RobertJB: /* Twierdzenie */

2020-07-09T11:28:14Z

Twierdzenie

RobertJB: /* Przykład */

2020-07-09T11:27:14Z

Przykład

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Podstawowe definicje== ===Iloraz różnicowy funkcji=== ''' Def.''' Niech funkcja $f\;$ będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawieraj..."

2015-05-22T12:03:42Z

Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Podstawowe definicje== ===Iloraz różnicowy funkcji=== ''' Def.''' Niech funkcja <math>f\;</math> będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawieraj..."

Nowa strona

__NOTOC__

==Podstawowe definicje==

===Iloraz różnicowy funkcji===
''' Def.''' Niech funkcja <math>f\;</math> będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt <math>a\;</math>. ''Ilorazem różnicowym funkcji <math>f\;</math> w punkcie <math>a\;</math> dla przyrostu <math>h\;</math>'' nazywamy funkcję
<equation id="eq:1">
<math>
g_a(h)= \frac{f(a+h)-f(a)}{h}
</math>
</equation>
===Pochodna funkcji <math>f</math> w punkcie <math>a</math>===
''Pochodną funkcji <math>f\;</math> w punkcie <math>a\;</math>'' (ozn. <math>f'(a)</math>) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:
<equation id="eq:2">
<math>
\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}
</math>
</equation>
====Inne oznaczenia pochodnej====
Pochodną funkcji <math>f\;</math> w punkcie <math>a\;</math> oznacza się też:
<center><math>\frac{df(x)}{dx}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_{x=a}</math></center> bądź — jeśli nie trzeba podawać, w jakim punkcie jest liczona — jako <math>\frac{df(x)}{d x}\;</math>.

Oznaczenia <math>\frac{df(x)}{d x}\;</math> pochodzą od Leibniza (XVII w.) — jednego z wynalazców (obok Newtona) rachunku różniczkowego. Pochodzenie tej symboliki jest następujące: Iloraz różnicowy <xr id="eq:1">(%i)</xr> można zapisać jako:
<center><math>
\frac{{\rm przyrost \;wartosci \;funkcji}\; f}{{\rm przyrost \;wartosci \;argumentu}\; x} = \frac{\Delta f}{\Delta x};
</math></center>
pochodna jest granicą ilorazu różnicowego, i "w granicy" zastępuje się <math>\Delta\;</math> przez <math>d\;</math>.
=====Uwaga=====
Symbol <math>\frac{df(x)}{d x}\;</math> należy traktować jako ''jedną całość''. O ile wielkości z licznika czy mianownika — tzn <math>\Delta f\;</math> czy <math>\Delta x\;</math> są dobrze określone, o tyle '' oddzielnie'' symbole <math>df\;</math>, <math>d x\;</math> — bez dodatkowych umów — nie mają sensu, lub są bezużyteczne. (gdyby np. rozpatrywać je w najbardziej narzucający się sposób, tzn. jako granice, gdy przyrost argumentu dąży do zera, to otrzymałoby się zero). Sensowna, bądź użyteczna, jest jedynie ich kombinacja <math>\frac{df}{dx}\;</math>.

Nie oznacza to, że ''nie wolno'' w ogóle posługiwać się symbolami w rodzaju <math>d f\;</math> czy <math>d x\;</math>. Wolno, ale jedynie na etapie pośrednim jakiegoś rozumowania, którego finałem będzie jakiś w pełni legalny już symbol w rodzaju <math>\frac{df}{d x}\;</math> czy <math>\int f(x) d x\;</math>.
====Przykład====

<math>f(x)=x^2\;</math>, <math>f'(3)=6\;</math>.
[[Image:Styczna.png|right|thumb|Styczna do wykresu funkcji w punkcie, nachylona do osi OX pod kątem α]]
[[Image:Sieczna.png|right|thumb|Sieczna wykresu funkcji w punktach wzajemnie oddalonych o '''h''', nachylona do osi '''OX''' pod kątem <math>\alpha_h</math>]]
Pochodna funkcji w punkcie ma bardzo wyrazisty sens geometryczny. (RYS.) Rozpatrzmy wykres funkcji <math>y=f(x)\;</math>. Ustalmy dodatnie <math>h\;</math> i przeprowadźmy prostą przez punkty: <math>(x, f(x))\;</math> i <math>(x+h, f(x+h))\;</math>. Prostą taką nazywamy ''sieczną'' krzywej. Jak widać, iloraz różnicowy jest tangensem kąta <math>\alpha_h\;</math>, który sieczna tworzy z osią <math>OX\;</math>. Gdy <math>h\to 0\;</math>, to sieczne dążą do prostej granicznej — ''stycznej'' do krzywej w punkcie <math>x\;</math>. Tak więc
<center>
<math>
f'(a)=\tg \alpha
</math>
</center>
Nie każda funkcja ciągła posiada pochodną (co w ilustracji geometrycznej znaczy, że nie każda krzywa posiada styczną, a jeśli nawet tak, to taka styczna nie jest jednoznacznie określona). I tak np. funkcja <math>f(x)=|x|\;</math> nie posiada pochodnej w punkcie <math>x=0\;</math>. Mamy bowiem:
<center><math>
\lim_{h \to 0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h}=+1, \;\;\;</math> oraz <math>\;\;\;
\lim_{h \to 0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h}=-1.</math>
</center>

W powyższym jednak przypadku możemy mówić o ''pochodnych jednostronnych'', tzn. granicach ilorazów różnicowych: <math>\lim_{h \to 0^+}\;</math> (pochodna prawostronna) i <math>\lim_{h \to 0^-}\;</math> (pochodna lewostronna). Dokładniej, mamy:

===Pochodna jednostronna===
Pochodną ''prawostronną'' (''lewostronną'') funkcji <math>f\;</math> w punkcie <math>a\;</math> nazywamy granicę
<equation id="eq:3">
<math>
f'_+(a)= \lim_{h \to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \;\;\;\;f'_-(a)=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
</math>
</equation>
Są jednak też funkcje, które (w jakimś punkcie) w ogóle nie posiadają pochodnej — ani lewo-, ani prawostronnej.
Np. funkcja:
<center>
<math>
f(x)=x \sin\frac{1}{x} \;\;\;{\rm dla} \;\;\;x\ne 0;\;\;\;\;\; f(0)=0
</math>
</center>
jest ciągła, lecz nie posiada pochodnej (ani lewo-, ani prawostronnej) w zerze. Nieistnienie tej pochodnej wynika np. z nieistnienia granicy <math>\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to 0}\,\sin\frac{1}{x}\;</math>. Bowiem granica ilorazu różnicowego:
<center><math>
\lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \sin\frac{1}{h}
</math></center>
nie istnieje, jak to widzieliśmy uprzednio (http://brain.fuw.edu.pl/edu/Matematyka:Funkcje_i_granice#Funkcje_bez_jednostronnych_granic). Istnieją także funkcje ciągłe, które nie posiadają pochodnej w ''żadnym'' punkcie. Rozważamy też pochodne ''nieskończone'' (ma to miejsce, gdy granica ilorazu różnicowego w jakimś punkcie dąży do nieskończoności). I tak np. dla funkcji <math>f(x)=\sqrt{x}\;</math> mamy
<center><math>
f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+}\frac{\sqrt{h}-0}{h} = \lim_{h \to 0^+}\frac{1}{\sqrt{h}}=\infty \;</math></center>
(bo <math>\lim_{h \to 0} \sqrt{h}=0\;</math>); bądź dla pochodnej dwustronnej: weźmy <math>f(x)=\sqrt[3]{x}\;</math>,
<center><math>
f'(0) = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[3]{h}-0}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{1}{\sqrt[3]{h^2}}=\infty
</math></center>

===Różniczkowalność===
Mówimy, że funkcja jest '' różniczkowalna '' w przedziale otwartym, jeśli posiada pochodną skończoną w każdym punkcie tego przedziału. Funkcja jest różniczkowalna w przedziale domkniętym <math>[a,b]\;</math>, jeśli posiada pochodną w każdym punkcie wewnętrznym przedziału, a pochodną jednostronną (prawą lub lewą) w lewym lub prawym końcu przedziału.

===Ciągłość pochodnej w przedziale===
Mówimy, że pochodna <math>f'(x)\;</math> funkcji <math>f(x)\;</math> jest ciągła w przedziale <math>[a,b]\;</math>, jeśli <math>f'(x)\;</math> jest ciągła wewnątrz przedziału, pochodna prawostronna jest ciągła prawostronnie w punkcie <math>a\;</math>, zaś pochodna lewostronna — ciągła lewostronnie w punkcie <math>b\;</math>.

==Pierwsze zastosowania geometryczne i fizyczne pochodnej==

===Normalna===
Przez ''normalną '' do krzywej <math>y=f(x)\;</math> w punkcie <math>p=(x, f(x))</math> rozumiemy prostą, prostopadłą do stycznej w <math>p\;</math> i przechodzącej przez <math>p\;</math>.
[[Image:Styczna_normalna.png|right|thumb|350px|Wykres funkcji z zaznaczoną normalną w punkcie '''p''']]
Tak więc:
<ul>
<li>równanie prostej stycznej do krzywej <math>y=f(x)\;</math> w punkcie <math>p=(x_0, y_0)\;</math>, gdzie <math>y_0=f(x_0)\;</math> jest:
<center><math>
y=f'(x_0) x + f(x_0) - f'(x_0) x_0,
\;</math></center>
lub — w postaci być może łatwiejszej do zapamiętania —
<equation id="eq:4">
<math>
y-y_0 = f'(x_0)(x-x_0).
</math>
</equation></li>
<li>Dla prostej normalnej mamy: Współczynni kierunkowy tej prostej to
<math>-\frac{1}{f'(x_0)}\;</math>, co daje równanie prostej
<center><math>
y=-\frac{1}{f'(x_0)} x + y_0 +\frac{x_0}{f'(x_0)}
\;</math></center>
lub w równoważnej postaci
<equation id="eq:5">
<math>
f'(x_0) (y-y_0) = -(x-x_0).
</math></equation>
</li>
</ul>

W fizyce, znaczeniem pochodnej jest ''prędkość'' (zmiany jakiejś wielkości fizycznej w czasie). I tak, prototypem wszelkich takich wielkości jest ''droga'' (punktu materialnego jako funkcja czasu). Pochodna drogi po czasie — to właśnie prędkość. Analogicznie definiuje się inne rodzaje prędkości.

Np. gdy mamy rozpad promieniotwórczy substancji radioaktywnej, to możemy mówić o szybkości rozpadu (prędkości ubytku masy substancji radioaktywnej).

==Różniczkowanie funkcji elementarnych==

Zauważmy najsampierw, że jest prawdziwe

===Twierdzenie===
Jeśli funkcja <math>f\;</math> jest różniczkowalna w punkcie <math>x\;</math>, to jest w tym punkcie ciągła.

====Dowód====
Skoro <math>f\;</math> jest różniczkowalna w punkcie <math>x\;</math>, to istnieje i jest skończona granica ilorazu różnicowego
<center><math>
\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h};
</math></center>
tak więc
<center><math>
\lim_{h \to 0} (f(x+h)-f(x))=
\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot h =
\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot \lim_{h \to 0} h
=0,
</math></center>
co oznacza, że <math>f\;</math> jest ciągła w punkcie <math>x\;</math>.
'''CBDO'''
===Twierdzenie===
Pochodna funkcji stałej: <math>f(x)=c\;</math> jest równa <math>0\;</math>:
<equation id="eq:6">
<math>
\frac{dc}{dx}=0
</math></equation>
====Dowód====
Bowiem: <math>f(x+h)=c\;</math>, <math>f(x)=c\;</math>, co daje
<center><math>
\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0.
</math></center>

'''CBDO'''
===Twierdzenie===
Pochodna funkcji identycznościowej <math>f(x)=x\;</math> jest równa 1:
<equation id="eq:7">
<math>
\frac{dx}{dx}=1.
</math>
</equation>
====Dowód====
Mamy:
<center><math>
\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)-x}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{h}{h}=1 .
</math></center>

===Twierdzenie===
Mamy następujące wzory dotyczące różniczkowania sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji różniczkowalnych. Jeśli <math>f(x)\;</math>, <math>g(x)\;</math> są różniczkowalne w punkcie <math>x\;</math>, to mamy
<equation id="eq:8">
<math>\frac{d(f(x)\pm g(x))}{dx}= \frac{df(x)}{dx} \pm \frac{dg(x)}{dx} \;\;\;</math> lub krócej <math>(f(x)\pm g(x))' = f'(x)\pm g'(x)</math>
</equation>
<equation id="eq:9">
<math>\frac{d(f(x)\cdot g(x))}{dx}= \frac{df(x)}{dx} \cdot g(x) +\frac{dg(x)}{dx}\cdot f(x)
</math> lub <math>(f(x)\cdot g(x))' = f'(x)g(x)+g'(x)f(x)</math>
</equation>
<equation id="eq:10">
<math>
\frac{d \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}{d x}=\frac{ \frac{d f(x)}{d x} \cdot g(x) - \frac{d g(x)}{d x}\cdot f(x)}{g^2(x)}\;\;</math> lub <math>\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' =\frac{ f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g^2(x)}</math>
</equation>
====Dowód====
<ul>
<li>dla <xr id="eq:8">(%i)</xr> (dla sumy):
<center><math>
(f(x)+ g(x))' =\lim_{h \to 0}\frac{(f(x+h)+g(x+h)) - (f(x)+g(x))}{h}
</math></center>
<center><math>
= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h}
= f'(x)+g'(x);
</math></center>
dla różnicy dowód jest analogiczny.</li>
<li>dla <xr id="eq:9">(%i)</xr>
<center><math>
(f(x)\cdot g(x))' =\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)\cdot g(x+h) - f(x)\cdot g(x)}{h}
</math></center>
<center><math>
(f(x)\cdot g(x))' =\lim_{h \to 0}\frac{(f(x+h)\cdot g(x+h) - f(x+h)\cdot g(x)) + ( f(x+h)\cdot g(x) - f(x)\cdot g(x))}{h}
</math></center>
<center><math>
= \lim_{h \to 0} f(x+h) \frac{g(x+h) - g(x)}{h} + \lim_{h \to 0}g(x)\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)\cdot g(x)+g'(x)\cdot f(x).
</math></center></li>
<li>dla <xr id="eq:10">(%i)</xr>.

Pokażemy najsampierw:
<equation id="eq:11">
<math>
\frac{d\left(\frac{1}{f(x)}\right)}{d x} = -\frac{1}{f^2(x)}\frac{d f(x)}{d x}.
</math>
</equation>
Mamy bowiem:
<center><math>
\frac{d\left(\frac{1}{g(x)}\right)}{d x} =\lim_{h \to 0}\left( \frac{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}}{h}\right)=
</math></center>
<equation id="eq:12">
<math>
-\frac{1}{\lim_{h \to 0} g(x+h)}\cdot \frac{1}{g(x)} \cdot\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=-\frac{1}{g^2(x)}\cdot\frac{dg(x)}{dx},
</math>
</equation>
bo <math>\lim_{h \to 0} g(x+h)=g(x)\;</math>; i ponadto, ponieważ <math>g(x)\ne 0\;</math>, to istnieje takie <math>\delta>0\;</math>, że dla <math>|h|<\delta\;</math> zachodzi <math>g(x+h)\ne 0\;</math>, tak więc wszystkie wyrażenia w <xr id="eq:12">(%i)</xr> są dobrze określone.

Teraz <xr id="eq:10">(%i)</xr> wynika z <xr id="eq:9">(%i)</xr> oraz <xr id="eq:11">(%i)</xr>:
<math>
\left(f(x)\frac{1}{g(x)} \right)' = f'(x)\cdot \frac{1}{g(x)} + f(x)\cdot\left(-\frac{1}{g^2(x)} \right)= \frac{ f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g^2(x)}.</math>
</li>
</ul>
====Wniosek====
Podstawiając we wzorach <xr id="eq:8">(%i)</xr> oraz <xr id="eq:9">(%i)</xr>: <math>f(x) = c\;</math>, otrzymamy:
<equation id="eq:13">
<math>
(f(x)+c)'= f'(x),
</math>
</equation>
<equation id="eq:14">
<math>
(c\cdot f(x))'= c f'(x).
</math>
</equation>
Wzór <xr id="eq:13">(%i)</xr> mówi, że przesunięcie wykresu funkcji <math>f(x)\;</math> wzdłuż osi <math>0Y\;</math> nie ma wpływu na wartość kąta, tworzonego przez styczną z osiami. Wzór <xr id="eq:14">(%i)</xr> natomiast mówi, że jeżeli przeskalujemy wykres funkcji <math>y=f(x)\;</math> <math>c\;</math> razy, to tyle samo razy zwiększy się tangens kąta nachylenia stycznej.

===Twierdzenie===
<equation id="eq:15">
<math>
(x^n)'= n x^{n-1} \;\;\;\mbox{ dla }\;\;\; n\in \mathbb N.
</math>
</equation>

====Dowód====
Dowodzi się indukcyjnie. Dla <math>n=0\;</math> i <math>n=1\;</math> wzór ten jest prawdziwy — p. <xr id="eq:6">(%i)</xr> i <xr id="eq:7">(%i)</xr>. Załózmy teraz, że wzór jest prawdziwy dla <math>n-1\;</math>, i mamy dla <math>n\;</math>, z wykorzystaniem <xr id="eq:9">(%i)</xr>
<center><math>
(x^n)'= (x\cdot x^{n-1})' = 1\cdot x^{n-1} + x\cdot (n-1)\cdot x^{n-2} = n\cdot x^{n-1}.
</math></center>

'''CBDO'''

===Twierdzenie===
<center>
<math>(x^n)'= n x^{n-1}\;</math> dla <math>n\in \mathbb Z\;</math></center>
====Dowód====
Weźmy teraz <math>n<0\;</math>. Mamy, z <xr id="eq:12">(%i)</xr> i <xr id="eq:15">(%i)</xr>
<center><math>
(x^n)'= \left( \frac{1}{x^{-n}}\right)'=-\frac{1}{x^{-2n}}(x^{-n})' = n\cdot x^{-n-1}\cdot\frac{1}{x^{-2n}} = n\cdot x^{n-1}.
</math></center>

'''CBDO'''

====Uwaga====
Wzór ten słuszny jest też dla dowolnych wykładników rzeczywistych, co udowodnimy nieco później.

Z pokazanych właśnie faktów wynika od razu

===Twierdzenie (wzór na pochodną wielomianu)===
<center><math>
(a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1 x + a_0)' = n a_n x^{n-1}+\dots + 2 a_2 x + a_1.
\;</math></center>

===Twierdzenie===
<center>
<math>(\sin \,x)' = \cos x\;</math>.</center>

====Dowód====
<center><math>
(\sin x)'=\lim_{h \to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{2}{h}\cdot \sin(\frac{h}{2})\cdot \cos(x+\frac{h}{2})=
</math></center>
<center>
<math>
=\lim_{h \to 0}\frac{\sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}\cdot \lim_{h \to 0} \cos(x+\frac{h}{2}) =\cos x
</math></center>
===Twierdzenie===
<center><math>(\cos\,x)'=-\sin\,x.</math></center>
====Dowód====

<center><math>
(\cos x)'=\lim_{h \to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{-2}{h}\cdot \sin(\frac{h}{2})\cdot \sin(x+\frac{h}{2})=
</math></center>
<center>
<math>
=-\lim_{h \to 0}\frac{\sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}\cdot \lim_{h \to 0} \sin(x+\frac{h}{2}) =\sin x
</math>
</center>

===Twierdzenie===
<center>
<math>
(\tg x)'=\frac{1}{\cos^2 x}.
</math>
</center>
====Dowód====
<center><math>
(\tg x)'=\left( \frac{\sin x}{\cos x}\right)' =
\frac{(\sin x)' \cos x - (\cos x)'\sin x}{\cos^2 x}
=\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}.
</math></center>
===Twierdzenie===
<math>(\ln x)' = \frac{1}{x} \;\;\;\mbox{i ogolniej}\;\;(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}\;</math>.
====Dowód====
<center><math>
(\ln x)'=\lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}
=\lim_{h \to 0}\, \frac{1}{h}\ln( 1+\frac{h}{x})
=\lim_{h \to 0} \, \frac{1}{x}\ln((1+\frac{h}{x})^{\frac{x}{h}}).
</math>
</center>
Podstawmy teraz <math>y=\frac{h}{x}\;</math>. Ponieważ <math>\lim_{h \to 0} y=0\;</math>, to
<center><math>
\lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}
= \lim_{h \to 0} \, \frac{1}{x}\ln\left[\left(1+\frac{h}{x}\right)^\frac{x}{h}\right]
=\frac{1}{x}\lim_{y \to 0}\ln(1+y)^\frac{1}{y}.
</math></center>
Mamy: <math>\lim_{y \to 0} (1+y)^\frac{1}{y}=e.\;</math> Pamiętając, że logarytm jest funkcją ciągłą wszędzie w dziedzinie, a w szczególności dla wartości argumentu równej <math>e\;</math>, mamy
<center><math>
\lim_{y \to 0}\ln(1+y)^\frac{1}{y} = \ln\lim_{y \to 0}(1+y)^\frac{1}{y} = \ln e =1,
</math></center>
zatem
<center><math>
(\ln x)'=\frac{1}{x}.
</math></center>
Drugą część twierdzenia otrzymamy z własności logarytmu:
<center><math>
(\log_a x)'=\left( \frac{\ln x}{\ln a}\right)' = \frac{1}{\ln a} (\ln x)'=\frac{1}{x\ln a}.
</math></center>

@@ Linia 298: / Linia 298: @@
 <center>
 <math>
-(\tg x)'=\frac{1}{\cos^2 x}.
+(\mathrm{tg}\, x)'=\frac{1}{\cos^2 x}.
 </math>
 </center>
 ====Dowód====
 <center><math>
-(\tg x)'=\left( \frac{\sin x}{\cos x}\right)' =
+(\mathrm{tg}\, x)'=\left( \frac{\sin x}{\cos x}\right)' =
 \frac{(\sin x)' \cos x - (\cos x)'\sin x}{\cos^2 x}
 =\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}.
 </math></center>
 ===Twierdzenie===
 <math>(\ln x)' = \frac{1}{x} \;\;\;\mbox{i ogolniej}\;\;(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}\;</math>.

@@ Linia 38: / Linia 38: @@
 <center>
 <math>
-f'(a)=\tg \alpha
+f'(a)=\mathrm{tg}\, \alpha
 </math>
 </center>

Pochodne - Historia wersji

RobertJB: /* Twierdzenie */

RobertJB: /* Przykład */

Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Podstawowe definicje== ===Iloraz różnicowy funkcji=== ''' Def.''' Niech funkcja f\; będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawieraj..."

Anula: Utworzono nową stronę "NOTOC ==Podstawowe definicje== ===Iloraz różnicowy funkcji=== ''' Def.''' Niech funkcja $f\;$ będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawieraj..."