Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Zadanie== Dane są macierze: :: $A= \left[ \begin{array}{rrr} 1&0&5\\ 3&4&2 \end{array} \right] \qquad B= \left[ \begin{array}{r} 2\\4\\-1 \end{array..."$

2015-05-22T13:08:01Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Zadanie== Dane są macierze: ::<math> A= \left[ \begin{array}{rrr} 1&0&5\\ 3&4&2 \end{array} \right] \qquad B= \left[ \begin{array}{r} 2\\4\\-1 \end{array..."

Nowa strona

__NOTOC__

==Zadanie==

Dane są macierze:

::<math>
A=
\left[
\begin{array}{rrr}
1&0&5\\
3&4&2
\end{array}
\right]
\qquad B=
\left[
\begin{array}{r}
2\\4\\-1
\end{array}
\right]
\qquad C=
\left[
\begin{array}{rr}
0&5\\
2&-2
\end{array}
\right]
\qquad D=
\left[
\begin{array}{rr}
1&3\\
0&4
\end{array}
\right]
</math>

Obliczyć ich następujące kombinacje:

===Zadanie===

::<math>
2A=2\cdot \left[
\begin{array}{rrr}
1&0&5\\
3&4&2
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{rrr}
2&0&10\\
6&8&4
\end{array}
\right]
</math>

===Zadanie===

::<math>
2C-3D
=
2\left[
\begin{array}{rr}
0&5\\
2&-2
\end{array}
\right]
-3\left[
\begin{array}{rr}
1&3\\
0&4
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{rr}
0&10\\
4&-4
\end{array}
\right]
+
\left[
\begin{array}{rr}
-3&-9\\
0&-12
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{rr}
-3&1\\
4&-16
\end{array}
\right]
</math>

===Zadanie===

::<math>
A\cdot B
=
\left[
\begin{array}{rrr}
1&0&5\\
3&4&2
\end{array}
\right]
\cdot \left[
\begin{array}{r}
2\\4\\-1
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{r}
1\cdot 2+0\cdot 4+5\cdot (-1)\\
3\cdot 2+4\cdot 4+2\cdot (-1)
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{r}
-3\\
20
\end{array}
\right]
</math>

===Zadanie===

::<math>
C\cdot D
=
\left[
\begin{array}{rr}
0&5\\
2&-2
\end{array}
\right]
\cdot \left[
\begin{array}{rr}
1&3\\
0&4
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{rr}
0+0&0+20\\
2+0&6-8
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{rr}
0&20\\
2&-2
\end{array}
\right]
</math>

===Zadanie===

::<math>
D\cdot C
=
\left[
\begin{array}{rr}
1&3\\
0&4
\end{array}
\right]
\cdot \left[
\begin{array}{rr}
0&5\\
2&-2
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{rr}
0+6&5-6\\
0+8&0-8
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{rr}
6&-1\\
8&-8
\end{array}
\right]
</math>

Trzeba podkreślić, że w ogólności mnożenie macierzy nie jest przemienne.

W tym przypadku <math>C\cdot {D}\ne D\cdot {C}</math>.

===Zadanie===

::<math>
C^\top =
\left[
\begin{array}{rr}
0&5\\
2&-2
\end{array}
\right]^\top =\left[
\begin{array}{rr}
0&2\\
5&-2
\end{array}
\right]
\qquad \qquad A^\top =
\left[
\begin{array}{rrr}
1&0&5\\
3&4&2
\end{array}
\right]^\top =
\left[
\begin{array}{rr}
1&3\\
0&4\\
5&2
\end{array}
\right]
</math>

===Zadanie===

::<math>
C^\top \cdot C
=
\left[
\begin{array}{rr}
0&2\\
5&-2
\end{array}
\right]
\cdot \left[
\begin{array}{rr}
0&5\\
2&-2
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{rr}
4&-4\\
-4&29
\end{array}
\right]
</math>

===Zadanie===

::<math>
\det C = \left|
\begin{array}{rr}
0&5\\
2&-2
\end{array}
\right|
=0\cdot (-2)-5\cdot 2=-10
</math>

::<math>
\det D = \left|
\begin{array}{rr}
1&3\\
0&4
\end{array}
\right|
=1\cdot 4-0\cdot 3=4
</math>

<math>\det C\ne 0</math> i <math>\det D\ne 0</math> <math>\Rightarrow </math> macierze <math>C</math> i <math>D</math> są odwracalne.

==Zadanie==

Obliczyć wyznacznik macierzy <math>3\times 3</math>:

<math>\begin{matrix}\det E
&&\!\!\!\!\!\!\!\!=
\left|
\begin{array}{rrr}
1&3&0\\
2&-1&2\\
0&2&1
\end{array}
\right|
\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=
1\cdot (-1)\cdot 1+2\cdot 2\cdot 0+3\cdot 2\cdot 0
-0\cdot (-1)\cdot 0-2\cdot 2\cdot 1-1\cdot 2\cdot 3
\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=-1-4-6=-11
\end{matrix}</math>

==Zadanie==

Rozwiązać układ równań liniowych:
<math>\left\lbrace \begin{array}{r} 2x+y=0\\ x-y=3 \end{array} \right. </math>

Metoda wyznaczników:

::<math>
W=\det \left[
\begin{array}{rr}
2&1\\
1&-1
\end{array}
\right]
=
-2-1=-3
</math>

::<math>
W_x=\det \left[
\begin{array}{rr}
0&1\\
3&-1
\end{array}
\right]
=
0-3=-3
\qquad \qquad W_y=\det \left[
\begin{array}{rr}
2&0\\
1&3
\end{array}
\right]
=
6-0=6
</math>

::<math>
x=\frac{W_x}{W}=\frac{-3}{-3}=1
\qquad \qquad y=\frac{W_y}{W}=\frac{6}{-3}=-2
</math>

Metoda przez liczenie macierzy odwrotnej:

::<math>
W\cdot \left[\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right]
=\left[\begin{array}{r}0\\3\end{array}\right]
</math>

Mnożąc powyższą równość przez macierz odwrotną do <math>W</math> dostajemy:

::<math>
W^{-1}\cdot W \cdot \left[\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right]
=
W^{-1}\cdot \left[\begin{array}{r}0\\3\end{array}\right]
</math>

Z drugiej strony

::<math>
W^{-1}\cdot W \cdot \left[\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right]
= I_{(2)}\cdot W \cdot \left[\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right]
=W \cdot \left[\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right]
</math>

Porównując prawe strony dwóch ostatnich wzorów dostajemy

::<math>
\left[\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right]
=
W^{-1}\cdot \left[\begin{array}{r}0\\3\end{array}\right]
</math>

Macierz odwrotną można obliczyć korzystając z macierzy dopełnień

::<math>
W^{-1}
=
\frac{1}{\det W}\cdot W^D
=
\frac{1}{-3}\cdot \det \left[
\begin{array}{rr}
2&1\\
1&-1
\end{array}
\right]^D
=
-\frac{1}{3}\cdot \det \left[
\begin{array}{rr}
-1&-1\\
-1&2
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{rr}
\frac{1}{3}&\frac{1}{3}
\\[6pt]
\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}
\end{array}
\right]
</math>

Można też pracowicie liczyć z definicji

::<math>
\left[
\begin{array}{rr}
1&0\\
0&1
\end{array}
\right]
=
I_{(2)}=W^{-1}\cdot W
=
\left[
\begin{array}{rr}
a&b\\
c&d
\end{array}
\right]
\cdot \left[
\begin{array}{rr}
2&1\\
1&-1
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{rr}
2a+b&a-b\\
2c+d&c-d
\end{array}
\right]
</math>

Porównując skrajne macierze dostajemy układ równań
<math>\left\lbrace \begin{array}{r} 2a+b=1\\ a-b=0\\ 2c+d=0\\ c-d=1 \end{array}\right. </math>,

którego rozwiązaniem są liczby
<math>a=b=c=1/3</math>, <math>d=-2/3</math>.

Warto sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że otrzymana macierz jest
rzeczywiście macierzą odwrotne do W:

::<math>
W^{-1}\cdot W
=
\frac{1}{3}\left[
\begin{array}{rr}
1&1\\
1&-2
\end{array}
\right]\cdot \left[
\begin{array}{rr}
2&1\\
1&-1
\end{array}
\right]
=
\frac{1}{3}\left[
\begin{array}{rr}
2+1&1-1\\
2-2&1+2
\end{array}
\right]
=\left[
\begin{array}{rr}
1&0\\
0&1
\end{array}
\right]
</math>

::<math>
W\cdot W^{-1}\cdot =
\left[
\begin{array}{rr}
2&1\\
1&-1
\end{array}
\right]\cdot \frac{1}{3}\left[
\begin{array}{rr}
1&1\\
1&-2
\end{array}
\right]\cdot =
\frac{1}{3}\left[
\begin{array}{rr}
2+1&2-2\\
1-1&1+2
\end{array}
\right]
=\left[
\begin{array}{rr}
1&0\\
0&1
\end{array}
\right]
</math>

Używając (tak czy inaczej policzonej) macierzy odwrotnej do <math>W</math>
rozwiązujemy wyjściowy układ równań:

::<math>
\left[\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right]
=
W^{-1}\cdot \left[\begin{array}{r}0\\3\end{array}\right]
=
-\frac{1}{3}\cdot \det \left[
\begin{array}{rr}
-1&-1\\
-1&2
\end{array}
\right]
\cdot \left[\begin{array}{r}0\\3\end{array}\right]
=
-\frac{1}{3}
\left[\begin{array}{r}-3\\6\end{array}\right]
=
\left[\begin{array}{r}1\\-2\end{array}\right]
</math>

Mając <math>W^{-1}</math> możemy łatwo rozwiązać wyjściowy układ równań z
dowolnymi prawymi stronami:
<math>\left\lbrace \begin{array}{r} 2x+y=c_1\\ x-y=c_2 \end{array} \right. </math>:

::<math>
\left[\begin{array}{r}x\\y\end{array}\right]
=
W^{-1}\cdot \left[\begin{array}{r}c_1\\c_2\end{array}\right]
=
-\frac{1}{3}\cdot \det \left[
\begin{array}{rr}
-1&-1\\
-1&2
\end{array}
\right]
\cdot \left[\begin{array}{r}c_1\\c_2\end{array}\right]
=
\frac{1}{3}
\left[\begin{array}{l}c_1+c_2\\c_1-2c_2\end{array}\right]
</math>

Co daje:

::<math>
x=\frac{c_1+c_2}{3}
\qquad \qquad y=\frac{c_1-2c_2}{3}
</math>

==Zadanie==

Rozwiązać układ równań liniowych:
<math>\left\lbrace \begin{array}{r} x+2y-3z=0\\ 2x-y+z=3\\ x+y+2x=4 \end{array} \right. </math>

Metoda wyznaczników:

::<math>
W=
\left|\begin{array}{rrr}
1&2&-3\\
2&-1&1\\
1&1&2
\end{array}\right|
=-2-6+2-3-1-8=-18
</math>

::<math>
W_x=
\left|\begin{array}{rrr}
0&2&-3\\
3&-1&1\\
4&1&2
\end{array}\right|
=0+8-9-12+0-12=-25
</math>

::<math>
W_y=
\left|\begin{array}{rrr}
1&0&-3\\
2&3&1\\
1&4&2
\end{array}\right|
=6-24+0+9-4+0=-13
</math>

::<math>
W_z=
\left|\begin{array}{rrr}
1&2&0\\
2&-1&3\\
1&1&4
\end{array}\right|
=-4+0+6-0-3-16=-17
</math>

::<math>
x=\frac{W_x}{W}=\frac{-25}{-18}=\frac{25}{18}
\qquad \qquad y=\frac{W_y}{W}=\frac{-13}{-18}=\frac{13}{18}
\qquad \qquad z=\frac{W_z}{W}=\frac{-17}{-18}=\frac{17}{18}
</math>

Należy sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że powyższe liczby rzeczywiście
rozwiązują wyjściowy układ równań. Podstawiamy:

::<math>
x+2y-3z=\frac{25}{18}+\frac{26}{18}-\frac{51}{18}=\frac{25+26-51}{18}=0
</math>

::<math>
2x-y+z=\frac{50}{18}-\frac{13}{18}+\frac{17}{18}=\frac{50-13+17}{18}
=\frac{54}{18}=3
</math>

::<math>
x+y+2z=\frac{25}{18}+\frac{13}{18}+\frac{34}{18}=\frac{25+13+34}{18}
=\frac{72}{18}=4
</math>

==Zadanie==

Znaleźć macierz odwrotną do macierzy <math>W</math> z poprzedniego zadania

<math>\begin{matrix}W^{-1}
&&\!\!\!\!\!\!\!\!=\frac{1}{\det {W}}\cdot W^D
=
-\frac{1}{18}
\left[\begin{array}{rrr}
\left|\begin{array}{rr}-1&1\\1&2\end{array}\right|&
-\left|\begin{array}{rr}2&-3\\1&2\end{array}\right|&
\left|\begin{array}{rr}2&-3\\-1&1\end{array}\right|
\\
\\
-\left|\begin{array}{rr}2&1\\1&2\end{array}\right|&
\left|\begin{array}{rr}1&-3\\1&2\end{array}\right|&
-\left|\begin{array}{rr}1&-3\\2&1\end{array}\right|
\\
\\
\left|\begin{array}{rr}2&-1\\1&1\end{array}\right|&
-\left|\begin{array}{rr}1&2\\1&1\end{array}\right|&
\left|\begin{array}{rr}1&2\\2&-1\end{array}\right|
\end{array}\right]
\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=-\frac{1}{18}
\left[\begin{array}{rrr}
-3&-7&-1
\\
-3&5&-7
\\
3&1&-5
\end{array}\right]
=
\frac{1}{18}
\left[\begin{array}{rrr}
3&7&1
\\
3&-5&7
\\
-3&-1&5
\end{array}\right]
\end{matrix}</math>

Poprawność wyniku można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem

<math>\begin{matrix}W^{-1}\cdot W
&&\!\!\!\!\!\!\!\!=
\frac{1}{18}
\left[\begin{array}{rrr}
3&7&1
\\
3&-5&7
\\
-3&-1&5
\end{array}\right]
\cdot \left[\begin{array}{rrr}
1&2&-3\\
2&-1&1\\
1&1&2
\end{array}\right]
\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=
\frac{1}{18}\left[\begin{array}{rrr}
3+14+1&6-7+1&-9+7+2\\
3-10+7&6+5+7&-9-5+14\\
-3-2+5&-6+1+5&9-1+10
\end{array}\right]
=
\frac{1}{18}\left[\begin{array}{rrr}
18&0&0\\
0&18&0\\
0&0&18
\end{array}\right]
\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=\left[\begin{array}{rrr}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{array}\right]
\end{matrix}</math>

Rozwiązujemy układ równań z poprzedniego zadania używając <math>W^{-1}</math>:

<math>\begin{matrix}\left[\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right]
&&\!\!\!\!\!\!\!\!=
W^{-1}
\cdot \left[\begin{array}{r}0\\3\\4\end{array}\right]
=
\frac{1}{18}
\left[\begin{array}{rrr}
3&7&1
\\
3&-5&7
\\
-3&-1&5
\end{array}\right]
\cdot \left[\begin{array}{r}0\\3\\4\end{array}\right]
=
\frac{1}{18}
\left[\begin{array}{r}0+21+4\\0-15+28\\0-3+20\end{array}\right]
\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=
\frac{1}{18}
\left[\begin{array}{r}25\\13\\17\end{array}\right]
\end{matrix}</math>

Matematyka 1 OO/Elementy rachunku macierzowego - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Zadanie== Dane są macierze: :: A= \left[ \begin{array}{rrr} 1&0&5\\ 3&4&2 \end{array} \right] \qquad B= \left[ \begin{array}{r} 2\\4\\-1 \end{array..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Zadanie== Dane są macierze: :: $A= \left[ \begin{array}{rrr} 1&0&5\\ 3&4&2 \end{array} \right] \qquad B= \left[ \begin{array}{r} 2\\4\\-1 \end{array..."$