Anula o 17:29, 26 maj 2015

2015-05-26T17:29:43Z

Anula o 17:27, 26 maj 2015

2015-05-26T17:27:31Z

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Zadanie== Zderzenie centralne idealnie niesprężyste (ciała zlepiają się i po zderzeniu poruszają się razem). Jedno z ciał przed zderzeniem jest w s..."

2015-05-22T13:03:57Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Zadanie== Zderzenie centralne idealnie niesprężyste (ciała zlepiają się i po zderzeniu poruszają się razem). Jedno z ciał przed zderzeniem jest w s..."

Nowa strona

__NOTOC__

==Zadanie==

Zderzenie centralne idealnie niesprężyste (ciała zlepiają się
i po zderzeniu poruszają się razem).
Jedno z ciał przed zderzeniem jest w spoczynku.

[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_15.svg]]

Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas

::<math>
m_{12}=m_1+m_2
</math>

Zasada zachowania pędu:

::<math>
m_1 \vec{v}_0+m_2\vec{0}=m_{12}\vec{v}_{12}=(m_1+m_2)\vec{v}_{12}
</math>

pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu

::<math>
\vec{v}_{12}=\frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{v}_0
</math>

Sprawdzamy, czy w takim zderzeniu zachowana jest energia kinetyczna:

::<math>
E_0 = \frac{1}{2} m_1 |\vec{v}_0|^2
</math>

<math>\begin{matrix}
E_{12}
&&\!\!\!\!\!\!\!\!
= \frac{1}{2} m_{12} |\vec{v}_{12}|^2
=
\frac{1}{2} (m_1+m_2)\frac{m_1^2}{(m_1+m_2)^2} |\vec{v}_0|^2
\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!
=\frac{1}{2} \frac{m_1^2}{m_1+m_2} |\vec{v}_0|^2
=\frac{m_1}{m_1+m_2}\cdot \frac{1}{2} m_1 |\vec{v}_0|^2
=\frac{m_1}{m_1+m_2}E_0
\end{matrix}</math>

Obie masy <math>m_1</math> i <math>m_2</math> są dodatnie, więc <math>E_{12}<E_0</math>.
W czasie zderzenia niesprężystego, część energii kinetycznej
zamienia się na energię wewnętrzną ciał biorących w nim udział.

==Zadanie==

Zderzenie centralne, idealnie sprężyste (energia kinetyczna jest zachowana)
dwóch kul. Jedna z kul przed zderzeniem jest w spoczynku.

[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_16.svg]]

Zasady zachowania pędu i zachowania energii kinetycznej

::<math>
\left\lbrace
\begin{array}{l}
m_1 \vec{v}_0 = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2
\\[4pt]
\displaystyle \frac{1}{2} m_1 \vec{v}_0^{\,2}
=
\frac{1}{2} m_1 \vec{v}_1^{\,2}
+
\frac{1}{2} m_2 \vec{v}_2^{\,2}

\end{array}
\right.
</math>

Z zasady zachowania pędu wyznaczmy <math>v_2</math>

::<math>
\vec{v}_2 = \frac{m_1}{m_2}\left(\vec{v}_0-\vec{v}_1\right)
</math>

i podstawiamy do równania opisującego zachowanie energii kinetycznej
(pomnożonego przez 2):

::<math>
m_1 \vec{v}_0^{\,2}
=
m_1 \vec{v}_1^{\,2}
+
m_2\, \frac{m_1^2}{m_2^2}\left(\vec{v}_0-\vec{v}_1\right)^2
</math>

::<math>
m_1 \vec{v}_0^{\,2}
=
m_1 \vec{v}_1^{\,2}
+
\frac{m_1^2}{m_2}\left(
\vec{v}_0^{\,2}-2\vec{v}_0\cdot \vec{v}_1+\vec{v}_1^{\,2}\right)
</math>

Zderzenie jest centralne, więc wszystkie prędkości
mają jeden kierunek (choć może nie koniecznie ten sam zwrot).

::<math>
\vec{v}_0\parallel \vec{v}_1
\qquad \Rightarrow \qquad \vec{v}_0\cdot \vec{v}_1=|\vec{v}_0|\cdot |\vec{v}_1|
=v_0v_1
</math>

gdzie <math>v_i\equiv |\vec{v}_i|</math>.
Przekształcamy dalej wzór opisujący zasadę zachowania energii
kinetycznej:

::<math>
m_1 {v}_0^{\,2}
=
m_1 {v}_1^{\,2}
+
\frac{m_1^2}{m_2}\left({v}_0^{\,2}-2{v}_0{v}_1+{v}_1^{\,2}\right)
</math>

::<math>
0
=
{v}_1^{\,2} \left[m_1\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)\right]
-
{v}_1\cdot 2 \frac{m_1^2}{m_2}{v}_0
+
m_1\left(\frac{m_1}{m_2}-1\right) {v}_0^{\,2}
</math>

Jest to równanie kwadratowe na wielkość skalarną <math>{v}_1</math>.
Rozwiązujemy je

::<math>
\Delta =
4\frac{m_1^4}{m_2^2} {v}_0^{\,2}
-
4 m_1^2 \left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)\left(\frac{m_1}{m_2}-1\right)
{v}_0^{\,2}
=
4 {v}_0^{\,2}m_1^2 \left[\frac{m_1^2}{m_2^2}+1-\frac{m_1^2}{m_2^2}\right]
=
4 m_1^2 {v}_0^{\,2}
</math>

::<math>
v_1
=
\frac{2\displaystyle \frac{m_1^2}{m_2}v_0 \pm 2m_1v_0}{2m_1\left(1+\displaystyle \frac{m_1}{m_2}\right)}
=
\frac{2m_1v_0\left(\displaystyle \frac{m_1}{m_2}\pm 1\right)}{2m_1\left(1+\displaystyle \frac{m_1}{m_2}\right)}
=
v_0\frac{\left(\displaystyle \frac{m_1}{m_2}\pm 1\right)}{\left(1+\displaystyle \frac{m_1}{m_2}\right)}
=
v_0\frac{m_1 \pm m_2}{m_1 + m_2}
</math>

Obliczone <math>v_1</math> podstawiamy do wzoru na <math>v_2</math>

::<math>
v_2
=
\frac{m_1}{m_2}\left(v_0 -v_1\right)
=
v_0\frac{m_1}{m_2}\left(1-\frac{m_1 \pm m_2}{m_1+m_2}\right)
=
v_0\frac{m_1}{m_2}\frac{(1\mp 1)m_2}{m_1+m_2}
=
v_0\frac{(1\mp 1)m_1}{m_1+m_2}
</math>

Należy zbadać, co oznacza istnienie dwóch różnych rozwiązań
(kule po zderzeniu powinny przecież mieć dobrze określone prędkości).
Upraszczamy każde z rozwiązań na <math>v_1</math> i <math>v_2</math>:

::<math>
v_1^{(1)} = v_0\,\frac{m_1 + m_2}{m_1 + m_2} = v_0
\qquad \qquad v_2^{(1)} = 0
</math>

Prędkości obu kul po zderzeniu są takie same jak przed zderzeniem:
kula o masie <math>m_1</math> porusza się z początkową prędkością <math>v_0</math>,
a kula o masie <math>m_2</math> pozostaje w spoczynku. To rozwiązanie opisuje
sytuację, gdy do zderzenia nie doszło (brak zderzenia jest oczywiście
zgodny z zasadami zachowania pędu i energii kinetycznej).

::<math>
v_1^{(2)}
=
v_0\,\displaystyle \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}
\qquad \qquad v_2^{(2)}
=
v_0\,\frac{2m_1}{m_1+m_2}
</math>

To rozwiązanie odpowiada sytuacji, gdy do zderzenia rzeczywiście doszło.
Prędkość drugiego ciała jest zawsze dodatnia (czyli i kierunek i zwrot
wektora prędkości <math>\vec{v}_2</math> jest taki sam jak wektora <math>\vec{v}_0</math>).
Znak wartości prędkości <math>v_1</math> zależy od mas zderzających się ciał.
Jest on ujemny, jeśli pierwsze ciało jest lżejsze od drugiego.
W takiej sytuacji pierwsze ciało odbija się od drugiego i porusza się
w kierunku przeciwnym do kierunku przez zderzeniem.

W przypadku równych mas <math>m_1</math> i <math>m_2</math> otrzymujemy:

::<math>
v_1=0
\qquad \qquad v_2=v_0
</math>

Pierwsze ciało zatrzymuje się i przekazuje całą energię
kinetyczną drugiemu ciału, które zaczyna się poruszać z prędkością
równą prędkości pierwszego ciała przed zderzeniem.

==Zadanie==

Zderzenie niecentralne niesprężyste

[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_17.svg]]

Wprowadzamy układ współrzędnych z osią <math>x</math> skierowaną
zgodnie z początkową prędkością <math>\vec{v}_0</math>.
Zasadę zachowania pędu

::<math>
m_1\vec{v}_0 = m_1\vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2
</math>

rozpisujemy na składowe

::<math>
\left\lbrace
\begin{array}{l}
m_1 v_0 = m_1 v_1 \cos (\alpha _1) + m_2 v_2 \cos (\alpha _2)
\\[4pt]
0 = m_1 v_1 \sin (-\alpha _1) + m_2 v_2 \sin (\alpha _2)
\end{array}
\right.
</math>

Są to 2 równania na 4 niewiadome:
4 składowe kartezjańskie dwóch prędkości
(<math>v_{1x}</math>, <math>v_{1y}</math>, <math>v_{2x}</math>, <math>v_{2y}</math>)
lub dwie prędkości (<math>v_1</math> i <math>v_2</math>) i dwa kąty (<math>\alpha _1</math> i <math>\alpha _2</math>).

W ogólności układ dwóch równań na 4 niewiadome ma nieskończenie
wiele rozwiązań. Możemy tylko wyznaczyć dwie niewiadome jako
funkcje dwóch pozostałych niewiadomych.

===Zadanie===

Możemy wyznaczyć wartości prędkości w funkcji kątów:

Z <math>y</math>-owej składowej zasady zachowania pędu dostajemy

::<math>
v_2
=
v_1\, \frac{m_1}{m_2}\,\frac{\sin (\alpha _1)}{\sin (\alpha _2)}
</math>

Podstawienie tego do <math>x</math>-owej składowej zasady zachowania pędu daje

::<math>
m_1 v_0
=
m_1 v_1 \cos (\alpha _1) +
m_2 v_1\, \frac{m_1}{m_2}\,\frac{\sin (\alpha _1)}{\sin (\alpha _2)}\cos (\alpha _2)
</math>

::<math>
v_0
=
v_1 \cos (\alpha _1) +
v_1\, \frac{\sin (\alpha _1)}{\sin (\alpha _2)}\cos (\alpha _2)
</math>

::<math>
v_0 \sin (\alpha _2)
=
v_1 \sin (\alpha _2)\cos (\alpha _1) + v_1 \sin (\alpha _1)\cos (\alpha _2)
=
v_1 \sin (\alpha _1+\alpha _2)
</math>

::<math>
v_1
=
v_0\,\frac{\sin (\alpha _2)}{\sin (\alpha _1+\alpha _2)}
</math>

Podstawienie tego <math>v_1</math> do wzoru na <math>v_2</math> daje

::<math>
v_2
=
v_1\, \frac{m_1}{m_2}\,\frac{\sin (\alpha _1)}{\sin (\alpha _2)}
=
\frac{m_1}{m_2}v_0\,\frac{\sin (\alpha _2)}{\sin (\alpha _1+\alpha _2)}
\,\frac{\sin (\alpha _1)}{\sin (\alpha _2)}
=
v_0\,\frac{m_1}{m_2}\,\frac{\sin (\alpha _1)}{\sin (\alpha _1+\alpha _2)}
</math>

===Zadanie===

Możemy też wyznaczyć kąty w funkcji pędów:

Na początek przekształcamy obie składowe zasady zachowania pędu

::<math>
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\left(m_1 v_0 - m_1 v_1 \cos (\alpha _1)\right)^2 = m_2^2 v_2^2 \cos ^2(\alpha _2)
\\[4pt]
m_1^2 v_1^2 \sin ^2(\alpha _1) = m_2^2 v_2^2 \sin ^2(\alpha _2)
\end{array}
\right.
</math>

::<math>
\left\lbrace
\begin{array}{l}
m_1^2 v_0^2 - 2 m_1^2 v_0 v_1 \cos (\alpha _1)
+ m_1^2 v_1^2 \cos ^2(\alpha _1) = m_2^2 v_2^2 \cos ^2(\alpha _2)
\\[4pt]
m_1^2 v_1^2 \sin ^2(\alpha _1) = m_2^2 v_2^2 \sin ^2(\alpha _2)
\end{array}
\right.
</math>

Dodając obie te równości stronami dostajemy

::<math>
m_1^2 v_0^2 - 2 m_1^2 v_0 v_1 \cos (\alpha _1)+ m_1^2 v_1^2
= m_2^2 v_2^2
</math>

co pozwala wyznaczyć cosinus kąta <math>\alpha _1</math>

::<math>
\cos (\alpha _1)
=
\frac{m_1^2 v_0^2+m_1^2 v_1^2 - m_2^2 v_2^2}{ 2 m_1^2 v_0 v_1}
</math>

Podstawiając ten wynik do <math>x</math>-owej składowej zasady zachowania pędu
obliczamy drugi kąt

::<math>
m_2 v_2 \cos (\alpha _2)= m_1 v_0 - m_1 v_1
\frac{m_1^2 v_0^2+m_1^2 v_1^2 - m_2^2 v_2^2}{ 2 m_1^2 v_0 v_1}
</math>

::<math>
\cos (\alpha _2) =
\frac{m_1^2 v_0^2 - m_1^2 v_1^2 + m_2^2 v_2^2}{ 2 m_1 m_2 v_0 v_2}
</math>

Wzory na oba kąty wyrażają się dość prosto przez stosunek, w jakim
początkowy pęd <math>p_0</math> “dzieli się” między oba ciała

::<math>
\cos (\alpha _1) = \frac{1+\xi _1-\xi _2}{2\xi _1}
\qquad \qquad \cos (\alpha _2) = \frac{1+\xi _2-\xi _1}{2\xi _2}
</math>

gdzie dla <math>i=1,2</math>

::<math>
\xi _i=\frac{p_i}{p_0}=\frac{m_i v_i}{m_1 v_0}
</math>

===Zadanie===

Policzmy jeszcze zmianę energii kinetycznej w taki zderzeniu

::<math>
\Delta E = E_0 - E_1 - E_2
= \frac{1}{2} m_1 v_0^2 - \frac{1}{2} m_1 v_1^2 - \frac{1}{2} m_2 v_2^2
</math>

::<math>
\frac{\Delta E}{E_0}
=
1 - \frac{v_1^2}{v_0^2} - \frac{m_2}{m_1}\,\frac{v_2^2}{v_0^2}
=
1 - \frac{\sin ^2(\alpha _2)}{\sin ^2(\alpha _1+\alpha _2)}
- \frac{m_1}{m_2}\,\frac{\sin ^2(\alpha _1)}{\sin ^2(\alpha _1+\alpha _2)}
</math>

::<math>
\frac{\Delta E}{E_0}
=
\frac{m_2 \sin ^2(\alpha _1+\alpha _2)-m_2 \sin ^2(\alpha _2) - m_1
\sin ^2(\alpha _1)}{m_2 \sin ^2(\alpha _1+\alpha _2)}
</math>

Zderzenie jest sprężyste, jeśli licznik powyższego wyrażenia znika.
Jest to warunek łączący kąty rozpraszania <math>\alpha _1</math> i <math>\alpha _2</math>

::<math>
m_2 \sin ^2(\alpha _1+\alpha _2)
=
m_2 \sin ^2(\alpha _2) + m_1 \sin ^2(\alpha _1)
</math>

==Zadanie==

Zderzenie niecentralne idealnie sprężyste

Rysunek jak do poprzedniego zadania. Zasada zachowania
pędu (dwie składowe) i zasada zachowania energii tworzą układ
3 równań na cztery niewiadome

::<math>
\left\lbrace
\begin{array}{l}
m_1 v_0 = m_1 v_1 \cos (\alpha _1) + m_2 v_2 \cos (\alpha _2)
\\[4pt]
0 = m_1 v_1 \sin (-\alpha _1) + m_2 v_2 \sin (\alpha _2)
\\[4pt]
m_1 v_0^2 = m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2
\end{array}
\right.
</math>

Niewiadomych jest o jedną więcej niż równań, więc rozwiązania
nie są jednoznaczne. Jeśli zadamy jedną z wielkości, np. jeden z kątów <math>\alpha _i</math>, to możemy wtedy obliczyć drugi
kąt i wartości obu prędkości <math>v_{1,2}</math>. Wynik znaleźliśmy
już w zadaniu 9.3:

::<math>
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\displaystyle v_1=v_0\,\frac{\sin (\alpha _2)}{\sin (\alpha _1+\alpha _2)}
\\[4pt]
\displaystyle v_2=v_0\,\frac{m_1}{m_2}\,\frac{\sin (\alpha _1)}{\sin (\alpha _1+\alpha _2)}
\\[6pt]
\displaystyle \sin ^2(\alpha _1+\alpha _2)
= \sin ^2(\alpha _2) + \frac{m_1}{m_2} \sin ^2(\alpha _1)
\end{array}
\right.
</math>

Nie jest on bardzo prosty w ogólnym przypadku, więc rozpatrzymy
kilka prostych przykładów.

===Zadanie===

Równe masy <math>m_2=m_1</math>

Zasada zachowania energii przybiera w tym przypadku postać

::<math>
\sin ^2(\alpha _1+\alpha _2) = \sin ^2(\alpha _2) + \sin ^2(\alpha _1)
</math>

::<math>
\left(\sin (\alpha _1)\cos (\alpha _2)+\sin (\alpha _2)\cos (\alpha _1)\right)^2
= \sin ^2(\alpha _2) + \sin ^2(\alpha _1)
</math>

<math>\begin{matrix}
\sin ^2(\alpha _1)\cos ^2(\alpha _2)
+2\sin (\alpha _1)\cos (\alpha _1)\sin (\alpha _2)\cos (\alpha _2)
+\sin ^2(\alpha _2)\cos ^2(\alpha _1)=
\qquad \qquad \\
= \sin ^2(\alpha _2) + \sin ^2(\alpha _1)
\end{matrix}</math>

::<math>
\sin ^2(\alpha _1)[\cos ^2(\alpha _2)-1]
+2\sin (\alpha _1)\cos (\alpha _1)\sin (\alpha _2)\cos (\alpha _2)
+\sin ^2(\alpha _2)[\cos ^2(\alpha _1)-1]
=0
</math>

::<math>
-2\sin ^2(\alpha _1)\sin ^2(\alpha _2)
+2\sin (\alpha _1)\cos (\alpha _1)\sin (\alpha _2)\cos (\alpha _2)
=0
</math>

::<math>
\sin ^2(\alpha _1)\sin ^2(\alpha _2)
=
\sin (\alpha _1)\cos (\alpha _1)\sin (\alpha _2)\cos (\alpha _2)
</math>

To równanie ma 3 rozwiązania

::<math>
\sin (\alpha _1)=0
\qquad \vee \qquad \sin (\alpha _2)=0
\qquad \vee \qquad \sin (\alpha _1)\sin (\alpha _2)=\cos (\alpha _1)\cos (\alpha _2)
</math>

Rozpatrzmy je po kolei.

<ul>

<li>
Jeśli <math>\sin (\alpha _1)=0</math> to <math>\sin (\alpha _1+\alpha _2)=\sin (\alpha _2)</math>
i wzory na wartości prędkości dają:

::<math>
v_1=v_0
\qquad \qquad v_2=0
</math>

Ponadto, <math>y</math>-owa składowa zasady zachowania pędu daje <math>\alpha _2=0</math>.
Po zderzeniu ciało pierwsze porusza się z taka samą prędkością
jak przed zderzeniem, a ciało drugie nadal spoczywa. To rozwiązanie
opisuje sytuację, gdy do zderzenia nie doszło. Brak zderzenia jest
oczywiście zgodny z wszelkimi zasadami zachowania i opis
matematyczny musi dopuszczać i zawierać taką możliwość.

<li>
Jeśli <math>\sin (\alpha _2)=0</math> to <math>\sin (\alpha _1+\alpha _2)=\sin (\alpha _1)</math>
i wzory na wartości prędkości dają:

::<math>
v_1=0
\qquad \qquad v_2=v_0
</math>

Ponadto, <math>y</math>-owa składowa zasady zachowania pędu daje <math>\alpha _1=0</math>.
Ciało pierwsze zatrzymuje się, a ciało drugie przejmuje całą energię
kinetyczna i porusza się z taką prędkością, z jaką przed zderzeniem
poruszało się ciało pierwsze. Nie tylko wartość tej prędkości jest
taka sama ale także jej kierunek (i zwrot). Jest to przypadek
zderzenia idealnie sprężystego i centralnego. Zderzenie centralne
jest szczególnym (granicznym) przypadkiem zderzenia niecentralnego,
więc opis matematyczny musi je obejmować.

<li>
“Prawdziwie” niecentralne i sprężyste zderzenie opisuje
trzecie rozwiązanie

::<math>
\cos (\alpha _1)\cos (\alpha _2)=\sin (\alpha _1)\sin (\alpha _2)
</math>

gdzie obie strony równania są różne od 0. Przekształcając to
równanie dostajemy

::<math>
0=\cos (\alpha _1)\cos (\alpha _2)-\sin (\alpha _1)\sin (\alpha _2)
=\cos (\alpha _1+\alpha _2)
</math>

co daje

::<math>
\alpha _1+\alpha _2=\frac{\pi }{2}
</math>

W zderzeniu sprężystym niecentralnym, w którym jedno z ciał
początkowo spoczywa, kierunki prędkości po zderzeniu tworzą
kąt prosty. Praktyczne zastosowanie to ruch kul bilardowych.

</ul>

Ten ostatni wniosek można także udowodnić stosując metodę graficzną.
Zasada zachowania pędu ma następującą postać wektorową

::<math>
\vec{p}_0=\vec{p}_1+\vec{p}_2
</math>

podczas gdy dla równych mas zasada zachowania energii
kinetycznej to następujące równanie skalarne

::<math>
p_0^2=p_1^2+p_2^2
</math>

Równanie wektorowe mówi nam, że odcinki o długościach
<math>p_0</math>, <math>p_1</math> i <math>p_2</math> tworzą trójkąt. W takim przypadku
równanie skalarne jest równaniem Pitagorasa które jest
słuszne, jeśli między bokami o długościach <math>p_1</math> i <math>p_2</math>
jest kąt prosty.

===Zadanie===

Inny prosty przykład: <math>\alpha _1=\alpha _2=\alpha </math>

(Oczywiście dla <math>m_1 \ne m_2</math>, bo w przypadku równych mas
z warunku <math>\alpha _1+\alpha _2=\pi /2</math> natychmiast dostalibyśmy
rozwiązanie <math>\alpha _1=\alpha _2=\pi /4</math>)

Tym razem zasada zachowania energii kinetycznej daje

::<math>
\sin ^2(2\alpha )=\sin ^2(\alpha )+\frac{m_1}{m_2}\sin (\alpha )
=\sin ^2(\alpha )\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)
</math>

Wyliczamy stąd cosinus kąta <math>\alpha </math>

::<math>
1+\frac{m_1}{m_2}
=
\frac{\sin ^2(2\alpha )}{\sin ^2(\alpha )}
=
\frac{[2\sin (\alpha )\cos (\alpha )]^2}{\sin ^2(\alpha )}
=
4\cos ^2(\alpha )
</math>

::<math>
\cos (\alpha )=\frac{1}{2}\,\sqrt{1+\frac{m_1}{m_2}}
</math>

Oczywiści <math>\cos ^2(\alpha )</math> nie może być większy niż 1

::<math>
1\ge \cos ^2(\alpha )=\frac{1}{4}\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)
</math>

::<math>
\frac{m_1}{m_2}\le 3
</math>

Ciała nie mogą rozproszyć się symetrycznie (<math>\alpha _1=\alpha _2</math>),
jeśli ciało “pocisk” jest więcej niż trzykrotnie cięższe
od ciała “tarczy”.

Z oczywistego warunku dodatniości masy pierwszego ciała otrzymujemy
warunek na kąt rozpraszania <math>\alpha </math>:

::<math>
\cos ^2(\alpha )=\frac{1}{4}\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)>\frac{1}{4}
</math>

::<math>
\cos (\alpha )>\frac{1}{2}
\qquad \qquad \Rightarrow \qquad \qquad \alpha <\frac{\pi }{3}
</math>

Do kąta granicznego <math>\pi /3</math> zbliżamy się, jeśli stosunek
mas <math>m_1/m_2</math> dąży do zera.

@@ Linia 55: / Linia 55: @@
 dwóch kul. Jedna z kul przed zderzeniem jest w spoczynku.
-[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_16.svg]]
+[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_16.png]]
 Zasady zachowania pędu i zachowania energii kinetycznej
@@ Linia 219: / Linia 219: @@
 Zderzenie niecentralne niesprężyste
-[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_17.svg]]
+[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_17.png]]
 Wprowadzamy układ współrzędnych z osią <math>x</math> skierowaną

@@ Linia 7: / Linia 7: @@
 Jedno z ciał przed zderzeniem jest w spoczynku.
-[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_15.svg]]
+[[File:MatematykaOptykaOkularowa_cwicz_sem1_picture_15.png]]
 Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas

Matematyka 1 OO/Zderzenia - Historia wersji

Anula o 17:29, 26 maj 2015

Anula o 17:27, 26 maj 2015

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Zadanie== Zderzenie centralne idealnie niesprężyste (ciała zlepiają się i po zderzeniu poruszają się razem). Jedno z ciał przed zderzeniem jest w s..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Zadanie== Zderzenie centralne idealnie niesprężyste (ciała zlepiają się i po zderzeniu poruszają się razem). Jedno z ciał przed zderzeniem jest w s..."