Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Zadanie== Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować ki..."

2015-05-22T12:57:43Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Zadanie== Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować ki..."

Nowa strona

__NOTOC__

==Zadanie==

Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze
szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej.
Na początek można narysować kilka krzywych na tle
układu współrzędnych (funkcja gładka, funkcja ciągła, funkcja
nieciągła, i kilka krzywych nie będących wykresami funkcji)
i urządzić quiz polegający na odgadywaniu, które krzywe są,
a które nie są, wykresami funkcji.

==Zadanie==

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe
pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

<ul>

<li>
Dziedzina.

<li>
Miejsca zerowe.

<li>
Ekstrema.

<li>
Pochodna funkcji w punkcie jako tangens kąta między styczną
do wykresu a osią <math>x</math>.

<li>
Druga pochodna w punkcie jako pochodna pierwszej pochodnej.
Druga pochodna jest dodatnia (ujemna), gdy pierwsza pochodna
rośnie (maleje).

<li>
Wypukłość i wklęsłość funkcji dla pewnego zakresu argumentu funkcji
jako odpowiednia relacja między wartością rozpatrywanej funkcji
i wartością funkcji liniowej przecinającej wykres badanej funkcji
w punktach będących granicami zadanego zakresu argumentu.

<li>
Wypukłość i wklęsłość funkcji jest związana także z zachowaniem
wykresu funkcji w stosunku do stycznej do wykresu w danym punkcie.
Wykres funkcja wypukłej (wklęsłej) w otoczeniu zadanego punktu leży
powyżej (poniżej) stycznej.

<li>
Punkty przegięcia mają tę własność, że wykres funkcji przecina
styczną - po jednej stronie badanego punktu wykres funkcji leży
powyżej, a po drugiej stronie poniżej prostej stycznej.

</ul>

==Zadanie==

Formalizujemy warunek na wypukłość funkcji. Rysujemy układ współrzędnych
oraz wykres jakiejś funkcji wypukłej i prostą przecinającą ten wykres
w dwóch punktach.

[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_1.svg]]

Wykres funkcji liniowej <math>g(x)</math> przecina wykres badanej funkcji <math>f(x)</math>
w dwóch punktach o współrzędnych <math>(x_1,f(x_1))</math> i <math>(x_2,f(x_2))</math>.
To pozwala nam wyliczyć współczynniki <math>a</math> i <math>b</math>:

::<math>
\left\lbrace
\begin{array}{l}
f(x_1)=ax_1+b\\
f(x_2)=ax_2+b
\end{array}
\right.
</math>

::<math>
f(x_2)-f(x_1)=ax_2-ax_1=a(x_2-x_1)
</math>

::<math>
a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}
</math>

::<math>
b=f(x_1)-ax_1
=
f(x_1)-x_1\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}
=
\frac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_2-x_1}
</math>

Tak więc funkcja liniowa <math>g(x)</math> ma postać

::<math>
g(x)
=
x \,\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} + \frac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_2-x_1}
=
\frac{(x-x_1)f(x_2)-(x-x_2)f(x_1)}{x_2-x_1}
</math>

Funkcja <math>f(x)</math> jest wypukła w przedziale <math>(x_1,x_2)</math> jeśli

::<math>
\begin{array}{ccc}
f(x_3)\le g(x_3)\qquad &
\mathrm{dla kazdego} &
\qquad x_3\in (x_1,x_2)
\end{array}
</math>

Punkty z przedziału <math>(x_1,x_2)</math> możemy sparametryzować jednym parametrem
<math>\lambda </math> z przedziału <math>(0,1)</math>:

::<math>
x_3 = x_1 + \lambda (x_2-x_1) = \lambda x_2 + (1-\lambda ) x_1
</math>

Taką postać <math>x_3</math> podstawiamy do nierówności <math>f(x_3)\le g(x_3)</math>:

<math>\begin{matrix}
f\left(\lambda x_2 + (1-\lambda ) x_1\right)
&&\!\!\!\!\!\!\!\!
\le g\left(\lambda x_2 + (1-\lambda ) x_1\right)
\\[4pt]
&&\!\!\!\!\!\!\!\!
=
\frac{(x_1 + \lambda (x_2-x_1)-x_1)f(x_2)
-(x_1 + \lambda (x_2-x_1)-x_2)f(x_1)}{x_2-x_1}
\\
&&\!\!\!\!\!\!\!\!
=
\frac{\lambda (x_2-x_1)f(x_2)
+ (1-\lambda ) (x_2-x_1)f(x_1)}{x_2-x_1}
\\
&&\!\!\!\!\!\!\!\!
=
\lambda f(x_2) + (1-\lambda ) f(x_1)
\end{matrix}</math>

Dla funkcji wypukłej wartość funkcji dla kombinacji liniowej dwóch
argumentów jest nie większa niż odpowiednia kombinacja liniowa
wartości funkcji dla każdego z tych argumentów:

::<math>
f\big (\lambda x_2 + (1-\lambda ) x_1\big )
\le \lambda f(x_2) + (1-\lambda ) f(x_1)
</math>

Jeśli zamiast nierówności nieostrej mamy w powyższej relacji
nierówność ostrą, funkcja jest ściśle wypukła.

==Zadanie==

Przypominamy definicje funkcji trygonometrycznych.

<ul>

<li>
podajemy definicje

[[Plik:funkcje_tryg.png|350px|]]

::<math>
{\color {green}\cos (\alpha )=\frac{x}{r}}
</math>

::<math>
{\color {red}\sin (\alpha )=\frac{y}{r}}
</math>

::<math>
{\color {yellow}\tan (\alpha )=\frac{y}{x}}
</math>

::<math>
{\color {blue}\cot (\alpha )=\frac{x}{y}}
</math>

<li>
Przypominamy definicję radianów:

::<math>
\alpha =\frac{s}{r}
</math>

i relację z częściej używanymi w szkole średniej stopniami kątowymi:
<math>\pi </math> radianów to 180 stopni, a kąt prosty to <math>\pi /2</math> radianów itd.

<li>
Rysujemy wykresy:

[[Plik:funkcje_tryg2.png|350px|]]

Przypominamy, że funkcja <math>\cos </math> jest parzysta, a funkcje
<math>\sin </math>, <math>\tan </math> i <math>\cot </math> są nieparzyste.

Zwracamy uwagę na istnienie biegunów funkcji <math>\tan </math> i <math>\cot </math>.

<li>
podajemy wartości dla kilku wybranych argumentów

<table class="wikitable">
<tr>
<td><math>\alpha </math></td>

<td><math>\sin (\alpha )</math></td>

<td><math>\cos (\alpha )</math></td>

<td><math>\tan (\alpha )</math></td>

<td><math>\cot (\alpha )</math></td>

</tr>
<tr>
<td>0</td>

<td>0</td>

<td>1</td>

<td>0</td>

<td>–</td>

</tr>
<tr>
<td><math>\frac{\pi }{6}</math></td>

<td><math>\frac{1}{2}</math></td>

<td><math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math></td>

<td><math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math></td>

<td><math>\sqrt{3}</math></td>

</tr>
<tr>
<td><math>\frac{\pi }{4}</math></td>

<td><math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math></td>

<td><math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math></td>

<td><math>1</math></td>

<td><math>1</math></td>

</tr>
<tr>
<td><math>\frac{\pi }{3}</math></td>

<td><math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math></td>

<td><math>\frac{1}{2}</math></td>

<td><math>\sqrt{3}</math></td>

<td><math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math></td>

</tr>
<tr>
<td><math>\frac{\pi }{2}</math></td>

<td>1</td>

<td>0</td>

<td>–</td>

<td>0</td>

</tr>
</table>

<li>
Znając wartości funkcji trygonometrycznych dla argumentów z
przedziału <math>(0,\pi )</math> możemy obliczyć wartości dla dowolnych
innych argumentów korzystając ze wzorów

::<math>
\begin{array}{ll}
\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right) = \cos (\alpha )\qquad
&
\qquad \cos \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right) = -\sin (\alpha )
\\[4pt]
\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right) = -\cot (\alpha )\qquad
&
\qquad \cot \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right) = -\tan (\alpha )
\end{array}
</math>

Wyprowadzamy te wzory (lub część z nich) korzystając z rysunku
służącego do definicji funkcji trygonometrycznych.
Zwiększenie argumentu o <math>\pi /2</math> odpowiada obrotowi
promienia o kąt prosty (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).
Po takim obrocie, wartości bezwzględne współrzędnych <math>x</math> i <math>y</math>
“zamieniają się miejscami”:

::<math>
\left|x_{\alpha +\pi /2}\right|=\left|y_{\alpha }\right|\qquad \qquad \left|y_{\alpha +\pi /2}\right|=\left|x_{\alpha }\right|
</math>

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych dostajemy

::<math>
\begin{array}{ll}
\left|\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)\right|
= \left|\cos (\alpha )\right|\qquad
&
\qquad \left|\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)\right|
= \left|\sin (\alpha )\right|
\\[4pt]
\left|\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)\right|
= \left|\cot (\alpha )\right|\qquad
&
\qquad \left|\cot \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)\right|
= \left|\tan (\alpha )\right|
\end{array}
</math>

Przy obrocie o kąt prosty zawsze jedna i tylko jedna współrzędna
zmienia znak. Wynika z tego, że funkcje <math>\tan </math> i <math>\cot </math> zamieniają
się wartościami bezwzględnymi, obie ze zmianą znaku.
W przypadku funkcji <math>\sin </math> i <math>\cos </math>, obie zamieniają się wartościami
bezwzględnymi, ale tylko jedna z nich ze zmianą znaku. W celu sprawdzenia,
która “zmienia znak”, musimy pokazać, jak zmieniają się współrzędne
<math>x</math> i <math>y</math> przy obrocie o kąt <math>\pi /2</math> (a nie tylko ich moduły).
Można to zrobić rozpatrując po kolei każdą z ćwiartek układu współrzędnych.
Otrzymujemy wynik

::<math>
x_{\alpha +\pi /2}=-y_{\alpha }
\qquad \qquad y_{\alpha +\pi /2}=+x_{\alpha }
</math>

co natychmiast daje szukane wzory na funkcje trygonometryczne
od argumentów powiększonych o <math>\pi /2</math>.

Tłumaczymy, jak te zależności można odczytać z wykresów funkcji.

<li>
Podajemy wzory na funkcje trygonometryczne od sumy argumentów
i wzór na “jedynkę trygonometryczną”:

::<math>
\sin (\alpha \pm \beta )
=
\sin (\alpha )\cos (\beta ) \pm \sin (\beta )\cos (\alpha )
</math>

::<math>
\cos (\alpha \pm \beta )
=
\cos (\alpha )\cos (\beta ) \mp \sin (\beta )\sin (\alpha )
</math>

::<math>
\sin (\alpha )^2+\cos (\alpha )^2=1
</math>

Dla ilustracji wykorzystujemy te wzory do obliczenia <math>\sin (\pi /8)</math>:

::<math>
\cos (2\alpha )=\cos (\alpha +\alpha )=\cos ^2(\alpha )-\sin ^2(\alpha )
=
1-2\sin ^2(\alpha )
</math>

::<math>
\sin ^2(\alpha )=\frac{1}{2}\left(1-\cos (2\alpha )\right)
</math>

::<math>
\sin (\alpha )=\pm \sqrt{\frac{1}{2}\left(1-\cos (2\alpha )\right)}
</math>

<math>\begin{matrix}
\sin \left(\frac{\pi }{8}\right)
&&\!\!\!\!\!\!\!\!
=
\pm \sqrt{\frac{1}{2}\left(1-\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)\right)}
=
\pm \sqrt{\frac{1}{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}
\\
&&\!\!\!\!\!\!\!\!
=\pm \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}=\pm \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}
\end{matrix}</math>

Wiadomo, że sinus kątów z pierwszej ćwiartki układu współrzędnych
jest dodatni, więc możemy podać jednoznaczny wynik

::<math>
\sin \left(\frac{\pi }{8}\right)
=
\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}
</math>

</ul>

==Zadanie==

Przypominamy funkcje potęgowe.

Szkicujemy wykresy kilku takich funkcji, np.:

[[Plik:f_potegowe.png|350px|]]

[[Plik:f_pierwiastkowe.png|350px|]]

Zwracamy uwagę, że styczne do wykresów funkcji <math>y=x^c</math> w punkcie <math>x=0</math>
są poziome (pionowe) dla <math>c>1</math> (<math>c<1</math>).

Funkcja <math>y=x^c</math> jest odwrotna do funkcji <math>x=y^{1/c}</math>, więc
wykresy funkcji <math>y=x^c</math> i <math>y=x^{1/c}</math> są wzajemnie symetryczne
przy odbiciu względem prostej <math>y=x</math>.

Może trzeba przypomnieć, co to jest funkcja odwrotna:

::<math>
y=f(x)
\qquad \Leftrightarrow \qquad x=f^{-1}(y)
</math>

Trzeba odróżniać funkcję odwrotną od odwrotności wartości funkcji,
w ogólności

::<math>
f^{-1}(x) \ne \frac{1}{f(x)}
</math>

UWAGA: jest tu pewna, dość powszechna, niekonsekwencja.
Jeśli <math>f^{-1}(x)</math> oznacza wartość funkcji odwrotnej do <math>f</math> dla argumentu
równego <math>x</math>, to przez <math>\sin ^2(x)</math> powinniśmy rozumieć raczej złożenie
dwóch funkcji sinus a nie kwadrat wartości zwykłej funkcji sinus
dla argumentu równego <math>x</math>. Puryści matematyczni powinni używać
<math>(f^{-1})(x)</math> na oznaczenie wartości funkcji odwrotnej. Tak czy inaczej,
warto studentom zwrócić uwagę na ten problem z notacją i umówić się
na stosowanie jakiejś konwencji.

==Zadanie==

Przypominamy funkcje wykładnicze i logarytmiczne

::<math>
y=\log _a(x)
\qquad \Leftrightarrow \qquad x=a^y
</math>

Szkicujemy wykresy obu funkcji. Zwracamy uwagę, że wykres funkcji
odwrotnej otrzymuje się przez odbicie względem prostej <math>y=x</math>
(w funkcji odwrotnej zmienna niezależna i zależna zamieniają się
rolami).

[[Plik:exp_log.png|350px|]]

Obliczamy wartości funkcji logarytmicznych w kilka prostych
przypadkach, np.:

::<math>
\log _2(8)=3
\qquad \log _2(128)=7
\qquad \log _2(1024)=10
\qquad \log _3(81)=4
</math>

Wyprowadzamy wzory:

::<math>
\log _a(x\cdot y) = \log _a(x) + \log _a(y)
</math>

::<math>
\log _a(x^n) = n \log _a(x)
</math>

Przy ich pomocy pokazujemy np.:

::<math>
\log _a\left(\frac{1}{x}\right)=-\log _a(x)
</math>

Przy okazji warto przypomnieć relację

::<math>
x^{-c}=\frac{1}{x^c}
</math>

To może się wydawać bardzo elementarna wiedza, ale niestety
wielu absolwentów szkół średnich jej nie posiada.

==Zadanie==

Wprowadzamy liczbę <math>e</math>. Związki z granicą ciągu <math>(1+1/n)^n</math>
i sumą szeregu <math>\sum _{k=1}^\infty 1/(k!)</math> pojawią się później.
Teraz możemy podać np. dwie następujące własności liczby <math>e</math>:

<ul>

<li>
Pole powierzchni pod wykresem funkcji <math>y=1/x</math> między <math>x=1</math>
a <math>x=e</math> jest równe 1.

<li>
Styczna do wykresu funkcji wykładniczej <math>y=a^x</math> w punkcie <math>x=0</math>
ma kąt nachylenia równy <math>\pi /4</math>, tylko wtedy gdy <math>a=e</math>.

</ul>

[[Plik:e1.png|350px|]]

[[Plik:e2.png|350px|]]

Oczywiście należy podać kilka pierwszych liczb rozwinięcia dziesiętnego
liczby <math>e</math>, podkreślając, że jest to liczba niewymierna

::<math>
e=2.718281828459\ldots </math>

==Zadanie==

Wprowadzamy funkcje hiperboliczne. Podajemy definicje

::<math>
\cosh {x}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}
</math>

::<math>
\sinh {x}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}
</math>

Szkicujemy wykresy

[[Plik:f_hiperboliczne.png|350px|]]

i zwracamy uwagę na (nie)parzystość tych funkcji oraz
na bardzo podobne wartości obu funkcji dla dużych
argumentów.

Prezentujemy “jedynkę hiperboliczną”:

<math>\begin{matrix}
\cosh ^2(x)-\sinh ^2(x)
&&\!\!\!\!\!\!\!\!
=
\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2
\\[4pt]
&&\!\!\!\!\!\!\!\!
=
\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}-\left(e^{2x}-2+e^{-2x}\right)}{4}
=
\frac{4}{4}=1
\end{matrix}</math>

Robimy analogiczne obliczenia dla znaku “<math>+</math>”:

<math>\begin{matrix}
\cosh ^2(x)+\sinh ^2(x)
&&\!\!\!\!\!\!\!\!
=
\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2 + \left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2
\\[4pt]
&&\!\!\!\!\!\!\!\!
=
\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}+\left(e^{2x}-2+e^{-2x}\right)}{4}
=
\frac{2e^{2x}+2e^{-2x}}{4}
=
\cosh (2x)
\end{matrix}</math>

Znajdujemy funkcję odwrotną do funkcji <math>\cosh </math>:

::<math>
y=(\cosh ^{-1})(x)={\rm arccosh}(x)
</math>

::<math>
x=\cosh (y)=\frac{e^y+e^{-y}}{2}
</math>

::<math>
2x=e^y+e^{-y}
\qquad ||\cdot e^y
</math>

::<math>
e^{2y}-2xe^{y}+1=0
</math>

Wprowadzamy nową zmienną <math>z=e^y</math> i dostajemy równanie kwadratowe

::<math>
z^2-2xz+1=0
</math>

które rozwiązujemy tradycyjną metodą

::<math>
\Delta =(2x)^2-4=4x^2-4=4(x^2-1)
</math>

::<math>
z_{1,2}=\frac{2x\pm \sqrt{\Delta }}{2}
=
\frac{2x\pm \sqrt{4(x^2-1)}}{2}
=
x\pm \sqrt{x^2-1}
</math>

Powracamy do zmiennej <math>y</math>

::<math>
y=\ln (z)=\ln \left(x\pm \sqrt{x^2-1}\right)
</math>

Rozwiązanie nie jest jednoznaczne, są dwa możliwe znaki przed
pierwiastkiem. Powód jest następujący: funkcja odwrotna odpowiada
zamianie rolami zmiennych <math>x</math> i <math>y</math>. Na wykresie odpowiada to odbiciu
względem prostej <math>y=x</math>. Takie odbicie wykresu funkcji <math>\cosh (x)</math>
nie jest już wykresem funkcji. W definicji funkcji odwrotnej,
<math>(\cosh ^{-1})(x)</math>, musimy się zdecydować na jedną z możliwych gałęzi.
Jest to sprawa konwencji (sytuacja podobna do
funkcji pierwiastkowej, która jest funkcją odwrotną do funkcji
kwadratowej - <i>umawiamy się</i>, że pierwiastki liczb dodatnich są
dodatnie).

Podobnych problemów nie ma w przypadku funkcji <math>{\rm arcsinh}(x)</math>.
Jej obliczenie możemy zadać do samodzielnego wykonania w domu.

[[Plik:f_hiperboliczne_odwrotne.png|350px|]]

Z wykresu widać, że dwie możliwe gałęzie funkcji <math>{\rm arccosh}(x)</math>
różnią się tylko znakiem. Sprawdzamy, czy to samo wynika z
uzyskanych wcześniej wzorów:

<math>\begin{matrix}
-\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)
&&\!\!\!\!\!\!\!\!
=
\ln \left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\right)
=
\ln \left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\cdot \frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}\right)
\\
&&\!\!\!\!\!\!\!\!
=
\ln \left(\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{(x-\sqrt{x^2-1})(x-\sqrt{x^2-1})}\right)
=
\ln \left(\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x^2-(x^2-1)}\right)
\\
&&\!\!\!\!\!\!\!\!
=
\ln \left(x-\sqrt{x^2-1}\right)
\end{matrix}</math>

Rzeczywiście, obydwie znalezione przez nas funkcje odwrotne do <math>\cosh (x)</math>
różnią się tylko znakiem.

==Zadanie==

Składanie funkcji.

Dwie funkcje można złożyć na dwa sposoby, różniące się tym,
która funkcja jest funkcją wewnętrzną, a która zewnętrzną.
Dyskutujemy dwa przykłady.

=== <math>f(x)=x^2</math>, <math>\quad g(x)=e^{-x} </math> ===

::<math>
{\color {blue}g(f(x))=e^{-f(x)}=e^{-x^2}}
</math>

::<math>
{\color {red}f(g(x))=(g(x))^2=\left(e^{-x}\right)^2=e^{-2x}}
</math>

Wykresy tych funkcji są zupełnie różne i nie ma między nimi
tak prostej relacji jak między wykresami zadanej funkcji i funkcji do
niej odwrotnej

[[Plik:zlozenie_funkcji1.png|350px|]]

===Zadanie===

::<math>
f(x)=\sin (x)
\qquad \qquad g(x)=\sqrt{1-x^2}
</math>

::<math>
{\color {blue}
g(f(x))=\sqrt{1-[f(x)]^2}
=
\sqrt{1-\sin ^2(x)}
=
\sqrt{\cos ^2(x)}
=
|\cos (x)|
}
</math>

::<math>
{\color {red}
f(g(x))=\sin \left(g(x)\right)
=
\sin \left(\sqrt{1-x^2}\right)
}
</math>

Dziedziną tej ostatniej funkcji jest zbiór domknięty <math>[-1,1]</math>.

Matematyka 1 OO/Funkcje elementarne jednej zmiennej rzeczywistej - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Zadanie== Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować ki..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Zadanie== Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować ki..."