Anula: Utworzono nową stronę "==Zadanie== Przypominamy podstawowe szeregi funkcyjne wprowadzone na wykładzie :: $e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \ldots = \sum _{n=0}^{\infty..."$

2015-05-22T13:00:53Z

Utworzono nową stronę "==Zadanie== Przypominamy podstawowe szeregi funkcyjne wprowadzone na wykładzie ::<math> e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \ldots = \sum _{n=0}^{\infty..."

Nowa strona

==Zadanie==

Przypominamy podstawowe szeregi funkcyjne wprowadzone na wykładzie

::<math>
e^x
=
1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \ldots =
\sum _{n=0}^{\infty } \frac{1}{n!}\,x^n
</math>

Można to zapisać jako

::<math>
e^x
=
\sum _{n=0}^{\infty } a_n x^n
\qquad \qquad {\rm gdzie}\qquad \qquad a_n=\frac{1}{n!}
</math>

Przypadek funkcji trygonometrycznych jest nieco bardziej skomplikowany,
jeśli chcemy znaleźć ogólną postać współczynników odpowiednich szeregów.
Dla sinusa mamy

::<math>
\sin (x)
=
x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \frac{1}{7!}x^7 \ldots =
\sum _{n=0}^{\infty } b_n x^n
</math>

Współczynniki <math>b_n</math> najłatwiej podać osobno dla parzystych i
nieparzystych <math>n</math>

::<math>
b_n
=
\left\lbrace
\begin{array}{ccl}
\displaystyle \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} & dla & n=2k+1 \\[4pt]
0 & dla & n=2k
\end{array}
\right.
</math>

Można próbować zapisać <math>b_n</math> jednym wzorem zależnym od <math>n</math>
(bez podawania, czy jest ono parzyste czy nieparzyste).
Zaczynamy od tego, że dla parzystych <math>n</math> zapisujemy <math>b_n</math> używając <math>n</math>
zamiast <math>k</math>. Związek między <math>n</math> i <math>k</math> ma postać: <math>k=(n-1)/2</math>, co daje

::<math>
\tilde{b}_n=\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n!}
</math>

gdzie tylda ma przypominać, że jest to wzór słuszny tylko
dla nieparzystych <math>n</math>. W celu uzyskania wzoru słusznego
dla wszystkich <math>n</math> możemy pomnożyć prawą stronę powyższej równości
przez wyrażenie, które daje 1 dla nieparzystych <math>n</math> i 0 dla
<math>n</math> parzystych. Może to być np. <math>(1-(-1)^n)/2</math>. Dostajemy

::<math>
{b}_n=\frac{1-(-1)^n}{2}\,\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n!}
</math>

Ten wynik nie jest jeszcze w pełni zadowalający, ponieważ dla
parzystych <math>n</math> po prawej stronie pojawia się wyrażenie <math>\sqrt{-1}</math>,
a na zajęciach nie były jeszcze wprowadzone liczby zespolone.
W celu uzyskania wyniku zawierającego tylko liczny rzeczywiste,
możemy wykładnik przy <math>(-1)</math> pomnożyć przez wyrażenie zerujące się
dla parzystych <math>n</math>, np. przez użyte już <math>(1-(-1)^n)/2</math>. Końcowy wynik
na współczynnik rozwinięcia funkcji sinus ma dość skomplikowaną postać

::<math>
{b}_n=\frac{1-(-1)^n}{2}\,\frac{(-1)^{\left[1-(-1)^n\right](n-1)/4}}{n!}
</math>

W przypadku funkcji cosinus ograniczamy się do prostej postaci

::<math>
\cos (x)
=
1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \frac{1}{6!}x^6 \ldots =
\sum _{n=0}^{\infty } c_n x^n
</math>

gdzie

::<math>
c_n
=
\left\lbrace
\begin{array}{ccl}
0 & dla & n=2k+1 \\[4pt]
\displaystyle \frac{(-1)^k}{(2k)!} & dla & n=2k
\end{array}
\right.
</math>

==Zadanie==

Znaleźć rozwinięcie funkcji hiperbolicznych
<math>\sinh (x)</math> i <math>\cosh (x)</math> wokół <math>x=0</math>.

<math>\begin{matrix}
\sinh (x)
&&\!\!\!\!\!\!\!\!
=
\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)
\\
&&
=
\frac{1}{2}\left(1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \ldots \right)
-\frac{1}{2}
\left(1 + (-x) + \frac{1}{2!}(-x)^2 + \frac{1}{3!}(-x)^3 + \ldots \right)
\\
&&
=
\frac{1}{2}\left(1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \ldots \right)
-
\frac{1}{2}\left(1 - x + \frac{1}{2!}x^2 - \frac{1}{3!}x^3 + \ldots \right)
\\
&&
=
\frac{1}{2}\left(2x + 2\frac{1}{3!}x^3 + 2\frac{1}{5!}x^5 + \ldots \right)
=
x + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 + \ldots \end{matrix}</math>

Współczynniki rozwinięcia funkcji <math>\sinh </math>

::<math>
\sinh (x)
=
\sum _{n=0}^{\infty } b_n x^n
</math>

mają więc postać

::<math>
b_n=\frac{1-(-1)^n}{2}\,\frac{1}{n!}
=
\left\lbrace
\begin{array}{ccl}
\displaystyle \frac{1}{n!} & dla & n=2k+1 \\[4pt]
0 & dla & n=2k
\end{array}
\right.
</math>

Analogicznie, dla funkcji <math>\cosh </math> otrzymujemy

::<math>
\cosh (x)
=
\sum _{n=0}^{\infty } c_n x^n
</math>

gdzie

::<math>
c_n=\frac{1+(-1)^n}{2}\,\frac{1}{n!}
=
\left\lbrace
\begin{array}{ccl}
0 & dla & n=2k+1 \\[4pt]
\displaystyle \frac{1}{n!} & dla & n=2k
\end{array}
\right.
</math>

Warto zwrócić uwagę na podobieństwa szeregów funkcyjnych
dla <math>\sin (x)</math> i <math>\sinh (x)</math> oraz dla <math>\cos (x)</math> i <math>\cosh (x)</math>.

Matematyka 1 OO/Szeregi funkcyjne - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "==Zadanie== Przypominamy podstawowe szeregi funkcyjne wprowadzone na wykładzie :: e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \ldots = \sum _{n=0}^{\infty..."

Anula: Utworzono nową stronę "==Zadanie== Przypominamy podstawowe szeregi funkcyjne wprowadzone na wykładzie :: $e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \ldots = \sum _{n=0}^{\infty..."$