Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC == $f(x)=4x^3-6x^2-9x$ == ===dziedzina:=== dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych ${\mathbb R}$ . ===miejsca zerow..."

2015-05-22T13:06:24Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ == <math>f(x)=4x^3-6x^2-9x</math> == ===dziedzina:=== dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych <math>{\mathbb R}</math>. ===miejsca zerow..."

Nowa strona

__NOTOC__

== <math>f(x)=4x^3-6x^2-9x</math> ==

===dziedzina:===

dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych <math>{\mathbb R}</math>.

===miejsca zerowe <math>f(x)=0</math>:===

::<math>
0=4x^3-6x^2-9x=x(4x^2-6x-9)
</math>

Jednym z miejsc zerowych jest <math>x=0</math>, pozostałe znajdujemy rozwiązując
równanie kwadratowe <math>4x^2-6x-9=0</math>

::<math>
\Delta =36+4\cdot 4\cdot 9=36(1+4)=36\cdot 5=6^2\cdot 5
</math>

::<math>
x=\frac{6\pm \sqrt{6^2\cdot 5}}{8}=\frac{3}{4}\pm \frac{3}{4}\sqrt{5}
</math>

miejsca zerowe: <math>x_1=0</math>, <math>x_2=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\sqrt{5}</math>,
<math>x_3=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\sqrt{5}</math>.

===ekstrema <math>f^{\prime }(x)=0</math>:===

::<math>
0=f^{\prime }(x)=12x^2-12x-9=3(4x^2-4x-3)
</math>

::<math>
\Delta =16+4\cdot 4\cdot 3=16+48=64=8^2
</math>

::<math>
x=\frac{4\pm 8}{8}
</math>

ekstrema: <math>x_4=-\frac{1}{2}</math>, <math>x_5=\frac{3}{2}</math>.

===punkty przegięcia <math>f^{\prime \prime }(x)=0</math>:===

::<math>
0=f^{\prime \prime }(x)=24x-12=12(2x-1)
</math>

punkt przegięcia <math>x_6=\frac{1}{2}</math>

===wypukłość (wklęsłość) <math>f^{\prime \prime }(x)>0</math> (<math>f^{\prime \prime }(x)<0</math>):===

funkcja jest wypukła gdy <math>12(2x-1)>0</math> czyli dla <math>x>\frac{1}{2}</math>

funkcja jest wklęsła gdy <math>12(2x-1)<0</math> czyli dla <math>x<\frac{1}{2}</math>

===granice:===

::<math>
\lim _{x\rightarrow \pm \infty }f(x)=\lim _{x\rightarrow \pm \infty }(4x^3-6x^2-9x)=\pm \infty </math>

===charakter ekstremów:===

::<math>
f^{\prime \prime }(x_4)=f^{\prime \prime }\left(-\frac{1}{2}\right)=12\left(2\left(-\frac{1}{2}\right)-1\right)
=12(-1-1)=-24<0
</math>

::<math>
f^{\prime \prime }(x_5)=f^{\prime \prime }\left(\frac{3}{2}\right)=12\left(2\left(\frac{3}{2}\right)-1\right)
=12(3-1)=24>0
</math>

<math>\Rightarrow </math> maksimum w punkcie <math>x_4</math> i
minimum w punkcie <math>x_5</math>.

===wartości w punktach charakterystycznych:===

::<math>
f(x_4)=f\left(-\frac{1}{2}\right)=4/(-2)^3-6/(-2)^2-9/(-2)=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+\frac{9}{2}
=\frac{-1-3+9}{2}=\frac{5}{2}
</math>

::<math>
f(x_5)=f\left(\frac{3}{2}\right)=4\cdot 3^3/2^3-6\cdot 3^2/2^2-9\cdot 3/2
=\frac{27}{2}-\frac{27}{2}-\frac{27}{2}=-\frac{27}{2}
</math>

::<math>
f(x_6)=f\left(\frac{1}{2}\right)=4/(2)^3-6/(2)^2-9/2=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}-\frac{9}{2}
=\frac{1-3-9}{2}=\frac{-11}{2}
</math>

===wykres:===

[[Plik:wykres1.png|350px|]]

== <math>f(x)=x^2e^{-\alpha x}</math> dla <math>\alpha \ne 0</math> ==

===dziedzina:===

dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych <math>{\mathbb R}</math>.

===miejsca zerowe:===

::<math>
\left(0=x^2e^{-\alpha x}\right)\Leftrightarrow \left(x^2=0\right)
\Leftrightarrow \left(x=0\right)
</math>

miejsce zerowe: <math>x_1=0</math>

===ekstrema:===

::<math>
0=f^{\prime }(x)=2xe^{-\alpha x}-\alpha x^2 e^{-\alpha x}
=x e^{-\alpha x}(2-\alpha x)
</math>

ekstrema: <math>x_1=0</math>, <math>x_2=\frac{2}{\alpha }</math>

===punkty przegięcia:===

::<math>
0=f^{\prime \prime }(x)=2 e^{-\alpha x} -2\alpha xe^{-\alpha x}-2\alpha xe^{-\alpha x}
+\alpha ^2 x^2 e^{-\alpha x}
=e^{-\alpha x}\left(2-4\alpha x+\alpha ^2 x^2\right)
</math>

::<math>
\Delta =16\alpha ^2-8\alpha ^2=8\alpha ^2
</math>

::<math>
x=\frac{4\alpha \pm \sqrt{8\alpha ^2}}{2\alpha ^2}
=\frac{2\pm \sqrt{2}}{\alpha }
</math>

punkty przegięcia <math>x_3=\frac{2-\sqrt{2}}{\alpha }</math>,
<math>x_4=\frac{2+\sqrt{2}}{\alpha }</math>

===wypukłość (wklęsłość):===

::<math>
\left[e^{-\alpha x}\left(2-4\alpha x+\alpha ^2 x^2\right)>0\right]
\Leftrightarrow \left[\left(2-4\alpha x+\alpha ^2 x^2\right)>0\right]
</math>

funkcja jest wypukła gdy <math>x\in (-\infty ,x_3) \cup (x_4,\infty )</math>

funkcja jest wklęsła gdy <math>x\in (x_3,x_4)</math>

===granice:===

::<math>
\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim _{x\rightarrow -\infty }x^2e^{-\alpha x}=
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
0 & dla \alpha <0
\\[8pt]
+\infty & dla \alpha >0
\end{array}
\right.
</math>

::<math>
\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=\lim _{x\rightarrow +\infty }x^2e^{-\alpha x}=
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
+\infty & dla \alpha <0
\\[8pt]
0 & dla \alpha >0
\end{array}
\right.
</math>

===charakter ekstremów:===

::<math>
f^{\prime \prime }(x_1)=f^{\prime \prime }(0)=2>0
</math>

::<math>
f^{\prime \prime }(x_2)=f^{\prime \prime }\left(\frac{2}{\alpha }\right)=e^2\left(2-4\alpha \frac{2}{\alpha }
+\alpha ^2\left(\frac{2}{\alpha }\right)^2\right)
=e^2(2-8+4)=-2e^2<0
</math>

<math>\Rightarrow </math> minimum w punkcie <math>x_1</math> i
maksimum w punkcie <math>x_2</math>.

===wartości w punktach charakterystycznych:===

::<math>
f(x_2)=f\left(-\frac{2}{\alpha }\right)=\frac{4}{\alpha ^2}e^{-2}
=\left(\frac{2}{\alpha e}\right)^2
</math>

::<math>
f(x_3)=f\left(\frac{2-\sqrt{2}}{\alpha }\right)
=\left(\frac{2-\sqrt{2}}{\alpha }\right)^2e^{2-\sqrt{2}}
=\frac{6-4\sqrt{2}}{\alpha ^2}\,e^{2-\sqrt{2}}
</math>

::<math>
f(x_4)=f\left(\frac{2+\sqrt{2}}{\alpha }\right)
=\left(\frac{2+\sqrt{2}}{\alpha }\right)^2e^{2+\sqrt{2}}
=\frac{6+4\sqrt{2}}{\alpha ^2}\,e^{2+\sqrt{2}}
</math>

===wykres:===

[[Plik:wykres2a.png|350px|]]

[[Plik:wykres2b.png|350px|]]

== <math>f(x)=\displaystyle \frac{\ln {x}}{x}</math> ==

===dziedzina:===

dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich
<math>x\in [0,\infty )</math>.

===miejsca zerowe:===

::<math>
\left(0=\frac{\ln {x}}{x}\right)\Leftrightarrow \left(\ln {x}=0\right)
\Leftrightarrow \left(x=1\right)
</math>

miejsce zerowe: <math>x_1=1</math>

===ekstrema:===

::<math>
\left(
0=f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-1\cdot \ln {x}}{x^2}
=\frac{1-\ln {x}}{x^2}
\right)
\Leftrightarrow \left(1-\ln {x}=0\right)
\Leftrightarrow \left(\ln {x}=1\right)
\Leftrightarrow \left(x=e\right)
</math>

ekstremum: <math>x_2=e</math>

===punkty przegięcia:===

::<math>
0=f^{\prime \prime }(x)=\frac{-\frac{1}{x}x^2-2x(1-\ln {x})}{x^4}
=\frac{-x-2x+2x\ln {x}}{x^4}=\frac{-3+2\ln {x}}{x^3}
</math>

::<math>
\left(0=-3+2\ln {x}\right)
\Leftrightarrow \left(x=e^{3/2}=e\sqrt{e}\right)
</math>

punkt przegięcia <math>x_3=e\sqrt{e}</math>.

===wypukłość (wklęsłość):===

::<math>
\left[\frac{-3+2\ln {x}}{x^3}>0\right]
\Leftrightarrow \left[x>e\sqrt{e}\right]
</math>

funkcja jest wypukła gdy <math>x\in (e\sqrt{e},\infty )</math>

funkcja jest wklęsła gdy <math>x\in (0,e\sqrt{e})</math>

===granice:===

::<math>
\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\ln {x}}{x}=-\infty </math>

::<math>
\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=\lim _{x\rightarrow +\infty }=\frac{\ln {x}}{x}
=\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac{(\ln {x})^{\prime }}{(x)^{\prime }}
=\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}
=0
</math>

===charakter ekstremów:===

::<math>
f^{\prime \prime }(x_2)=f^{\prime \prime }(e)=\frac{-3+2\ln {e}}{e^3}=-\frac{1}{e^3}<0
</math>

<math>\Rightarrow </math> maksimum w punkcie <math>x_2</math>.

===wartości w punktach charakterystycznych:===

::<math>
f(x_2)=f(e)=\frac{\ln {e}}{e}=\frac{1}{e}
</math>

::<math>
f(x_3)=f(e^{3/2})=\frac{\ln {e^{3/2}}}{e^{3/2}}
=\frac{\frac{3}{2}}{e^{3/2}}=\frac{3}{2e\sqrt{e}}
</math>

===wykres:===

[[Plik:wykres3a.png|350px|]]

[[Plik:wykres3b.png|350px|]]

Na lewym (prawym) wykresie lepiej widać zachowanie badanej funkcji
dla małych (dużych) wartości argumentu <math>x</math>.

Matematyka 1 OO/Badanie przebiegu zmienności funkcji - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ == f(x)=4x^3-6x^2-9x == ===dziedzina:=== dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych {\mathbb R}. ===miejsca zerow..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC == $f(x)=4x^3-6x^2-9x$ == ===dziedzina:=== dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych ${\mathbb R}$ . ===miejsca zerow..."