Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Zadanie== :: $\int e^{-\lambda x} \,{\rm d}x= -\frac{1}{\lambda }e^{-\lambda x}$ ==Zadanie== :: $\int \sin (\beta x) \,{\rm d}x= -\fra..."$

2015-05-22T13:06:51Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Zadanie== ::<math> \int e^{-\lambda x} \,{\rm d}x= -\frac{1}{\lambda }e^{-\lambda x} </math> ==Zadanie== ::<math> \int \sin (\beta x) \,{\rm d}x= -\fra..."

Nowa strona

__NOTOC__

==Zadanie==

::<math>
\int e^{-\lambda x} \,{\rm d}x= -\frac{1}{\lambda }e^{-\lambda x}
</math>

==Zadanie==

::<math>
\int \sin (\beta x) \,{\rm d}x= -\frac{1}{\beta }\cos (\beta x)
</math>

==Zadanie==

::<math>
\int \cosh (x)\,{\rm d}x= \int \frac{e^x+e^{-x}}{2}\,{\rm d}x=\frac{1}{2}\int e^x\,{\rm d}x+\frac{1}{2}\int e^{-x}\,{\rm d}x=\frac{1}{2} e^x -\frac{1}{2} e^{-x} = \sinh (x)
</math>

==Zadanie==

::<math>
\int \cot (x)\,{\rm d}x= \int \frac{\cos (x)}{\sin (x)}\,{\rm d}x=
\left|
\begin{array}{l}
v=\sin {x}
\\
dv=\cos {x}\,{\rm d}x
\end{array}
\right|
=\int \frac{{\rm d}v}{v}=\ln |v|=\ln |\sin {x}|
</math>

==Zadanie==

<math>\begin{matrix}
\int x\sin {x}\,{\rm d}x&&\!\!\!\!\!\!\!\!
=
\left|
\begin{array}{ll}
v=x & v^{\prime }=1
\\
u^{\prime }=\sin {x} & u=-\cos {x}
\end{array}
\right|
=-x\cos {x}-\int (-\cos {x})\,{\rm d}x\\[4pt]
&&\!\!\!\!\!\!\!\!
=-x\cos {x}+\sin {x}
\end{matrix}</math>

==Zadanie==

<math>\begin{matrix}&&\!\!\!\!\!\!\!\!\int \sin ^2{x}\,{\rm d}x=
\left|
\begin{array}{ll}
v=\sin {x} & v^{\prime }=\cos {x}
\\
u^{\prime }=\sin {x} & u=-\cos {x}
\end{array}
\right|
=-\sin {x}\cos {x}-\int (-\cos ^2{x})\,{\rm d}x\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=-\sin {x}\cos {x}+\int (1-\sin ^2{x})\,{\rm d}x=-\sin {x}\cos {x}+x-\int \sin ^2{x}\,{\rm d}x\end{matrix}</math>

Porównując pierwsze i ostatnie wyrażenie w tym ciągu równości

::<math>
\int \sin ^2{x}\,{\rm d}x= -\sin {x}\cos {x}+x-\int \sin ^2{x}\,{\rm d}x</math>

otrzymujemy końcowy wynik

::<math>
\int \sin ^2{x}\,{\rm d}x= \frac{1}{2}\left(x-\sin {x}\cos {x}\right)
</math>

==Zadanie==

<math>\begin{matrix}&&\!\!\!\!\!\!\!\!\int e^x\sin {x}\,{\rm d}x=
\left|
\begin{array}{ll}
v=\sin {x} & v^{\prime }=\cos {x}
\\
u^{\prime }=e^x & u=e^x
\end{array}
\right|
=e^x\sin {x}-\int e^x\cos {x}\,{\rm d}x\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=
\left|
\begin{array}{ll}
p=\cos {x} & p^{\prime }=-\sin {x}
\\
q^{\prime }=e^x & q=e^x
\end{array}
\right|
=e^x\sin {x}-e^x\cos {x}+\int e^x(-\sin {x})\,{\rm d}x\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=e^x\left(\sin {x}-\cos {x}\right)-\int e^x\sin {x}\,{\rm d}x\end{matrix}</math>

Porównując pierwsze i ostatnie wyrażenie w tym ciągu równości otrzymujemy

::<math>
\int e^x\sin {x}\,{\rm d}x= \frac{1}{2}e^x\left(\sin {x}-\cos {x}\right)
</math>

Należy podkreślić, że:

* przy pierwszym całkowaniu przez części nie ma znaczenia, którą z funkcji (<math>e^x</math> czy <math>\sin {x}</math>) będziemy różniczkowali, a którą będziemy całkowali;
* przy drugim całkowaniu przez części jest ważne, którą z funkcji (dla powyższego rachunku: <math>e^x</math> i <math>\cos {x}</math>) będziemy różniczkowali, a którą będziemy całkowali.

Zły wybór przy drugim całkowaniu przez części prowadzi to wyniku <math>0=0</math>.

==Zadanie==

::<math>
\int \frac{x^2+3x+1}{x+2}\,{\rm d}x</math>

Na początek podcałkową funkcję wymierną należy sprowadzić do
postaci standardowej

::<math>
\frac{x^2+3x+1}{x+2}=ax+b+\frac{c}{x+2}
</math>

Sprowadzając prawą stronę do wspólnego mianownika
<math>(ax^2+2ax+bx+2b+c)/(x+2)</math> dostajemy układ równań na liczby <math>a</math>, <math>b</math> i <math>c</math>:

::<math>
\left\lbrace \begin{array}{l}
a=1\\
2a+b=3\\
2b+c=1
\end{array}
\right.
</math>

który ma rozwiązanie: <math>a=1</math>, <math>b=1</math>, <math>c=-1</math>. Możemy teraz łatwo obliczyć
zadaną całkę:

::<math>
\int \frac{x^2+3x+1}{x+2}\,{\rm d}x=
\int \left(x+1-\frac{1}{x+2}\right)\,{\rm d}x=\frac{1}{2}x^2+x-\ln |x+2|
</math>

==Zadanie==

::<math>
\int \frac{x^2+3x-2}{x^2-3x+2}\,{\rm d}x</math>

Przekształcamy podcałkową funkcje wymierną.
Na początek rozkładamy mianownik na czynniki:

::<math>
\Delta =9-8=1
\qquad \qquad x_1=\frac{3-1}{2}=1
\qquad \qquad x_2=\frac{3+1}{2}=2
</math>

<math>\begin{matrix}\frac{x^2+3x-2}{x^2-3x+2}
=
\frac{x^2+3x-2}{(x-2)(x-1)}
&&\!\!\!\!\!\!\!\!=
\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x-1}+c
\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=\frac{ax-a+bx-2b+cx^2-3cx+2c}{(x-2)(x-1)}
\end{matrix}</math>

Układ równań
<math> \left\lbrace \begin{array}{l} c=1\\ a+b-3c=3\\ -a-2b+2c=-2 \end{array} \right. </math>
ma rozwiązanie:
<math>\left\lbrace \begin{array}{l} a=8\\ b=-2\\ c=1 \end{array} \right. </math>.

Teraz możemy już łatwo obliczyć zadana całkę

::<math>
\int \frac{x^2+3x-2}{x^2-3x+2}\,{\rm d}x=
\int \left(\frac{8}{x-2}-\frac{2}{x-1}+1\right)\,{\rm d}x=
8\ln |x-2|-2\ln |x-1|+x
</math>

==Zadanie==

::<math>
\int \frac{2x^2+3x+2}{(x+1)^2}\,{\rm d}x</math>

Funkcję wymierną można przekształcać również bez jawnego
wypisywania układu równań (to części studentów może jednak sprawiać
trudności - standardowe procedury są zawsze bezpieczniejsze).

<math>\begin{matrix}&&\!\!\!\!\!\!\!\!\int \frac{2x^2+3x+2}{(x+1)^2}\,{\rm d}x=\int \frac{2(x+1)^2-2(x+1)^2+2x^2+3x+2}{(x+1)^2}\,{\rm d}x\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=\int \frac{2(x+1)^2-2x^2-4x-2+2x^2+3x+2}{(x+1)^2}\,{\rm d}x=\int \frac{2(x+1)^2-x}{(x+1)^2}\,{\rm d}x\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=\int \left(2-\frac{x}{(x+1)^2}\right)\,{\rm d}x=\int \left(2-\frac{x+1-1}{(x+1)^2}\right)\,{\rm d}x\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=\int \left(2-\frac{x+1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(x+1)^2}\right)\,{\rm d}x=2\int \,{\rm d}x-\int \frac{1}{x+1}\,{\rm d}x+\int \frac{1}{(x+1)^2}\,{\rm d}x\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=2x-\ln |x+1|-\frac{1}{x+1}
\end{matrix}</math>

==Zadanie==

<math>\begin{matrix}&&\!\!\!\!\!\!\!\!\int \sqrt{1+x^2}\,{\rm d}x=
\left|
\begin{array}{l}
x=\sinh {y}
\\
{\rm d}x=\cosh {y}\,{\rm d}y
\end{array}
\right|
=\int \sqrt{1+\sinh ^2{y}}\cosh {y}\,{\rm d}y=\int \cosh ^2{y}\,{\rm d}y\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=\int \left(\frac{e^y+e^{-y}}{2}\right)^2\,{\rm d}y=\frac{1}{4}\int e^{2y}\,{\rm d}y+\frac{1}{2}\int \,{\rm d}y+\frac{1}{4}\int e^{-2y}\,{\rm d}y=\frac{1}{8} e^{2y}+\frac{1}{2}y-\frac{1}{8}e^{-2y}
\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=\frac{1}{4}\sinh (2y)+\frac{1}{2}y
\end{matrix}</math>

Trzeba jeszcze przejść od zmiennej <math>y</math> do początkowej zmiennej <math>x</math>.

::<math>
\frac{1}{4}\sinh (2y)
=\frac{1}{2}\sinh {y}\cosh {y}
=\frac{1}{2}\sinh {y}\sqrt{1+\sinh ^2{y}}
=\frac{1}{2}x\sqrt{1+x^2}
</math>

Wyraz <math>\frac{1}{2}y</math> można zapisać jako <math>\frac{1}{2}{\rm arcsinh}(x)</math> lub
wyrazić przez bardziej znane funkcje:

::<math>
x=\sinh {y}=\frac{1}{2}(e^y-e^{-y})
\qquad \qquad e^y-2x-e^{-y}=0
\qquad \qquad e^{2y}-2xe^y-1=0
</math>

Wprowadzamy nową zmienną <math>z=e^y</math>

::<math>
z^2-2xz-1=0
\qquad \qquad \Delta =4x^2+4
</math>

::<math>
z_1=\frac{2x-\sqrt{4+4x^2}}{2}=x-\sqrt{1+x^2}
\qquad \qquad z_2=\frac{2x+\sqrt{4+4x^2}}{2}=x+\sqrt{1+x^2}
</math>

Łatwo zobaczyć, że <math>z_1<0</math> dla dowolnego <math>x</math>. Zmienna <math>z</math> musi być
dodatnia, bo ma być równa <math>e^y</math>. Dlatego musimy użyć rozwiązania <math>z_2</math>:

::<math>
e^y=z_2=x+\sqrt{1+x^2}
\qquad \Rightarrow \qquad y=\ln (x+\sqrt{1+x^2})
</math>

Korzystając z wzorów na <math>\sinh (2y)</math> i <math>y</math> jako funkcji zależnych od <math>x</math>
obliczamy wyjściową całkę:

::<math>
\int \sqrt{1+x^2}\,{\rm d}x=\frac{1}{2}x\sqrt{1+x^2}+\frac{1}{2}\ln (x+\sqrt{1+x^2})
</math>

Przy okazji wykazaliśmy równość: <math>{\rm arcsinh}(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2})</math>

Ważne:

poprawność wszystkich trudniejszych całek trzeba sprawdzić
wykonując odpowiednie różniczkowania

Matematyka 1 OO/Całki nieoznaczone - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Zadanie== :: \int e^{-\lambda x} \,{\rm d}x= -\frac{1}{\lambda }e^{-\lambda x} ==Zadanie== :: \int \sin (\beta x) \,{\rm d}x= -\fra..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Zadanie== :: $\int e^{-\lambda x} \,{\rm d}x= -\frac{1}{\lambda }e^{-\lambda x}$ ==Zadanie== :: $\int \sin (\beta x) \,{\rm d}x= -\fra..."$