Anula: Utworzono nową stronę "==Równania różniczkowe zwyczajne== ===Część pierwsza=== '''''Uwagi wstępne''''' W tej części potrzebna jest nam jedynie wiedza o tym, że funkcje..."

2015-05-22T13:49:52Z

Utworzono nową stronę "==Równania różniczkowe zwyczajne== ===Część pierwsza=== <big>'''''Uwagi wstępne'''''</big> W tej części potrzebna jest nam jedynie wiedza o tym, że funkcje..."

Nowa strona

==Równania różniczkowe zwyczajne==

===Część pierwsza===

<big>'''''Uwagi wstępne'''''</big>

W tej części potrzebna jest nam jedynie wiedza o tym, że funkcje pierwotne funkcji ciągłej różnią się o stałą oraz znajomość twierdzenia o zamianie zmiennych w całce nioznaczonej.
W roku akademickim 2010/2011 materiał ten zostanie przeniesiony na pierwszy semestr.

<big>'''''Zadanie 1'''''</big>

Znajdź rozwiązanie ogólne równania

<equation id="eq:ind2">
<math>
y'(x)=(1+y(x)^2) x
\; .\,</math></equation>

Znajdź rozwiązanie szczególne, dla którego
<equation id="eq:ind1"><math> y(7)=1 </math></equation> 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = Jest to równanie różniczkowe zwyczajne o zmiennych rozdzielonych}}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = Szukamy rozwiązań <math>y(x)</math> różniczkowalnych na <math>\mathbb R </math>. W tego typu równaniach studenci mówią o metodzie ,,chromosomowej": ''igreki na lewo iksy na prawo''
<equation id="eq:ind3">
<math>
\frac{y'(x)}{(1+y(x)^2)} = x
\; .\,</math></equation> 
Funkcją pierwotną wyrażenia po prawej stronie (używamy twierdzenia o zamianie zmiennej w całce nieoznaczonej)
jest na przykład <math> \arctan y </math>. Natomiast przykładową funkcją pierwotną funkcji po prawej stronie równości <xr id="eq:ind3">równanie %i</xr> jest <math> \frac{1}{2} x^2 </math>. Funkcje pierwotne danej funkcji ciągłej mogą się różnić jedynie o stałą, mamy więc
<equation><math>
\arctan y(x) = \frac{1}{2} x^2+C
\; .\,</math></equation> 
i ostatecznie rozwiązaniem ogólnym jest
<equation><math>
y(x) = \tan(\frac{1}{2} x^2+C)
\; .\,</math></equation> }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = Równanie o zmiennych rozdzielonych
<equation><math>
f(y) y'(x)= g(x)
\; .\,</math> </equation>
}}
----

<big>'''''Zadanie 2'''''</big>

Znajdź rozwiązanie ogólne równania

<equation id="eq:ind4">
<math>
y'(x)=y(x) x^3
\; .\,</math></equation> 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = }}

----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----

<big>'''''Zadanie 3'''''</big>

<equation id="eq:ind5">
<math>
x y'(x)=y(x)
\; .\,</math></equation> 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = }}

----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}

----

<big>'''''Zadanie 4'''''</big>

<equation id="eq:ind5">
<math>
x^2 y'(x)=y(x)
\; .\,</math></equation> 

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = }}

----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----

<big>'''''Zadanie 5'''''</big>

{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Wskazówka'' | content = }}

----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Rozwiązanie'' | content = }}
----
{{hidden| ta1=left | ta2=left | bg1=#8FBC8F |
| header = ''Uwagi'' | content = }}
----
[[category:Matematyka II ćwiczenia]]
[[category:Matematyka II]]

Matematyka II NI/Równania różniczkowe zwyczajne - Historia wersji

Anula: Utworzono nową stronę "==Równania różniczkowe zwyczajne== ===Część pierwsza=== '''''Uwagi wstępne''''' W tej części potrzebna jest nam jedynie wiedza o tym, że funkcje..."