cosinus jest parzysta i w jej rozwinięciu występują jedynie parzyste potęgi argumentu.

Łączymy teraz oba rozwinięcia <xr id="eq:wzta6">(%i)</xr> razem, pozostawiając jedynie niezbędne wyrazy i otrzymujemy:
<equation id="eq:wzta6a"> <math>\begin{array}{ccl}
\displaystyle \frac{1}{1+\sin x}&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle \frac{1}{2-\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2+O\left(\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^3\right)}\\
&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{4}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2+O\left(\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^3\right)}\\
&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{8}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2+O\left(\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^3\right)\; .

\end{array}\, </math></equation>
}}
----
<big>'''''Zadanie 7'''''</big>

Wykorzystując wzór Taylora, znaleźć granicę:
<equation id="eq:wzta7"> <math>
\lim_{x\rightarrow 0}x\,\frac{\cos x-\cosh x}{\sin x-\sinh x}
\, </math></equation> 
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy wykorzystać wzory Taylora dla wszystkich funkcji elementarnych pojawiających się w <xr id="eq:wzta7">(%i)</xr>. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Rozpoczniemy od wypisania wzorów Taylora dla funkcji <math>\cos x\, </math>, <math>\cosh x\, </math>, <math>\sin x\, </math> oraz <math>\sinh x\, </math>. W tym zadaniu wystarczą nam reszty zapisane w postaci Peano. Mamy więc:
<equation id="eq:wzta7a"> <math>\begin{array}{ccl}
\cos x &\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle 1-\frac{1}{2!}\,x^2+o(x^2)\; ,
\\
\cosh x &\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle 1+\frac{1}{2!}\,x^2+o(x^2)\; ,
\\
\sin x &\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle x-\frac{1}{3!}\,x^3+o(x^3)\; ,
\\
\sinh x &\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle x+\frac{1}{3!}\,x^3+o(x^3)\; .
\end{array}\, </math></equation>
Ustalając najwyższą potęgę <math>x\, </math>, jaka wystąpić musi w tych rozwinięciach, należy kierować się zasadą, aby uwzględnić wszystkie wyrazy, które się skasują po podstawieniu do <xr id="eq:wzta7">(%i)</xr> oraz jeden dodatkowy (w każdym ze wzorów <xr id="eq:wzta7a">(%i)</xr>).

Wstawiając te formuły do wzoru <xr id="eq:wzta7">(%i)</xr> otrzymujemy:
<equation id="eq:wzta7b"> <math>
\lim_{x\rightarrow 0}x\,\frac{\cos x-\cosh x}{\sin x-\sinh x}=
\lim_{x\rightarrow 0}x\,\frac{1-\frac{1}{2!}\,x^2+o(x^2)-1-\frac{1}{2!}\,x^2-o(x^2)}{x-\frac{1}{3!}\,x^3+o(x^3)-x-\frac{1}{3!}\,x^3-o(x^3)}\; .
\, </math></equation>
Pamiętajmy, że <math>o(x^k)\, </math> ma charakter symboliczny i oznacza jedynie, iż
<equation id="eq:wzta7c"> <math>
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{o(x^k)}{x^k}=0\; .
\, </math></equation>
W szczególności symbole te występujące w różnych miejscach wyrażenia <xr id="eq:wzta7b">(%i)</xr> nie muszą się kasować. Przy stosowanych tu oznaczeniach mamy np.
<equation id="eq:wzta7d"> <math>
o(x^k)-o(x^k)=o(x^k)\; .
\, </math></equation>
Dokonując redukcji wyrazów w <xr id="eq:wzta7b">(%i)</xr>, uzyskujemy granicę w postaci:
<equation id="eq:rwzta7e"> <math>
\lim_{x\rightarrow 0}x\,\frac{\cos x-\cosh x}{\sin x-\sinh x}=3 \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\frac{o(x^3)}{x^3}}{1-3\frac{o(x^3)}{x^3}}=3\; ,
\, </math></equation>
gdzie skorzystaliśmy z oczywistego faktu, iż <math>x\,o(x^2)=o(x^3)\, </math>.
}}
----
<big>'''''Zadanie 8'''''</big>

Wykorzystując wzór Taylora, znaleźć granicę:
<equation id="eq:wzta8"> <math>
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{tg}\, x-x}{\sin^3 x}
\, </math></equation> 
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy wykorzystać wzory Taylora dla wszystkich funkcji elementarnych pojawiających się w <xr id="eq:wzta8">(%i)</xr>. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Ponownie rozpoczniemy od wypisania wzorów Taylora dla potrzebnych funkcji: <math>\mathrm{tg}\, x\, </math> oraz <math>\sin x\, </math>. W tym zadaniu wystarczą nam reszty zapisane w postaci Peano. Mamy zatem:
<equation id="eq:wzta8a"> <math>\begin{array}{ccl}
\mathrm{tg}\, x &\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)}=\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)\left(1+\frac{x^2}{2}+o(x^3)\right)\\
&\!\!\!\! =&\!\!\!\!\displaystyle x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\; ,
\\
\sin x &\!\!\!\! =&\!\!\!\! x+o(x)\; ,
\end{array}\, </math></equation>
Dla tangensa potrzebne nam są dwa pierwsze wyrazy rozwinięcia, a dla sinusa wystarczy jeden.
Wstawiając otrzymane wyrażenia do wzoru <xr id="eq:wzta8">(%i)</xr> otrzymujemy:
<equation id="eq:wzta8b"> <math>
\lim_{x\rightarrow 0}x\,\frac{\mathrm{tg}\, x-x}{\sin^3 x}=
\lim_{x\rightarrow 0}x\,\frac{x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)-x}{(x+o(x))^3}=
\frac{1}{3}\,\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1+\frac{3o(x^3)}{x^3}}{1+\frac{o(x^3)}{x^3}}=\frac{1}{3}\; .
\, </math></equation>
Skorzystaliśmy tutaj z faktu, iż <math>(x+o(x))^3=x^3+o(x^3)\, </math>. 
}}
----
<big>'''''Zadanie 9'''''</big>

Wykorzystując wzór Taylora, znaleźć granicę:
<equation id="eq:wzta9"> <math>
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\log x+\log^2x-x+1}{\cos^2\frac{x\pi}{2}}\; .
\, </math></equation> 
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy wykorzystać wzory Taylora dla wszystkich funkcji elementarnych pojawiających się w <xr id="eq:wzta9">(%i)</xr>. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Wypiszmy najpierw wzory Taylora dla potrzebnych funkcji: <math>\log x\, </math> oraz <math>\displaystyle\cos^2\frac{x\pi}{2}\, </math> z resztami zapisanymi w postaci Peano. Mamy:
<equation id="eq:wzta9a"> <math>\begin{array}{ccl}
\log x &\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle \log(1+x-1)=x-1-\frac{(x-1)^2}{2}+o((x-1)^2)\; , \\
\displaystyle \cos\frac{x\pi}{2} &\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle \cos\left((1+x-1)\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\frac{(x-1)\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}(x-1)+ o((x-1)^2)\; .
\end{array}\, </math></equation>
Wstawimy teraz te wyrażenia do <xr id="eq:wzta9">(%i)</xr>. Otrzymujemy:
<equation id="eq:wzta9b"> <math>\begin{array}{ccl}
&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\log x+\log^2x-x+1}{\cos^2\frac{x\pi}{2}}\\
&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1-\frac{(x-1)^2}{2}+o((x-1)^2)+\left(x-1-\frac{(x-1)^2}{2}+o((x-1)^2)\right)^2-x+1}{\left(-\frac{\pi}{2}(x-1)+ o((x-1)^2)\right)^2}\\
&\!\!\!\! =&\!\!\!\! \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac{1}{2}(x-1)^2+o((x-1)^2)}{\frac{\pi^2}{4}(x-1)^2+o((x-1)^2)}=\frac{2}{\pi^2}
\; .
\end{array}\, </math></equation> 
}}
----
<big>'''''Zadanie 10'''''</big>

Wykorzystując wzór Taylora dla funkcji logarytm oszacować wartość <math>\log 2\, </math>, uwzględniając wyrazy do piątego rzędu włącznie oraz znaleźć błąd jaki przy tym popełniamy. Zbadać, ile wyrazów rozwinięcia musielibyśmy uwzględnić, aby popełniany błąd był mniejszy niż <math>10^{-6}\, </math>.
 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
Należy wykorzystać wzór Taylora-Maclaurina dla funkcji <math>\log (1+x)\, </math>, przyjmując <math>x=1\, </math>. }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Na początek przypomnijmy wzór Taylora-Maclaurina dla funkcji <math>\log (1+x)\, </math> do piątego rzędu:
<equation id="eq:wzta10"> <math>
\log(1+x)=x-\frac{1}{2}\,x^2+\frac{1}{3}\,x^3-\frac{1}{4}\,x^4+\frac{1}{5}\,x^5+R_5(0,x)\; ,
\, </math></equation>
przy czym reszta <math>R_5(0,x)\, </math> zapisana w postaci Lagrange'a ma postać:
<equation id="eq:rwzta10a"> <math>
R_5(0,x)=-\frac{1}{6}\cdot \frac{x^6}{(1+\theta x)^6}\; ,
\, </math></equation>
dla <math>\theta\in ]0,1[\, </math>. Wykorzystajmy ten wzór podstawiając <math>x=1\, </math>. Mamy:
<equation id="eq:wzta10b"> <math>
\log 2=\log(1+1)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+R_5(0,1)\approx 0.783333\ldots \; .
\, </math></equation>
Błąd, jaki popełniliśmy szacując powyższe wyrażenie, to po prostu wartość opuszczonej reszty <math>R_5(0,1)\, </math>. Zachodzi przy tym:
<equation id="eq:wzta10c"> <math>
|R_5(0,1)|=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{(1+\theta)^6}\leq \frac{1}{6}\approx 0.17\; .
\, </math></equation>

Biorąc odpowiednio dużo wyrazów rozwinięcia (<math>n\, </math>) moglibyśmy uczynić błąd bardzo małym, np. mniejszym niż <math>10^{-6}\, </math>. W takim przypadku musiałby być jednak spełniony warunek:
<equation id="eq:wzta10d"> <math>
|R_n(0,1)|=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{(1+\theta)^n}<10^{-6}\; .
\, </math></equation>
Ponieważ wartość <math>\theta\, </math> jest nam nieznana, więc musimy przyjąć najmniej korzystną sytuację <math>\theta\, </math> bliskiego zeru. Oznacza to, iż musi być <math>\displaystyle \frac{1}{n}<10^{-6}\, </math>, czyli <math>n>10^6\, </math>. Jak widać podejście to nie jest zbyt efektywne, bo aby uzyskać pożądaną dokładność należałoby uwzględnić aż milion wyrazów rozwinięcia. Można ten rezultat znacząco poprawić, jeśli najpierw napisać:
<equation id="eq:wzta10e"> <math>
\log 2=2\log\sqrt{2}=2\log (1+\sqrt{2}-1)
\, </math></equation>
i zastosować wzór Taylora dla funkcji <math>\log(1+x)\, </math> przyjmując <math>x=\sqrt{2}-1\, </math> zamiast <math>x=1\, </math>:
<equation id="eq:wzta10f"> <math>\begin{array}{ccl}
\log 2&\!\!\!\! =&\!\!\!\! 2\log (1+\sqrt{2}-1)=2\bigg(\sqrt{2}-1-\frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)^2+\frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)^3\\
&\!\!\!\! +&\!\!\!\! \ldots +(-1)^{n-1}\frac{1}{n}(\sqrt{2}-1)^n+R_n(0,\sqrt{2}-1)\bigg)\; .
\end{array}\, </math></equation>
Teraz wymaganą dokładność uzyskamy, jeśli
<equation id="eq:wzta10g"> <math>
2|R_n(0,\sqrt{2}-1)|=2\,\frac{1}{n}\left(\frac{\sqrt{2}-1}{1+\theta(\sqrt{2}-1)}\right)^n<10^{-6}\; .
\, </math></equation>
Ponownie rozpatrując najbardziej niekorzystną sytuację bardzo małego <math>\theta\, </math>, otrzymamy warunek:
<equation id="eq:wzta10h"> <math>
\frac{1}{n}(\sqrt{2}-1)^n<0.5\cdot 10^{-6}\; ,
\, </math></equation>
który spełniony jest przez <math>n\geq 14\, </math>. Zwróćmy uwagę: dla uzyskania tej samej dokładności musimy teraz uwzględnić 14 wyrazów wobec poprzednio wymaganego miliona!}}
----

Matematyka 1NI/Wzór Taylora - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "==Wzór Taylora== '''''Zadanie 1''''' Napisać wzór Taylora-Maclaurina dla funkcji \displaystyle f(x)=(1+x)^{\frac{1}{3}}\, do rzędu n..."

Anula: Utworzono nową stronę "==Wzór Taylora== '''''Zadanie 1''''' Napisać wzór Taylora-Maclaurina dla funkcji $\displaystyle f(x)=(1+x)^{\frac{1}{3}}\,$ do rzędu $n..."$