Anula: Utworzono nową stronę "==Układy równań liniowych algebraicznych - metoda eliminacji Gaussa== '''''Zadanie 1''''' Rozwiąż układ równań $\left\{ \begin{matrix} 2x..."$

2015-05-22T13:48:45Z

Utworzono nową stronę "==Układy równań liniowych algebraicznych - metoda eliminacji Gaussa== <big>'''''Zadanie 1'''''</big> Rozwiąż układ równań <math> \left\{ \begin{matrix} 2x..."

Nowa strona

==Układy równań liniowych algebraicznych - metoda eliminacji Gaussa==

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Rozwiąż układ równań

<math>
\left\{
\begin{matrix}
2x & + & 3y & + & z& =2 \\
3x & + & 2y & - & z& =3 \\
x & + & 2y & + & 2z& =2
\end{matrix}
\right.
</math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
Używając pierwszego równania eliminujemy <math>x</math> z pozostałych
<math>
\left\{
\begin{matrix}
2x & + & 3y & + & z& =&2 \\
& & y & + & z& =&0 \\
& & y & + & 3z& =&-4
\end{matrix}
\right.
</math>   , używając drugiej równości eliminujemy <math>y</math> z trzeciej równości
<math>
\left\{
\begin{matrix}
2x & + & 3y & + & z& =&2 \\
& & y & + & z& =&0 \\
& & & & z& =&-2
\end{matrix}
\right.
</math>   . Wstawiając tak otrzymaną wartość <math>z</math> do dwóch pierwszych równań mamy
<math>
\left\{
\begin{matrix}
2x & + & 3y & & & = &4 \\
& & y & & & = &2 \\
& & & & z& = &-2
\end{matrix}
\right.
</math>   , i ostatecznie
<math>
\left\{
\begin{matrix}
x & =&-1 \\
y & =& 2 \\
z &=&-2
\end{matrix}
\right.
</math>   .
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Rozwiąż układ równań

<math>
\left\{
\begin{matrix}
y+z =5 \\
x+z =4 \\
x+y =2
\end{matrix}
\right.
</math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
\left\{
\begin{matrix}
y+z =5 \\
x+z =4 \\
x+y =3
\end{matrix}
\right. \iff
\left\{
\begin{matrix}
y+z =5 \\
x+z =4 \\
x-z =-2
\end{matrix}
\right. \iff
\left\{
\begin{matrix}
y+z =5 \\
x+z =4 \\
x = 1
\end{matrix}
\right. \iff
\left\{
\begin{matrix}
y =2 \\
z = 3 \\
x = 1
\end{matrix}
\right.
</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Rozwiąż układ równań

<math>
\left\{
\begin{matrix}
x+y+z+t =1 \\
2x+3y+4z+3t =2 \\
x-z =1 \\
y+2z+t=0
\end{matrix}
\right.
</math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
\left\{
\begin{matrix}
x+y+z+t =1 \\
2x+3y+4z+3t =2 \\
x-z =1 \\
y+2z+t=0
\end{matrix}
\right. \iff
\left\{
\begin{matrix}
x+y+z+t =1 \\
y+2z+t=0 \\
y+2z+t=0 \\
y+2z+t=0
\end{matrix}
\right. \iff
\left\{
\begin{matrix}
x+y+z+t =1 \\
y+2z+t=0
\end{matrix}
\right. \iff
\left\{ \begin{matrix}
x-z =1 \\
y+2z+t=0
\end{matrix}\right.
</math>

Rozwiązaniem jest
<math>\{(x,y,z,t)\in \mathbb{R}^4 \, : \, x=1+z, \, y=-2z-t, \, z\in\mathbb{R} , \, t\in\mathbb{R}\}</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Rozwiąż układ równań

<math>
\left\{
\begin{matrix}
x+y+z =3 \\
x+y+2z =4 \\
x+y+3z =5
\end{matrix}
\right.
</math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
\left\{
\begin{matrix}
x+y+z =3 \\
x+y+2z =4 \\
x+y+3z =5
\end{matrix}
\right. \iff
\left\{
\begin{matrix}
x+y+z =3 \\
z =1 \\
z =1
\end{matrix}
\right.\iff
\begin{matrix}
x =-y+2 \\
z =1
\end{matrix}
</math>

Rozwiązaniem jest
<math>\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \, : \, x=-y+2, \, z=1 , \, y\in\mathbb{R}\}</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Rozwiąż układ równań

<math>
\left\{
\begin{matrix}
3x+y+z =1 \\
x+y+2z =-2 \\
x-y-3z =-9
\end{matrix}
\right.
</math>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
\left\{
\begin{matrix}
3x+y+z =1 &\\
x+y+2z =-2 & \\
x-y-3z =-9 &
\end{matrix}
\right.\iff
\left\{
\begin{matrix}
-2y-5z =7 &\\
x+y+2z =-2 & * \\
-2y-5z =-7 &
\end{matrix}
\right.\iff
\left\{
\begin{matrix}
-2y-5z =7 & **\\
x+y+2z =-2 & * \\
7=-7 &\end{matrix} \right.
</math>

Gdzie gwiazdkami oznaczyliśmy równanie, którego użyliśmy w kolejnych krokach. Układ nie ma rozwiązań.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

==Operacje algebraiczne na macierzach==

<big>'''''Uwagi'''''</big>
Na wykładzie pokazane będzie, że

a) mnożenie macierzy jest łączne

b) mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania.

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Oblicz
<math>
2
\left[
\begin{matrix}
-1 & 2 \\
4 & 5
\end{matrix}
\right]+
\left[
\begin{matrix}
2 & -2 \\
1 & -1
\end{matrix}
\right] 7
</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
2
\left[
\begin{matrix}
-1 & 2 \\
4 & 5
\end{matrix}
\right]+
\left[
\begin{matrix}
2 & -2 \\
1 & -1
\end{matrix}
\right] 7
=
\left[
\begin{matrix}
-2 & 4 \\
8 & 10
\end{matrix}
\right]+
\left[
\begin{matrix}
14 & -14 \\
7 & -7
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
12 & -10 \\
15 & 3
\end{matrix}
\right]
</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Pomnóż macierz  
<math>
\left[
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{matrix}
\right]
</math>  
przez macierz  
<math>
\left[
\begin{matrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{matrix}
\right]
</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
\left[
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{matrix}
\right]=
\left[
\begin{matrix}
a+2d+3g & b+2e+3h & c+2f+3i \\
4a+5d+6g & 4b+5e+6h & 4c+5f+6i \\
7a+8d+9g & 7b+8e+9h & 7c+8f+9i
\end{matrix}
\right]
</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

Niech
<math>
A=\left[
\begin{matrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6
\end{matrix}
\right]
</math>,  
<math>B=
\left[
\begin{matrix}
7 & 8 & 9 \\
-1 & -2 & -3
\end{matrix}
\right]
</math>. Oblicz AB i BA

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
\left[
\begin{matrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
7 & 8 & 9 \\
-1 & -2 & -3
\end{matrix}
\right]=
\left[
\begin{matrix}
7-2 & 8-4 & 9-6\\
21-4 & 24-8 & 27-12 \\
35-6 & 40-12 & 45-8
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
5 & 4 & 3 \\
17 & 16 & 15 \\
29 & 28 & 37
\end{matrix}
\right]
</math>

<math>
\left[
\begin{matrix}
7 & 8 & 9 \\
-1 & -2 & -3
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
7+24+45 & 14+32 +54 \\
-1-6-15 & -2-8-18
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
76 & 100 \\
-22 & -28
\end{matrix}
\right]
</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

Niech
<math>
|a>:=\left[
\begin{matrix}
1 \\
2 \\
3
\end{matrix}
\right]
</math>,  
<math><b|:=
\left[
\begin{matrix}
2 & 3 & 1 \\
\end{matrix}
\right]
</math>.   Oblicz <math><b|a></math>  i  <math>|a><b|</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
<b|a>=2+6+3=11
</math>

<math>
|a><b|=
\left[
\begin{matrix}
2 & 3 & 1 \\
4 & 6 & 2 \\
6 & 9 & 3
\end{matrix}
\right]
</math>
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

Oblicz

<math>
\left[
\begin{matrix}
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{matrix}
\right]^3
</math>.

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content =
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content =
<math>
\left[
\begin{matrix}
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{matrix}
\right]^3=
\left[
\begin{matrix}
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{matrix}
\right]^2\left[
\begin{matrix}
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{matrix}
\right]\left[
\begin{matrix}
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{matrix}
\right]=
\left[
\begin{matrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{matrix}
\right]
</math>.
}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content =
}}
----

Matematyka II NI/Algebra liniowa - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "==Układy równań liniowych algebraicznych - metoda eliminacji Gaussa== '''''Zadanie 1''''' Rozwiąż układ równań \left\{ \begin{matrix} 2x..."

Anula: Utworzono nową stronę "==Układy równań liniowych algebraicznych - metoda eliminacji Gaussa== '''''Zadanie 1''''' Rozwiąż układ równań $\left\{ \begin{matrix} 2x..."$